2 - AGH

Wprowadzenie nr 3* do ćwiczeń z przedmiotu „Wytrzymałość materiałów”
przeznaczone dla studentów II roku studiów dziennych I stopnia w kierunku
„Energetyka” na wydz. Energetyki i Paliw, w semestrze zimowym 2012/2013
1.Zakres wprowadzenia nr 3
To wprowadzenie dotyczy ćwiczenia, na którym kaŜdy student samodzielnie opracowuje
„Arkusz ćwiczeniowy nr 3”. Przez opracowanie tego arkusza studenci nabywają umiejętność obliczania dopuszczalnych obciąŜeń zewnętrznych dla prętów rozciąganych, ściskanych
oraz prętów zginanych dla przypadku materiału spreŜysto-plastycznego i spreŜysto-kruchego.
2. Pojęcia podstawowe
2.1. NapręŜenie w przekroju pręta jako wielkość fizyczna: wektor opisujący rozkład obciąŜenia
wewnętrznego w wybranym przekroju płaskim pręta, odniesionego do jednostki tego przekroju.
2.2. NapręŜenie w przekroju pręta jako wielkość matematyczna: Pochodna
funkcji W(A) opisującej rozkład obciąŜenia wewnętrznego W na powierzchni A, jaką ma wybrany przekrój płaski pręta.
2.3. Jednostka napręŜenia, podstawowa w układzie SI: miano N/m2, nazwa Pascal, symbol Pa.
2.4. Jednostka napręŜenia, zwykle uŜywana: miano 106N/m2, nazwa MegaPascal, symbol MPa.
*Autorem wprowadzenia jest Marek Płachno, prof. ndzw. AGH. Wprowadzenie (9 stron) stanowi przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zm.). Autor
1
nie wyraŜa zgody na inne wykorzystywanie wprowadzenia niŜ podane w jego przeznaczeniu
3. Analiza wykresu rozciągania pręta
z materiału spręŜysto - plastycznego
Pm - siła graniczna ze względu na wytrzymałość materiału pręta na rozciąganie.
Pu - siła graniczna ze względu na zerwanie preta.
Pe - siła graniczna ze względu na uplastycznienie materiału.
Psp- siła graniczna ze względu na spręŜystość materiału.
PH - siła graniczna ze względu na stosowalność prawa Hooke’a.
NapręŜenia w przekroju o powierzchni A odpowiadające granicznym siłom
2
4. Charakterystyka materiałów ze względu na
przebieg wykresu rozciągania
Materiały spręŜysto - plastyczne:
Materiały, których próbki podczas rozciągania doznają wydłuŜeń spręŜystych i plastycznych – np. stal
Materiały spręŜysto - plastyczne
z wyraźną granicą plastyczności:
Materiały, których próbki przy rozciąganiu doznają
wydłuŜeń plastycznych o charakterze płynięcia
materiału (np. stal konstrukcyjna zwykłej jakości).
Materiały spręŜysto - plastyczne
bez wyraźnej granicy plastyczności:
Materiały, których granicę plastyczności wyznacza
się jako takie napręŜenie R0,2 w przekroju normalnym próbki, przy którym próbka uległa trwałemu
wydłuŜeniu 0,2% początkowej długości,
(np. stal konstrukcyjna wyŜszej jakości - 1, stopy aluminium
- 2, stopy tytanu - 3).
Materiały spręŜysto-kruche:
Materiały, których próbki, przy rozciąganiu nie doznają odkształceń
plastycznych (nie mają granicy plastyczności) - np. Ŝeliwo.
3
5. Zasady obliczeń wytrzymałościowych na rozciąganie
Cel
obliczeń:
Na przykład obliczyć silę dopuszczalną Pdop rozciągającą pręt, tj. siłę,
która nie spowoduje napręŜenia mogącego zniszczyć materiał pręta.
NapręŜenie niszczące
na rozciąganie:
Jest to zwykle granica plastyczności materiału Re,
gdyŜ napręŜenie równe granicy plastyczności materiału moŜe spowodować trwałe
wydłuŜenie pręta rozciąganego, uwaŜane zwykle za zniszczenie materiału.
NapręŜenie dopuszczalne
na rozciąganie kr :
Iloraz napręŜenia niszczącego
nika bezpieczeństwa
kr =
n,
Re do współczyn-
obliczany ze wzoru:
Re
n
Współczynnik bezpieczeństwa:
Liczba uwzględniająca szacunkowy stopień błędu obliczeń wytrzymałościowych,
moŜliwy do popełnienia z powodu:
• nieznajomości rzeczywistych obciąŜeń (czynniki losowe),
• uproszczeń w metodach obliczania napręŜeń,
• ewentualnych wad materiału.
4
6. Warunek wytrzymałościowy bezpieczeństwa
pręta rozciąganego
Definicja opisowa:
NapręŜenie rozciągające w kaŜdym przekroju poprzecznym pręta
nie moŜe być większe od napręŜenia dopuszczalnego
Definicja matematyczna:
σr
=
Pdop
A
= kr =
Re
n
σr – napręŜenie rozciągające,
Pdop – dopuszczalna siła rozciągająca pręt,
A
– powierzchnia poprzecznego przekroju pręta,
kr – napręŜenie dopuszczalne dla materiału pręta,
Re
– granica plastyczności materiału pręta jako napręŜenie niszczące,
n – współczynnik bezpieczeństwa.
5
7. Przykład obliczeniowy nr 1
Pręt okrągły o średnicy D= 20 mm jest wykonany ze stali o granicy plastyczności Re = 350 MPa. Obliczyć siłę dopuszczalną dla rozciągania tego pręta, jeŜeli ma być zachowany współczynnik bezpieczeństwa n = 2.
Odpowiedź opisowa:
Będzie to siła, która wywoła w przekrojach pręta napręŜenie
równe granicy plastyczności materiału podzielnej przez
współczynnik bezpieczeństwa.
Odpowiedź obliczeniowa:
σr =
Pdop
Pdop
A
R
= e
n
⇒
Pdop
Re
Re π ⋅ D 2
=
⋅A=
⋅
n
n
4
350 ⋅ 10 6 3 ,14 ⋅ ( 20 ⋅ 10 − 3 ) 2
⋅
= 54 ,95 ⋅ 10 3 N = 54 ,95 kN
=
2
4
Uwaga: zaleca się, aby poszczególne parametry podstawiane do
wzorów obliczeniowych były wyraŜone w podstawowych
jednostkach układu SI.
6
8. Zasady obliczeń wytrzymałościowych na ściskanie
Cel
obliczeń:
Na przykład obliczyć, jaką wartość moŜe osiągnąć siła P
ściskająca pręt, bez obawy o zniszczenie pręta.
Siła P ściskająca pręt moŜe go zniszczyć z dwu powodów:
1.Gdy napręŜenie ściskające spowodowane przez siłę osiągnie poziom
napręŜenia niszczącego, tj. wytrzymałości materiału na ściskanie RC,
2.Gdy siła ściskająca wywoła wyboczenie pręta, tj. trwałe zakrzywienie.
O tym, czy występuje przypadek 1 lub 2 informuje
parametr λ nazywany smukłością, obliczany jako:
λ=
l ⋅α
imin
l – długość pręta, imin – minimalny promień bezwładności przekroju pręta,
α – współczynnik dobierany w zaleŜności od więzów nałoŜonych na końce pręta:
7
8. Zasady obliczeń wytrzymałościowych na ściskanie (c.d.)
Dopuszczalną siłę ściskającą pręt Psdop oblicza się ze względu na wytrzymałość materiału na ściskanie, gdy smukłość λ pręta jest mała i nie przekracza dolnej wartości
λO zakresu wyboczeniowego (dla stali λO = 20).
Wzór obliczeniowy:
Psdop =
Rc
⋅A ,
n
gdzie:
Rc – wytrzymałość materiału pręta na ściskanie,
n - współczynnik bezpieczeństwa,
A – powierzchnia poprzecznego przekroju pręta.
W innym przypadku dopuszczalną siłę ściskającą pręt oblicza się ze względu na wyboczenie, do czego, zaleŜnie od wartości λ stosuje się wzory:
1. Gdy λ0 < λ ≤ λ gr , to Psdop =
a − bλ
⋅ A , (wg wzoru Tetmajera - Jasińskiego)
n
2. Gdy λ > λgr , to Psdop = 9 ,86
E
λ ⋅n
2
⋅ A , (wg wzoru Eulera)
gdzie:
λgr – tzw. smukłość graniczna (np. dla stali zwykłej jakości λgr ≈ 100),
a, b – stałe materiałowe wyznaczane doświadczalnie (np. dla stali zwykłej jakości: a = 310 MPa , b =15,5 MPa-0,05Rc [MPa]).
E – moduł spręŜystości wzdłuŜnej materiału pręta (dla stali 2,1—105 MPa)
8
i min
9. Wzory do obliczeń minimalnego promienia bezwładności
dla niektórych przekrojów prętów
Jmin – minimalny moment osiowy bezwładności przekroju,
i min =
J min
A
Przekrój
pełny
Minimalny moment osiowy
bezwładności
oraz
minimalny promień
bezwładności przekroju
J min
A – powierzchnia poprzecznego przekroju pręta.
4
⋅
D
π
=
64
imin =
D
4
B4
J min =
12
B
imin =
3 ,5
B3H
J min =
12
B
imin =
3 ,5
Minimalny moment osiowy
bezwładności
oraz
minimalny promień
bezwładności przekroju
Przekrój
rurowy
J min
( D4 − d 4 )
π
=
J min =
64
B
4
− b4
12
B3H − b3 h
Jmin =
12
imin =
D2 + d 2
4
imin =
B2 + b2
3 ,5
imin =
B3H − b3 h
12 ( BH − bh )
9
10. Przykład obliczeniowy nr 2
Pręt okrągły o średnicy D = 20 mm jest wykonany ze stali zwykłej jakości, o granicy
plastyczności Re = 280 MPa. Obliczyć siłę dopuszczalną dla ściskania pręta ze współczynnikiem bezpieczeństwa n = 2, jeŜeli wytrzymałość materiału na ściskanie Rc jest
równa Re, a współczynnik więzów α = 1. Siłę obliczyć dla trzech długości pręta: l1 = 8
cm, l2 = 30 cm, l3 = 60 cm, i porównać z siłą dopuszczalną dla rozciągania tego pręta.
Obliczenia:
Minimalny promień bezwładności przekroju pręta:
Powierzchnia przekroju pręta:
Smukłość pręta:
l1 ⋅ α 8 ⋅ 10 -2 ⋅ 1
= 16 < λ0 = 20,
λ ( l1 ) =
=
−
3
i min
5 ⋅ 10
imin =
A=
D 20
=
= 5 mm
4
4
π ⋅ D2
4
=
3 ,14 ⋅ 20 2
4
= 314 mm 2
l 2 ⋅ α 30 ⋅ 10 -2 ⋅ 1
λ ( l2 ) =
= 60 < λ gr = 100
=
−
3
i min
5 ⋅ 10
l 2 ⋅ α 60 ⋅ 10 - 2 ⋅ 1
= 120 > λ gr = 100
=
λ( l3 ) =
−
3
i min
5 ⋅ 10
Dopuszczalna siła ściskająca:
Rc
350 ⋅ 10 6
⋅A=
⋅ 314 ⋅ 10 − 6 = 54 ,95 ⋅ 10 3 N = 54 ,95 kN
Pdop ( l1 ) =
n
2
a − b ⋅ λ ( l2 )
310 ⋅ 10 6 − ( 15 ,5 ⋅ 10 6 − 0 ,05 ⋅ 280 ⋅ 10 6 ) ⋅ 60
⋅A=
⋅ 314 ⋅ 10 − 6 = 34 ,54 ⋅ 10 3 N = 34 ,54 kN
Pdop ( l 2 ) =
n
2
11
E
2 ,1 ⋅ 10
Pdop ( l 3 ) = 9 ,86
⋅
A
=
9
,
86
⋅ 314 ⋅ 10 − 6 = 22 ,58 ⋅ 10 3 N = 22 ,58 kN
2
2
10
[ λ ( l 3 )] ⋅ n
120 ⋅ 2
10. Przykład obliczeniowy nr 2 (c.d.)
Porównanie sił dopuszczalnych ściskających i rozciągających
dla pręta o takim samym przekroju
Długość
pręta
8 cm
30 cm
60 cm
Dopuszczalna
siła
ściskająca
54,95 kN
37,93 kN
22,58 kN
Dopuszczalna
siła
rozciągająca
54,95 kN
54,95 kN
54,95 kN
Dopuszczalna siła ściskająca dla pręta moŜe być
- zaleŜnie od długości tego pręta -
znacznie mniejsza
od jego dopuszczalnej siły rozciągającej
11
11. Zginanie prętów prostych
Definicja
Przypadek sił zewnętrznych, wywołujący w przekroju pręta
prostego dwa rodzaje sił wewnętrznych:
• moment zginający , który działa w płaszczyźnie prostopadłej do przekroju,
• siłę tnącą , która działa stycznie do płaszczyzny przekroju.
Przypadki techniczne zginania prętów prostych – belki
Belka, to:
pręt z więzami, zwykle prosty, obciąŜony czynnymi siłami i momentami o wektorach działających prostopadle do osi wzdłuŜnej pręta ,
które w przekrojach tego pręta wywołują siły wewnętrzne
o dominującym udziale momentu zginającego.
12
12. Obliczanie napręŜeń wywołanych przez moment zginający
Moment zginający Mg działający
w płaszczyźnie yz powoduje, Ŝe:
• Skrajne powierzchnie prostopadłe do
osi y zmieniają się z powierzchni
płaskich w powierzchnie walcowe
o wspólnej osi S prostopadłej do osi y.
•Przekroje płaskie poprzeczne, prostopadłe do osi z, obracają się względem
osi tworzących powierzchnię walcową
nazywaną warstwą obojętną.
•Następuje podział kaŜdego przekroju
poprzecznego na strefę ściskania
oraz strefę rozciągania, które są
przedzielone osią obojętną.
ρρρρ
• W kaŜdym przekroju poprzecznym powstaje jednoosiowy stan napręŜeń o liniowym rozkładzie
wzdłuŜ osi y opisanym jako:
ρ − promień krzywizny elementarnego odcinka
Mg
∆dz( y ) E
wywołanej przez moment zginający Mg ,
σ (y) = E ⋅
= ⋅y =
⋅y
g
σ gc =
dz
Mg
Jx
Jx
Mg
y c , σ gr =
y
Jx r
Jx – moment bezwładności przekroju poprzecznego
względem osi obojętnej tego przekroju,
yc , yr – współrzędne skrajnych powierzchni 13
elementarnego odcinka.
13. Warunek wytrzymałościowy bezpieczeństwa na zginanie
belki wykonanej z materiału spręŜysto-plastycznego
W przypadku materiałów spręŜysto- plastycznych,
charakteryzujących się jednakową wytrzymałością na rozciąganie i ściskanie,
o bezpieczeństwie belki zginanej decyduje to napręŜenie, które jest
największe co do bezwzględnej wartości.
Takie napręŜenie występuje w tzw. przekroju niebezpiecznym belki,
w punkcie najbardziej oddalonym od osi obojętnej tego przekroju.
Warunek wytrzymałościowy bezpieczeństwa na zginanie - postać analityczna:
Warunek wytrzymałościowy bezpieczeństwa na zginanie - postać praktyczna:
y
σ g = M g ⋅ max ≤ k g
Jx
σg =
Mg
Wx
≤ kg
Mg – moment zginający w przekroju niebezpiecznym belki,
|y|
max
– największa odległość w przekroju niebezpiecznym od jego osi obojętnej,
Jx – moment bezwładności przekroju względem jego osi obojętnej,
kg – napręŜenie dopuszczalne materiału na zginanie,
Wx – wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie:
Wx =
Jx
y
max
14
14. Przykład obliczeniowy nr 3
Belka z materiału spreŜysto-plastycznego ma schemat obliczeniowy przekroju pokazany na rysunku. Obliczyć dla tego
przekroju wskaźnik wytrzymałości Wx na zginanie oraz dopuszczalny moment zginający dodatni i ujemny, jeŜeli:
Jx = 25cm4, yA = 20 mm, yB = - 50 mm, kg = 170 MPa.
Uwaga : Moment zginający dodatni wywołuje napręŜenia ściskające nad osią obojętną przekroju belki, a napręŜenia rozciągające – pod tą osią. Moment zginający ujemny wywołuje przeciwne usytuowanie napręŜeń rozciągających i ściskających w przekroju belki.
Wskaźnik wytrzymałości przekroju belki na zginanie :
Wx =
Jx
y
max
Jx
25 ⋅ (10 −2 ) 4
−6
3
=
=
=
5
⋅
10
m
yB
50 ⋅ 10 − 3
Dopuszczalny moment zginający dodatni:
M gdop + = k g ⋅ W x = 170 ⋅ 10 6 ⋅ 5 ⋅ 10 −6 = 850 Nm = 0,85 kNm
Dopuszczalny moment zginający ujemny:
M gdop − = −k g ⋅ W x = −170 ⋅ 10 6 ⋅ 5 ⋅ 10 −6 = −850 Nm = −0,85 kNm
15
15. Warunek wytrzymałościowy bezpieczeństwa na zginanie
belki wykonanej z materiału spręŜysto-kruchego
W przypadku materiałów spręŜysto-kruchych,
które charakteryzują się róŜną wytrzymałością na rozciąganie i ściskanie,
o bezpieczeństwie belki zginanej moŜe decydować napręŜenie, które
nie jest największe co do bezwzględnej wartości.
W przypadku takiej belki, w jej przekroju niebezpiecznym naleŜy sprawdzić
napręŜenie zginające zarówno w strefie ściskania jak i rozciągania
Warunek wytrzymałościowy bezpieczeństwa
dla strefy ściskania przekroju:
Warunek wytrzymałościowy bezpieczeństwa
dla strefy rozciągania przekroju:
|yc|
max
σ g = σ gc = M g ⋅
σ g = σ gr = Mg ⋅
yc
max ≤ k
c
Jx
yr
max ≤ k
r
Jx
– największa odległość w strefie ściskania przekroju niebezpiecznego od jego osi
,
obojętnej
kc – napręŜenie dopuszczalne materiału belki na ściskanie,
|yr| max – największa odległość w strefie rozciągania przekroju niebezpiecznego od jego osi
obojętnej
kr –napręŜenie dopuszczalne materiału belki na rozciąganie.
16
16. Przykład obliczeniowy nr 5
Belka z materiału spreŜysto-kruchego ma schemat obliczeniowy
przekroju pokazany na rysunku. Obliczyć dla tego przekroju
dopuszczalny moment zginający dodatni i ujemny, jeŜeli Jx=25
cm4, yA=20 mm, yB=-50 mm, kc=170 MPa, kr= 60 MPa.
Moment zginający dodatni, wywołujący w przekroju belki dopuszczalne napręŜenie ściskające kc
Jx
25 ⋅ (10 -2 ) 4
6
Mgc + = kc ⋅
= 170 ⋅ 10 ⋅
= 2125 Nm = 2,125 kNm
yA
20 ⋅ 10 − 3
Moment zginający dodatni, wywołujący w przekroju belki dopuszczalne napręŜenie rozciągające kr
J
25 ⋅ (10 -2 ) 4
Mgr + = k r ⋅ x = 60 ⋅ 10 6 ⋅
= 300 Nm = 0,3 kNm
yB
50 ⋅ 10 − 3
Moment zginający ujemny, który wywołuje w przekroju belki dopuszczalne napręŜenie ściskające kc
Jx
25 ⋅ (10 -2 ) 4
6
Mgc − = −kc ⋅
= - 170 ⋅ 10 ⋅
= −850 Nm = −0,85 kNm
yA
50 ⋅ 10 − 3
Moment zginający ujemny, wywołujący w przekroju belki dopuszczalne napręŜenie rozciągające kr
Jx
25 ⋅ (10 -2 ) 4
6
Mgr − = −k r ⋅
= − 60 ⋅ 10 ⋅
= −750 Nm = −0,75 kNm
yB
20 ⋅ 10 − 3
Moment dopuszczalny dodatni: Mgdop+= Mgr+= 0,3 kNm
Moment dopuszczalny ujemny: Mgdop- = Mgr- = 0,75 kNm
(Koniec wprowadzenia nr 3)
17