Zestaw 3. zadań z Matematyki1 - Uniwersytet Ekonomiczny w

Zestaw 3. zadań z Matematyki1 - Uniwersytet Ekonomiczny w

Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach
Wydział Finansów i Ubezpieczeń, Kierunek: Finanse i Zarządzanie w Ochronie Zdrowia
Zestaw 3. zadań z Matematyki1
Dziedzina naturalna i składanie funkcji jednej zmiennej2
Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
p
7x3 − 2x
− 4 ln(4 + x) − x4 − 2 x2 − x,
2
3x − x
√
x+3
2
f (x) = 5x ln(36 − x ) − 2
− 1,
x + 6x + 5
p
8x
+ ln(7 − x) − ex − x2 + x − 2 − 9x,
f (x) = 2
x + 6x
√
x+5
f (x) = 2
− 4 ln(x2 − 2x) + 4x3 + 1,
x −9
√
49 − x2
2
f (x) = 9 ln(x + x − 6) − 2
− x2 e3x ,
x − 5x
2
f (x) = − 3 ln(x2 + 1),
x √
f (x) = 4 + 5 − x · e2x+1 .
f (x) =
Zadanie 2. Podać wzór złożenia h(x) = f (g(x)) oraz k(x) = g(f (x)), jeśli:
√
a) f (x) = 4x − sin x − 2, g(x) = x + 3,
x
,
b) f (x) = ln x, g(x) =
2 + x3
c) f (x) = x2 − 4x + 7, g(x) = cos x,
√
2
d) f (x) = e3x −1 , g(x) = x,
e)
f)
g)
f (x) = sin x − x + 1, g(x) = 3xex ,
1 + 5x
f (x) =
, g(x) = 4x − 2x ,
1 + x2
3
√ .
f (x) = x4 − |x|, g(x) =
6x + x
Zadanie 3. Zapisać daną funkcję f jako złożenie dwóch [tzn. f (x) = f2 (f1 (x))] lub trzech funkcji [tzn.
f (x) = f3 (f2 (f1 (x)))], nie używając funkcji identycznościowej, jeśli:
5
a) f (x) = ln
,
1 + x4
b) f (x) = 3 sin2 x − 5 sin x − 9,
c)
d)
e)
f)
g)
2
f (x) = ex −3x−2 ,
3 ln x
f (x) = 3
,
ln x − 2
√
f (x) = ex + 1,
2
f (x) =
,
1 + x3
√
f (x) = ln(1 + x),
s
x−1
,
x+2
h)
f (x) =
i)
f (x) = ecos x+10 .
1
Zestaw dostępny pod adresem: http://web2.ue.katowice.pl/trzesiok/zestaw3mat.pdf
2
Ten zestaw jest sponsorowany przez LATEX’owy symbol [\PHplumedHead]:
1
B
Odpowiedzi
Ad 1.
a) Df = (−4, 0) ∪ h1, 3) ∪ (3, +∞),
b) Df = (−6, −5) ∪ (−5, −1) ∪ (−1, 6),
c) Df = (−∞, −6) ∪ (−6, −2i ∪ h1, 7),
d) Df = h−5, −3) ∪ (−3, 0) ∪ (2, 3) ∪ (3, +∞),
e) Df = h−7, −3) ∪ (2, 5) ∪ (5, 7i,
f)
Df = (−∞, 0) ∪ (0, +∞),
g) Df = (−∞, 5i.
Ad 2.
√
k(x) = 4x − sin x + 1,
ln x
k(x) =
,
2 + ln3 x
k(x) = cos(x2 − 4x + 7),
√
√
a) h(x) =4 x + 3 − sin( x + 3) − 2,
x
,
b) h(x) = ln
2 + x3
c) h(x) = cos2 x − 4 cos x + 7,
p
d)
h(x) =e3x−1 ,
k(x) = e3x2 −1 ,
e)
h(x) = sin(3xex ) − 3xex + 1,
1 + 5 (4x − 2x )
,
h(x) =
1 + (4x − 2x )2
4 3
3
√
√ ,
h(x) =
−
6x + x
6x + x
k(x) =3(sin x − x + 1)esin x−x+1 ,
1+5x
4(1 + 5x)
− 2 1+x2 ,
k(x) =
2
1+x
f)
g)
k(x) =
6 (x4
3
p
.
− |x|) + x4 − |x|
Ad 3. Jedne z możliwych wariantów odpowiedzi:
a)
f1 (x) = 1 + x4 ,
b)
f1 (x) = sin x,
c)
f1 (x) = x2 − 3x − 2,
d)
f1 (x) = ln x,
e)
f1 (x) = ex ,
f)
f1 (x) = 1 + x3 ,
√
f1 (x) = 1 + x,
x−1
f1 (x) =
,
x+2
f1 (x) = cos x,
g)
h)
i)
5
,
x
f2 (x) = 3x2 − 5x − 9,
f2 (x) =
f2 (x) = ex ,
3x
f2 (x) = 3
,
x −2
f2 (x) = x + 1,
2
f2 (x) = ,
x
f2 (x) = ln x,
√
f2 (x) = x,
f2 (x) = x + 10,
c 2016 Joanna i Michał Trzęsiok
Copyright 2
f3 (x) = ln x,
f3 (x) =
√
x,
f3 (x) = ex .