Programowanie liniowe jako technika obliczeniowa użyteczna w

Transkrypt

© by Wydawnictwo CNBOP-PIB
Please cite as: BiTP Vol. 44 Issue 4, 2016, pp. 99–120
DOI: 10.12845/bitp.44.4.2016.8
dr hab. inż. Mariusz Maślak, prof. PK1
mgr inż. Anna Tkaczyk2
Przyjęty/Accepted/Принята: 17.01.2016;
Zrecenzowany/Reviewed/Рецензирована: 30.11.2016;
Opublikowany/Published/Опубликована: 30.12.2016;
Programowanie liniowe jako technika obliczeniowa użyteczna
w szacowaniu odporności ogniowej
stalowej ramowej konstrukcji nośnej3
Linear Programming as a Computational Procedure Useful in the Fire Resistance
Evaluation of a Steel Loadbearing Frame Structure
Использование линейного программирования как метода расчёта
огнестойкости стальной рамной несущей конструкции
ABSTRAKT
Cel: Przedstawiono i przedyskutowano oryginalną procedurę szacowania odporności ogniowej stalowego ramowego ustroju nośnego opartą
na zastosowaniu metodyki programowania liniowego. Tego typu podejście wymaga dokonania linearyzacji zarówno klasycznych warunków
równowagi, jak i warunku opisującego uplastycznienie krytycznego przekroju poprzecznego w elemencie stalowym miarodajnym do oceny
nośności badanej ramy. Przekroje wybrane do analizy odpowiadają lokalizacji aktywujących się w pożarze przegubów plastycznych.
Metody: Miarą poszukiwanej odporności jest określona dla całej ramy temperatura krytyczna odpowiadająca osiągnięciu przez badany ustrój
stanu granicznego nośności ogniowej. Stan ten identyfikowany jest z realizacją tego spośród potencjalnie możliwych mechanizmów czysto
plastycznego zniszczenia ramy, który odpowiada najniższej możliwej wartości temperatury aktywacji. Taka specyfikacja wymaga akceptacji
założenia, że przez cały czas trwania pożaru prognozowanego dla analizowanego ustroju nośnego wszystkie elementy tego ustroju będą
efektywnie stężone. Dzięki temu nie występuje ryzyko jego wcześniejszego zniszczenia przez globalną lub lokalną formę utraty stateczności.
Wyniki: Pokazano sposób ogólnego formułowania problemu oraz specyfikacji funkcji celu, a także zasady budowy nierówności definiujących
miarodajne ograniczenia. Uwzględniono przy tym interakcję momentu zginającego i siły podłużnej. Algorytm postępowania zilustrowano
na załączonym przykładzie numerycznym. Uzyskane z rekomendowanych w pracy obliczeń oszacowanie temperatury krytycznej badanej
ramy odniesiono do odpowiadającego mu wyniku alternatywnej analizy, przeprowadzonej w celach porównawczych, opartej na zastosowaniu
klasycznego kinematycznego podejścia do teorii nośności granicznej.
Wnioski: Zaproponowane podejście obliczeniowe w opinii autorów artykułu jest bardziej uniwersalne w stosunku do możliwych procedur
alternatywnych, rekomendowanych we wcześniejszych pracach. Pozwala bowiem na jednoznaczne i czytelne w interpretacji oszacowanie
odporności ogniowej także w przypadku ram o złożonej geometrii i rozbudowanym schemacie obciążenia. W świetle założeń modelu
formalnego, przytoczonych i szczegółowo dyskutowanych w tekście, uzasadnione może być również twierdzenie o znacząco większej
wiarygodności uzyskanych w ten sposób oszacowań temperatury krytycznej analizowanej ramy w porównaniu do oszacowań otrzymanych
w sposób konwencjonalny.
Słowa kluczowe: stalowa ramowa konstrukcja nośna, pożar, odporność ogniowa, temperatura krytyczna, programowanie liniowe
Typ artykułu: oryginalny artykuł naukowy
A B S T R AC T
Aim: A new original procedure which can be applied to evaluate the fire resistance of a steel frame, based on the linear programming approach,
is presented and discussed in this article. Such a computational technique requires the linearisation of both the classical equilibrium conditions
and a condition describing the yield of a critical cross-section relating to the structural member conclusive in assessing the frame resistance. The
sections selected for the analysis correspond to the location of the plastic hinges forming as a consequence of fire exposure.
Methods: The critical temperature, determined for the whole structure, and associated with the structure reaching its fire resistance limit state, is
considered to represent the measure of such a fire resistance. This critical temperature corresponds to the realisation of such a potentially possible
purely plastic failure mechanism that is bound to the lowest possible formation temperature. Such a specification requires the assumption that
3
1
2
Politechnika Krakowska / Cracow University of Technology; [email protected];
Biuro Budowlane Bauko S.C., Kielce;
Artykuł został wyróżniony przez Komitet Redakcyjny / The article was recognised by the Editorial Committee; Procentowy wkład merytoryczny
w opracowanie artykułu / Percentage contribution; M. Maślak – 60%, A. Tkaczyk – 40%;
99
BADANIA I ROZWÓJ
BiTP Vol. 44 Issue 4, 2016, pp. 99–120
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.8
throughout the duration of the fire foreseen for the considered bearing structure, all the components of this system will be effectively braced, so
that there is no risk of their earlier failure by local or global loss of stability.
Results: The general problem formulation approach, the formulation of the objective function, and the rules governing the development of
inequalities defining the representative constraints, are presented in detail. The interaction between the longitudinal force and the bending
moment is taken into account as well. The obtained results are illustrated by the numerical example. The estimate resulting from the calculation
recommended in this article is related to the corresponding one based on the use of the kinematical approach to the theory of plasticity.
Conclusions: The proposed computational approach seems to be more universal in relation to the possible alternative procedures recommended
by the authors of this study in their earlier works. It facilitates an unambiguous and clearly interpretable estimate of the steel frame fire resistance
also sought in the case of the frame with complex geometry and a complicated load arrangement. In the light of the assumptions of a formal
model discussed in detail in this article, the conclusion can also be made that the reliability of the estimates so obtained is significantly greater
in comparison to the corresponding results calculated conventionally.
Key words: steel frame load bearing structure, fire, fire resistance, critical temperature, linear programming
Type of article: original scientific article
А Н Н О ТА Ц И Я
Цель: Представить и обсудить оригинальную процедуру оценки огнестойкости стальной рамной несущей конструкции на основе
методологии линейного программирования. Такой подход требует проведения линеаризации как классических условий равновесия, так
и условия, описывающего размягчение критического сечения стального элемента, достоверного в оценке несущей способности исследуемой
рамы. Сечения, выбранные для анализа, соответствуют размещению активизирующихся при пожаре пластических шарниров.
Методы: Мерой огнестойкости является определенная для целой рамы критическая температура, связанная с достижением тестовой
конструкцией предельного состояния несущей способности. Это условие определяется реализацией потенциала возможных
механизмов при его пластическом разрушении, что соответствует самой низкой возможной величине температуры активации.
При данной спецификации необходимо принять утверждение, что за все время пожара, прогнозированного как достоверный для
анализируемой конструкции, все элементы конструкции будут иметь эффективную концентрацию. Благодаря этому нет никакого
риска, что она разрушится раньше из-за общей или локальной (формы) потери устойчивости.
Результаты: Указан способ общей формулировки проблемы и спецификации целевой функции, а также принципы создания
неравенств, определяющих достоверные ограничения. Учтено при этим взаимодействие изгибающего момента и продольной силы.
Результаты проиллюстрированы на численном примере, приложенном к формальной презентации модели. Результаты, полученные
из предложенных в этой работе расчетов оценки критической температуры испытуемой рамы относятся к соответствующему
результату альтернативного анализа, проведенного для сравнительных целей, основанного на использовании классического
кинематического подхода к теории предельной нагрузки.
Выводы: Предложенный вычислительный подход по мнению авторов представляется более универсальным в отношении
к возможным альтернативным процедурам, рекомендованных авторами в предыдущих работах. Он позволяет дать четкую
оценку и интерпретацию огнестойкости, также в случае рам со сложной геометрией и большой нагрузкой. В свете предположений
формальной модели, перечисленных и подробно обсуждаемых в тексте, оправданным может быть также утверждение о значительно
большей достоверности полученных таким образом значений оценки критической температуры анализируемой рамы по сравнению
с оценками, полученными обычным способом.
Ключевые слова: стальная рама, несущая конструкция, пожар, огнестойкость, критическая температура, линейное программирование
Вид статьи: оригинальная научная статья
1. Wprowadzenie
1. Introduction
Inżynierską ocenę odporności ogniowej złożonego stalowego ramowego ustroju nośnego można uznać za wiarygodną jedynie wtedy, gdy w modelu formalnym towarzyszącym analizie statycznej odpowiadającej wyjątkowej sytuacji
projektowej pożaru rozwiniętego zostanie rozważona konstrukcja potraktowana całościowo. Tego typu badanie można
ewentualnie zastąpić, choć nie zawsze jest to możliwe, przez
szczegółową analizę zachowania się w pożarze funkcjonalnie
jednorodnych podukładów ocenianej ramy, o jednoznacznie określonym schemacie i sposobie oddziaływania na pozostałe części konstrukcji. Jak dotąd w praktyce projektowej
powszechnie stosowane jest myślowe wydzielanie z ustroju
pojedynczych elementów nośnych (rygli, słupów) i przypisywanie do nich lepiej lub gorzej zamodelowanych warunków
brzegowych opisujących zmieniającą się wraz z rozwojem
pożaru podatność więzów krępujących te elementy. Pozwala
to na otrzymanie stosunkowo prostych algorytmów weryfikujących możliwość bezpiecznego przenoszenia przyłożonych do konstrukcji obciążeń zewnętrznych wraz z siłami
wewnętrznymi generowanymi wskutek ograniczenia możliwości swobodnej realizacji odkształceń będących skutkiem
rozszerzalności termicznej stali. Niemniej jednak uzyskane
w ten sposób wyniki z uwagi na prostotę podejścia obliczeniowego nie zawsze odpowiadają rzeczywistemu zachowaniu się badanego ustroju w warunkach ekspozycji ogniowej.
An engineering evaluation of the fire resistance of a complex steel frame load bearing structure can be considered reliable only when the formal model associated with the statical
analysis corresponding to the accidental design situation of
a fully developed fire considers the structure as a whole. If
needed, although not always possible, this type of test may
be substituted with a detailed fire behaviour analysis relating
to the functionally homogeneous substructures of the tested
frame with an unambiguously defined pattern and the manner
of exerting impact on other parts of the structure. So far, it has
been common for design practice to mentally select individual load bearing members (beams, columns) from the structure and assign them to more-or-less well-modelled boundary conditions describing the susceptibility of the bonds that
tie together these members as it changes with the spread of
the fire. This can provide relatively simple algorithms that verify whether the external loads applied to the structure can be
transferred together with the internal loads generated by the
constraints in the free realisation of the strains resulting from
the thermal expansion of steel. However, due to the simplicity
of this computational approach, the results so obtained do not
always correspond to the actual behaviour of the tested structure when exposed to fire. Indeed, it is difficult for such a simple physical model to reflect alone the redistribution of the
internal forces in the members exposed directly to fire which
100
RESEARCH AND DEVELOPMENT
ИССЛЕДОВАНИЯ И РАЗВИТИЕ
Trudno bowiem w tak prostym modelu fizycznym odwzorować chociażby zachodzącą w elementach konstrukcji poddanych bezpośredniemu oddziaływaniu ognia redystrybucję sił
wewnętrznych determinującą ich wynikowy stan naprężenia
czy odkształcenia. Ponadto sposób ten nie pozwala zidentyfikować, a zatem i oszacować istotność pewnych specyficznych dla ogrzewanej ramy efektów, które uwidaczniają się
dopiero dzięki jej analizie globalnej. Przykładem może być
generowanie się w ryglach rozpatrywanej ramy na skutek ich
dużego ugięcia siły rozciągającej o znacznej wartości, bardzo
groźnej ze względu na stateczność słupów szkieletu stalowego. Wartość takiej siły zależy bowiem głównie od podatności
słupów ograniczających te rygle, a ta z kolei między innymi
od geometrii całej ramy, sposobu jej obciążenia i jej schematu statycznego. Z tego względu dąży się do tego, aby miarą
odporności ogniowej specyfikowanej dla badanej ramy była
wielkość jednoznacznie do niej przypisana i stanowiąca niejako jej charakterystykę, niezależną od dodatkowych czynników czy okoliczności. Należy zaznaczyć, że jeśli za taką miarę
przyjmie się czas, przez który w warunkach potencjalnie zagrażającego jej pożaru konstrukcja zapewni bezpieczne przenoszenie przyłożonych do niej obciążeń zewnętrznych wraz
z termicznie indukowanym i zmiennym w czasie polem sił
wewnętrznych, to miara ta będzie zależała od charakterystyki
pożaru przyjętego do analizy. Zmiana intensywności nagrzewania lub chociażby maksymalnej temperatury gazów spalinowych osiąganej w strefie pożarowej, do której należy analizowana rama, oznaczać będzie równoczesną zmianę oszacowanej odporności. W opinii autorów bardziej uniwersalną
miarą jest w tym przypadku temperatura krytyczna szacowana dla całego ustroju ramowego. Pod tym pojęciem rozumie
się temperaturę odniesioną do osiągnięcia przez badaną ramę
stanu granicznego nośności ogniowej, określoną w ustalonym, miarodajnym dla tej ramy elemencie i jednoznacznie
powiązaną z wartościami temperatury osiągniętymi w tym
samym czasie w pozostałych jej elementach [1]. Wyznaczenie
wartości tej temperatury nie zawsze jest możliwe, zwłaszcza
w przypadku konstrukcji żelbetowych. Trzeba jednak podkreślić, że konstrukcje stalowe należą do obiektów, dla których tego typu podejście obliczeniowe jest, zdaniem autorów,
szczególnie przydatne. Ma to związek z dobrą przewodnością
cieplną stali, dzięki której można uzasadnić założenie o wyrównanym rozkładzie temperatury zarówno w przekrojach
poprzecznych stalowych elementów konstrukcyjnych, jak
i na całej długości tych elementów. Istnieją różne sposoby
wyznaczania temperatury krytycznej ramy stalowej. Powinny
one uwzględniać możliwe sposoby jej zniszczenia. W takim
ujęciu byłaby to zatem na przykład mniejsza z dwóch wartości temperatury, z których pierwszą zidentyfikowano dla
zniszczenia przez globalną utratę stateczności ramy, drugą
natomiast dla wyczerpania nośności plastycznej jej najsłabszego elementu. Ważne, że ustalona w ten sposób wartość
poszukiwanej temperatury nie będzie zależeć od przebiegu
rozwoju pożaru. Od tego przebiegu zależy bowiem jedynie
czas, po którym zostanie ona osiągnięta w reprezentatywnym
dla całej ramy elemencie konstrukcyjnym. Celem niniejszych rozważań jest prezentacja sposobu określania drugiej
z przytoczonych powyżej wartości temperatury, to znaczy tej
kojarzonej ze zniszczeniem typu plastycznego. Do jej wyznaczenia autorzy rekomendują wykorzystanie uogólnionego
na sytuację pożaru formalizmu klasycznej teorii nośności
granicznej. W prostych przypadkach tego typu podejście
sprowadza się do rozważania możliwych i kinematycznie dopuszczalnych mechanizmów plastycznego zniszczenia ramy
[2-3] lub ewentualnie do przeprowadzenia metodą częściowo
graficzną redystrybucji momentów zginających w elementach
ustroju nośnego, takiej aby wyrównać te momenty w przekrojach, w których mają powstać przeguby plastyczne [4-5].
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.8
determine their resultant stress or strain states. Furthermore,
it is impossible with this method to identify, and, by extension,
to estimate, the significance levels of certain effects specific to
the heated frame, which require a global analysis of the frame
to become evident. Take, for instance, the substantial tensile
force in the beams of the frame under consideration created
by their substantial deflection, which is very dangerous to the
stability of steel-frame columns. The value of such a force depends mainly on the susceptibility of the columns that restrict
these beams, with this susceptibility depending mainly on the
geometry of the whole frame, its statical scheme, and on how
it is loaded. For this reason, the aim is to measure the fire
resistance specified for the tested frame based on a quantity
assigned unambiguously to such a frame, and that, to some
degree, determines the characteristics of the frame unaffected
by any additional factors or circumstances. It should be noted
that if this is to be measured as the time for which a structure potentially exposed to fire is capable of ensuring the safe
transfer of loads applied to it, together with the thermally induced and temporally variable internal-force field, the measure, then, will depend on the characteristics of the fire under
analysis. A change in the heating intensity, or in the maximum temperature of exhaust gases reached in the fire zone
of which the analysed frame is part, will also mean a change
in the estimated resistance. The authors of this article claim
that the critical temperature estimated for the frame structure as a whole is a more universal measure in this case. Such
a temperature is defined as the temperature relative to the fire
resistance limit state reached by the tested frame, defined for
a specific member that is representative of this frame, and
unambiguously linked with the temperature values reached
over the same time in its other members [1]. It is not always
possible to determine such a temperature, especially for reinforced-concrete frames. Notably, however, the authors of this
article believe that such a computational approach is particularly useful for steel structures. This is due to the high thermal conduction of steel, which can explain the assumption
involving the equal distribution of temperature in both the
cross-sections and over the whole length of steel members.
The critical temperature of a steel frame can be determined in
a number of ways. These should consider the potential ways
in which the frame might fail. Defined as such, this would be,
for instance, the lesser of two temperature values, where the
former is identified for frame failure as a result of the whole
frame’s losing stability and the latter is identified for the loss
of the plastic resistance of the frame’s weakest member. What
is important is that the temperature so determined will not
depend on how the fire develops. What will depend on how
the fire develops is only the time after which such the temperature is reached in a member that is representative of the
whole frame. This article aims to demonstrate a method of determining the latter of the two temperature values mentioned
above, i.e. the one involving plastic failure. The authors of this
article recommend that the formalism of the classical plastic limit load theory, generalised for a fire situation, be used
to determine such the temperature. In simple cases, such an
approach involves considering the possible and kinematically
admissible mechanisms of the plastic failure of the frame [2-3]
or, possibly, determining, through a semi-graphic approach,
the bending moment redistribution in the load bearing structural members such that it balances these moments in the
cross-sections in which plastic hinges are to form [4-5]. The
computational approaches mentioned above lead only to an
approximate estimation of the plastic limit load of the frame
from the top in the former case, i.e. from the dangerous side
(meaning “overly optimistic”), and from the bottom in the
latter case, i.e. meaning from the “underestimated” side. An
overestimated load limit of the load bearing structure must be
101
BADANIA I ROZWÓJ
BiTP Vol. 44 Issue 4, 2016, pp. 99–120
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.8
Przytoczone powyżej podejścia obliczeniowe prowadzą do
uzyskania jedynie przybliżonego oszacowania nośności granicznej ramy, odpowiednio w pierwszym przypadku od góry,
czyli od strony niebezpiecznej (w rozumieniu „nadmiernie
optymistycznej”), w drugim natomiast od dołu, co oznacza „niedoszacowanej”. Przeszacowanej nośności granicznej
ustroju nośnego towarzyszyć musi nadmiernie restrykcyjne
oszacowanie jego temperatury krytycznej, zaś nośność niedoszacowana oznacza zawsze wyznaczenie temperatury krytycznej na poziomie zbyt ryzykownym. Zawsze jednak będą
to oszacowania bardziej wiarygodne od tych, które uzyskuje
się metodami przybliżonymi, po analizie jedynie pojedynczych elementów konstrukcyjnych. W ogólnym przypadku,
przy bardziej złożonych układach konstrukcyjnych, wykorzystanie zaproponowanych algorytmów może być trudne lub co
najmniej uciążliwe. Z tego względu w prezentowanej pracy
autorzy starają się przybliżyć czytelnikowi podejście bardziej
uniwersalne, oparte na formalizmie programowania liniowego. Może ono wydawać się żmudne i pracochłonne w odniesieniu do prostych przypadków obliczeniowych. Jego zalety
stają się jednak bardziej dostrzegalne w obliczeniach z dużą
liczbą zmiennych, w których liczba możliwych przypadków
jest trudniejsza do identyfikacji.
2. Ograniczenia w stosowaniu metody
Jak zaznaczono powyżej oszacowania temperatury krytycznej ramy stalowej uzyskane dzięki zastosowaniu formalizmu programowania liniowego będą miarodajne jedynie
przy realizacji plastycznego mechanizmu zniszczenia ustroju
nośnego. Mechanizm taki jest reprezentatywny dla ram wykonanych z kształtowników stosunkowo krępych, niepodatnych na globalną ani też na lokalną utratę stateczności. Ściślej
mówiąc, przyjęte przekroje rygli i słupów oraz ich smukłości
powinny umożliwić bezpieczne przenoszenie obciążeń w warunkach ekspozycji ogniowej aż do uplastycznienia najsłabszego z punktu widzenia pracy statycznej elementu nośnego.
Mechanizm plastycznego zniszczenia ramy zostanie uzyskany wtedy, gdy będzie ona efektywnie stężona przez cały czas
oddziaływania pożaru. W ogólnym przypadku wyliczona
w ten sposób krytyczna temperatura ramy może stanowić jedynie jedno z oszacowań, które wspólnie z oszacowaniami kojarzonymi z innymi możliwymi mechanizmami zniszczenia
w pożarze (na przykład zniszczeniem typu czysto sprężystego), pozwoli na wiarygodną ocenę odporności ogniowej rozpatrywanego ustroju.
W rozważaniach przytoczonych poniżej zakłada się, że
temperatura poszczególnych elementów stalowych narasta
wraz z rozwojem pożaru proporcjonalnie do jednego ustalonego parametru, wspólnego dla wszystkich części badanej
ramy. Dzieje się tak faktycznie jedynie w przypadku, gdy
słupy i rygle tej ramy wykonano z tej samej stali oraz z elementów o takim samym przekroju poprzecznym (zarówno
w odniesieniu do jego kształtu, jak i rozmiaru). Na ogół jednak przekroje i smukłość słupów różnią się od tych odniesionych do rygli rozpatrywanej ramy. Różne mogą być również sposoby ich ekspozycji ogniowej (dla słupów zwykle
miarodajne jest nagrzewanie na całym obwodzie przekroju
poprzecznego, podczas gdy pasy górne rygli bywają osłonięte
przed ogniem przez opierającą się na nich masywną żelbetową płytę stropową). Z powyższego wynika, że temperatura
w tych elementach narasta wraz z rozwojem pożaru z reguły
w odmienny sposób. Jeżeli jednak przyjąć, że miarodajnym
scenariuszem pożaru w strefie pożarowej, do której należy
rozpatrywana rama nośna, jest pożar w pełni rozwinięty, to
temperatura gazów spalinowych będzie narastać, ale w danej
chwili pożaru będzie wyrównana w całej strefie. Przy szacowaniu temperatury krytycznej ramy przyjmuje się, że jej ele-
102
accompanied by an overly restrictive estimation of its critical
temperature, whereas an underestimated load bearing capacity always means that the critical temperature is determined
on an excessively high-risk level. However, these estimations
will always be more reliable than those made using approximate approaches following an analysis of members on an individual basis only. In a general case involving more complex
structures, the use of the proposed algorithms can be difficult
or at least burdensome. Accordingly, the authors of this article
attempt to describe a more universal approach based on the
formalism of linear programming. As arduous and laborious
an approach this might seem compared to simple design situations, its advantages become more clear in computations
involving a large number of variables, where the number of
possible cases is more difficult to identify.
2. Restrictions in the application
As noted above, the critical temperatures values of a steel
frame estimated using the formalism of linear programming
will be more reliable only if the plastic mechanism of load
bearing structure failure takes place. Such a mechanism is
representative of frames made of relatively stocky sections
that are not susceptible to global and local loss of stability.
More specifically, the assumed cross-sections of beams and
columns, and their slenderness ratios, should allow the safe
transmission of loads when exposed to fire until the load
bearing members that are the weakest in terms of static performance are plasticised. The mechanism of the plastic failure
of the frame can be achieved when the frame is effectively
braced throughout the fire exposure time. In the general case,
the critical temperature of the frame so calculated might only
be one of a number of estimations that, together with estimations associated with other possible mechanisms of fire-related failure (for instance, a purely elastic failure), could facilitate a reliable assessment of the fire resistance of the structure
under consideration.
The discussion below assumes that the temperature of
individual steel members increases with the development of
a fire proportionately to a single specific parameter that is
common to all parts of the tested frame. This is actually the
case only when the beams and columns of this frame are made
of the same steel and of members with the same cross-section
(in relation to both the shape and the size). Generally, however, the cross-sections and slenderness ratios of columns differ
from those relating to the beams of the frame under consideration. The ways in which they are exposed to fire can differ as
well (for columns, the exposure of the whole cross-sectional
perimeter is usually representative, whereas the top flanges of
beams sometimes have a fire barrier in the form of a massive
reinforced-concrete floor slab). This means that the temperature in these members usually increases with the development of a fire in a different manner. If, however, a fully developed fire is assumed to be a representative fire scenario for the
fire zone of which the load bearing frame under consideration
is part, then the temperature of exhaust gases will increase,
but at any given moment of the fire it will be equal for the
whole zone. To estimate the critical temperature of the frame,
it is assumed that its members are in no way isolated from
direct fire exposure. In such conditions the differences in the
beams’ and columns’ temperature values determined through
detailed computations will thus be negligible, which renders
the previously made assumption about the proportionate increase in the temperature of frame members fully admissible.
The classical algorithm for the assessment of the plastic
limit load of the frame is based on the identification of all
possible and kinematically admissible movement mechanisms for the frame, followed by the determination, for each
menty nie są w żaden sposób izolowane przed bezpośrednią
ekspozycją ogniową. Różnice w wyznaczonych ze szczegółowych obliczeń wartościach temperatury rygli i słupów będą
zatem w takich warunkach zaniedbywalne, co czyni przyjęte
wcześniej założenie o proporcjonalnym wzroście temperatury elementów ramy w pełni akceptowalnym.
Klasyczny algorytm oceny nośności granicznej ramy
opiera się na identyfikacji dla tej ramy wszystkich możliwych
i kinematycznie dopuszczalnych mechanizmów ruchu, a następnie na wyznaczeniu dla każdego z tych mechanizmów
granicznego obciążenia, którego przyłożenie do badanej
konstrukcji skutkuje jego uaktywnieniem. Najmniejsze z tak
wyznaczonych obciążeń interpretuje się jako obciążenie determinujące nośność ustroju, a skojarzony z nim mechanizm
ruchu jako mechanizm krytyczny. Podstawą do szczegółowych obliczeń jest w tym przypadku wielokrotne stosowanie
zasady prac wirtualnych. Należy jednak zwrócić uwagę, że
w równaniach konstytuujących tę zasadę jedynym parametrem zależnym od zaprojektowanych wcześniej przekrojów
poprzecznych słupów i rygli badanej ramy jest plastyczna
nośność tych przekrojów na czyste zginanie, czyli M pl. Stąd
wniosek, że nośność graniczna analizowanej ramy nie zależy od pola sił wewnętrznych indukowanych w konstrukcji
w warunkach pożaru na skutek skrępowania swobodnej realizacji generowanych termicznie odkształceń. Nie zależy zatem
także od historii, czyli zrealizowanego programu obciążenia
ramy. Uogólnienie powyższego podejścia na przypadek bezpośredniej ekspozycji ogniowej ustroju nośnego sprowadza
się do założenia ustalonego poziomu obciążeń zewnętrznych,
skutkującego określonym stanem deformacji ramy, a następnie do poddania go monotonicznemu ogrzewaniu aż do wyczerpania nośności. W takim ujęciu oszacowana odporność
ogniowa rozpatrywanej ramy specyfikowana poprzez zidentyfikowaną dla tej ramy temperaturę krytyczną nie będzie
zależała od sposobu jej ogrzewania. Będzie taka sama, jeśli
wyznaczy się ją w odniesieniu do sytuacji, gdy pożar początkowo rozwijał się powoli, po czym jego rozwój uległ znacznemu przyspieszeniu oraz w relacji do alternatywnego scenariusza, gdy pożar na początku rozwijał się bardzo szybko,
aby w końcu tempo jego wzrostu uległo spowolnieniu, jeżeli
tylko na skutek zadziałania obydwu porównywanych ze sobą
scenariuszy gazy spalinowe w strefie pożarowej osiągnęły
w miarodajnej do oceny chwili tę samą wartość temperatury.
3. Podstawowe założenia metody
Zgodnie z zasadami programowania liniowego zarówno sama funkcja celu, jak i wszystkie zdefiniowane dla niej
ograniczenia, muszą zostać wyrażone przez odpowiednie
równania i nierówności o postaci liniowej [6]. Z tego względu
w dalszej analizie dla przypadku pożaru przyjęto uogólnienie klasycznego algorytmu obliczeniowego opartego na rozważaniu kolejnych potencjalnie możliwych i kinematycznie
dopuszczalnych mechanizmów ruchu ustroju nośnego. Mogą
to być zarówno mechanizmy typu globalnego, jak i lokalnego.
Mechanizmy te uaktywniają się w badanej ramie po powstaniu w składających się na nią elementach odpowiedniej liczby
odpowiednio zlokalizowanych przegubów plastycznych, jeśli
tylko zaistnieją warunki do uruchomienia sekwencji nieskrępowanych obrotów w tych przegubach, takich że kierunki
poszczególnych obrotów będą ze sobą odpowiednio skorelowane i nie będą się wzajemnie wygaszać. Realizacja w warunkach pożaru któregokolwiek z takich mechanizmów oznaczać
będzie osiągnięcie przez ustrój stanu granicznego nośności
ogniowej skojarzonego z poszukiwaną dla całej konstrukcji
temperaturą krytyczną. Podstawowa idea zadania rozwiązywanego w niniejszej pracy stanowi sekwencję następujących
stwierdzeń [7]:
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.8
of these mechanisms, of the plastic limit load which, if applied to the tested structure, triggers the mechanism. The
smallest of loads so determined is interpreted as the load that
determines the structural load bearing capacity, with the related movement mechanism being interpreted as the critical
mechanism. The basis for detailed computations in this case
is the multiple application of the virtual performances principle. It should be noted, however, that the only parameter
that depends on the pre-designed cross-sections of columns
and beams in the constitutive equations of this principle is the
plastic resistance of these cross-sections to pure bending, i.e.
M pl . By extension, the plastic limit load of the analysed frame
does not depend on the field of internal forces induced in the
structure when exposed to fire as a result of restricting the
free realisation
of Ithermally
generated deformations. Hence,
BADANIA
ROZWÓJ
B
it also does not depend on the history, i.e. the realised frame
load programme. The generalisation of this approach for the
purposes of the load bearing-structure direct fire exposure
smallest
of loads
so determined
is interpreted
event involves
assuming
a specific
level of external
loads as
re-the load that dete
with the
related movement
mechanism being i
sulting in bearing
a specificcapacity,
state of frame
deformation,
followed by
basis for detailed
in this case is the m
subjectingmechanism.
the structureThe
to monotonic
heatingcomputations
until it loses its
virtual
performances
should
be noted,
load-bearing
capacity.
Estimatedprinciple.
as such, theIt fire
resistance
of however, that
the frame depends
under consideration,
specified
through the of
critical
on the pre-designed
cross-sections
posts and beams in th
temperature
not depend
on how
thisidentified
principlefor
is this
the frame,
plastic will
resistance
of these
cross-sections to pur
the frame is heated. The fire resistance will be the same if it is
extension, the plastic limit load of the analysed frame does not depe
determined relative to the situation where the fire is developinduced
in thefaster
structure
when
exposed
ing slowlyforces
at the start
and much
later, and
relative
to theto fire as a resu
of thermally
deformations.
Hence, it also does
alternativerealisation
scenario, where
the fire generated
is developing
rapidly at the
i.e.
the
realised
frame
load
programme.
The
generalisation
of this a
start to ultimately slow down, provided only that both comof
the
load
bearing-structure
direct
fire
exposure
event
involves
ass
parable scenarios have caused the exhaust gases in the fire
external
loadstemperature
resulting inataaspecific
state oftime.
frame deformation, fo
zone to reach
the same
representative
structure to monotonic heating until it loses its load-bearing capaci
fire resistance
of the frame
consideration, specified through
3. The basic
assumptions
of theunder
method
identified for this frame, will not depend on how the frame is heate
According to linear-programming principles, both the
be the same if it is determined relative to the situation where the fi
objective function and all the constraints defined for it must
the by
start
and much faster
later, and and
relative
to the alternative sc
be expressed
corresponding
linear equations
inequaldeveloping
rapidly
at
the
start
to
ultimately
slow
ities [6]. Consequently, further analysis makes a generalisa-down, provided o
scenarios
have
the exhaust
gasesalgorithm
in the fire zone to reach t
tion, for the
purposes
of acaused
fire event,
of a classical
time.of the consecutive possible and
based on representative
the consideration
kinematically admissible movement mechanisms of a load
3. The
basic
assumptions
of of
the
method
bearing structure.
These
mechanisms
can be
both
the global and the local types.
These
mechanisms
are
triggered
in the
According to linear-programming principles,
both the go
analysed frame
after adefined
sufficient
of expressed
appropriately
loconstraints
for number
it must be
by corresponding
linear
cated plastic
form in its
constituent
components,
pro[6].hinges
Consequently,
further
analysis
makes a generalisation,
for the p
vided thatathere
are conditions
to trigger
a sequence
of free
classical
algorithm based
on the
consideration
of the consecutive p
rotations in
these
hinges,
such
that
the
directions
of
individuadmissible movement mechanisms of a load bearing structure. The
al rotations are properly correlated and do not neutralise each
both the global and the local types. These mechanisms are trigger
other. The occurrence of any such mechanisms in a fire situafter a sufficient number of appropriately located plastic hinges
ation will lead the structure to reach its fire resistance limit
components,
provided
there are sought
conditions
to trigger a sequence
state associated
with the
critical that
temperature
for the
hinges,
such
that
the
directions
of
individual
rotations are proper
whole structure. The underlying idea of the problem solved
neutralise
each
other.
The
occurrence
of
any
such
in this article is a sequence of the following propositions [7]: mechanisms in a
structure
to possible
reach its and
fire endurance
limitadmissible
state associated with the c
• for the
analysed
kinematically
for themechanism,
whole structure.
The underlying
idea of the
movement
the number
K and location
of problem solved i
of kthe= following
propositions
[7]:this mechanism is
each of
1,..., K plastic
hinges of
known,  for the analysed possible and kinematically admissible mo
k  1,...,
K plastic hinges of
of eachwill
of occur
number
K and location
• the considered
movement
mechanism
only
when a plastic
hinge will movement
form in each
of K previously
 the considered
mechanism
will occur only when a
identified each
cross-sections,
i.e. when:
of K previously
identified cross-sections, i.e. when:
k  1,..., K
M k,Θ  M pl ,
(1)
lower
means interrelation
with the steel temp
 hereinterrelation
here means
with the
(the lower(the
index
Θ index

according
to
the
classical
static
approach
of
the
plastic limit loa
steel temperature),
capacity of the considered frame will not be reached as long as
of such a statically admissible and self-equilibrated system of
appropriate distribution of residual moments summed up wi
induced by other loads – that will ensure the safe performance o
the redistribution of all bending moments has been factored in.
103
[6]. Consequently, further analysis makes a generalisation, for the purposes of a fire event, of
a classical algorithm based on the consideration of the consecutive possible and kinematically
admissible movement mechanisms of a load bearing structure. These mechanisms can be of
both the global and the local types. These mechanisms are triggered in the analysed frame
after
a sufficient number of appropriately located plastic hinges form in its BiTP
constituent
BADANIA
I ROZWÓJ
Vol. 44 Issue 4, 2016, pp. 99–120
components, provided that there are conditions to trigger a sequence of free rotations in these
hinges, such that the directions of individual rotations are properly correlated and doDOI:10.12845/bitp.44.4.2016.8
not
neutralise each other. The occurrence of any such mechanisms in a fire situation will lead the
structure todo
reach
its fire
endurancemożliwego
limit state do
associated
with
the critical
• according
to temperature
the classicalsought
static approach of the plastic
• dla wybranego
analizy
potencjalnie
refor ithe
whole structure.
The underlying
idea of theruproblem solved
in this
articlethe
is load
a sequence
limit load
theory,
bearing capacity of the consializacji
kinematycznie
dopuszczalnego
mechanizmu
the following
[7]:każdego z k = 1,..., K
dered frame will not be reached as long as it is possible to
chu of
znana
jest liczbapropositions
K i lokalizacja
conceive
of such mechanism,
a statically admissible
and self-equilibraprzegubów
formujących
ten mechanizm,
 forplastycznych
the analysed
possible and
kinematically admissible
movement
the
ted system
reactions –isgenerating
• rozważany
mechanizm
zostanie
zrealizowany
K plastic hinges
number
location
of each
of k  1,..., tylko
of thisof
mechanism
known, an appropriate distriK andruchu
butiona of
residual
moments
summed
up with the bending
wtedy, gdy
każdym z K
wyróżnionych
wcześniej
thewconsidered
movement
mechanism
will przeoccur only when
plastic
hinge
will form
in
krojów powstanie
plastyczny,
czyli
gdy:
each of Kprzegub
previously
identified
cross-sections,
i.e. when:moments induced by other loads – that will ensure the
safe performance of the whole structure after the redistribution of all bending moments
(1)
(1) has been factored in.
k  1,..., K
M k,Θ  M pl ,
• the aim, therefore, might be to look for the maximum
(the lower
indextuzależność
here means
interrelationstali),
with the steel
temperature),
temperature
value Θ, defined here as the goal function
(dolny indeks
od temperatury
Θ oznacza
that, load
under
specific
constraints
• zgodnie zaccording
klasycznym
podejściem
statycznym
teorii
no-plastic limit
to the
classical static
approach
of the
theory,
the load
bearingattributable to both the
BADANIA I ROZWÓJ
and
yieldtoconditions,
will facilitate the conśności granicznej
nośność
rozpatrywanej
nie be
zostacapacity of
the considered
frame ramy
will not
reached as equilibrium
long as
it
is
possible
conceive
BADANIA I ROZWÓJ
dition’s
not being
satisfied. an
nie osiągnięta
takadługo
dopóki
można wymyślić
taki staof such
statically
admissible
and self-equilibrated
system
of (1)
reactions
– generating
• the
above
is a typical problem solvable
tycznie dopuszczalny
i samozrównoważony
reakcji,summed
appropriate distribution
of residualukład
moments
up problem
with thedefined
bending
moments
with
linear-programming
methods.
generujący
odpowiedni
rozkład
momentów
rezydualnych
induced by other loads – that will ensure the safe performance of the whole structure after
sumowanych
z momentami
zginającymi
pochodzącymi
the redistribution
of all
bending moments
has been factored in.
od pozostałych obciążeń, który po uwzględnieniu redys- 4. Linear equilibrium conditions
trybucji wszystkich momentów zginających zapewni bezIn this article the canonical equations of the force mepieczną pracę całej konstrukcji,
thod are used to specify the linear equilibrium conditions.
• można zatem poszukiwać maksymalnej wartości tempe- Consider as an example a statically indeterminate frame as
ratury Θ , rozumianej w tym zadaniu jako funkcja celu, shown in Figure 1. In this structure, individual hyperstatic
która przy określonych ograniczeniach wynikających unknows are marked with the X symbols, with j = 1,..., m
j
zarówno z warunków równowagi, jak i z warunków pla- (the example shows m = 12 ). Also,
individual loads applied
stycznościBADANIA
pozwoli na
niespełnienie warunku (1),
I ROZWÓJ
BiTP
44 Issuewhere
4, 2016,i pp.
XX-XX It
to the frame are assigned the
Pi Vol.
symbols,
= 1,...11.
• zadanie sformułowane powyżej jest typowym zadaniem should be noted that the P loads are
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
not
only
external
loads,
i
rozwiązywanym metodami programowania liniowego.
concentrated or distributed along a specific length of the fra-
me members, but also internal loads induced by constraints
on free thermal deformations. The analysed example assumes
that the fire involved only the lower floor of the analysed frame without penetrating to its upper floor through the floor
slab and walls. The exhaust gas temperature, then, increases
monotonically only at this level of the building. Since the
considered fire flashed over to become a fully developed fire,
this temperature is equal for the whole floor which is on fire,
defined here as the only fire zone, at any given moment of
the fire. The rising exhaust gas temperature in this zone causes a simultaneous increase in the temperature of the lower
frame columns and beams, as marked for these members in
Figure 1 with the Θ symbol.
The
steel temperature
in each
of
1 Przykładowa
z zaznaczonymi
siłam
Ryc. 1Ryc.
Przykładowa
rama z rama
zaznaczonymi
siłami hiper
the heated members is the same at any given moment of the
zewnętrznym
zewnętrznymi.
fire because of the assumption that these members are made
1. Sample
frame
with marked
hyperst
Fig.
1.Fig.
Sample
frameThe
with
marked
hyperstatic
for
of steel sections with the
same
cross-section.
Θ temperature, then, can
be
considered
as
another
load,
assuming
that
Źródło:
Rysunek
na podstawie
pracy
[8] uzupełnion
Źródło:
Rysunek
na podstawie
pracy [8]
uzupełniono
o obc
this is nagrzania
a situation
where
for i = 11 there is Pi = Θ. Therefore,nagrzania
wyróżnionych
eleme
wyróżnionych
elementów
k
the load values of Pi for i = 1,...10 remain at a constant level
Source:
Figure
based
on
[8]
supplemented
by
the
the
Source:
Figure
based
on
[8]
supplemented
by
the
thermal
lo
and are independent of the temperature when exposed to fire.
members.
structural
memb
The only value that increases is the load P11 = P11, Θ. structural
4. Liniowe warunki równowagi
Do specyfikacji liniowych warunków równowagi w niniejszej pracy wykorzystano równania kanoniczne metody
sił. Rozważmy dla przykładu statycznie niewyznaczalną ramę
pokazaną na ryc. 1. W ustroju tym kolejne niewiadome hiperstatyczne oznaczono symbolami X j przy czym j = 1,..., m
(w przykładzie m = 12). Ponadto poszczególnym obciążeniom
przyłożonym do ramy przypisano symbole Pi , gdzie i = 1,...11.
Należy zauważyć, że obciążenia Pi to nie tylko zewnętrzne obciążenia mechaniczne, skupione lub rozłożone na określonej
długości elementów ramy, ale również obciążenia wewnętrzne generowane na skutek skrępowania swobody odkształceń
termicznych. W analizowanym przykładzie założono, że pożar
rozgorzał jedynie na dolnej kondygnacji badanej ramy i nie
przedostał się przez strop i ściany na jej górne piętro. Temperatura gazów spalinowych narasta zatem monotonicznie tylko
na tym poziomie budynku. Ponieważ rozważany pożar wskutek rozgorzenia osiągnął fazę pożaru rozwiniętego, temperatura ta jest w każdej chwili pożaru wyrównana na całej kondygnacji opanowanej przez ogień, rozumianej w takim ujęciu
jako jedna strefa pożarowa. Narastanie temperatury gazów
It follows
from
formalism
ofthe
the formalism
forces
spalinowych w tej strefie skutkuje równoczesnym narastaniem
It follows
from
the
formalism
ofmethod
the method
of forces
It the
follows
from
ofthat:
the method
ofthat:
forces
temperatury dolnych słupów i rygli ramy, co na ryc. 1 przy
m
m
tych elementach zaznaczono symbolem Θ. Temperatura stali
 kj 
x j,

 kjx
ki0 ,  0
Ryc.
1
Przykładowa
rama
z
zaznaczonymi
siłami
hiperstatycznymi
i obciążeniami
(2)
w każdym z nagrzewanych elementów konstrukcyjnych jest
j ,ki,
j 1
i
j 1
i
w danej chwili pożaru taka sama ze względu na wcześniejszezewnętrznymi.
założenie o zastosowaniu do
nich
Fig.
1.kształtowników
Sample framestalowych
with marked hyperstatic
forces
and
external loads
of a statically
determinate
basi
displacements
are of
displacements
of a statically
determin
 kjdisplacements
kj are
where where
б kj arewhere
a statically
determinate
o jednakowych przekrojach poprzecznych. Można zatem temŹródło:
Rysunek
na
podstawie
pracy
[8]
uzupełniono
o
obciążenie
termiczne
wynikające
z
as
specified
in
point
k,
induced
by
hyperstatic
peraturę Θ potraktować jako kolejne obciążenie, przyjmując, basic system,
induced
by hyperstatic
forces with the
values
of x j of1
induced
with
the values
wyróżnionych
konstrukcji.
with the values
of xj by
= 1 ,hyperstatic
and ∆ki Θ are forces
corresponding
że dla i = 11 zachodzi Pi = Θ. Mamy zatemnagrzania
do czynienia
z sytu- forceselementów
of displacements
the
same
system
induced
bysystem
the load
acją, gdy w czasie
ekspozycji
ogniowej
wartości
Pi dla displacements
displacements
ofto the
same
basic
inducedinduced
by the
Source:
Figure
based
on [8]obciążeń
supplemented
by the thermal
load
duebasic
the
of selected
ofheating
the
same
basic
system
P
(or
Pi,Θ).
The
equation
(2)
is
often
used
to
prove
that the
i = 1,...10 pozostają na stałym poziomie i nie zależą od tempei
structural
members.
interrelation
is often
toused
prove
thethat
principle
of t
interrelation
often
to that
prove
the princip
principle of
the superposition
of is
theused
bending
moment
is true.
ratury Θ. Wzrasta jedynie wartość obciążenia P11 = P11, Θ.
moment
is true.
Consequently,
the
value
of
the
bending
mo
Consequently,
themoment
value
of the
bending
moment
in
point
k
of
is true. Consequently, the value of the bend
It follows
from
the formalism
of the methodthe
ofanalysed
forces
that:
frame
is
determined
by
the
equation:
frame
is
determined
by
the
equation:
Z formalizmu
metody sił
wynika,
że:
frame is determined by the equation:
m
  kj x j,   ki ,  0
j 1
104
i
(2)
m
p
(2)
M k ,   mkj m
x j , 
i mpP
M k ,  
mkj xj ,mkiP
ki i
j 1
j 1
i
i
(3)
where  kj are displacements of a statically determinate
specified
in point
k in point k of
wherebasic
is the as
bending
moment
defined
mkjsystem,
where
mkj is the bending moment defined in poin
induced by hyperstatic forces with the values ofsystem
x j  1of, and
ki , are
this frame
and corresponding
induced by the hyperstatic
system of this frame and induced by the hype
displacements of the same basic system inducedcorresponding
by the loadbending
Theis also
(2) interrelated with
Pi (or
P
moment
i , ).that
corresponding bending moment that is also interrela
system
considered of
frame,
except that it is induced
interrelation is often used to prove that the principle
of of
the the
superposition
the bending
system of the considered frame, except that it is
BiTP Vol. 44 Issue 4, 2016, pp. XX-XX
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
RESEARCH AND
DEVELOPMENT
BADANIA
I ROZWÓJ
Please cite
BiTP
Vol.
44 Issue
4, 2016, pp. 99–120
BiTPas:
Vol.
44 Issue
4, 2016,
pp. XX-XX
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.8
Ryc. 1 Przykładowa rama z zaznaczonymi siłami hiperstatycznymi i obciążeniami
zewnętrznymi.
Fig. 1. Sample frame with marked hyperstatic forces and external loads
Źródło: Rysunek na podstawie pracy [8] uzupełniono o obciążenie termiczne wynikające z
nagrzania wyróżnionych elementów konstrukcji.
Source: Figure based on [8] supplemented by the thermal load due to the heating of selected
structural members.
It follows from the formalism of the method of forces that:
tycznymi i obciążeniami
and external loads
żenie termiczne wynikające z
trukcji.
due to the heating of selected
Ryc.m1 Przykładowa rama z zaznaczonymi siłami hiperstatycznymi i obciążeniami
(2)
  kj x j,   ki ,  0
zewnętrznymi.
j 1
i
Fig. 1. Sample
frame with marked hyperstatic forces and external loads
displacements
of a[8]
statically
determinate
basic system,
as specified
in pointz k
 kj are
Źródło:where
Rysunek
na podstawie
pracy
uzupełniono
o obciążenie
termiczne
wynikające
nagrzaniaforces
wyróżnionych
induced by hyperstatic
with the elementów
values of xkonstrukcji.
j  1 , and ki , are corresponding
Source: Figure based on [8] supplemented by the thermal load due to the heating of selected
displacements of the same basic system induced by the load Pi (or Pi , ). The (2)
structural members.
interrelation is often used to prove that the principle of the superposition of the bending
is formalism
true.rama
Consequently,
the value
of
the bending
moment
in pointzewnętrznymi.
k of the analysed
Ryc.moment
1.
Przykładowa
z zaznaczonymi
siłami
hiperstatycznymi
i obciążeniami
It follows
from
the
of zthe
method
of forces
that:
Ryc.
1 Przykładowa
rama
zaznaczonymi
siłami
hiperstatycznymi
i obciążeniami
frame
is Fig.
determined
byframe
the equation:
1. Sample
with marked hyperstatic
forces and external loads
zewnętrznymi.
Źródło: Rysunekmna podstawie pracy [8] uzupełniono o obciążenie
termiczne wynikające z nagrzania wyróżnionych elementów konstrukcji.
m
pby the
(2) loads
x j,M
 1.on

0 frame
Source:
based
[8]
supplemented
thermal
load due toforces
the heating
selected
structural members.
  kjFigure
Sample
with
marked
hyperstatic
and of
external
 Fig.

ki
,
(3)
m
x

m
P


k ,
kj j ,
ki i
j 1
i j 1
i
Źródło: Rysunek na podstawie pracy [8] uzupełniono o obciążenie termiczne wynikające z
gdzie б kj są określonymi w punkcie k przemieszczeniami
where mkj is the bending moment defined in point k of the
elementów
konstrukcji.
are
displacements
of awyróżnionych
statically
determinate
basic
as specified
in this
point
where  kjwhere
k and induced
is nagrzania
the bending
moment
defined
in point
of
the statically
determinate
basic
k system,
mkj podstawowego
statycznie wyznaczalnego
układu
wywołanystatically
determinate
basic
system
of
frame
RESEARCH
AND
DEVELOPMENT
Source:
Figure
based
on
[8]
supplemented
by
the
thermal
load
due
to
the
heating
of
selected
RESEARCH
DEVELOPMENT
mi siłami hiperstatycznymi
o wartościach
xj =with
1, natomiast
ИССЛЕДОВАНИЯ
РАЗВИТИЕ
corresponding
induced system
by hyperstatic
forces
the values
kix,AND
xhyperstatic
j  1 , and
mkip isisthe
of this frame
and induced
theofthe
hyperstatic
force
thecorresponding
1 ,1,ИИand
structural
by
force
=are
and
jx
РАЗВИТИЕ
j
przemieszczeniami
tego samego
układubymembers.
Θ analogicznymi
ystem, as specified∆in
k
ki point
RESEARCHAND
ANDDEVELOPMENT
DEVELOPMENT
BiTPVol.
Vol.
44Issue
Issue4,4,that
2016,is
pp.
XX-XX
RESEARCH
BiTP
44
2016,
pp.
XX-XX
bending
moment
also
interrelated
with
the statically de(or
).
The
(2)
displacements
of
the
same
basic
system
induced
by
the
load
P
P
RESEARCH AND
BiTP Vol. 44 Iss
corresponding
bending moment
is also interrelated
withDEVELOPMENT
the statically
determinate
basic
podstawowego
pochodzącymi
od obciążenia
Pi (lub that
Pi,Θ).
i
i ,
РАЗВИТИЕ
DOI:
10.12845/bitp.44.4.2016.x
ИИРАЗВИТИЕ
DOI:
10.12845/bitp.44.4.2016.x
nd ki , are
corresponding
И РАЗВИТИЕ
DOI: 10
terminate
basic
system
ofload
the considered
frame,
except that it
It follows
from
the
formalism
of
the
method
of
forces
that:
RESEARCH
AND
DEVELOPMENT
BiTP Vol. 44 Issue 4,
P

1
.
It
is
selfsystem
of
the
considered
frame,
except
that
it
is
induced
by
the
Zależność (2) interrelation
często
wykorzystuje
się
do
udowodnienia
prawi
is often used to prove that the principle
of
the
superposition
of
the
bending
explanatory,
that one of thethen,
loadsthatPi is in this
case
is induced
by the
Pi = 1.then,
It is self-explanatory,
Иload
РАЗВИТИЕ
DOI: 10.1284
oad Pi (or Pi ,dziwości
). The (2)
zasady
superpozycji
momentów
zginających.
W
konexplanatory,
that
oneP of , the
loads
Pi is in this case
m
moment
is true. Consequently, the value of the one
bending
moment
inis point
of the
analysed
kthen,
of
the
loads
P
in
this
case
the
load
which
is
the
RESEARCH
AND
DEVELOPMENT
BiTP
Vol.
44
Issue
4,
2016,
pp.
XX-XX
11,Θthe changing temperature 
sekwencji
punkcie k badanej
loadi that changes
along with
(2)
momentu
 zginającego
ИССЛЕДОВАНИЯ
0wequation:
superposition of the
bendingwartość

loads
 
kjone
jof
,ofthe
ki ,by
isxdetermined
the
explanatory,
then,
that
one
of the
loads
in changing
this caseΘ.the
load P11, , 
wh
Pi is
И РАЗВИТИЕ
DOI:
10.12845/bitp.44.4.2016.x
onlyP
load
changes
along
with
changing
temperature
explanatory,
then,frame
that
the
loads
thiscase
casethe
theload
load
which
thechanges
only
load
that
along
with
the
temperature
P
explanatory,
then,
that
one
this
, ,which
isis
the
only
PP
11
ramy
wyznacza
i i isisinin
11
,,that
produce
the
bending
moment
in case
a statically
determina
j się
1 z równania:i
nt in point k of the
analysed
explanatory,
then,
that
one
of
the
loads
is
in
this
the
load
,
which
P
P
This
equation,
however,
does
not
produce
the
bending
moi
11
,

produce
thenot
bending
moment
in a statically
determinat
mthe
ho
load that
changes
along
with
the changing
temperature
 . This equation,
loadthat
thatchanges
changesalong
alongwith
with
thechanging
changingtemperature
temperature. .This
Thisequation,
equation,
however,
does
not
load
however,
does
p determinate
ment
in abasic
statically
basic
system
of
the
frame,
.specified
By the
analogy,
thetemperature
longitudinal
force
in system
point
k
mbending
as0moment
load
that
changes
along
with
changing
This
equation,
howev
 . so
(3)
M k , 
mkjdisplacements
x j ,   mkip Pof

where
are
a
statically
determinate
system,
in
point
k

p,11
produce
the
in
a
statically
determinate
basic
(3)
i
k
kj
produce
the
bending
moment
in
a
statically
determinate
basic
system
of
the
frame,
so
produce the bending moment
in aexplanatory,
statically
determinate
system
the
frame,
so Panalogy,
.load
By
theislongitudinal
force
pointof kof
mbending
the0moment
then,
that one ofbasic
the loads
inthe
this
thedeterminate
only
P is of
11in
, ,awhich
produce
statically
basic in
system
th
kcase
,11
j 1
i
pi
p
By
analogy,
the
longitudinal
force
in not
point
of the frame can be
kthe
mk=xp,11j0temperature
By
0,. analogy,
the
equation:
(3)
mkof
pp
induced
by
hyperstatic
forces
with
the
values
and
are
corresponding


1
.
the
longitudinal
force
in
point
k
of
load
that
changes
along
with
the
changing
.
This
equation,
however,
does

ki
,

,
1
.
By
analogy,
the
longitudinal
force
in
point
of
the
frame
can
be
determined
by
k
m

0
.
By
analogy,
the
longitudinal
force
in
point
of
the
frame
can
be
determined
by
k
mk k,11
mkj jest momentem zginającym określonym
By analogy,
the longitudinal force in point k of the frame can be de
equation:
mk ,11  0 . the
,11 0w którymwhere
bending
defined
ininframe
point
the statically
basic
k of
mwyznaczalnego
can
bedeterminate
determined
by
thesystem
equation:
produce
themoment
bending
momentinduced
a statically
basic
the
frame, so
theby
equation:
kj is the
m(ordeterminate
w punkcie k statycznie
układu
podstawowego
). of4,The
displacements
of
the
same
basic
system
the
load
P
RESEARCH
AND
DEVELOPMENT
BiTP
Vol.P44
Issue
2016,(2)
pp. XX-XX
i
i ,
ppp.
the
equation:
the
equation:
the
equation:
m
p
RESEARCH
AND
DEVELOPMENT
BiTP
Vol.
44
Issue
4,
2016,
N

n
x

n
e statically determinate
basic
, frame

the longitudinal force inmpointk ,
determined
by
k of the
mk ,11  0 . Byxjanalogy,
tej ramy
i pochodzącym
siły hiperstatycznej
= 1, natomiast
p PXX-XX
kj
 pbebending
i
,10.12845/bitp.44.4.2016.x
Иframe
РАЗВИТИЕ
DOI:jcan
ki
m
and
is
the
system
ofod this
andtoinduced
by
the principle
hyperstatic
force
x

1
interrelation
is
used
prove
that
the
of
the
superposition
of
the
N

n
x
n
p
Иoften
РАЗВИТИЕ
DOI:
10.12845/bitp.44.4.2016.x
(4)
m44nIssue
kx,j4,,j2016,
kjPi j , ki 
j
i ki Pi
pp.
1npXX-XX
N k ,BiTP
Vol.

AND DEVELOPMENT

mm
kj

pRESEARCH
ki
the
equation:
N

n
x

n
P
p
p
j
i

1
m
ce x j  1 , N
and
is
the


moment
is
true.
Consequently,
the
value
of
the
bending
moment
in
point
of
the
analysed
k
–
analogicznym
momentem
zginającym,
również
skojak
kj
j


i
,
,
BiTP
Vol.
Issue
2016,
pp.
XX-XX
И4,РАЗВИТИЕ
ki
i determinate
the
1 10.12845/bitp.44.4.2016.x
that is also interrelatedBiTP
withjjDOI:
statically
basic
(4)
Nk k,,kiИССЛЕДОВАНИЯ
nkjkjxx44j ,jcorresponding

P
(4)
nnkikiP
nRESEARCH


,
i i bending moment
AND
DEVELOPMENT
Issue 4, 2016, ipp. XX-XX
144
and the Vol.
transverse
can be determined
by determined
the relation- by the relations
DOI:
10.12845/bitp.44.4.2016.x
and
theforce
transverse
force
can
be
rzonym
ze
statycznie
wyznaczalnym
podstawowym
frame
determined
themframe,
equation:
he statically determinate
BiTP
Vol.
44 Issue
2016,
pp.considered
XX-XXbyukładem
1ИССЛЕДОВАНИЯ
pthat it is induced DOI:
j j 
i iis
1basic
И4,
РАЗВИТИЕ
10.12845/bitp.44.4.2016.x
P

1
.
It
is
selfsystem
of
the
except
by
the
load
and
the
transverse
force
can
bethe
determined
by the relationsh
i be
(4)
N k ,that
nkjof
x j ,the
the
transverse
force
can
determined
by
relationship:
obciążenia

explanatory,
then,
one
loads
is in
inand
this
case
theBiTP
load
,determined
which
the
only
P
RESEARCH
AND
DEVELOPMENT
Vol. 44 can
Issue
2016,
pp. XX-XXis by
 od
 loads
i Pi ship:
ramy
ale
pochodzącym
Pin=
ki P1.
11,4,be

10.12845/bitp.44.4.2016.x
and
the
transverse
force
the
relationship:
explanatory,
then,
that
one
of
the
is
this
case
the
load
,
which
is
the
only
P
P
. It is self- DOI:
y the load Pi  1 rozpatrywanej
m 10.12845/bitp.44.4.2016.x
m
i
11,
j 1
i
И РАЗВИТИЕ
DOI:
pthe
pdoes not
Oczywiście,
jednym
zcan
obciążeń
P the
jest
wby
tym
przypadku
andthe
the
transverse
force
by
relationship:
and
transverse
force
can
be
determined
the
relationship:
mthe
explanatory,
then,
one
is inchanging
this obcase temperature
the load P11,mm
is
only
equation,
load
that
changes
along
with
the
,.V.which
M
that
mdetermined
 loads
m
equation,
vppkjP
x jhowever,
 (3)
vki
P
i the

be

pdoes
k , that
kj xofj ,i
kThis

, 
,however,
kiz Ptemperaturą
load
changes
along
with
changing
temperature
This

V

v
x

v
(5)
ciążenie
P
,
jedyne
zmieniające
się
wraz
Θ.


and
the
transverse
force
can
be
determined
by
the
relationship:
V
v
x
v
Pii not
k
kj
j


i
,
,


V

v
x

v
P
ki
in this case the loadm
, changes
which
isalong
the
only
k ,basic
kjonly
j ,
j, isjsystem
explanatory,
then,
one
of changing
thei moment
loads temperature
case
the load
,however,
the
Pi isininathis
j that
1the
k , P11
kjwhich
i not
ki
produce
bending
statically
determinate
of
the
frame,
so
i
1
ki
mP11
,11,Θ
,

load
that
with
the
.
This
equation,
does

jj11 basic j system
i
produce
the
bending
moment
in
a
statically
determinate
of
the
frame,
so
Nie
daje
ono
jednak
momentu
zginającego
w
statycznie
wyp
p
i, 1
i

load
,changes
which
isi moment
the with
only
Pi is in thisVV
P jthat
m one of temperature
explanatory,
then,
the determinate
loads
is .inThis
this equation,
case
the load
which
is the only
P11,(5)
(5)
equation,
P
the
vvkjload
,
pvv




thethat
changing
however,
does
not
p p Piforce
k,,znaczalnym
kjxxj11
,
produce
the
bending
in
statically
basic
ofstatically
the
frame,
so
i along
,
perature
This
however,
not
 .kcase
kiP
kipodstawowym
.By
By
analogy,
the
in point
point
of
the
frame
can
be determined
determined
by
m
does
0. is
pk ,11
Vbending
a the
xlongitudinal
vki=Pi0force
układzie
avmoment
.
where
the
defined
in point
ofkppk the
ksystem
m
ppp determinate
p basic (5)by
k ,ramy,
kjzatem
j , m
k ,1
kj
analogy,
longitudinal
in
of
the
frame
can
be
m

0
j
i

1
j
i

1
and
.the
The
meaning of
where

vmeaning
ofof
0ofthe
produce
the
moment
in
statically
determinate
basic
system
so
load
that
changes
the changing
temperature
equation,
doesmeaning
not

gdeterminate
temperature 
. This
however,
does
not along
andnframe,
The
theparameters
parameters
andkjparam
where
n the
n.nkThis

0 the
0. .The
vand
and
paramewhere
pequation,
kpodłużną
,analogy,
11bending
and
meaning
where
of
0
vkpvk,however,
0
00
basic
of
the
frame,
so
kj an
jramy
ipoint
a1 with
kp,11 
k11
,,11
,11
Analogicznie,
siłę
w
punkcie
k
można
wyzna.
By
the
longitudinal
force
in
of
the
frame
be
determined
by
k
kcan
11where
,11
msystem

0
and
.
The
meaningnkjofkjand
thevparame
n
v
0
k ,11 system
p kso
k ,1
11
,11 the
produce
the
bending
moment
in ina by
statically
determinate
basicbesystem
of, the
frame,
p
the
equation:
ically determinate
basic
of
the
frame,
so
m
system
of
this
frame
and
induced
the
hyperstatic
force
and
is
x

.
By
analogy,
the
longitudinal
force
point
of
the
frame
can
determined
by
k
m

0
p
the
equation:
czyć
z
równania:
p
p p
p j
p mm and
p p , except
prelate
pto
kiand
n point k where
of
the nframe
be determined
by
respectively,
corresponds
they
the
lon
corresponds
,toexcept
to to
thethat
longit
mm
and
The
meaning
of
parameters
and
and
andvbe
, kjkjvkjand
where
npthe
and
, relate
except
th
respectively,
m
m v pthat
meaning
parameters
and
,corresponds
nnkj
can
0k0,11and
vvkpk,11
00. .The
nnkjpkj and
vkvkjkj
equation:
and
ofvand
the
parameters
and
and
,thatthey
where
nvkjto
nkp,11of
the
0the
vkp,11 force
0 . The
ters
nrespectively,
and
,corresponds
respectively,
m
p
kjkj
kjmeaning
kjncorresponds
. By
the
longitudinal
in
point
frame
can
determined
by
mk
k,11
,11frame
11
kj
kj and
kj and
kj , except that th
kj
force in point k of kthe
can
be ,determined
byanalogy,
,11m 0bending
respectively,
to mkjkj kjandtom
the equation:
corresponding
moment
with the
staticallykjdeterminate
basic
p that is also interrelated
m
kj
and
transverse
force
,
respectively,
as
opposed
to
the
bending
mom
and
the
transverse
force
,
respectively,
as
opposed
to
the
bending
V
N
N
V
(4)Vforce
xrespectively,
npkicorresponds
m N k ,theequation:
,
kk,the
 longitudinal
mnnconsidered
kkp,
p p
kjxand
j , 
and
the
transverse
force
respectively,
as oppom
Nthat
and
except
that
relate
to
to(4)
mrelate
,, except
they
relate
Nk,Θ
N

nframe,
PPi i that
kthe
,they
k ,force
 ,, respectively,
respectively,
corresponds
except
thatthey
they
relate
to
the
longitudinal
force
kj
Pi transverse
to1the
. ,Itlongitudinal
is force
self-(4)V
ofto
the
except
that
itand
istom
induced
by
load
respectively,
, i,except
the
longitudinal
force
m

kj
k ,x to
kjpand
jp,mm
kj
kj
ki
and
the
as
oppo
N
(4)
N k ,corresponds
 system
nm
n
P
kj
kj

j

1
k ,
k ,
kj j ,
ki
the transverse
force V
, respectively,
as opposed
m niNPi and
(4)
i the ptransverse force V and
N k ,j 1 
nkj x j ,ji1 
, respectively,
as
opposed
tok,Θ
the
bending
moment
M k , . to the
ki, krespectively,
,

k
,

5.
The
linearisation
of
the
yield
criterion
5.
The
linearisation
of
the
yield
criterion
(4)
and
the
transverse
force
as
opposed
to
the
bending
moment
.
N

n
x

n
P
force
opposed to the
bending
moment
NNk k,, and the transverse
VVk ,k
moment
Mk,Θ. MMk k,,.
ktransverse
j , 
,(4)
iasdetermined
j 1 the
i,, kjrespectively,
kibe
and
force
can
bybending
the
relationship:
5. The linearisation of the yield criterion
(4)
natomiast siłę
zależności:
1 force can
jz
i be determined by the relationship:
andpoprzeczną
theforce
transverse
It follows
follows5.from
the
static
ofofthe
the
limit
load
theory
thatthat
if i
The
yield
criterion
and the transverse
can
be determined
by
the
relationship:
It
from
thelinearisation
staticapproach
approachof
theplastic
plastic
limit
load
theory
5.
The
linearisation
of
the
yield
criterion
and the transverse force
can
be
determined
by
the
relationship:
m transverse force can be determined by the
to identify
identify
for the
considered
structure
such
a astatically
admissible
distribution
It
follows
from
the
static
approach
of
the
plastic
li
and
the
relationship:
5.
The
linearisation
of
the
yield
criterion
to
for
the
considered
structure
such
statically
admissible
distribu
p
m
5.
The
linearisation
of
the
yield
criterion
5.
The
linearisation
of
the
yield
criterion
m V
It follows
from
the
approach
of the –plastic
lim
he
relationship:
(5)structure
vpki Pi from the static approach
It follows
of the
plastic
limit
load
theory
that
if it static
is possible
m k ,   vpkj x j ,  
bending
moments
–– induced
by
a
self-equilibrated
system
of
reactions
that
will
e
d by
the relationship:V
bending
moments
induced
by
a
self-equilibrated
system
of
reactions
–
that
w
to
identify
for
the
considered
such
a
statically
(5) limit load
v P
(5)
vV
P
mx
It follows
from
theadmissible
staticfor
approach
of theofplastic

from
vvkjkiapproach
,
(5) structure
kfollows
kjk ,x
,V
,
(5)
vjkj
x j,static
vikipjto
P 
pi plastic
to
identify
the
considered
structure
such
amoments
statically
the
considered
suchthat
aof
distribution
residual
iofki
transfer
ofstatically
loads
when
combined
with
the
distribution
of of
bending
specs
k , from
j 1 
the
approach
the
plastic
limit
load
theory
that
if
it
is
possible
ItItfollows
the
limit
load
theory
if
it
is
possible
(5)
vkj xi identify
of
vfor
P
transfer
loads
when
combined
with
the
distribution
bending
moments

i
bending
moments
–
induced
by
a
self-equilibrated
system
o
j 1 j 1 theVstatic
k ,ji1 
j

i
,
theory
that ifstrain-related
itsystem
is possible
to identify
for
the
considered
strucki
i
moments
– inducedadmissible
by a self-equilibrated
reactions
– that
ensure
aasafe
strictly
performance
ofwill
system,
then
it itis is
reasonable
to ass
bending
moments
– induced
byresidual
self-equilibrated
system
j 1 bending
i aastatically
identifyfor
forthe
theconsidered
considered
structure
such
statically
distribution
residual
totoidentify
structure
such
admissible
distribution
ofofof
residual
strictly
strain-related
performance
ofthe
the
system,
then
reasonable
too
ture
such
a
statically
admissible
distribution
of
ben(5) transfer
transfer
of
loads
when
combined
with
the
distribution
of
p(5)
p
p
p
of loads
when
combined
with
the distribution
of nbending
moments
for
particular
distribution
will
inncombined
load
process
to distribution
resist the trigger
paaself-equilibrated
p when
.ofThe
meaning
ofparticular
the
parameters
and specified
, of reacwhere
nby
self-equilibrated
00 .and
vmeaning
 0system
vemerge
v the
pkvby
ptheand
transfer
loads
with
the
pinduced
ppof
kj
will
emerge
in
load
resist the of
trig
bendingmoments
moments
of
reactions
that
will
ensure
aand
safe
bending
–n–where
induced
of
–kj–that
ensure
aand
safe
k ,11
,k11
parameters
and
and
and
where
nkinematically
nkp,11

0 and
vvdistribution
induced
by
a vself-equilibrated
system
przy
czym
nreactions
pmeaning
p, ,and
pkj the
and
The
meaning
of
and
, process
nitnnkjkjkjkj
0
vkpstrain-related
parametrów
00.system
nperformance
vvkjnpkjkj
vinkjpkj
. The
ofthe
the
parameters
andwill
and
where
nmoments
0nikand
vpkp,
0Znaczenie
0The
kj
kj ofding
strictly
strain-related
of
the tosystem,
strictly
performance
of the
the
system,
then
is
reasonable
tomechanism
assert
that
this
,n
11
admissible
movement
the
analysed
system. Inthen
otheri
kjparameters
kj–
and
.
The
meaning
the
parameters
and
and
and
,
n

v
v
v
k ,11  where
11
kj
,11
,
11
kj
kj
k ,11
k ,11
kj
kj
strictly
strain-related
performance
of
the
system,
then
kinematically
admissible
movement
mechanism
in
the
analysed
system.
In
oti
transferofofloads
loadswhen
whencombined
combined
with
the
distribution
of
bending
moments
specified
for
the
tions
–
that
will
ensure
a
safe
transfer
of
loads
when
combined
transfer
with
the
distribution
of
bending
moments
specified
for
the
p
particular
distribution
will m
emerge
instatically
thethat
load
process
to structure
resist
the
triggering
of
any members
indeterminate
that
is will
made of
steel
Class
1 cros
particular
distribution
emerge
in thewith
load
proces
p pm
p
p p
and
, with
except
they
relate
to
themoments
longitudinal
force
respectively,
corresponds
tom
p m and
p pkj
statically
indeterminate
structure
that
is
made
of
steel
members
with
Class
1
kj
,
except
that
they
relate
to
the
longitudinal
force
respectively,
corresponds
to
m
m
f theofparameters
and
and
and
,
respectively,
corresponds
to
and
,
except
that
they
relate
to
the
longitudinal
force
n
v
v
particular
distribution
will
emerge
in
the
load
process
the
distribution
of
bending
specified
for
the
puning
the parameters
and
and
and
,
n
n
v
v
kj
strictly
strain-related
performance
of
the
system,
then
it
is
reasonable
to
assert
that
this
respectively,
corresponds
to
and
,
except
that
they
relate
to
the
longitudinal
force
respectively,
corresponds
to
and
,
except
that
they
relate
to
the
longitudinal
force
m
m
m
m
kj
strictly
performance
of
the
system,
then
it
is
reasonable
to
assert
that
this
kj
kinematically
admissible
movement
mechanism
in
the
analysed
system.
In
other
words,
each
oraz
odpowiednio
i
jest
analogiczne
do
m
i
,
invkjstrain-related
kj kj kjkj kj
i.e. members
that retain theiradmissible
ability to rotate
after yield
– has an inherent
rese
kj
kj
kj kj
kj kj
kj
kjkj
kinematically
movement
mechanism
ininherent
the ana
i.e.
members
that
retain
their
ability
to movement
rotate
after– mechanism
yield
anin
rely
elastic
performance
ofbending
the
system,
itto
isredistribute
reasonable
to– has moments.
kinematically
admissible
the ana
statically
indeterminate
structure
that
is
made
of
steel
members
with
Class
1then
cross-sections
bearing
capacity
conditional
on
themoment
capacity
bending
Th
z tym,
że
one
odniesione
kolejno
do
siły
podłużnej
N
i siły
particular
distribution
will
emerge
in
the
load
process
to resist
resist
the
triggering
of
any
particular
will
emerge
in
the
load
process
to
the
triggering
of
any
and
the
transverse
force
,
respectively,
as
opposed
to
the
.
Ntransverse
V
M
and
the
transverse
force
,
respectively,
as
opposed
to
the
bending
moment
.
Nsąand
V
M
the
force
,
respectively,
as
opposed
to
the
bending
moment
.
Ndistribution
V
M
k,Θ
p
k
,

k
,

k
,

and
the
transverse
force
,
respectively,
as
opposed
to
the
bending
moment
.
V
M
N
k
,

k
,

k
,

statically
indeterminate
structure
that
is
made
of
steel
mem
k
,

k
,

k
,

k , the
k,,
 , respectively,
kcapacity
,reserve
bearing
capacity
on
the
toof
bending
moments.
and
transverse
force
as
opposed
toconditional
the
bending
moment
. theisload
VM
Mstate
cept
that they
relate
to the
force
, except
that
they
relate
to Vlongitudinal
theN, nie
longitudinal
force
assert
that
this
particular
distribution
will
emerge
inthat
i.e.
members
that
retain
their ability
to
rotate
after
yield
– has
an
inherent
load
k ,zaś
kthe
k ,redistribute

conclusion
that
the
fire
endurance
limit
associated
with
the
occurre
poprzecznej
do
momentu
zginającego
.
statically
indeterminate
structure
made
of
steel
mem
kj
kinematically
admissible
movement
mechanism
in
analysed
system.
In
other
words,
each
kinematically
admissible
movement
mechanism
in
the
analysed
system.
In
other
words,
each
k,Θ
k,Θ
i.e.
members
that
their
ability
to reached
rotate
after
yield
conclusion
that
thebending
firemovement
endurance
limit
state
associated
with
theframe
occ
totoresist
the
triggering
of
anyretain
kinematically
admissible
bearing capacity conditional on theprocess
capacity
redistribute
moments.
This
allows
thenot
kinematically
admissible
mechanism
will
be
in
the
i.e.
members
their
ability
to
rotate after
yield
– retain
statically
indeterminate
is
made
ofsteel
steel
members
with
Class
cross-sections
–that
indeterminate
structure
that
is
made
of
members
with
Class
11cross-sections
ectively,
asstatically
opposed
the
moment
.the
ly, as opposed
to theto
bending
.,the
M
5. kThe
linearisation
of
the
5. moment
The
linearisation
of
yield
criterion
kthat

kinematically
admissible
movement
mechanism
will
not
be
reached
in
the
fra
,M

5.structure
The
linearisation
of
the
yield
criterion
5. bending
The
linearisation
of
yield
criterion
bearing
capacity
conditional
on
the
capacity
to
redistribute
conclusion
that
theyield
firecriterion
endurance
limit
state
associated
with
the
occurrence
of
the
movement
mechanism
in
the
analysed
system.
In
other
words,
is possible to demonstrate that it can be blocked by an appropriate distribution
5.their
Theability
linearisation
ofafter
the
criterion
bearing
capacity
conditional
on the
capacity
to redistribute
i.e.members
membersthat
thatretain
retain
their
ability
rotate
afteryield
yield
has
inherent
reserve
ofthat
load
i.e.
totofrom
rotate
yield
––has
anan
inherent
reserve
ofreached
load
is
possible
to
demonstrate
that
it
canfire
be
an
appropriate
distribu
kinematically
admissible
movement
mechanism
will
not
be
inisthe
frame
asblocked
long
as itby
each
statically
indeterminate
structure
that
is
made
of
steel
It
follows
the
static
approach
of
the
plastic
limit
load
theory
if
it
possible

moments.
This
means
that
the
critical
temperature
specified
for
a
given
conclusion
that
the
endurance
limit
state
associa
It
follows
from
the
static
approach
of
the
plastic
limit
load
theory
that
if
it
is
possible
cr limit state associa
Itconditional
follows
from
the
static
approach
of theapproach
plastic
limit
load
theory
that
if
itappropriate
istheory
possible
Iton
follows
from
the
static
ofcan
the
plastic
limit
load
that
if fire
it istemperature
possible
conclusion
that
the
endurance
bearingcapacity
capacity
conditional
on
the
capacity
redistribute
bending
moments.
This
allows
thethe
bearing
the
capacity
toto
redistribute
bending
moments.
This
allows
the
is
possible
tostatic
demonstrate
that
it
be
blocked
by an
distribution
of
residual
 cr specified
moments.
This
means
that
critical
fornot
aongi
terion
tothe
identify
for
thestructure
considered
structure
such
aadmissible
statically
admissible
distribution
of
It
follows
from
the
approach
of
the
plastic
limit
load
theory
that
ifcomputable
it ismovement
possible
to identify
for
considered
such
astatically
statically
distribution
of
residual
kinematically
admissible
mechanism
b
mechanism
will
be
the
highest
of residual
all
temperatures.
When will
located
to
identify
for
the
considered
structure
such
a
admissible
distribution
of
residual
to
identify
for
the
considered
structure
such
a
statically
admissible
distribution
of
residual
kinematically
admissible
movement
mechanism
willlocated
not
bef
conclusion that
that
the
fire
endurance
limit
state
associated
with
the
occurrence
of
the

moments.
This
means
that
the
critical
temperature
specified
for
a
given
movement
conclusion
the
fire
endurance
limit
state
associated
with
the
occurrence
of
the
bending
moments
–
induced
by
a
self-equilibrated
system
of
reactions
–
that
will
ensure
a
safe
crensure
mechanism
will
be
the
highest
of
all
computable
temperatures.
When
–
induced
by
a
self-equilibrated
system
of
reactions
–
that
will
a
safe
bending
moments
of
the
boundary
condition,
the
yield
criterion
should
be
expressed
in
the
to
identify
for
the
considered
structure
such
a
statically
admissible
distribution
of
residual
105
is
possible
to
demonstrate
that
it
can
be
blocked
by
an
heofplastic
the plastic
limit
load
theory
that
is
possible
–itinduced
bymechanism
a– self-equilibrated
system
of reactions
– that
ensure
moments
bending
moments
induced
by
anot
self-equilibrated
system
ofwill
reactions
–aitthat
will
ensure
a safe
limit
loadbending
theory
that
if loads
it ifis
possible
possible
to
demonstrate
that
itside
can bebeblocked
by in
an tha
transfer
ofcombined
loads
when
combined
with
the
distribution
of
bending
moments
for
the
kinematically
admissible
movement
will
not
reached
insystem
the
frame
aslong
longas
as
itsafe
kinematically
admissible
movement
mechanism
will
bebe
reached
in
the
frame
as
mechanism
will
bedistribution
highest
of bending
all computable
temperatures.
When
located
on the
safe
inequality:
of
the
boundary
condition,
the
yield
criterion
should
expressed
transfer
of
when
with
the
of
moments
specified
for
the
bending
moments
– induced
by
a the
self-equilibrated
ofis
reactions
–specified
that
will
ensure
a safe
such
a statically
admissible
distribution
of
residual
 cr
transfer
of
loads
when
combined
with
the
distribution
of
bending
moments
specified
for
the
moments.
This
means
that
the
critical
temperature
strictly
strain-related
performance
of
the
system,
then
it
is
reasonable
to
assert
that
this
transfer
of
loads
when
combined
with
the
distribution
of
bending
moments
specified
for
statically
admissible
distribution
of
residual
of be
the
boundary
condition,
the ityield
criterion
should
be
expressed
in thethat
formthe
of the
the

moments.
This
means
critical
temperature
ispossible
possibletoto
demonstrate
that
it
can
be
blocked
by
an
appropriate
distribution
of
residual
inequality:
strictly
strain-related
performance
of
the
system,
then
is
reasonable
to
assert
that
this
is
demonstrate
that
it
can
blocked
by
an
appropriate
distribution
of
residual
cr
transfer
ofperformance
loads
when of
combined
withinthen
the
distribution
oftoKbending
moments
specified
for the
ilibrated
system
of reactions
– that
will
ensure
a distribution
safe
strictly
strain-related
the system,
it
is reasonable
toisassert
that
k then
1,...,
M k,Θ
will
Mthis
particular
will
emerge
the
load
process
resist
the
triggering
of
any
pl
,

,
d
inequality:
mechanism
be
the
highest
of
all
computable
temperat
strictly
strain-related
performance
of
the
system,
it
reasonable
to
assert
that
this
ed system
of
reactions
–
that
will
ensure
a
safe
particular
distribution
will emerge
in the load
process
to
resist
the
triggering
of
any

moments.
This
means
that
the
critical
temperature
specified
for
a
given
movement

moments.
This
means
that
the
critical
temperature
specified
for
a
given
movement
mechanism
will
be
the
highest
of
all
computable
temperatu
cr
cr
strictly
strain-related
performance
the system,
then
it triggering
is reasonable
to
assert
that this
e distribution of bending
moments
specified
for movement
distribution
emerge
in
theemerge
load of
process
resist
theIn
ofthe
any
kinematically
admissible
movement
mechanism
in 
the
other
words,
k analysed
process
1,...,
K
MIn
M
k,Θ
pl
,
, deach
ofsystem.
boundary
condition,
kinematically
admissible
mechanism
in
the analysed
system.
other
words,
each
particular
distribution
will
in
the toload
totheresist
triggering
ofthe
anyyield criterion should
ibution of bendingparticular
moments
specified
forwill
the the
(2)
k  1,..., K
M
M
Another step is to define the relationship between
(6)the plastic bending resistance
m
5. The linearisation of the yield criterion
(4)
It follows from the static approach of the plastic limit l
j 1
i
to identify for the considered structure such a statically adm
the transverse force can be determined by the relationship:bending moments
BADANIA Iand
ROZWÓJ
BiTP Vol.
44 Issueby
4, a2016,
pp. 99–120
– induced
self-equilibrated
system of rea
m
transfer
of
loads
when
combined
with
the
distribution
of bend
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.8
(5)
Vk ,   vkj x j ,   vkip Pi
strictly strain-related performance
of the system, then it is
j 1
i
particular
distribution will
emerge in
members with
class 1 cross-sections
– i.e. members
thatthe
reta-load process to
5. Linearyzacja warunku plastyczności
kinematically
admissible
mechanism
in
their
ability
to
rotate
after
yield
–
an
inherent
reserve
of in the analyse
p
p
p hasmovement
p
Z podejścia
statycznego
wyni-of the parameters nkj and vkj and nkj and v kj ,
and vnośności
. The meaning
where
nk ,11  0teorii
k ,11  0granicznej
statically
indeterminate
structure
thattoisredistrimade of steel member
load
bearing
capacity
conditional
on
the
capacity
ka, że jeżeli tylko dla rozpatrywanej konstrukcji da się zidenmoments.
allows
conclusion
the after yield – h
members
that
retain the
their
ability tothat
rotate
respectively,
thatbending
theyi.e.
relate
to theThis
longitudinal
force
tyfikować taki
statycznie corresponds
dopuszczalnytorozkład
zginających
mkjp , exceptbute
mkj and
fire resistance
limit state
associated
with the
of the
bearing
capacity
conditional
onoccurrence
the capacity
to redistribute ben
momentów rezydualnych, generowany przez samozrównokinematically
movement
willlimit
not bestate associated
and the
transverse
forcez Vrozkładem
as
opposedconclusion
to admissible
the bending
moment
Mendurance
N k ,
that
the firemechanism
k , , respectively,
k , .
ważony układ
reakcji,
który
po złożeniu
moreached inkinematically
the frame as long
as it is possible
to demonstrate
admissible
movement
mechanism will not be rea
mentów zginających specyfikowanym dla czysto sprężystej
that
it
can
be
blocked
by
an
appropriate
distribution
of residupracy ustroju zapewni
przenoszenie
obciążeń,
to
is
possible
to
demonstrate
that
it
can
be
blocked by an appro
5. Thebezpieczne
linearisation
of the yield
criterion
al
moments.
This
means
that
the
critical
temperature
Θcr spemożna twierdzić, że właśnie taki rozkład zostanie wygeneroThis means thatwill
the critical temperature  cr spe
cified limit
for a moments.
given
It followsi przeciwstawi
from the static
approach of the plastic
load movement
theory thatmechanism
if it is possiblebe the highest of
wany w procesie obciążenia
się uruchomieniu
all
computable
temperature
values.
When
located
the safe temperatures.
mechanism
will
be
the
highest
of all on
computable
to identify
for thejakiegokolwiek
considered structure
such a statically admissible distribution of residual
w analizowanym
układzie
kinematycznie
side
of
the
boundary
condition,
the
yield
criterion
should
be
of
the
boundary
condition,
the
yield
criterion
should be e
dopuszczalnego
mechanizmu
Innymi
słowy, każda
induced
by a self-equilibrated
system of reactions – that will ensure a safe
bending
moments –ruchu.
expressed in
the form of the inequality:
inequality:
konstrukcjatransfer
statycznie
niewyznaczalna
wykonana
z
elemenof loads when combined with the distribution of bending moments specified for the
tów stalowych
o przekrojach
klasyperformance
1, czyli takich,
po
strictly
strain-related
ofktóre
the system,
then it iskreasonable
(6)
 1,..., K to assert
M k,Θthat
 Mthis
pl , , d
uplastycznieniu
zachowują
zdolność
do
obrotu,
posiada
swoparticular distribution will emerge in the load process to resist the triggering
of any
istą rezerwę nośności warunkowaną możliwościami redyskinematically admissible movement mechanism in theAnother
analysed
system.
words,
step
is step
to In
define
the
relationship
betweenbetween
the
Another
isother
to define
theeach
relationship
the plastic b
trybucji momentów zginających. Twierdzenie to pozwala na
plastic
bending
resistance
of
the
cross-section
– and
statically
indeterminate
structure
that
is
made
of
steel
members
with
Class
1
cross-sections
section and the steel temperature,
i.e.the
thesteel
function M pl , ,d
konstatację, że stan graniczny nośności ogniowej kojarzony
temperature,
i.e.an
theinherent
function reserve
Mpl,Θ,d = M
(Θ). If the extent to
members that
retain their mechanizmu
ability to rotate
yield – has
ofpl,dload
z realizacjąi.e.
kinematycznie
dopuszczalnego
ru- after
which
the of
yield
point
of steel
is reduced
in the fire temperat
which
the
yield
point
steel
is
reduced
in
the
fire temperabearing
capacity
conditional
on
the
capacity
to
redistribute
bending
moments.
This
allows
the
chu nie zostanie w ramie osiągnięty tak długo, dopóki możture
is
described
by
the
factor
k
=
f
/f
,
with
values
speci,
with
values
specified
in
the PN-EN 1993-1k

f
f
y,Θ
,
y , occurrence
y y,Θ
conclusion
the fire
the
of y the
na wykazać,
że istnieje that
możliwość
jego endurance
zablokowanialimit
przezstate associated ywith
fied
in
the
PN-EN
1993-1-2
standard
[9],
then,
assuming
the
odpowiednikinematically
rozkład momentów
rezydualnych.
to, will not be reached
admissible
movementOznacza
mechanism
in the
the temperature
frame asoflong
as
itestimated 
the equal
the
temperature
, the estimated valu
equal distribution
of distribution
Θ, the
value
BADANIA I ROZWÓJ
BiT
specyfikowana
dla
danego
meże temperatura
krytyczna
Θ
is possible to demonstrate
that it can be blocked of
bythe
an load
appropriate
distribution
of
residual
sought
can
be
determined
both
cross-wise
and
cr
bearing capacity sought can be determined both length-wise in
chanizmu ruchu
będzie
największą
spośród
wszystkich
moż cr specified
moments. This means that the critical temperature
a given
movement
based
on for
the following
relationship:
cross-wise
and length-wise
in relation
to the heated member
liwych do uzyskania z obliczeń. Warunek plastyczności (1),
BADANIA
BADANIA
I
ROZWÓJ
I
ROZWÓJ
BiB
based
on
the
following
relationship:
mechanism
will bebezpiecznej
the highestwarunku
of all computable
jeśli lokalizować
go po stronie
granicz- temperatures. When located on the safe side

k
f
of the
boundary
condition,
the nierówności:
yield criterion should be expressed iny ,they form of the M , fi
nego, powinien
zatem
zostać zapisany
w formie
M pl , , d  W pl
 k y , M pl , d
(7)
inequality:
 M , fi
M
BADANIA I ROZWÓJ
44 Issue 4, 20
MM,offi, fisteel, BiTP Vol.DOI:10.12845/b
kkvalue
y ,y,f yf of
y the
where fM
is the nominal
yield
k  1,..., K
M k,Θ  M pl , ,d
yM
W
Wplplnominal
value
kky(6)
Mof
Mplpl,point
(6)
where
is
the
the
yield
point
of
steel,
usu




,
,
,
y
d
d
,
,
,
,
pl
pl
d
d
f
usually identifiedy with its characteristic
value in simplified
MM, fi, fi
MM
standardised
computations,
the crossplastic
section moducharacteristic
value W
inpl –simplified
standardised
computations W p
Another
stepnależy
is to określić
define the
relationship
the
plastic
bending
resistance
ofisthe
W kolejnym
kroku
relację
pomiędzybetween
pla M value
k y ,
isis the
thegeometric
nominal
nominal
value
ofand
of the
the
yield
yieldis
point
point ofof steel,
steel, usu
u
where
where
ffyfyy on
lus
that
depends
only
values
as
such
,
fi
styczną nośnością
i temperaturą
that
sectionprzekroju
and the poprzecznego
steel temperature,
i.e. thestali,
function
extent on
to the geometric
M I resistance
Mfactor
depends
asXX-XX
su
BADANIA
ROZWÓJ
BiTP Vol.values
44 Issue 4, and
2016, pp.
M

k y ,.If
M the
,W
, dpl
pltemperature,
,d 
, d only
plwhile
pl , , dpl
independent
of
the
γ
and
γ
–
are
parM,ft
 M , fi
 M
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.
characteristic
characteristic
value
value
inin simplified
simplified
standardised
computations
computations
czyli funkcję Mpl,Θ,d = Mpl,d(Θ). Jeżeli stopień redukcji granicy
WW
temperature,
while
–standardised
are and
partial
 Mload
which the yield point of steel is reduced in the fire
described
byand
theMfactor
tial temperature
safety
factors is
specified
for
bearing
rela-safety factors spep
M , ficapacity
plastyczności stali w temperaturze pożarowej opisuje współresistance
factor
factor
that
that
depends
depends
only
only
on
onthe
theof
geometric
geometric
values
values
and
andasas
sus
ting to
the resistance
basic
design
situation
and
theyield
accidental
fire
situnominal
value
of
the
point
steel,
identified
where
fcapacity
values specified
in the PN-EN
1993-1-2
[9],
then,
assuming
and
relating
to
the
basic
design
situation
andusually
the
unique
fire
y is thestandard
, f y , with
czynnik ky,Θk=yf,
/f, of ywartościach
specyfikowanych
w normie
y,Θ y
MM ,and
k y , f yIn practical
temperature,
temperature,
while
while
and
–
–
are
are
partial
partial
safety
safety
factors
factors
sp
s




ation,
respectively.
computations,
as
recommenfi
M
M
M
,
fi
,
fi
practical
computations,
ascapacity
recommended
by theWPN-EN
1991-1
PN-EN
1993-1-2
[9], distribution
to przy założeniu
(7) de
M pl , , dInvalue
W
simplified
k y , Mbearing
characteristic
in
computations
pl ,XX-XX
d standardised
plvalue
theI ROZWÓJ
equal
of therównomiernego
temperature roz, the estimated
of
the
pl – is the
BADANIA
BiTP
Vol.
44 Issue
4,load
2016, pp.
ded
by
the
PN-EN
1991-1-2
standard
[10],
it
is
assumed
that


M
,
M
fi
capacity
capacity
and
and
relating
relating
to
to
the
the
basic
basic
design
design
situation
situation
and
and
the
the
unique
unique
fir
assumed
that toMthe
 M  1member
,0 . This means that the design plasticf
kładu temperatury
Θ zarówno
w przekroju
poprzecznym,
jak length-wise
, fi heated
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
sought can
be determined
both
cross-wise and
in relation
N k ,   nkj x j ,   nkip Pi
i na długości ogrzewanego elementu wartość obliczeniową
based on the following relationship:
poszukiwanej nośności można wyznaczyć z zależności:
BADANIA
I ROZWÓJ
BADANIA
I ROZWÓJ
 M , fi
k y , f y
(7)
M pl , , d  W pl
 k y , M pl , d
 M , fi
M
resistance
that
depends
only
thedesign
geometric
values
and
such
is independ
=InIn
1,0.
This
means
thatonthe
plastic
bending
γM,ft = γMfactor
practical
practical
computations,
computations,
as
aspoint
recommended
recommended
by
byas
the
the
PN-EN
PN-EN
19911991
the
nominal
value
of
the– yield
ofsafety
steel,
usually
identified
with
it
where
fsteel
member
’s and
cross-section
changes
with
the
temperature
proportio
y isof
are
partial
factors
specified
loa
temperature,
while


resistance
a
steel
member’s
cross-section
changes
with
the
M
M
,
fi
Thismeans
meansthat
thatthe
thedesign
designfor
plastic
plasti
assumed
assumedthat
that
 1,10,0. .This
MM, fi
, fi
MM
the
characteristic
yield
point
of steel.
is W
a plhighly
non-linear
re
– is the
deformation
characteristic
value
in simplified
standardised
computations
temperature
proportionately
to
the changes
in This
the characteVol.
44 44
Issue
4, 2016,
pp.pp.
XX-XX
capacity
andBiTP
relating
toIssue
the
basic
design
BiTP
Vol.
XX-XX situation and the unique fire situation, res
steel
steel
member
member
’4,s’only
s2016,
cross-section
cross-section
changes
changes
with
with
the
the
temperature
temperature
proportio
proport
ristic
yield
point
of
steel.
This
is
a
highly
non-linear
relationshow
that
regardless
of
the
high
statistical
variability
of
the
results,
th
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
resistance
factor
that
depends
on
the
geometric
values
and
as
such
is
independent
of
the
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
In practical computations,
as recommended
by the PN-EN 1991-1-2 standard
(7) point
the
the
characteristic
characteristic
yield
yield
ofofthe
steel.
steel.
This
This
isis
aahighly
highly
non-linear
r
ship. Experiments
that
of
high
statistical
good
estimation
sought:
andof
– arepoint
partial
safety
specified
fornon-linear
load bearing
temperature,
while
 Mshow
 1the
M,0, regardless
fi. relationship
This
means
that
thefactors
design
plastic
resisth
assumed
thatshow
show


M , fi
M
that
thatregardless
regardlessofofthe
thehigh
highstatistical
statistical
variability
variability
ofofbending
the
theresults,
results,
variability
the results,
the design
following
relation
is a good
esti-situation, respectively
capacity
and of
relating
to1,the
basic
situation
andthe
unique fire
w której: fy jest wartością nominalną granicy plastyczności steel
482
0087
’sgood
cross-section
changes
withbythe
temperature
proportionately
to the c
member
good
estimation
estimation
ofwith
ofthe
therelationship
relationship
sought:
sought:
mation
of
the
relationship
sought:

k
f
In
practical
computations,
as
recommended
the
PN-EN
1991-1-2
standard [10], it i
where


where
is
the
nominal
value
of
the
yield
point
of
steel,
usually
identified
its
k


k
f
f
, fi, fiutożMM
y ,
stali, w uproszczonych
obliczeniach
zwykle
y ,y ynormowych
y ,
y
0,2609
the
characteristic
yield
point
of
steel.
This
is
a
highly
non-linear
relationship.
Exa
(7)
MM
k yk,y ,
MM
(7)
39
,
19
W


,,d , d W
pl ,pl
d ,d
pl ,pl
pl pl
design
plastic bending resistance of
assumed that  M , fie  M11,10087
1
,0 . This means that the
482
482
,high
0087
samianą
z jej wartością
charakterystyczną,
W
inM
M
M
 M computations
pl – wskaźnikiem
,simplified
fi, fi
characteristic
value
standardised
show where
that W
regardless
thedeformation
statistical
variability
of
the results,
the following re
where
where



kky ,–y,is
ofthe
pl
and
(8)
changes
proportionately to the changes in
steel member’s cross-section
0,02609
,2609with the temperature
oporu plastycznego, zależnym jedynie od wielkości geome- good
39
39,19
,19
estimation
of for
theerelationship
erelationship
1of1 steel.
In usually
order
the
(8)a to
be non-linear
used for relationship.
the linear-programm
theof
characteristic
yield
point
This
highly
Experiment
resistance
factor
depends
only
on of
the
geometric
values
and
as
such
is
independent
ofsought:
the
where
nominal
value
yield
steel,
identified
with
itsitsis
f yniezależnym
trycznych,
awhere
więc
od temperatury,
natomiast
isthethe
nominal
value
ofthe
the
yieldpoint
pointof
steel,
usually
identified
with
f yisthat
show
thathere,
regardless
offor
the
high
statistical
variability
of the
results, 1993-1-2
the following
relation is[9a
it
must
be
linearised.
While
in
the
PN-EN
standard

482

1
,
0087
while
and
–
are
partial
safety
factors
specified
load
bearing


–
częściowymi
współczynnikami
bezpieczeństwa
γM i γtemperature,
In
order
relationship
used
forused
the linear
InInfor
order
order
for
for
the
relationship
(8)
(8)
totobebe
used
for
forthe
thelinear-programm
linear-program
M ininsimplified
M , fi standardised
where
M,ft characteristic
 (8) to be
relationship
kgood
islinear
the
deformation
WW
characteristicvalue
value
simplified
standardisedcomputations
computations
–the
is
thethe
deformation
y , 
estimation
of,–2609
the
relationship
sought:
pl pl
piecewise
function,
the
number
of
straight
segments
is(8)[s
0
39,19
specyfikowanymi
dla
nośności
i odniesionymi
odpowiednio
fire
-programming
algorithm
here,
it in
must
linearihere,
here,
ititmust
mustrespectively.
bebeproposed
linearised.
linearised.
While
While
inthe
thebe
PN-EN
PN-EN
1993-1-2
1993-1-2standard
standard
capacity
and
relating
to
the
basic
design
situation
and
the
unique
situation,
e

1
resistance
that
and
asas
is isPN-EN
independent
of
thethe the
computation
practically
impossible.
It can
be
assumed,
however,isisth
of
482
function,
1such
,0087
resistancefactor
factor
thatdepends
depends
onlyononthethegeometric
geometricvalues
values
and
such
independent
do podstawowej
projektowej
ionly
wyjątkowej
sytuacji
While
in
the
[9]
it is substitupiecewise
piecewise
linear
linear
the number
number
of
of straight
straight segments
segments
where
(8)
 function,
1993-1-2
ksed.
In practicalsytuacji
computations,
as recommended
by thesafety
PN-EN
standard
[10],
it,19isstandard
y , 1991-1-2
0,2609
factors
specified
for
load
bearing
M
39

Inted
order
for
the
relationship
(8)
to
be
used
for
the
linear-programming
algorithm
temperature,while
while M
and
–arearepartial
partial safety
factors
specified
for
load
bearing
 Mand
M
pożaru. Wtemperature,
praktycznych
obliczeniach,
zgodnie
z zaleceniami
, fi, fi–
with
a
piecewise
linear
function,
the
number
of
straight
computation
computation
practically
practically
impossible.
impossible.
It
It
can
can
be
be
assumed,
assumed,
however,
temperature
of
the
frame
is
relatively
rarely
estimated
to
be
more that
e

1
that  M ,[10],
This
means
that
the design
plastic
bending
resistance
ofthe
a PN-EN 1993-1-2 standard [9] ithowever,
fi  przyjmuje
M  1,0 . się,
here,
it
must
be
linearised.
While
in
is
substitu
normyassumed
PN-EN
1991-1-2
że
γ
=
γ
=
1,0.
segments
is
so
large
that
it
makes
computation
practically
imcapacity
and
relating
to
the
basic
design
situation
and
the
unique
fire
situation,
respectively.
allows
the
acceptance
of
the
simplified
relationship
proposed
bythtt
M,ft
M
capacity and relating to the basic design
situation
andInthe
unique
fire
situation,
respectively.
temperature
temperature
of
of
the
the
frame
frame
is
is
relatively
relatively
rarely
rarely
estimated
estimated
to
to
be
be
more
more
order
for
the
relationship
(8)
to
be
used
for
the
linear-programming
algorithm
proposed
piecewise
linear
function,
thehowever,
number
of straight
segments
is so large
that
Oznacza
obliczeniowa
nośność
plastyczna
przekroju
steelto,
’s cross-section
changes
with the
temperature
proportionately
to
the changes
in
possible.
It
can
be
assumed,
that
the
resultant
critiInmember
practical
computations,
asas
recommended
bybythethePN-EN
1991-1-2
standard
[10],
it
is
relationship
is
Inże
practical
computations,
recommended
PN-EN
1991-1-2
standard
[10],
it
is
here, it must be
linearised.
While
in the PN-EN
standard
[9] it is substituted
with
allows
allows
the
theimpossible.
acceptance
acceptance
ofofcan
the
the1993-1-2
simplified
simplified
relationship
relationship
proposed
proposed
by
bya
computation
practically
It
be
assumed,
however,
that
the resulta
elementu
stalowego
zmienia
się
wrazof
z temperaturą
the characteristic
point
This
ispropora that
highly
relationship.
Experiments
cal
temperature
of theresistance
frame
is of
relatively
rarely
estimated
assumed
means
design
plastic
bending
01,.0This
piecewise
linear
function,
the
segments
is soto large that it make
assumedthat
thatyield
. This
means
thatthethenon-linear
design
plastic
bending
ofaoofa straight
M
M
 M 1,steel.
relationship
relationship
isresistance
is number
M
, fi, fi 
o
o
cjonalnie
zmian
charakterystycznej
granicy plastycznoberesults,
more than
785ºC.
Such
a limit
the
the
showdothat
regardless
of the high statistical
variability of the
the
following
isallows
a Cbe: assumed,
of
forframe
20impossible.
Cisrelation
relatively

 It400
kacceptance
kto
k y ,400
 1785
,0 critica
temperature
the
rarely
estimated
beofmore
than
C . Su
computation
practically
can
that
the
resultant
y , however,
y ,20
steel
’s cross-section
changes
with
proportionately
totothethe
ininthe
steel
member
ssilnie
cross-section
changes
withthe
thetemperature
temperature
proportionately
changes
oochanges
oorelationship
ści stali.
Jest
tomember
zależność
nieliniowa.
Z badań
ekspeothe
simplified
relationship
proposed
by
authors
of
[3].
This
allows
the acceptance
of
the
simplified
proposed
by
authors
of
good
estimation
of ’the
relationship
sought:
:
:


for
for
20
20
C
C






400
400
C
C
k
k


k
k


k
k


1
,
1
0
,
0
.
Such
a limi
temperature
of
the
frame
is
relatively
rarely
estimated
to
be
more
than
785
C
y ,y,
y ,y20
,20 y ,y400
,400
thethecharacteristic
yield
ofofsteel.
non-linear
relationship.
Experiments
characteristic
yieldpoint
point
steel.This
Thisis isa ahighly
highly
non-linear
relationship.
Experiments
o
rymentalnych
wynika,
że niezależnie
od
dużej
zmienności
3 of [3]. The
relationship
as follows:
relationship
is is
allows
the acceptance
of othe
simplified
relationship
proposed
by
the
authors
400
C



785
C

for
:
k

2
,
04

2
,
6

10

y ,
show
that
regardless
ofofthethehigh
variability
ofofthe
the following
is isa a oo
 482
statistical
1,0087
show
that
regardless
high
statistical
variability
theresults,
results,
followingrelation
statystycznej
wyników,
oszacowaniem
orelation
o
3
relationship
is the
where
(8)

dobrym
k y ,good
uzyskiwanych
400
785 CC: : kky,y,22,04
for400
,0422,6,6 10
 103

o  for
o CC785
estimation
ofof
the
relationship
0,2609
good
the
relationship
sought:
:
 • for:
for 20
C



400
C
k

k

k y ,400  1,0 (9)
poszukiwanej
zależności
jest
relacja:
39sought:
,19
estimation
y
,

y
,
20
o
o
e 1
(9)
 for 20 C    400 C : k y ,  k y ,20  k y ,400  1,0
1,0087
 482
1,0087 where    482
o
o
3
(8)
k

where
(8)


k

gdzie
gdzie
(8)
400
C



785
C
:

for
k

2
,
04

2
,
6

10


y
,
In ordery ,
for the
(8) to be39
used
o
0,2609
0,2609
,19,19for the linear-programming
C algorithm
  785o C :proposed
(10)
• for:
for 400
k y, y,2,04  2,6  103
  relationship
39
(10)
1 1
e linearised.
here, it mustebe
While in the PN-EN 1993-1-2 standard [9] it is substituted with a
piecewise
linear
function,
thewykorzystana
number
ofused
straight
segments
so large
thatlevel
itproposed
makes
InInorder
for
relationship
(8)
forfor
thethelinear-programming
algorithm
Aby
zależność
(8)
mogła
zostać
do
proorder
forthe
the
relationship
(8)totobebeused
linear-programming
algorithm
proposed
Theisapproximation
of
straight lines resulting from
computation
practically
impossible.
It
can
be
assumed,
however,
that
the
resultant
critical
here,
While
standard
[9][9]it itis(9)
with
ponowanego
witniniejszej
pracy
algorytmu
the
relationships
and (10) to
theapiecewise
linear function
here,
itmust
mustbebelinearised.
linearised.
Whileinprogramowania
inthethePN-EN
PN-EN1993-1-2
1993-1-2
standard
issubstituted
substituted
with
a
oPN-EN
piecewise
function,
the
is isso
large
it1993-1-2
liniowego,
musi
zostać
zlinearyzowana.
Wprawdzie
normie
as more
proposed
inso
the
piecewise
linear
function,
thenumber
number
ofstraight
straight
segments
large
itamakes
makesstandard [9] is shown in
temperature
of linear
the
frame
is relatively
rarelywof
estimated
tosegments
be
than
. that
Such
limit
785
Cthat
PN-EN
1993-1-2
[9] zamienia
jąimpossible.
na odcinkowo
computation
practically
impossible.
It Itcan
bebeassumed,
however,
that
thethe
critical
Figure
2.
isthat
easy
toresultant
notice
that
for temperature values highcomputation
practically
canliniową
assumed,
however,
resultant
critical
allows
the acceptance
ofsięthe
simplified
relationship
proposed
byItthe
authors
of [3].
The
oo
temperature
of
the
frame
is
relatively
rarely
estimated
to
be
more
than
.
Such
a
limit
785
C
relationship
is
temperature of the frame is relatively rarely estimated to be more than 785 C . Such a limit
allows
acceptance
106
allowsthethe
acceptanceofofthethesimplified
simplifiedrelationship
relationshipproposed
proposedbybythetheauthors
authorsofof[3].
[3].The
The
(9)
relationship
for 20o Cisis  400o C : k y ,  k y ,20  k y ,400  1,0
relationship
Ryc.Ryc.
2. Aproksymacja
zależnościami
(9)(9)
i (10)
łamanej
proponowa
oo
o:
Ryc.
2.2.Aproksymacja
Aproksymacja
zależnościami
(9)
i i(10)
(10)
łamanej
łamanej
proponow
proponow
o 20
o oC
3 1
(9)(9) zależnościami

400
k04
k yk10
:k yk,yk,y,2,
 for
for20
C


400
yk,20
,400
400
CC

785
C: C
 for
(10)
2,6
,01,0
y,20
y ,400
1993-1-2
[9][9]
dodo
przybliżenia
relacji
(8)
(( (
1993-1-2
1993-1-2
[9]
do
przybliżenia
przybliżenia
relacji
relacji
(8)
(8)
Ryc. 2. Aproksymacja zależnościami (9) i (10) łamanej proponowanej w normie PN-EN
Fig. 2. An approximation of the piecewise linear function proposed





 



 
assumed that  M , fi   M  1,0 . This means that the design plastic bending resistance of a
In practical computations, as recommended by the PN-EN 1991-1-2 standard [10], it is
cross-section
changes with the temperature proportionately to the changes in
steel
member
assumed
that ’s M
, fi   M  1,0 . This means that the design plastic bending resistance of a
the characteristic yield point of steel. This is a highly non-linear relationship. Experiments
steel member’s cross-section changes with the temperature proportionately to the changes in
show that regardless of the high statistical variability of the results, the following relation is a
theRESEARCH
characteristic
yield
point of steel. This is a highly non-linear relationship. Experiments
DEVELOPMENT
good
estimationAND
of the
relationship sought:
show that regardless of the high statistical variability of the results, the following relation is a
good
estimation
of the relationship
sought:
И РАЗВИТИЕ
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.8
 482

1,0087
where  
(8)
k y , 
RESEARCH
AND DEVELOPMENT
0,2609
39
,19
 1,0087
DOI: 10.12845/bitp.44.4.2016.x

482

e 1
where  
(8)
k łamaną,
y , 
RESEARCH
AND
DEVELOPMENT
jednak
liczba
odcinków
prostych
jest
na
tyle
duża,
0
,
2609
º
er
than
785
C
negative
values
of
the
factor
k
are
obtained,
39
,
19

y,Θ
DOI: 10.12845/bitp.44.4.2016.x
efor
the
1 relationship
Inżeorder
(8)totoprowadzenie
be used for the
linear-programming
algorithm
proposed
w praktyce
uniemożliwia
obliczeń.
Możfor The
which
there
is no
explanation.
Asfrom
such,
is, to (9) and (10) to the
approximation
levelformal
of straight
lines resulting
the this
relationships
here,
it must
be linearised.
While
theused
PN-EN
1993-1-2
standard
italgorithm
ispiecewise
substituted
with
a as
RESEARCH
DEVELOPMENT
jednak
że wynikowa
krytyczna
ramy [9]some
extent,
a limit
temperature
above
which
the resistance
Inna
order
for przyjąć,
the
relationship
(8) tointemperatura
be
for the
linear-programming
proposed
linear
function
proposedAND
in
the
PN-EN
1993-1-2
standard [9] is shown in Figure
И РАЗВИТИЕ
The
approximation
level
straight
lines
resulting
from the relationships
(9)
(10) to the
piecewise
linear
function,
the number
of straight
segments
that it notice
makes
o
stosunkowo
szacowana
jest
poziomie
wyższym
niż is[9]soitof
the
cross-section,
being
insignificant
isand
here,
it must
berzadko
linearised.
While
in
thenaPN-EN
1993-1-2
standard
islarge
aofthat
2.substituted
It analysed
is easy towith
for temperatures
higher than 785anyway,
values of the factor
C negative
piecewise
linear function
as proposed in the PN-EN 1993-1-2 standard [9] is shown in Figure
computation
practically
impossible.
It
can
be
assumed,
however,
that
the
resultant
critical
º
785
C.
Takie
ograniczenie
pozwala
na
akceptację
zależności
The
offorthe
relationships
(9) explanation.
and (10) As
makes
it is, to some extent,
piecewise linear function, the number of straight segments is so ignored.
large
it use
makes
are
obtained,
which
there is no formal
such, this
k y ,that
2. It is oeasy to notice that for temperatures higher than 785o C negative values of the factor
uproszczonej
zaproponowanej
przez
autorów
w pracy
[3].
Ma than
computation
practically
Itrarely
can
be
assumed,
thatpossible
the
critical
express
theabove
yield
criterion
inexplanation.
a linear
Indeed,
. Such
aforlimit
temperature
of
the
frameimpossible.
is relatively
estimated
to however,
be more
785
Cto
a resultant
limit
temperature
the resistance
thestraight
analysed
cross-section,
being th
Thewhich
approximation
levelofform.
of
resulting
are obtained,
which
there
is
no formal
As
such,
this lines
is, to
some
extent,from
k y ,
o the formula
ona postać:
insignificant
is ignored.
The use ofpoint,
the relationships
(9) andcan
(10) makes it possible to
taking
(6)
aspiecewise
the starting
the
following
allows
the acceptance
simplified
authors
of anyway,
[3].
The
temperature
of the frameofisthe
relatively
rarelyrelationship
estimated toproposed
be more by
thanthe
.
Such
a
limit
785
C
linear function
proposed
in the PN-EN
1993a limit
temperature
above which
the resistance
oftaking
the as
analysed
cross-section,
being point,
express
the yield criterion
in
a linear
Indeed,
the
formula
(6) as the starting
observed:
relationship
is BADANIAof
I ROZWÓJ
BiTP
Vol. form.
44 the
Issue
4, 2016,
pp.
XX-XX
allows the acceptance
the simplified relationship proposed by thebe
authors
ofanyway,
[3].
The
insignificant
is ignored.
of
relationships
(9)
andtemperatures
(10) makes it possible
tothan 78
the following
can be
observed:
2. The
It isuse
easy
to
notice
that
for
higher
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
express the yield criterion in a linear form.
Indeed, taking the formula (6) as the starting point,
relationship iso
are obtained, for which there (11)
is no formal
explanatio
k
 • dla:
for 20 C    400o C : k y ,  k y ,20  k y ,400  1,0 (9)
the•following
observed:
for:
for 20ocan
(11)
C be(9)
 400o C : y ,M pl , ,d  M pl ,d
(9)
 for 20o C    400o C : k y ,  k y ,20  k y ,400  1,0
o
o
a
limit
temperature
above
which
the
resistance
of t
(11)
 for 20 C   o 400 C : Mopl , ,d  M pl ,d
3
 for 400 C
(12)
   785
C : M pl , anyway,
,04  2,6  10
(10)
 for 400o C    785o C : k y,  2,04  2,6  103
, d  M pl , dis2ignored.
insignificant
Theuse of the relationshi
 M , fi • for:
o
o
o express the yield criterion in a 
3
,f 2y,04  2,6  103 (10)
form.
Indeed,
taking t
: M
(12)
for It400
C
  785
,04  2,6
 10 linear
 to
400oM
C    785
C: k
 • dla:
for (10)
k yy,
(12)
,d  M
, d 2formal
pl ,there
is important
to C
note
that
areplno
obstacles
considering
a situation
(7)
 k y , M pl , d
pl , , d  W pl
the
following
can be
observed:
where
the
cross-section
is
not
heated
uniformly.
For
instance,
a
slightly
lower
temperature
 M , fi
M
It is important to note that there are no formal obstacles to considering a situation can
BiTP Vol. 44 Issuebe
4, considered
2016, pp. XX-XX
of theisI-beam
top flange
of the steel
frame beam
in relation
to other parts
where
the cross-section
not heated
uniformly.
instance,
slightly
lower temperature
can of the
Stopień
przybliżenia
prostych
wynikających
z
zależności
DOI: 10.12845/bitp.44.4.2016.x
 for
: M pl
20o C For
frame
 400o Cadifference
 the
M pl
, other
dl in
,of
d theflange

–,
bottom
cross-section.
Such
a, actually
insignificant,
temperature
be
considered
of
the
I-beam
top
flange
of
the
steel
beam
in
relation
to
parts
It
is
important
to
note
that
there
are
no
formal
obstacles
to
(9) i (10) do łamanej
w normie PN-EN
where proponowanej
value 1993-1of the yield point of steel, usually identified with
its
f y is the nominal
u
l l
is
not
in its
and in the middle
the considered
cross-section,
and
cross-section.
Such
a, of
actually
insignificant,
temperature
difference
in top
the flange,
bottom respectively
flange
a situation
where
the
cross-section
heated
o XX-XX
o– 
AND DEVELOPMENT
BiTP Vol. 44 Issue 4, 2016, considering
pp.
XX-XX
2RESEARCH
[9] pokazano
na ryc. 2.RESEARCH
Łatwo zauważyć,
że dla temperatury
AND DEVELOPMENT
BiTP Vol. 44Issue
4, 2016,
pp.
: frame
for
400
C



785
C
M pl ,beam

M aplmassive
u of the
l steel
, d 2,04
И
РАЗВИТИЕ
DOI:
10.12845/bitp.44.4.2016.x
–
is
attributable
to
the
direct
contact
of
the
top
flange
with
uniformly.
For
instance,
a
slightly
lower
temperature
be ,drespectively
The approximation
level ИССЛЕДОВАНИЯ
of straight
linesin
resulting
from
the standardised
relationships (9)
(10)
to the
   in its can
andand
in
the
middle
of the considered
cross-section,
top flange,
characteristic
value
simplified
computations
– is theanddeformation
W
И РАЗВИТИЕ
DOI:
10.12845/bitp.44.4.2016.x
ºC otrzymuje
się ujemne
wartości
współczynwyższej
niż 785
pl
reinforced-concrete
floor
slab
of
high
heat
capacity.
The
cross-section
so
heated
– shown
is attributable
the direct
contact
the top flange
the steel
framebeam
beam with a massiveis then
piecewise linear function as proposed in the PN-EN 1993-1-2 standard [9] is
in Figure
considered
oftothe
I-beam
topofflange
of theofsteel
frame
nika
ky,Θ, co nie ma uzasadnienia formalnego. W takimoujęciu
isis, important
to cross-section
note
that
there
are
no
formal o
assigned
the parameter
to some The
extent,
the
multiplier
of the
reference
such
reinforced-concrete
floor slab
of, which
highIt
heat
capacity.
so heated
is then
resistance
factor
that
depends
only
on
the
geometric
values
and
as
is
independent
of
the
in
to other
parts
of the
Such
an, actunegative
values
of the factor
is easy to
notice
for lines
temperatures
higher
than
785 C
The2.approximation
level
of that
straight
resulting
from
thepowyżej
relationships
(9) and (10)
torelation
the
l
where
thecross-section.
notmultiplier
heated
uniformly.
For instan
jest
toIt zatem
niejako
temperatura
graniczna,
której
which is,
tocross-section
some extent,l isthe
of the reference
assigned
the parameter
 , that:

temperature
[8],
such
piecewise
linear
function for
as proposed
in theisPN-EN
1993-1-2
[9] is
shown
inally
obtained,
which
there
no
formal
explanation.
this
is,Figure
toinsignificant,
some
extent,
The while
approximation
level
of
lines
resulting
from
the
relationships
(9) and
(10)
k y , are
in the bottom
temperature
difference
–the
Θ bearing
and
are
partial
safety
specified
for toload
temperature,
M
standard
l factors
zaniedbuje
się
i tak już
niewielką
nośność
badanego
Mstraight
,przekrofi As–such,
such that:be considered of the I-beam top flange of the steel frame b
temperature
l  u[8],standard
values
ofcross-section,
the
factor and
2. Ita islimit
easy totemperature
notice that for
temperatures
higher
than 785o as
Cofnegative
piecewise
linear
function
proposed
in
the
PN-EN
1993-1-2
[9]
is
shown
in
Figure



flange
in
the
middle
of
the
considered
cross-section,
and
above
which
the
resistance
the
analysed
being
ju. Wykorzystanie
zależności
(9) i (10)
daje
możliwość
zapi-situation
(13) di
 l l uthe
cross-section.
Suchrespectively.
a, actually insignificant, temperature
u and
capacity
relating
to
therelationships
basicsuch,
design
unique
situation,
lits to
are obtained,
for which
there is
formal
thisand
is, to(10)
some
k y ,
o
785
 in
Θextent,
top
flange,fire
respectively
is attributable to the
insignificant
isand
ignored.
The
use
of
the
(9)
makes
possible
values of the– factor
2. It isno
to explanation.
notice
thatAsfor
temperatures
higher
than
C negative
(13)
sania
warunkuanyway,
plastyczności
weasy
postaci
liniowej.
Wychodząc
< itΘ
l
u
and
in
the
middle
of
the
considered
cross-section,
and
a limit
temperature
above which
the resistance
of the
analysed
cross-section,
being
express
theIn
yieldpractical
criterion
in acomputations,
linear
form. Indeed,
taking
the
formula
(6)
asdirect
the
starting
point,of
as
recommended
by
the
PN-EN
1991-1-2
standard
[10],
it is with

contact
the
topthis
flange
the
frame beam
u is, toof
l steel
are
obtained,
for
which
there
is
no
formal
explanation.
As
such,
some
extent,
k
z formuły
(6),
można
bowiem
zauważyć,
że
zachodzi:
y
,



(Figure
3).
It
should
be
noted,
however,
that
theth
This
means
that
there
is


1



Ryc.
2. Aproksymacja
zależnościami
i (10) łamanej
proponowanej
w to
normie
PN-EN u – is attributable
insignificant
anyway,
ignored.
The use of the (9)
relationships
(9) and (10)
makes it possible
toofthe
direct
contact of the top flange of
the following
canisbe
observed:
athat
massive
reinforced-concrete
slab
heatof
that
This
the
design
resistance
al during
 Mtemperature
 taking
1formula
,0 . relacji
3). high
It should
becapacity.
noted,
however, that the
This
means
that
there
isplastic
  cross-section,
1 bending
 floor
 l (Figure
Ryc. 2.
(9)
iM
(10)
łamanej
proponowanej
w
normie
PN-EN
express
theAproksymacja
yieldassumed
criterion in azależnościami
linear
form.
the
(6) asmeans
the
starting
point,
,Indeed,
fi do
a
limit
above
which
the
resistance
of
the
analysed
being
1993-1-2
[9]
przybliżenia
(8)
(

value
of
the
factor
changes
with
the
change
in
temperature
the
fire.
And
this

reinforced-concrete
floor
slab
of
high
heat
capacity.
o be observed:o
The
cross-section
so heated
isthethen
assigned
the parameter
α,fire. And this is isTh
the•following
can
2.dla:
for
C    400 1993-1-2
Cof: the
M piecewise
M
(11)
przybliżenia
relacji
(8)use
( of in
,l during
with
change
in temperature
theis,
value
of
factor
 changes
pl[9]
, , ddo
pl , d is ignored.
by(11)
nothe
means
a (9)
proportionate
change.
The
neutral-axis
location
changes
as well,
which further
insignificant
anyway,
The
the
relationships
and
(10)
makes
it
possible
to
Fig.
An20approximation
linear
function
proposed
the
PN-EN
1993-1-2
assigned
the
parameter
which
to some
extent

steel member
’s cross-section changes with thewhich
temperature
proportionately
to the
changes
in astemis, to1993-1-2
some
extent,
the
multiplier
of
the
reference
by(10)
no
means
athe
proportionate
change.
Thestarting
neutral-axis
location
changes
well,
which further
complicates
computations.
The
criterion,
then,
must
be in each
case linearised
again for
o approximation
o
Fig.
2. 20
An
ofestimate
the
piecewise
linear function
in
the
PN-EN
express
the
yield
criterion
in(9)
a linear
Indeed,
taking
formula (6)
as yield
the
l point,
relationship
byproposed
theform.
formulae
and l(11)
 for
C [9]
 standard
M
Mthe
o400 C : to
o, , d 
 3 (11)
pl
pl
,
d

temperature
[8],
such
that:
Θ(11)
[8],
such
complicates
computations.
The
criterion, then, Experiments
must be in each case linearised again for
the
characteristic
This
a each
highly
non-linear
relationship.
 for[9]
(12)
400
C
  tothe
785
C : Myield
beMobserved:
2(9)
,04steel.
 2the
,6  10
 isperature
given
value
of thethat:
steelyield
temperature.
, d point
pl ,
pl , d of
standard
estimate
the
relationship
formulae
(10)
and
following
can
Źródło:
Opracowanie
własne
na by
podstawie
[3]. each
given value of the steel temperature.
o
3
l
u
:Source:
(12)
for 400oshow
C   that
785
Cregardless

•dla:
(12)

of
the
high
statistical
variability
of
the
results,
the
following
relation is a
MOpracowanie

M
2
,
04

2
,
6

10

Źródło:
własne
na
podstawie
[3].
,
,
,
pl

d
pl
d
based
on [3].
 
It is important to note that Own
there elaboration
are no formal
obstacles
to considering
a situation
o
(13)
 for 20
: M
(11)
C elaboration

 400o Cbased
M pl ,d 
plslightly
,
, d  lower
Source:
Own
on
[3].
good
estimation
of
the
relationship
sought:
where
the
cross-section
is
not
heated
uniformly.
For
instance,
a
temperature
can
l
It is important to note that there are no formal obstacles to considering a situation

Należy
zaznaczyć,
że
nie
ma
formalnych
przeszkód
do
be
considered
of
the
I-beam
top
flange
of
the
steel
frame
beam
in
relation
to
other
parts
of
the
where the cross-section is not heated uniformly. For
lower temperature can
o instance, a slightly
o
l
insignificant,
forthe400
ogrzania
beam
 785
C: M
M
,04
 2,6  103 is Θu = (1 – α)Θ(12)
u It should l
1,0087
This
(Figure
rozważenia
przekroju
be considered
ofsytuacji
theSuch
I-beam
top flange
of
steel C
frame
in difference
relation
to482
other
of pl
the
, d 2means
pl
, dlparts
–,
in the
bottom
flangethat thereThis
cross-section.
a, nierównomiernego
actually
temperature
means that (8)
there
is 3).
 1    (Figure 3). It s
where


k

l niż
y
,
be
noted,
however,
that
the
value
of
the
factor
α changes with
poprzecznego.
Można
na
przykład
uwzględnić
niewiele
u
l
–  in the bottom flange
cross-section.
a, actually
insignificant,
temperature difference
0
,
2609



and in theSuch
middle
of the considered
cross-section,
and
in
its
top
flange,
respectively
39
,
19
is importantu stalowego
to note
thatrygla
there are the
no change
formal obstacles
to considering
situation
withis the
value
the afactor
 changes
l
e  pasa
contact
1 Itdwuteowego
the fire.
And this
by change in tempera
in temperature
Θlofduring
szą
górnego
  of
and–intemperaturę
middle of the
considered
cross-section,
in its steel
top flange,
isthe
attributable
to
the
direct
of theand
top flange
framerespectively
beam For
withinstance,
a massive
BADANIA
IaROZWÓJ
BiTPloca
Vol
where
the
cross-section
issteel
notthe
heated
uniformly.
slightlyby
lower
temperature
can
no
means
a
proportionate
change.
The neutral-axis
–
is
attributable
to
the
direct
contact
of
the
top
flange
of
the
frame
beam
with
a
massive
meansisa then
proportionate change. The neutral-axis location
ramy
względem pozostałych
przekroju.
Taka, The
w praktyce
D
reinforced-concrete
floor slabczęści
of high
heat capacity.
cross-section no
so heated
be
considered
of
the
I-beam
top
flange
of
the
steel
frame
beam
in
relation
to
other
parts
of
the
complicates
computations.
The
yield
criterion,
then,
must
reinforced-concrete
floor
slab
of
high
heat
capacity.
The
cross-section
so
heated
is
then
l
In
order for
relationship
(8)
to the
be multiplier
used
for
linear-programming
algorithm
proposed
changes
as 3.
well,
which further
complicates
computations.
The nieizolowanego
stosunkowo
niewielka,
różnica
temperatury,
Θ
which
is, to someodpowiednio
extent,
of the
theRyc.
reference
assigned the
parameter
 ,the
Obliczeniowy
rozkład
temperatury
w
przekroju
poprzecznym
l
which is, to some
extent,
the multiplier
of the reference
assigned the parameter  , cross-section.
given
value
of the steel
temperature.
3. Obliczeniowy
rozkład
temperatury
w przekroju
poprzecznym
each
in
the
bottom
flange
Such
a, actually
insignificant,
temperature
difference
stalowego
rygla
ramy–must
nośnej
uwzględniający
wpływ
sąsiadującej
tym
yieldRyc.
criterion,
then,
be
in each
case
linearised
againznieizolowanego
for ryglem żelbetowej
w dolnym pasiel i w środniku
rozpatrywanego
przekroju
oraz










it such
must
 [8],
temperaturehere,
that:be
temperature  l [8], such that:



linearised. While in the PN-ENstalowego
1993-1-2
standard [9] it is substituted with a
rygla ramy nośnej uwzględniający wpływ sąsiadującej z tym ryglem żelbetowej
uvalue lof the steel temperature.
płyty stropowej
eachand
given
Θu < Θl wl jego
górnym pasie
są- of straight
segments
  in its is
and
injest
theskutkiem
middle ofbezpośredniego
thethe
considered
cross-section,
top so
flange,
respectively
płyty
stropowej
piecewise
linear
function,
number
large
that it makes
u  u
Fig. 3. The computational distribution of the temperature in the cross-section of an
l górnego
–
is
attributable
to
the
direct
contact
of
the
top
flange
of
the
steel
frame
beam
with
massive
For
multi-storey
frames,
it
might
prove
important
for the of an
siedztwa
pasa
stalowego
rygla
ramy
z
masywną
żelbeFig.
3.
The
computational
distribution
ofathe
temperature
in the cross-section
(13)

(13)

uninsulated
steel
beam
in
a
bearing
frame,
taking
into account
the influence of a reinforcedcomputation
practically
impossible.
It
can
be
assumed,
however,
that
the
resultant
critical
l
uninsulated
steel
beam
in a bearing
frame,
account
the
a reinforcedreinforced-concrete
floor slab
of high heat precision
capacity.
The
so
heated
isinto
then
thecross-section
estimated
critical
temperature
ofwith
Θcrinfluence
tobeam.
take
tową płytą
pojemności cieplnej.
Ogrzanemu
Forof
multi-storey
frames,
it taking
might
prove
important
forofthe
precision of th
 l  stropową o dużej
concrete
floor
slab
in
direct
contact
the
oreference
concrete
floor slab
in
direct
contact with the beam.
,
which
is,
to
some
extent,
the
multiplier
of
the
assigned
the
parameter

into
account
the
effect
of
the
M-N
interaction.
The
yield
critew ten
sposób
przekrojowi
przypisuje
się
parametr
α
stanou the
lwtedy
temperature
of
frame
is
relatively
rarely
estimated
to
be
more
than
.
Such
a
limit
785
C
u
l
Źródło:
Opracowanie
własne.
of  crŹródło:
to take
into account
the effect of the M-N interaction
1  (Figure
3).l Itbeshould
noted, that
however,
that the
means
  (Figure
1  
3). It should
noted, be
however,
the temperature
ThisThis
means
that that
there there
is  is 
Opracowanie
własne.
Source:
Own
elaboration.
rion (6)(6)
is then
expressed
the
relationship:
wiący niejakoallows
mnożnikthe
temperatury
odniesienia
Θthat:
[8], taki że:
inl temperature
temperature
[8],
Source:
Own
elaboration.
acceptance
of such
the
simplified
relationship
proposed
by by
the
authors
of [3]. The
l fire.
is
then
by
the
relationship:
 l duringthe
value
of the
with
the
change
And
 changes
with
the change
in
temperature
during
thethis
fire.is And this
is expressed
value
of factor
the factor
 changes
by no
a proportionate
change.
The neutral-axis
location location
changes aschanges
well, which
further
relationship
ischange.
by means
no means
a proportionate
as well,
which further
u neutral-axis
 l  The
complicates
computations.
Theyield
then, must
be must
in eachbecase
linearised
for again for
complicates
computations.
The
yield criterion,
then,
in (13)
each
case again
linearised
 criterion,
k  1,..., K
l
eacheach
given
value
of
the
steel
temperature.
o 
o
given value of the steel temperature.

N k , 

1
M k,Θ  M pl , , d (13)

 (14)
N pl ,(9)
 for 20 C    400 C : k y ,  k y ,20  k y ,400  1,0
,
d


Ryc.
3.
Obliczeniowy
rozkład
temperatury w przekroju
This means that there is  u  1    l (Figure 3). It should be noted, however, that the
Since,
however,
by
analogy
to
(7),
there
is:
stalowego
rygla
ramy
nośnej
uwzględniający
wpływ sąsi
o
o
400of
Cthe factor
  785
C : with
 forvalue
k y,thechange
2,04 in2temperature
,6  103 l during the fire. And this is (10)
 changes
płyty stropowej
 M , fi
k y ,asf ywell, which further
by no means a proportionate change. The neutral-axisNlocation 
changes
The computational
distribution of the tempera
A
Fig.
k y ,3.
 N pl , d
pl , , d
complicates computations. The yield criterion, then, must be in each case
linearised
again
for
 M in a bearing frame, taking into acc
uninsulated
steel
beam
M , fi
each given value of the steel temperature.
concrete floor slab in direct contact w
(14) is equal
to:
where A is the cross sectional area, the criterionŹródło:
Opracowanie
włas
Ryc. 3. Obliczeniowy rozkład temperatury w przekroju poprzecznym nieizolowanego
Source:
Own
elaboration
W pl
stalowego
ramy nośnej uwzględniający
wpływ sąsiadującej
tym ryglem żelbetowej
Ryc.rygla
3. Obliczeniowy
rozkład temperatury
w przekrojuz poprzecznym
nieizolowanego
k  1,..., K M k,Θ 
N k ,  M pl , , d
płyty stropowej
A
stalowego rygla ramy nośnej uwzględniający wpływ sąsiadującej z tym ryglem żelbetowej
Fig. 3. The computational distribution of the temperature in the cross-section of an
(16)
płyty stropowej
uninsulated steel beam in a bearing frame, taking into account the influence of a reinforcedFig. 3. Theconcrete
computational
distribution
of thewith
temperature
an
floor slab
in direct contact
the beam. in the cross-section of
of an equivalent sequence of four independent constraints, that is:
uninsulated steel beam inŹródło:
a bearing
frame, taking
into account the influence of a reinforcedOpracowanie
własne.
concrete
floor Own
slab elaboration.
in direct contact with the beam.
Source:
W pl
Źródło: Opracowanie własne.
 when M k ,  0 and N k ,  0 : k  1,..., K M k,Θ 
N k , 
A
Source: Own elaboration.
Ryc. 3. Obliczeniowy rozkład temperatury w przekroju poprzecznym nieizolowanego
W pl
stalowego rygla ramy nośnej uwzględniający wpływ sąsiadującej
when M k ,ztym
and Nżelbetowej
N k ,
 0ryglem
k ,  0 : k  1,..., K - M k,Θ 
płyty stropowej
A
Ryc.
2.
Aproksymacja
zależnościami
(9)
i
(10)
łamanej
proponowanej
w
normie
PN-EN
Fig. 3. The (9)
computational
distribution
of the
in the
cross-section
of an
Ryc. 2. Aproksymacja zależnościami
i (10) łamanej
proponowanej
w temperature
normie PN-EN
1993-1-2
[9] do przybliżenia
relacji (8)
W pl
1993-1-2
[9]
do przybliżenia
relacji
(8)
(
steel linear
beam
in a bearing
frame,
into
influence
oftoaestimate
reinforcedFig. 2. An approximationuninsulated
of the piecewise
function
proposed
intaking
the PN-EN
1993-1-2
standard
the
relationship
k  1,..., K(8) M k,Θ 

N k , 
and
:
 account
when the
M[9]

0
N

0
k ,
k ,
A
the formulae
(9) and
(10) with proposed
floor
slab in linear
direct
contact
the beam. in the PN-EN 1993-1-2
Fig. 2. An approximation concrete
of thebypiecewise
function
Źródło: Opracowanie
własne na podstawie
własne.[3].
[9] standard to estimate
theelaboration
relationship
by the formulae (10) and (11)
W pl
Source: Own
based(9)
on [3].
Source:
Own elaboration.
N k ,
M k ,  0 and N k ,  0 : k  1,..., K -M k,Θ 
Źródło: Opracowanie własne na when
podstawie
[3].
A
Source: Own elaboration based on [3].
107
6. The formulation of the linear-programming problem
The linear equilibrium conditions (3), (4) and (5), respectively, and
criterion(16) facilitate the formulation of the constraints to be used as the
For multi-storey frames, it might prove important for the precis
temperature of  cr to take into account the effect of the M-N in
For multi-storey frames,
it might prove important for the precisi
(6) is then expressed
theinto
relationship:
temperature
of  toby
take
account the effect of the M-N inte
cr
BiTP Vol. 44 Issue 4, 2016, pp. 99–120
BADANIA I ROZWÓJ
(6) is then expressed by the relationship:

N k , 

k  1,..., K M k,Θ DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.8
M pl , , d 1 
BADANIA I ROZWÓJ
BiTP Vol. 44 Issue 4, 2016, p

N

N kpl,
, , d  BiTP Vol.
BADANIA I ROZWÓJ
44 Issue 4, 2016,
BADANIA I ROZWÓJ
BiTP Vol.DOI:10.12845/bitp.4
44 Issue 4, 2016, p
1 
 BiTP
BADANIA
I ROZWÓJ
44 Issue 4, 2016, p
DOI:10.12845/bitp.



1
,...,
k
K
M
M
k,Θ
pl ,BiTP
, d Vol. 44 Issue 4, 2016, pp.XX-XX Vol.DOI:10.12845/bitp.4
DOI:10.12845/bitp.4
u
l BADANIA I ROZWÓJ
Oznacza to, że zachodzi Θ = (1 – α)Θ BADANIA
(ryc. 3).I ROZWÓJ
Należy
Since,
however,
by analogy
to (7), there
is:
BiTP Vol.
44 Issue
2016, pp. XX-XX
N 4,4,is:
,2016,

, dpp. XX-XX
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
Since,
however,
by analogy
to
(7),
there
BADANIA I ROZWÓJ
BiTP
Vol.
44
Issuepl
BADANIA
I ROZWÓJsię
BiTP 
Vol.DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
44 Issue 4, 2016, pp.XX-XX
jednak
zauważyć, że wartość współczynnika
α zmienia
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
BADANIA I ROZWÓJ
BiTP
Vol.
44
Issue
4,
2016,
pp.
XX-XX
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x


N
l
4, 2016,
w czasie
pożaruAND
wraz
ze zmianą wartości temperatury Θ .
pp.
fVol.
 44
RESEARCH
DEVELOPMENT
BiTP
Nkk,(7),
by
analogy
to
,
,XX-XX
Mis:
fi
y ,DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
k Since,
 Issue
1,..., K however,
M k,Θ  kM
, there
, dy1
N
, d

N
A
N
k  1BiTP
,...,
1 kN
KVol.
MIssue
Mplplpp.
N
(15)
Nie ИССЛЕДОВАНИЯ
jestBADANIA
to przyI ROZWÓJ
tym zmiana
w żaden sposób proporcjonalna.
1
k,Θ
, XX-XX
, dDOI:
kk,,

,
y
pl
,N,M
pl
d
44
4,2016,
И РАЗВИТИЕ
10.12845/bitp.44.4.2016.x
pl
,
d






1
,...,
k
K
M



k,Θ
pl
,

,
d
N
k
,

k  1,...,


1
K
M
M




N
pl
,

,
d
  DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
, d  N
M,f, yfi
k ,k,Θ
 k y ,pl
(14)
 M
11,...,
kk dodatkowo
Zmienia się również położenie osi obojętnej,
pl,,
 ,,dd   M ,M
N
pl , , d 1
N
fi

(14)
co

,..., K
1
K M
Mk,Θ
M
k
,

pl

BADANIA I ROZWÓJ
BiTP
Vol.
44
Issue
4,
2016,
pp.
XX-XX
Nplk,
k,Θ  MPonieważ
pl , , d 1 jednak,
 (7),
,
analogicznie
do
zachodzi:

k y ,
N pl ,d
,A
d 
(14)
kkplastyczności
N
,...,K
K M
M k,Θ
N
,
,
d
komplikuje obliczenia. Linearyzację warunku
pl ,N
, d pl
pl
,

,
d
(14)

11,...,


1
M
Ponieważ
jednak,
analogicznie
do
(7),
zachodzi:

DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x


k,Θ
pl
,

,
d
N


is
the
cross
sectional
area,
the
criterion
where
A
pl
,

,
d
Ponieważ
jednak,
analogicznie
do (7),
(7),are
zachodzi:
 jednak,
 M sectional
M member,(14) is equal to:
, fi do
Ponieważ
zachodzi:
trzeba zatem w takim przypadku przeprowadzać od nowa dla
where
ANisplthe
the analysed
,analogicznie
, d cross
 M , fi
k y , f y
Ponieważ jednak, analogicznie do (7), zachodzi:
 M , fiand (10) to the
k yrelationships
f  k y ,as:
Ponieważ
jednak,
analogicznie
do
(7),
zachodzi:
N pl
 the
A(14)
N pl , d (9)
,is
,do
, d (7),
The
approximation
level of
straight
lines
resulting
from
the
każdej
zadanej
wartości temperatury
stali.
f yyshown
Ponieważ
jednak,
analogicznie
zachodzi:

M ,, fi
fi
N criterion
 Azachodzi:
k y , Nsectional
kkAyy,,M
pl
pl ,W
d M
,
, d(7),
plwhere

y k
is
cross
M area, the criterion (14) is equal to:
,ffithe
Ponieważ
jednak,
analogicznie
do
N

A
N

k
f


,
,
y
pl
d
,
,
pl
d

, fi M , K
M1
y , f y
N plthe
kA
k ythe
W
przypadku
ram wielokondygnacyjnych
istotnym
M
, d is
N k ,
inMFigure
fi 
kdla
 , dprecision
 N pl
,k,Θ
,1993-1-2
piecewise
linear
function
proposed
in
the
[9]
M, ,...,
fiM ,standard
MMshown
y ,PN-EN
y  for
pl , , d (15)
For
multi-storey
frames, itasmight
prove
important
of
estimated
critical
N

A
k
N
fi


,
,
y
pl
d
,
,

pl
d

k
f
(15)
Nkrytycznej
 AkΘ
N pl
, fiM , fi
Mthe
y , fthe
y  kgdzie
AM przekroju poprzecznego,
y , N
, , d 
pl
 M
For
multi-storey
frames, it temperatury
might prove
important
of
critical
precyzji
uzyskanego
oszacowania
powierzchnią
(14) spr
A, djest
, fi estimatedanalizowanego
,
yfor
M
, fiy precision
M
(15) warunek
N
A
k
W
cr




,
,
y
pl
d
,
,
pl
d
pl
o(16)
powierzchnią
analizowanego
przekroju poprzecznego,
warunek (14) spr
A, d jest
M
M , fi of
(15)
N pl , , d the
A effect
kgdzie
N plpostaci:
of notice
to
take
into
account
the
M-N
interaction.
The
yield
criterion
,
ygdzie
1,...,
cr
jest
powierzchnią
analizowanego
przekroju
poprzecznego,
warunek
(14)
spro
się
do
A
2.temperature
It is easy
that
for
temperatures
higher
than
negative
values
of
the
factor
785
C
(16)
może
okazać
się uwzględnienie
wpływu
interakcji
M-N.
Wak
K
M



N

M
M
,
M
fi
to
take
into
account
the
effect
of
the
M-N
interaction.
The
yield
criterion
temperature
ofto


jest
powierzchnią
analizowanego
przekroju
poprzecznego,
warunek
(14)
spro
gdzie
A
k,Θpoprzecznego,
k ,
pl , sprowadza
,d
cr
M
M , fi
się do postaci:
warunek
gdzie
A critical
sięanalizowanego
do
postaci: ofprzekroju
For
multi-storey
frames,
it
might
prove
important
for
the
precision
the
estimated
jest powierzchnią
powierzchnią
analizowanego
przekroju
poprzecznego,
warunek (14)
(14) sprowadza
gdzie A
A jest
runek
plastyczności
(6)
zapisuje
się
wtedy
zależnością:
(6)
is
then
expressed
by
the
relationship:
się
do
postaci:
W
(6)
is
then
expressed
by
the
relationship:
isApostaci:
formal
explanation.
As
such,
this M
is,oftofour
some
extent,
k y , are obtained, for which there
jest powierzchnią
powierzchnią
analizowanego
przekroju
poprzecznego,
warunek
(14)
sprowadza
gdzie
A no
an
independent
constraints, that is:
się
Wplplsequence
poprzecznego,
(14)
sprowadza
gdzie
(16)
się do
do postaci:
kanalizowanego
K equivalent
M przekroju
 1of
,...,
W
N
k , criterion
,warunek
d
temperature of  cr to take into account
thejesteffect
of theM-N
interaction.
yield
się do
do postaci:
postaci:
pl N
k  1,...,
K Mk,Θ
WThe
Mplpl,
A
k,Θ
k
,

,

,
d
pl
się
k
K
M


1
,...,

N

M
of
four
constra which

k,Θanalysed
 cross-section,
,
independent
A N kk,,
 Nkk,1,...,
 W
Kequivalent
M k,Θ
kof
of
1an
,...,equivalent
 sequence
M
a(6)limit
temperature
above
resistance
of
the
being
Wis:
Nthe
Wpl
,,dd independent
pl
pl
Aczterech
kK,M
sequence
ofplplN,four
constraints,
expressed
byMthe
relationship:
(16)
N
 M
1  
Wints,
k ,an
pl
, , d M A
 W
równoważnej
sekwencji
niezależnych
ograniczeń,
to1znaczy:
(14)
kkisthen

1,...,
,..., K
MM
(16)K M k,Θthat
k 1,...,K
Mk,Θ

Nthat
M
pl
(14)
k
and
:
when


,...,


0

0
(14)
k,Θ
pl
,pl
, d,


1
1
K
M
k,Θ
k , is:
pl
, , d
A
k
,

k
,

pl
k,Θ
,
d
równoważnej
sekwencji
czterech
niezależnych
ograniczeń,
to
znaczy:
(16)
k
K
M


1
,...,

N

M
 N
K M
insignificant
anyway,
is
ignored.
The
use
of
the
relationships
(9)
and
(10)
makes
it
possible
to
A
k,Θ
k
,

pl
,

,
d
A
(16)
k


1
,...,

N

M
równoważnej
sekwencji
czterech
niezależnych
ograniczeń,
to
znaczy:
pl
,

,
d
 Vol. 44Arównoważnej
N pl ,, dk,Θ
k ,2016,
 pp. XX-XX
pl , , d
BADANIA I ROZWÓJ
BiTP
Issue 4,
  równoważnej
sekwencji
czterech niezależnych ograniczeń, W
to pl
znaczy:
W pl
niezależnych
 Vol.44A44czterech
N kform.
BADANIA I ROZWÓJ
BiTP
Issue 4, 2016,
pp. XX-XX
W
, sekwencji
express
Indeed,
taking
the
formula
(6)
as
the
point,
równoważnej
sekwencji
czterech
niezależnych
ograniczeń,
to
znaczy:
kk,1starting
K
M
i N
: znaczy:

,...,
W
NK M
M
4,when:
gdy
M
 0kograniczeń,
and
0to
BADANIA
I ROZWÓJ the yield criterion in a linear
BiTP Vol.DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
Issue
4,2016,
pp.
XX-XX
pl(17)
•
k
when
:
1
,...,
M
0
N

0
k,Θ
 , d WN
k
,

k
,

BADANIA
I ROZWÓJ
BiTP
Vol.
44
Issue
2016,
pp.
XX-XX
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
,

równoważnej
sekwencji
czterech
niezależnych
ograniczeń,
to
znaczy:
(14)
 M to
144
k  1,...,
K M
pl Nkk,
i N k ,  to
k  1,..., K M k,Θ WA
 k,Θ
Mplpl,
 gdy
M k ,  0ograniczeń,
0 : znaczy:
Since,
however,
by
analogy
(7),
there
is:
,

,

k,Θ
pl
,

,
d
A I ROZWÓJ
BiTP
Vol.
Issue
4, 2016, pp. XX-XX
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
pl
równoważnej
sekwencji
czterech
niezależnych
K :M
kk 
 11,...,
,..., K
N kK
 -M
MMpl , , d, dA p
gdy when
M k , 
 00 ii N
N k , 
 00W:: pl
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
A I ROZWÓJ
Vol.
44 Issue
4, 2016, pp. XX-XX
Ponieważ
jednak, can
analogicznie
doBiTP
(7),
zachodzi:
k,Θ
 
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x

N
 
gdy
M
N
the
following
observed:
k  A1A,...,
MK
0 Mk,Θ
W pl N
Since,
however,
bybeanalogy
toVol.
(7),
there
k ,,
plk,Θ
, , d
,0 and
,is:
, dM
k ,Mk
k,
, M
A I ROZWÓJ
BiTP
44 Issue
2016,
pp.
XX-XX
kkk ,
(17)
11,...,
N
4,4,pl
gdy
00 ii N
00 :: 


DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
W
k,Θ 
k
pl
,

,
d
A
k , 
k , 
A I ROZWÓJ
BiTP
Vol.
44
Issue
2016,
pp.
XX-XX
W
K
M
(17)


,...,

N

M
gdy
M

N

pl k ,
A
pl
pl , , d
  0 i N k ,  0 : k  1,..., K M k,Θ  WA
 M , fi gdy M kk,,
k y , f y
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
plk
(17)
N

M
W
A
K
M
i
:

gdy

1
,...,

N

M
M

0
N

0
k,Θ
k
,

pl
,

,
d
k
,

DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x


pl
, dW pl
 (15)
Mk ,k,Θ
(17)
 1,...,
M
 gdy M k ,  0 i N•
gdy
0: 
W(18)
N pl , , d oA k
 k y ,N
k ,pl , d
, dkk,Θ
k ,
oNN
AN
pl KNkk,
K:pl ,
when:
Nkk,1,...,
-M
,...,
 Mplpl,
Mkkk,
 0Ki N
 0 :A
W

f
A
k,Θ
,

,

,
d
,

k
,

M

when
and

1

M

0

0
pl
however,
by
analogy
to
(7),
there
is:
(14)
k  1Since,


,..., K
1
M
M

,
M
fi
,
y
y
k
,

K -- M
M k,Θ 
iN
gdy M k , 
pl

,...,
 AN
N k ,  M
M
 00k ,i
N k , 
 0: W
for
(11)
20
Mpl,,fi,
k,Θ
,11,...,
 Mpl , , d  M pl , d  gdy
k,Θ C
d 400N kC
pl,,
,,dd W p
kkk
K

(14)
k  1N
 M
,...,
K ,M
k,Θ
pl
k , 0 : W
(15)
 A
NN
k ky,,,,:dN plM
(15) 0 i N k ,  0 : M
pl
A(18)Kk , M
k,Θ
, , d11
kkk,
 11,...,

 K
, d  gdy
pl
(14)
kk 
 11,...,
,...,
K ,
M
M plpl,
N
W pl

,k
d W
A
1,...,
 A
MKKk ,-- M
k,Θ
0 and
NNNkkk,,

0 :plpl,,
k,Θ 
,dd 1  Npl
M
(18)
gdy M
when
,...,
W
M
M
kd,k,Θ

Mkk,,
 0 i N k ,  0 : 
(14)

M
M
N
k,Θ
pl
,

,
d
pl
k,Θ
,


,
d


pl
,

,
A



k
,

N
pl


(14)
 M
11,...,
11 N k ,  k y ,
k
K
M
i
:
(18)

gdy


1
,...,

N

M
M

0
N

0
W

f
M
,
M
fi


pl
,

,
d
A
k
K
M
i
:

gdy


1
,...,

N

M
M

0
N

0
pl , , d where
N
A
k,Θ
k
,

pl
,

,
d
k
,

k
,

pl
,
M
fi
y


(14)
,..., K
K M
Mk,Θ
M
k,Θ
k
,

pl
,

k
,

k
,

k
K
M
i
:
(18)

gdy


1
,...,

N

M
 0equal
N kto:
pl ,area,
isthe cross
sectional
(14)
W pl N
N kA
k,Θ  MPonieważ
pl , , d 1 jednak,
,k,Θ
, d W
k , is
,  0gdy M k ,  0 i 
N

 the criterionM
A
k k1,
,..., K plM
M pl ,,,dW
N k ,k,Θ 0 : A
analogicznie
o do
o
(7),k zachodzi:
, d A
N,d pl
(14)
,...,K
K M
M k,Θ
, M
d pl
pl
 jednak,
N
pl , , dN
•when:
k ,2
(19)

K M
M k,Θ
iN
gdy
plkk(15)
 11,...,
,..., K
 A
N kk,
pl
,
,C
yzachodzi:
d: M
,N
,for
d,,,
M
 0010
N k3
 00 ::W
pl

, d 400
(14)
11,...,

(12)
C



785
pl
,

,
d
Ponieważ
analogicznie
do
(7),


M
2
,
04
,
6

,

A
i
gdy


N

M
M


k,Θ  MPonieważ
pl , , d 1 pl
W
k
K
M


1
,...,

 0 : when
M kK, 
N kN,
0M: pl ,k,Θ
pl , , d W
,M,kd,  (14)
, d equal
k ,0 and
pl
plkis
 Mcross
przekroju
plA
,analogicznie
, dis the
jednak,
analogicznie
doW
(7),
zachodzi:area,
pl
A(19) k ,
k,Θ
kkk ,11,...,
M
 W pl
Nkpl
, fido
sectional
thegdy
criterion
where
Ponieważ
jednak,
(7),
,,
gdzie
A
jest
analizowanego
 Mzachodzi:
Mk,Θ
(19)
gdy
to:
,..., K M
Nk ,
 M pl ,,,dd WApl
Mpo 00 ii N
N ,
 0: 
pl

Ap
 , dfpowierzchnią
, fi
y,...,
y M
k,Θ
 
 
 
WApl N
waż
do
(7),
kk,11,...,
Kki ,N
M,
(19)
, , dgdy
gdy M

,...,
and
Nkkk1,,
M
M kk,,
0 ii N
N kk,,
0:: 
k
K
-M


1
,...,
:

when
W
M
0

0

kwarunek
fK
1

N

M
waż jednak,
jednak, analogicznie
analogicznie
do
(7),
zachodzi:
A
(15)
k
K
-M
:
gdy

,...,

N

M
N
kAzachodzi:

k
N
M

0

0
k,Θ

pl
,

,
d
pl

,
M
fi
,
y
y
k,Θ
k,Θ
k
,

pl



k,Θ
k
,

pl ,, d
,
,
y
pl
d
,
,
pl
d
k

k
K
M
(19)


N

M

0

0
przecznego,
(14)
sprowadza
się
do
postaci:
W
 M , fi
ky , ff y  k
k,Θ
k
,

pl
,

,
d
k
,

k
,

waż
jednak,
analogicznie
do
(7),
zachodzi:
A
pl
(15)
k
K
-M
i
:

gdy


1
,...,

N

M
N

A
N
M

0
N

0
W

k
A
A
k,Θ pl N k ,  M pl , , d A
, d Mto
y ,N plsectional
,
, d(7),
,  0 i Ntok ,considering
 , is
, fi note
,M
yA
y the
fi
waż jednak,
do
the criterion
(14)no
is equal
to: obstacles
where
is
there are
formal
situation
(15)
Ka -M
-M k,Θ
gdy

 11,...,
,..., K
N plpl,
Azachodzi:
important
k cross
M kk,
 00 ::WA
kky ,analogicznie
ff y
 N pl
  M pl
pl,,
 ,,W
pl,,dd W
 
MM
plkk 
, fiIt
(15)
gdy
N kk,,
N
M
0 i N kk,,
pl area,that
•when:
(20)
M , fi  k yy,,
W
k,Θ  AA
dd pl
, ,,dd  AM
pl N
k ,
1
pl

,
M
fi


,
y
y
(16)
(15)
k
K
-M
i
:

gdy

,...,

N

M

A

k
M

0
N

0
M
,
M
fi
W pl
k,Θand
k ,0M
,k, d  1,...,
, dk 
, d  A k y , f y  ky , N pl
,1
A(20)
, 0 :when
K Manalizowanego
,...,
N
poprzecznego,
(15)
K
-M
(20)
M uniformly.
gdy
k a1M
,...,
W
N,
K -M k,Θ 
: plpl
M
 0 iFor
Nkk(14)
0
N ktemperature
, ficross-section
Mpowierzchnią
fiM
k,Θ W Mis not
k ,
pl
,(15)
, dkk,, warunek
k,Θlower
k ,  M
, , d can(20)
, djest
y , Nwhere
pl
, d  A kyM
,

ffiy  kgdzie
the
heated
instance,
slightly
k
,


A
przekroju
sprowadza
A
pl

,
M
fi
,
M
,
k
K
-M
i
:

gdy


1
,...,

N
M

0
N

0
 M , fi  k gdzie
 Mpowierzchnią analizowanego
A N k ,  Mliniowego
k,Θ programowania
pl , , d
y , N plA, d jest
,d

,
A
przekroju
warunek
sprowadza
pl
(15)
-M k,Θ
i N kk(14)
(20)
poprzecznego,
gdy
M kk,,
0 that
sprowadza
0 : k  1,..., K zadania
Sformułowanie
k ,
pl , , d
,of
y ,do
pl
djest
,d  A  M
,(14)
6.
an
equivalent
sequence
ofAfour
independent
constraints,
is:
 powierzchnią
powierzchnią
analizowanego
przekroju
poprzecznego,
warunek
gdzie
się
postaci:
A
M
kconsidered
K Mof
 I-beam
Nprzekroju
Mpoprzecznego,
6. Theinformulation
the
linear-programming
problem
6. sprowadza
Sformułowanie
zadania
programowania
liniowego
 M ,, fifi

jest
analizowanego
(14)
gdzie
A
the
top flange
thewarunek
steel
frame
beam
relation
toAAofother
parts
of the
k,Θ
kwarunek
,
pl ,
, dof (16)
M1,...,
sięanalizowanego
dobe
postaci:
6.
Sformułowanie
zadania
programowania
liniowego
(16)
jest
powierzchnią
przekroju
poprzecznego,
(14)
sprowadza
A
6.
Sformułowanie
zadania
programowania
liniowego
A
się analizowanego
do postaci:
postaci:
warunki równowagi,
odpowiednio (3), (4) i (5) oraz zlinearyzowany w
przekroju
poprzecznego, warunek (14)
sprowadza
A jest powierzchnią
się
do
6.
Sformułowanie
zadania
programowania
liniowego
W pl poprzecznego,
W pl Liniowe
Liniowe
warunki
równowagi,
odpowiednio
(3), (4)
i (5)
oraz
zlinearyzowany
w
jest powierzchnią
powierzchnią
analizowanego
przekroju
warunek (14)
(14)
sprowadza
l sformułowanie
A jest
postaci:
6. sprowadza
Sformułowanie
zadania
programowania
liniowego
The
linear
equilibrium
conditions
(4)
and
(5), bazę
respecti
W pl
przekroju
poprzecznego,
warunek
Liniowe
warunki
równowagi,
odpowiednio
(3),flange
(4)(3),
(5)stanowiących
oraz
zlinearyzowany
plastyczności
(16)
pozwalają
na
ograniczeń
dlaw
A
postaci:
(16)
K when
M(16)
kanalizowanego
cross-section.
1,...,
W
N
M

–
in
the
Such
a,
actually
insignificant,
temperature
difference
k
K
M
6.
Sformułowanie
zadania
programowania
liniowego
and
:
(17)



1
,...,

N

M
M

0
N

0
Liniowe
warunki
równowagi,
odpowiednio
(3),
(4)
ii (5)
oraz
zlinearyzowany
k,Θ
k
,

pl
,

,
d
6.
The
formulation
of
thebottom
linear-programming
problem
k,Θ
k
,

pl
,

,
d
k
,

k
,

of
an
equivalent
sequence
of
four
independent
constraints,
that
is:
plastyczności
(16)
pozwalają
na
sformułowanie
ograniczeń
stanowiących
bazę dlaw
postaci:
pl N k ,  M pl , , d
6. Sformułowanie
zadania
programowania
liniowego
(16)
k  1,..., K M k,Θ WA
Liniowe
warunki
równowagi,
odpowiednio
(3),
(4)
i
(5)
oraz
zlinearyzowany
warunek
pl
postaci:
plastyczności
(16)
pozwalają
na sformułowanie
sformułowanie
ograniczeń
stanowiących
bazę
dlauszz
programowania
liniowego.
Wcześniej
jednak
należy
przyjąć
ustaloną wartość
temp
A criterion(16)
facilitate
formulation
of
thewarunek
constraints
to bedla
(16)
K M
M k,Θ 
kk 
równoważnej
,..., K
 A N
N k , czterech
 M pl , , dniezależnychLiniowe
warunki plastyczności
równowagi,
odpowiednio
(3),
(4)
ithe
(5) oraz
zlinearyzowany
W
ograni(16)
na
ograniczeń
stanowiących
bazę

11,...,
u(16)
lpozwalają
Wpl
programowania
liniowego.
Wcześniej
jednak
należy
przyjąć
ustaloną wartość
temp
k,Θ sekwencji
k ,  M pl
,four
,d
Liniowe
warunki
równowagi,
odpowiednio
(3),
(4)
(5)
oraz
zlinearyzowany
warunek
plastyczności
(16)
pozwalają
na
ograniczeń
stanowiących
bazę
dla
zadania
pl
Aczterech
(16)
11,...,
 W
N
an
M
sequence
independent
constraints,
that
is:
programowania
liniowego.
Wcześniej
jednak
należy
przyjąć
ustaloną
wartość
temp

The

in
the
ofniezależnych
theofconsidered
cross-section,
inproblem.
its
top
flange,
respectively
Liniowe
warunki
równowagi,
odpowiednio
(3),
(4)
ii (5)
oraz
zlinearyzowany
,of
pl
, , d middle
A
,sformułowanie
która
w
dalszych
rozważaniach
traktowana
będzie
jako
temperatura
odni
and

plastyczności
(16)
pozwalają
na0programming
sformułowanie
ograniczeń
stanowiących
bazę
dlawarunek
zadania
równoważnej
sekwencji
ograniczeń,
to znaczy:
linear
equilibrium
conditions
(3),
(4)
and
(5),
respectiv
(16)
K M
Mk,Θ
,..., K
Nkkand
M equivalent
pl
programowania
liniowego.
Wcześniej
jednak
należy
przyjąć
ustaloną
wartość
temp
czeń,
to
znaczy:
Prior
to
this,
however,
a
specific
temper
k,Θ
,

pl
,

,
d
W
W
A
W
,
która
w
dalszych
rozważaniach
traktowana
będzie
jako
temperatura
odni



plastyczności
(16)
pozwalają
na
sformułowanie
ograniczeń
stanowiących
bazę
dla
zadania
plrównoważnej
sekwencji
czterech
niezależnych
ograniczeń,
to
znaczy:
programowania
liniowego.
Wcześniej
jednak
należy
przyjąć
ustaloną
wartość
temperatury
(16)
K
M
1
,...,

N

M
pl
0
pl
A
k,Θ
k
,

pl
,

,
d
(16)
pozwalają
na0of
ograniczeń
stanowiących
bazę
dla
zadania
która
w
dalszych
rozważaniach
traktowana
będzie
jako
temperatura
odnie

Wcześniej

programowania
liniowego.
jednak
należy
przyjąć
ustaloną
wartość
temperatury
(16)
1,..., K M k,Θ  Arównoważnej
N k–
równoważnej
sekwencji
czterech
niezależnych
ograniczeń,
tokznaczy:
znaczy:
,is
pl
, , dMM
wyznaczy
mnożnik
, taki
że:
Wtedy
bowiem
temperaturę
krytyczną
  temperatura
,,sformułowanie
która
w
dalszych
rozważaniach
traktowana
będzie
jako
odnie
 crwith



k:1
K
Mdalszych
 M
when
: plastyczności
(18)

,...,
-top

N

M
K
M
when
and
(17)

1
,...,

N

M
to
0and
Ndirect
k ,0
0
N
0
criterion(16)
facilitate
the
formulation
of
the
constraints
to
be
use
attributable
the
contact
of
the
flange
the
steel
frame
beam
a
massive
sekwencji
czterech
niezależnych
ograniczeń,
to
cr
0
k,Θ
k
,

pl
,

,
d
W
k
,

programowania
liniowego.
Wcześniej
jednak
należy
przyjąć
ustaloną
wartość
temperatury
k
,

k,Θ
k
,

pl
,

,
d
k
,

W
A
,
która
w
rozważaniach
traktowana
będzie
jako
temperatura
odniesienia.

pl
be
as the
reference
temperature
for
wyznaczy
mnożnik
taki conside
że:
Wtedy
bowiem
temperaturę
krytyczną
 further
 cr, ,taki
ważnej
niezależnych
to
 cr wyznaczy
pl defined
0W
programowania
liniowego.
Wcześniej
jednak
należy
przyjąć
ustaloną
wartośćmnożnik
temperatury
A
, która
w
dalszych
rozważaniach
traktowana
będzie
jako
temperatura
odniesienia.


A
ważnej sekwencji
sekwencji czterech
czterech
niezależnych
ograniczeń,
to: znaczy:
znaczy:
K 0M
i N k ,
(17)
kN 1,..., 
N

M
• gdy:
gdy
M
M
0ograniczeń,
 0and
że:
Wtedy
bowiem
temperaturę
krytyczną



pl
0
(17)
k,Θ
k
,

pl
,

,
d
k
,


k
K
M

when
:
(17)

1
,...,

N

M
0
cr
cr
W
wyznaczy
mnożnik
,
taki
że:
Wtedy
bowiem
temperaturę
krytyczną




która
w
dalszych
rozważaniach
traktowana
jako
temperatura
odniesienia.
 k,Θ
0bowiem
problem.
Prior
this, however,
a specific
k ,cross-section
pl,mnożnik
,będzie
dbędzie
ki ,

ważnej sekwencji
sekwencji czterech
czterech
niezależnych
ograniczeń,
high
heat
so
heated
is odniesienia.
then
pl
M
cr
: znaczy:
(17)
k k 1,slab
,..., K of
Nw
capacity.
Mk,Θ, krytyczną
 reinforced-concrete
gdy
M ,  0ograniczeń,
N ,  to
0tofloor
, 
dprogramming
 temperature
 crThe
(17)
wyznaczy
Wtedy
 cr
to
temperatura
,, A
która
dalszych
rozważaniach
traktowana
jako


pl
tempera
  cr
will
be
determined
the multiplier
of
ważnej
niezależnych
crd,krytyczną
0
K M
M
kk 
 11,...,
,..., K
0W
N kk,temperaturę
M plpl,
gdy
M kk,
 00 ii N
N kk,
 0W:: plznaczy:
cr ,, taki
crmnożnik
wyznaczy
taki że:
że:by
Wtedy
bowiem
temperaturę
cr
k,Θ 


AN
M
 gdy
M


A
 cr(17)
cr , taki
cr wyznaczy
W
k,Θ
k ,
pl ,

,,cr
dkrytyczną
k ,
1,...,
k , 0W
0
plN
A
pl
Wtedy
bowiem
temperaturę
mnożnik
że:




k
K
M
i
:
(17)


M
gdy
M

0
N

0


W
cr
cr
be
defined
as
the
reference
temperature
for
further
conside
W
k,Θ
k
,

pl
,

,
d
A
k
,

k
,

assigned
the
parameter
,
which
is,
to
some
extent,
the
multiplier
of
the
reference

cr
cr
0




wyznaczy
mnożnik
,
taki
że:
Wtedy
bowiem
temperaturę
krytyczną




W
k  1,...,
Kk ,M 
(17)
and
N

M
gdy M k ,  0 i N k ,  
0 : when
pl
pl
k
K
M


1
,...,

N

M
:
(19)
M
0
N

0
cr
cr
0
cr
cr
pl
k,Θ
k
,

pl
,

,
d
W
A
zadaniu
zatem
o M
maksymalizację(18)
wartości mnożnika
 , kojarzonego
k,Θ W
, chodzipl
, , d 
,
(21)

cr

plk
K
M
(17)
k 11,...,
,...,
Nkk
M
gdy M
M k ,  00 ii N
N k , gdy
W
cr
0pl1N
kW
:,ddk,Θ
00:: M
when
-pl
Nof
M
00 :and
N
A
Kpl
i NM
1,...,
-
0K
Wk
k,Θ
,
,0
M
(21)  , kojarzonego

A
chodzi
 cr
WM
zadaniu
zatem
maksymalizację
wartości
mnożnika
k ,K M
,
,temperature
d
kl,k,Θ

(17)
,M
gdy
k,Θ
,
croowill
plbe
,determined
,d

pl(18)
cr
0 ,...,
0kcelu,
  crogr,
bywzględem
the
multiplier

,cr
k ,
k ,
A N
pl
kk,1k,...,
K0pl:,
(18)
 gdy:
gdy when
-M

N
MW
Mkkk,
0 ik ,N
 and
0 :A
•

(21)temperatury
k
,...,
kojarzonego
W
zadaniu
chodzi
zatem
maksymalizację
wartości
mnożnika
 ,, kojarzonego
A
k , 
pl ,
,
d crz
, M
k
,[8],
przypadku
funkcją
przy
spełnieniu
liniowych
pl
crk,Θ
crW
0 (18)
A
K
M

(18)

1
N

M
0
N

zadaniu
chodzi
zatem
o
maksymalizację
wartości
mnożnika

k
K
M
i
:
(18)

gdy


1
,...,
N
M
M
0
N

0
(21)




temperature
such
that:
W
k,Θ
k
,

pl
,

,
d
k
,

k
,

k,Θ
k
,

pl
,

,
d
k
,

k
,

cr
cr
0
A
k  1,..., K -WM zadaniu
(18)
 gdy M k ,  0 i N k ,  0 : W
pl
 Achodzi
N k , 
M plprzypadku
z funkcją celu,
przymnożnika
spełnieniuliniowych
względem
temperatury  ogr
,, nierówności,
kojarzonego
w
tym
zatem
oo, dmaksymalizację
wartości
k,Θ
,
pl
A
k
K
M
i
:
(18)
gdy


1
,...,

N

M
kojarzonego
w
tym
W
zadaniu
chodzi
zatem
maksymalizację
wartości
mnożnika
M

0
N

0
W
przypadku
z
funkcją
celu,
przy
spełnieniu
liniowych
względem
temperatury
ogra
 osob
zapisanych
przez
następujący
zbiór
ośmiu
wyspecyfikowany
W
k,Θ
k
,

pl
,

,
d
A
k
,

k
,

pl
ogra
przypadku
z problem
funkcją
celu,
przy mnożnika
spełnieniu
liniowych
względem
temperatury

Wzpl
k  1,..., K - M k,Θand
(18)
gdy M k ,  0 i N k ,  0: when
pl N k ,  MW
The
involves,
then,
the
maximisation
of
the multiplier
kojarzonego
wwyspecyfikowany
tym
zadaniu
chodzi
zatem
o
maksymalizację
wartości
pl ,k
, d 1,...,
zapisanych
następujący
zbiór
ośmiu
nierówności,
osob
A
przypadku
funkcją
przy
spełnieniu
liniowych
względem
temperatury
ograniczeń

K

N
crM
:W
(20)

0 0:W
Nk kN
pl
przez
k kl,11,...,
Ku
M
: 
(18)
gdy M
M
,...,
0
M
M k ,  00 ii N
N k ,  00gdy
kojarzonego
w
tym
chodzi
zatem
oprzy
maksymalizację
wartości
mnożnika
W(18)
 ,,lokalizacji
W
zapisanych
przez
następujący
zbiór ośmiu
ośmiu
nierówności,
wyspecyfikowany
osob
A
k,Θ
k ,
(19)
pl

, dK odpowiadającego
ki ,
KM
M,zadaniu
,1
N-M
celu,
Mzapisanych
k
M
0K
N--kM
przegubu
plastycznego wosob
wy
każdego
punktu
cr
01,,...,
k,Θ
k,...,
,
pl
,
d W
pl
przypadku
z
funkcją
celu,
spełnieniu
liniowych
względem
temperatury
ograniczeń

k,Θ
k
,

pl
,

,
d
,

k
:gdy
gdy

N
pl
przez
następujący
zbiór
nierówności,
wyspecyfikowany
k,Θ
k
,

pl
,

,
d
k ,
k ,
A
A
pl
M:k,Θk
(19)
k N1,..., K zapisanych
N k ,następujący
celu,
M każdego
kN
 1,...,
K odpowiadającego
M k ,
0 i N k ,00 :and
lokalizacji
przegubu
plastycznego
w lin
wy
punktu
przypadku
zprzez
funkcją
spełnieniu
liniowych
względem
temperatury
ograniczeń
 osobno
W

zbiór
ośmiu
nierówności,
wyspecyfikowany
dla
plM
,przy

, d case
with
the
goal
function,
with
the satisfaction
of
constraints
pl
K
1

M
(19)
gdy
when
0
A
plmechanizmie
gdy:
(19)
k
K przypadku
M
(19)
gdy M

 11,...,
,...,
 WA
N,...,
celu,
M każdego
k

1,...,
,...,
K odpowiadającego
M
 00Mii kN
N,
 00 ::W
odpowiadającego
lokalizacji
przegubu
plastycznego
w wyb
wyb
każdego
punktu
ograniczeń
z
funkcją
przy
spełnieniu
liniowych
względem
temperatury

do
analizy
ruchu:
zapisanych
przez
następujący
zbiór
ośmiu
nierówności,
wyspecyfikowany
osobno
dla
k,Θ
k
,

pl
,

,
d
k
,

k,Θ
k
,

pl
,

,
d
k
,

k
,

A
pl
k
K
M
(19)
• 

N

M
k
1
K


lokalizacji
przegubu
plastycznego
w
punktu
(13)
W pl N
kK
,następujący
,odpowiadającego
, d
k punktu
M pl

1AA,...,
NA

M
: ,k,Θ
(19)
0
when
MKk ,kM,k,Θ0 and
M0zapisanych
do
analizy
mechanizmie
ruchu:
zapisanych
przez
zbiór
ośmiu
nierówności,
wyspecyfikowany
osobno
dlathe multiplier
kkk ,11,...,
:: 
(19)
gdy
N

k
1
,...,
K
 00 ii N
lokalizacji
przegubu
plastycznego
w
wybranym
każdego
k,Θ
k
,

pl
,

,
d
k
,

The
problem
involves,
then,
the
maximisation
of
v
W
k
,

pl
,
d
k , 
przez
następujący
zbiór
ośmiu
nierówności,
wyspecyfikowany
osobno
dla
where
the
constraints
are
expressed
by
the
following
set
of
do
analizy
mechanizmie
ruchu:
l
W
K
M
(19)
gdy M

,...,

N

M
k

1
,...,
K
Mkk,,
N

0
odpowiadającego
lokalizacji
przegubu
plastycznego
w
wybranym
każdego
punktu
pl k ,
pl
k,Θ  WA
pl , , d punktu
  0 i N k ,  0 : k 
Amechanizmie
do
analizy
ruchu:
pl
Ki NM
M k,Θ
(19)
gdy M
,...,
Nk1,
M każdego
11,...,
,...,
K
M k ,
odpowiadającego
lokalizacji
przegubu plastycznego
plastycznego
w wybranym
wybranym
każdego
Wmechanizmie
m
 w
W pl  przegubu
fy
A
-M
(20) P lokalizacji
kthe
,...,
Mruchu:
 0K
 0 : of
do
pl
,analizy
, d punktu
k , gdy
pl N kkk,
k,Θ
plm
,
,case
d separately
k ,
k k,
: M
(19)
gdy
11,...,
N
KK
M
PKsatisfaction

K
odpowiadającego
W
6.
The
formulation
linear-programming
problem
do
analizy
mechanizmie
ruchu:
m
m
k,Θ
k
,

pl
,

,
d
k ,  0 i N k ,  0gdy
with
the
goal
function,
with
the
of
constraints
line




k

1
,...,
for
each
point
corresponding
to
plastic-hin
W
f
A
pl
k
-M
i
:
(20)


1
,...,

N

M
M

0
N

0
  mkiPPi  W pl  m
,m, dkj x j(20)
 nkj x j   nkiPPi   W pl f y
k,Θ WA
pl
,  0 i N k ,  0 :WA
pl N k ,  Mruchu:
W
m
do analizy
analizy
mechanizmie
K -M
-M
gdy M

 11,...,
,..., K
M kk,
pl  jm
 pl
x j(20)
nPPki Pi  W pl  M
k,Θ
  Mruchu:
pl

  0 :W
A (20)

mmPPkiPPi WA
1nnkjxx j  
f y, fi
plkk 
• gdy:
gdy
 A
 0 i N kk,,
do
mechanizmie
W
1m

jm
k,Θ
kk,,
pl
,,
,,m
ddkjkj
 the
 W pl
x j
Pi 
pl
m
m
pl NN
pl

iithe

ii nn(20)
u
lN
W
ffxyj,expressed
where
constraints
are
by
the
set of e
kkk ,
K
-M
(20)
gdy
11,...,
 W
 M
 00 ii N
00 :: 
k
K
-M
M


1
,...,

when
and
:
movement
mechanism:
M

0

0
and

ik
kj,
ki P
kiN
 Myfollowing
A
pl

m
x
m
P
nkj
k,Θ
k
,

pl
,

,
d
A
k , This
The
linear
equilibrium
conditions
(3),
(4)
and
(5),
respectively,
linearised
yield



P
P
m
m
1

j
j 1pl
, fi


k,Θ
,

d
k
,

k
,
W
K
-M
(20)
gdy M


,...,
N
M


i
ki
i that
kj
j
ki
Mkk,,
N
pl
 W pl
k
K
-M


1
,...,

N

M

when
and
:
M

0
N

0
(Figure
3).
It
should
be
noted,
however,
the
means
that
there
is
 
pl


1




A
pl
yj(20)
k,Θ
k
,

pl
,

,
d

k
,

(22)
W
P
P




m
x
m
P
n
x
n
P
W

A



1
1


j
i
j
i
k,Θ
k
,

,

,
d
k
,

k
,

M
, fi
fi
m
m
pl

A


i
kj
j
ki
i
pl
kj
j
ki
W
f


k
K
-M
i
:
(20)
gdy


1
,...,

N

M
A
M

0
N

0
(22)




m
x
m
P
n
x
n
P
W
1
1


j
i
j
i
M
,
A
pl
y






k,Θ
k
,

pl
,

,
d
k
,

k
,

P
P
m
m


k

1
,...,
K
separately
for
each
point
corresponding
to
plastic-hin


i
kj
j
ki
i
pl
kj
j
ki


W
f

A
A
-M k,Θ programowania
: k  1,..., Kfacilitate
(20)
gdy M k ,  0 i N k ,6. Sformułowanie
N k ,  Mliniowego
0criterion(16)
zadania
theAformulation
the
the basis
the
 linearplused
y, fi
1m
,
1as
jof
i mP PtobeA
i nof
(22)f y
pl
, dkj xconstraints


Wpl mM
P
m jj

kj xx j 
ki Pi W
plW
1m
1nnkj
j
M , fi
6. Sformułowanie zadania
programowania
liniowego
(22)
P 
x jj
A

ii mkikiPii  A

ii PnP
m
m
kil Pi W
pl the
 of
m
m
x j And
6.value
Sformułowanie
zadania
programowania
liniowego


 nkiPPthis
pl must
movement
1 x jvalue
j 1 kjthe
j kj
Mn
, fi
 j
i during
kjfire.
i  W
pl ffyy
kiP
mechanism:

of
the
factor
changes
in
temperature
is
m
m
Apl

programming
problem.
Prior
to this, with
however,
achange
specific
temperature
W
m
A
W
6.
Sformułowanie
zadania
programowania
liniowego


Liniowe
warunki
równowagi,
odpowiednio
(3),
(4)
i
(5)
oraz
zlinearyzowany
warunek
1
1


j
i
j
i
M
,
fi
0
m




m
x
m
P
n
x
n
P
W


P
P




f y, fi


j  
j  
Sformułowanie
programowania
1m
1nkjkjfx j
j
i mki
j
i ki
PkiPi i W plpl M
PkiPi i  pl
W
 
m (4) i (5) oraz zlinearyzowany
mj
Liniowe
warunki liniowego
równowagi, odpowiednio (3),
kjkjwarunek

Sformułowanie zadania
zadania
programowania
liniowego

 P AAcritical
 i nnki
xxwarunek
P

P considerations.
m(4) iThe
m
1m
jpl
i mchanges
j 1nkj
M , fi
W
fxyyj
Liniowe
warunki
równowagi,
odpowiednio
(3),
(5)
oraz
zlinearyzowany
plastyczności
(16)
pozwalają
nareference
sformułowanie
ograniczeń
stanowiących
bazę
dla
zadania
i  W pl(23)
kj
jn Then,
kiPi



be
defined
as
the
temperature
for
further
the

pl
by
no
means
a
proportionate
change.
neutral-axis
location
as
well,
which
further
Sformułowanie
zadania
programowania
liniowego
P
P





m
x
m
P
x
n
P
W

Liniowe
warunki
równowagi,
odpowiednio
(3),
(4)
i
(5)
oraz
zlinearyzowany
warunek



6.
The
formulation
of
the
linear-programming
problem
1
1


j
i
j
i
M
m mkjwarunek
m
 M ,, fifi
   mki
i bazę
jstanowiących
W
 m
6.odpowiednio
The
formulation
of
the
linear-programming

plastyczności
(16)
pozwalają
na i sformułowanie
ograniczeń
zadania
Sformułowanie
zadania
programowania
liniowego
(23)
m
  nkiki
xstanowiących
Pproblem
nkjkj ix jj
Pii  W
1 temperatury
1  ff y
pl
jA
j pl
i


dla
Liniowe
równowagi,
(3),
(4)
(5)
oraz
zlinearyzowany
PA
P wartość


i bazę
pl
kjwarunek
justaloną
ki

W
plastyczności
(16)
pozwalają
na
sformułowanie
ograniczeń
dla
zadania
programowania
liniowego.
Wcześniej
jednak
należy
przyjąć
pl
y
Liniowe warunki
warunki plastyczności
równowagi,
odpowiednio
(3),
(4)
i
(5)
oraz
zlinearyzowany
1
1


j
i
j
i
M
,
fi
(23)





m
x
m
P
n
x
n
P
W
P
P


(16)liniowego.
pozwalają
na
sformułowanie
ograniczeń
stanowiących
such
Amust
 A
(3),
will
be
determined
by
the
multiplier
,dla
that:
ofcomputations.
ibazę
j  
kiP
i 
pl 
kj
j  
kithen,
temperatury
1
przyjąć
1
j
i mki
j
i nki
programowania
jednak

m
xzadania
Pwartość
nkjkj xin
crWcześniej
complicates
Thenależy
yield
criterion,
be
case
again for(23)


 zadania
Liniowe
warunki
równowagi,
odpowiednio
(4)
i (5)
oraz
zlinearyzowany
warunek
czności
(16)
pozwalają
na temperature
sformułowanie
ograniczeń
stanowiących
bazę
dla
i  cr
j each
i   Wlinearised
pl  M , fi
kj
justaloną




programowania
liniowego.
Wcześniej
jednak
należy
ustaloną
wartość
temperatury
respectively,
 linearised
1będzie
Liniowe(16)
warunki
równowagi,
odpowiednio
(3),
(4)
i (5)stanowiących
oraz
zlinearyzowany
warunek
j przyjąć
i temperatura
i
M , fi
która
w
dalszych
rozważaniach
traktowana
jako(4)
odniesienia.
  na0 , sformułowanie
czności
pozwalają
ograniczeń
bazę
dla
zadania
 jj11
The
linear
equilibrium
conditions
(3),
and
(5),
the
yield
M
A temperatury
The
linear
equilibrium
conditions
(3),
(4)
(5),
respectively,
and the
yield
programowania
liniowego.
Wcześniej
jednak
należy
ustaloną
wartość
1będzie
j przyjąć
i temperatura
iandlinearised
, fi
odniesienia.

,sformułowanie
która
w dalszych
rozważaniach
traktowana
jakoand
 Wcześniej
 na

czności
(16)
pozwalają
na0,sformułowanie
ograniczeń
stanowiących
bazę
dla
zadania
mowania
liniowego.
jednak
należy
przyjąć
ustaloną
wartość
temperatury
zności (16)
pozwalają
ograniczeń
stanowiących
bazę
dla
zadania
each
given
value
of
the
steel
temperature.
która
w
dalszych
rozważaniach
traktowana
będzie
jako
temperatura
odniesienia.


mowania
liniowego.
Wcześniej
jednak
należy
przyjąć
ustaloną
wartość
temperatury
0
jednak


(21)theof
wyznaczy
mnożnik
, taki to
że:be
Wtedy
bowiem
temperaturę
krytyczną

constraints

,która
w
dalszych
rozważaniach
traktowana
będzie
jako
temperatura
odniesienia.


Wcześniej

criterion(16)
facilitate
the
formulation
of
the
constraints
used
as
the
basis
of
linearcriterion(16)
facilitate
the
formulation
of
the
to
be
used
as
the
basis
the
linearcr
cr
0
cr
cr
0
mowania
liniowego.
należy
przyjąć
ustaloną
wartość
temperatury
dalszych
rozważaniach
traktowana
będzie
jako
temperatura
odniesienia.
wyznaczy
mnożnik
taki że:
Wtedy
bowiem temperaturę
krytyczną
  cr, ,taki
0 ,, która
liniowego.
Wcześniej
należykrytyczną
przyjąć
wartośćmnożnik
temperatury
która w
w
dalszych
rozważaniach
traktowana
będzie ustaloną
jako
temperatura
odniesienia.
mowania
wyznaczy
że:
Wtedy
bowiemjednak
temperaturę
crcr wyznaczy
0 , która
cr , taki że:
mnożnik
Wtedy
bowiem
temperaturę
krytyczną
 a specific

w dalszych
dalszych
rozważaniach
traktowana
będziePrior
jako
temperatura
odniesienia.
programming
problem.
to
this,
however,
temperature
valuevalue
of 

0 must
cr
cr
0bowiem
programming
problem.
Prior
to
this,
however,
a
specific
temperature
0 must
(21)




wyznaczy
mnożnik
,
taki
że:
temperaturę
krytyczną



,
która
w
rozważaniach
traktowana
będzie
jako
temperatura
odniesienia.

The
problem
involves,
then,
the
maximisation
of
the
multiplier
value
in of
this
 , associated
cr
cr
0
cr
cr
0
wyznaczy
mnożnik
,
taki
że:
y bowiem temperaturę
krytyczną




(21)




cr
cr
cr
cr 0 wyznaczy mnożnik    , taki że:
bowiem
temperaturę
krytyczną
(21)



cr
cr wyznaczy
cr
cr
0
be
defined
as
the
reference
temperature
for
further
considerations.
Then,
the
critical
(21)




mnożnik
,
taki
że:
bowiem temperaturę
krytyczną




case
with
the
goal
function,
with
the
satisfaction
of
constraints
linear
to
the
temperature
of
,

be
defined
as
the
reference
temperature
for
further
considerations.
Then,
the
critical
cr 0chodzi
cr wartości mnożnika
cr
Wcr zadaniu
zatem o maksymalizację
 , kojarzonego w tym
(21)
cr
(21)
00
kojarzonego
wsuch
tym that: specified
W zadaniu
chodzi
zatem
o maksymalizację
wartości
mnożnika
 , , kojarzonego
cr
where
the
constraints
are
expressed
by
the
following
set
of
eight
inequalities




will
be
determined
by
the
multiplier
,
temperature
of
(21)

w
tym
W
zadaniu
chodzi
zatem
o
maksymalizację
wartości
mnożnika

cr
crcr
przypadku
zchodzi
funkcją celu,
spełnieniu
liniowych
temperatury
 ograniczeń
cr 0
w tym
will
be determined
byw(21)
the
multiplier
temperature
of 
W
zadaniu
oprzy
maksymalizację
wartościwzględem
mnożnika
 , kojarzonego
 cr
cr , such that:
0
przypadku
z funkcjązatem
celu,
przy
spełnieniu
liniowych
względem
temperatury
ograniczeń
,,Knierówności,
kojarzonego
tym
daniu
oo maksymalizację
wartości
mnożnika
liniowych
k ośmiu
1,...,
separately
for
each
corresponding
to plastic-hinge
location
kojarzonego
w
tym
daniu chodzi
chodzi zatem
zatem
maksymalizację
wartości
mnożnika
ograniczeń
przypadku
z przez
funkcjąnastępujący
celu,
przypoint
spełnieniu
względem
temperatury
 osobno
zapisanych
zbiór
wyspecyfikowany
dla in the analysed
ograniczeń
przypadku
z
funkcją
celu,
przy
spełnieniu
liniowych
względem
temperatury

,
kojarzonego
w
tym
daniu
chodzi
zatem
o
maksymalizację
wartości
mnożnika

zapisanych
przez
następujący
zbiór ośmiu
nierówności,
wyspecyfikowany
osobno dla
dku zzchodzi
funkcją
celu,
przy
spełnieniu
względem
temperatury
ograniczeń



kcrliniowych

(21) (21)
kojarzonego
w
tymplastycznego wosobno
daniu
oprzy
maksymalizację
mnożnika
 ,lokalizacji
zapisanych
przez
następujący
zbiór ośmiu
ośmiu
nierówności,
wyspecyfikowany
osobno
dla
movement
mechanism:
1,...,
K odpowiadającego
przegubu
wybranym
każdego
punktu
cr przez
0wartości
adku
funkcjązatem
celu,
spełnieniu
liniowych
względem
temperatury
ograniczeń

zapisanych
następujący
zbiór
nierówności,
wyspecyfikowany
dla


kcrliniowych
 1,...,
odpowiadającego
lokalizacji
przegubu
plastycznego w wybranym
każdego
punktu
cr ośmiu
0 KK odpowiadającego
adku
funkcją
celu,
przy spełnieniu
spełnieniu
względem
temperatury
ograniczeń
 osobno
nych
następujący
zbiór
nierówności,
wyspecyfikowany
dla
k

1
,...,
lokalizacji
przegubu
plastycznego
w
wybranym
każdego
punktu
dku zzprzez
funkcją
celu,
przy
liniowych
względem
temperatury
ograniczeń

do
analizy
mechanizmie
ruchu:
nych
przez
następujący
zbiór
ośmiu
nierówności,
wyspecyfikowany
osobno
dla
k  1,...,
K
odpowiadającego
lokalizacji osobno
przegubudla
plastycznego w wybranym
każdego
punktu
doodpowiadającego
analizy
mechanizmie
ruchu:
nych
przez
następujący
zbiór
ośmiu
nierówności,
wyspecyfikowany
kk następujący
11,...,
K
lokalizacji
plastycznego
w
wybranym
go
punktu
The
problem
involves,
then,
the maximisation
of the multiplier value  , associated in this
nych
przez
zbiór
ośmiu
nierówności,
wyspecyfikowany
dla
do
analizy
mechanizmie
ruchu: przegubu
,...,do
K analizy
odpowiadającego
lokalizacji
przegubu
plastycznego
wosobno
wybranym
go
punktu
mechanizmie
ruchu:
The
problem
involves,
then,
the
maximisation
of the multiplier value  , associated in this
k

1
,...,
K
odpowiadającego
lokalizacji
przegubu
plastycznego
w
wybranym
go
punktu
m
m


W
f
lizy
mechanizmie
y
P satisfaction
P lokalizacji
k  1,...,ruchu:
K modpowiadającego
przegubu
plastycznego
go
punktu
lizy
mechanizmie
ruchu:
m n x with
 m
 w wybranym
Wplpl function,
(22)to the temperature of  ,
x j with
 mkjcase
 mkithe

PPi goal
kj xj  nnthe
kiPP
i  W
pl ffyy of constraints linear
m
lizy
mechanizmie
ruchu:
W


pl
(22)
m
m


m
x
m
P
n
P
W


P
P




W
f
case
satisfaction
of constraints
linearinequalities
to the temperature
A
lizy mechanizmie ruchu:
i  goal
kjfx j with
i W
pl  My, fi
kj
j with
pl function,
1m
1nkjare
j
i the
j
i nki
PkiPthe
Pkithe
(22)
x j
mki
Piconstraints
m




W

where
expressed
by
the
following
set
of
eight
specifiedof  ,

j
i
pl
kj

A
pl
y
(22)




m
x
m
P
n
x
n
P
W




P
P
m
1
1


j
i
j
i
M
,
fi


W
W
kj f yj
ki i 
pl  M(22)
kj jn x i ki in PP A



pl
P



x
m
P


1
1


j
j
i
, fi
fi
m


where
the
constraints
are
expressed
by
the
following
set
of
eight
inequalities
specified

A

i
kj
j
ki
i
pl
j x j   mki
W
f




(22)



P
n
x
n
P
W
1
1


j
i
j
i
M
,
pl
y




P each
P i WA
kj j  i for
ki
pl  f y,kfi  1,..., K  corresponding
kj j  i mP
ki
separately
 Wpoint
plm jm
1 nkj
(22)f y to plastic-hinge location in the analysed
Pi  A
nPki
Pii W
 ki


pl mM
kj xx j 
1nkj xx jj
j
i Pn
M , fik  1,..., K
(22)
P corresponding
plWpl
P





m
m
ki
i
j j ii mki Pi  A 

W
f
separately
for
each
point
to
plastic-hinge
location
in
the
analysed

(23)





m
x
m
P
n
x
n
P
W



pl
1 j
kj
iki
M , fi
P i W
  nkiP Pi   Wpl f yy
m jjm
mM
A
movement
mechanism:
1kj xRyc.

i
iP
, nfikjkj xjrozkład
pl  jm
(23)
 jm
m
Pi W
Pki temperatury


1n

f y, fi w
1m
 A
3.
Obliczeniowy
przekroju
poprzecznym
nieizolowanego
j w
ipoprzecznym
pl  M
j 
pl


im
i nki
P
PkiP
(23)




x
x
P
W
m


Ryc.
3.
Obliczeniowy
rozkład
temperatury
przekroju
nieizolowanego
stalowego
rygla
ramy
nośnej
uwzględniający
wpływ





W
f




i
kj
j
i
pl
kj
j
ki

A
pl
y
(23)
movement
mechanism:






m
x
m
P
n
x
n
P
W
P
m
1kj
j pl
i ki i n P
j 1 kj f yj i ki i 
M , fi
W
pl  M
j 
 Wj

A
PA
PPi  W
  m
stalowego
m
P

fi żelbetowej
m n
ryglem
f y sąsiadującej
płyty
stropowej z tym ryglem żelbetowej
 z tym(23)
(23)
rygla
wpływ
sąsiadującej

W
mkjkj xx jj
mkiki
Pi  WjjA
nkjkj xixi jj
nkiki
Pii ramy
11  
11 nośnej
pl
j pl
ii uwzględniający
M ,, fi



P
P
m



pl
f
pl   j
y, fi
1 kj x j  
i mP
i P
(23)
mkj xx j  
Pdistribution
kiP
i   W pl  M
ki Pi  A
The
the cross-section of an uninsulated steel beam in a bearing frame, taking into
j 1nncomputational
Mof
, fithe temperature in(23)
m
x  i nnki
i   W pl  M
kj j ii mki Pi  Fig.
A 3. 
j 1 kj j
i
, fi
płyty
stropowej
A
i
i
, fi
account
the M
influence
of a reinforced-concrete
floor slab in direct contact with the beam
 j 1

własne.
Fig. 3. The computational distribution
of the temperature
in the cross-section of an
uninsulated steel beam in a bearing frame, taking into account the influence of a reinforcedconcrete floor slab in direct contact with the beam.
108
EVELOPMENT
И РАЗВИТИЕ
 when M k ,  0 and N k ,  0 : 
 1,...,
 k when
MK
k ,
 when M k ,
W
 whenpl M k ,  0 and N W
 0 : k  1,...,
pl (18)
 KMMpl , ,dk ,
k,Θ
and
kk ,1,...,
N k ,  M pl , , d
-0M
N k
0: N
k,Θ
, A
A
W pl
W0pl: 
 N k ,when
M k,
0 and
and
1,...,K2016,
- Mpp.
k , 
N k0,: 
Mkpl
MPlease
k,ΘN
,1
, d,...
k ,K
 0
cite
as:
44
M
 1,...,
 Vol.
NkkIssue
 0 and N k ,  0 : kwhen
A(19)
k,ΘBiTP
, 4, M
pl ,
, d99–120
A
W pl
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.8
when M k ,  0 and N k ,  0 : k  1,..., K
W

M k,Θ 
N k ,  M pl , , d
A  0 : k  1,...
pl M k ,  0 and N k ,
when
N k ,  M pl , , d
 when M k ,  0 and N k ,  0 : k  1,..., K -M k,Θ 
(20)
6. The formulation of the
linear-programming
6. Sformułowanie zadania programowania
W
A
pl

N
M
 when M
 0 and N
 0 : k  1,..., K -M

problem
liniowego
k ,
k ,
k,Θ
A
k ,
pl , , d
The linear equilibrium6.conditions
(3), (4) andof(5),
Liniowe warunki równowagi, odpowiednio (3), (4) i (5)
The formulation
there-linear-program
6. The
formulation
of the linear-programming
problem
6. Theand
formulation
of the yield
linear-programming
problem the
spectively,
the linearised
criterion(16) facilitate
oraz zlinearyzowany warunek
plastyczności
(16) pozwalają
linear
equilibrium
(3), (4
formulation
ofand
theequilibrium
constraints
toThe
be used
as(4)the
of theconditions
li-yield
na sformułowanie ograniczeń stanowiących
bazę dla zadania
conditions
(3),
andbasis
(5), respectively,
and the linearise
The linear equilibrium
conditions
(3),The
(4)linear
(5), respectively,
and
the
linearised
criterion(16)
facilitate
theatospecific
formulation
of the
co
near-programming
problem.
Prior toofthis,
however,
programowania liniowego. Wcześniej jednak należy przyjąć
criterion(16)
facilitate
the
formulation
the
constraints
be
used
as
the
basis
of the
criterion(16) facilitate the formulationtemperature
of the constraints
to
bemust
usedbeasdefined
the basis
ofreferenthe linearof Θprogramming
= Θto
as the
ustaloną wartość temperatury Θ = Θ0, która w dalszych rozprogrammingvalue
problem.
Prior
a specific
temperature
value
of   
problem.
Prior
to this,
however,
0 this, however,
problem.odniesienia.
Prior to this, ce
however,
a specific
temperature
valuefurther
of the
 considerations.
critical
0 must Then, the
ważaniach traktowanaprogramming
będzie jako temperatura
betemperature
defined as for
the further
referenceconsiderations.
temperature forThen,
be
defined
asthe the
reference
temperature
fo
wyznaczy
mnoż-temperature
Wtedy bowiem temperaturę
krytyczną




will
be
determined
by
multiplier
that:
temperature
of
be defined
asΘcrthe
reference
for
further
considerations.
Then,
the
temperature of cr will be determined by the multiplier ζ =crcritical
ζ,crsuch
,
nik ζ = ζcr, taki że:
temperature of  cr will be determined by the m
such
that:
the multiplier    cr , such that:
temperature of  cr will be determined
by
cr   cr0
cr the
 maximisation
(21)
The problem involves, then,
of the multiplier
value  , associated
cr0
(21)
case with the goal function, with the satisfaction of constraints linear to the temperature
Thethen,
problem
then,
theeight
maximisation
The the
problem
involves,
the maximisation
of
the
where
constraints
are
expressed
by involves,
the following
set mulof
problem
involves, then,
the maximisation
of the
multiplier
value
, associated
in thisinequalities sp
W zadaniu chodziThe
zatem
o maksymalizację
wartości
associated
in
this
case
with
the
objective
functiplier
valueforζ ,each
k

1
,...,
K
separately
point
corresponding
to
plastic-hinge
location
in the an
case with the goal function, with the
satisfaction
mnożnika ζ, kojarzonego
tym the
przypadku
z funkcjąwith
celu, the satisfaction
casewwith
goal function,
of
constraints
linear tolinear
the temperature
of  ,
tion,
with the
satisfaction
of constraints
to the temperamovement
mechanism:
cr   cr0
(21)
where the
constraints
expressed by the f
przy spełnieniu liniowych
względem
temperatury are
Θ ogranithe constraints
expressed
by theare
following
where
the constraints
expressedture
byof the
following
set ofareeight
inequalities
specified
Θ , where
czeń zapisanych przez następujący zbiór ośmiu nierówności,
k point
1,..., K correspond
separately
for each for
point
set
of eight inequalities
specified separately
each
k

1
,...,
K
corresponding
to
plastic-hinge
location
in
the
analysed
separately
for
each
point
wyspecyfikowany
osobno dla każdego punktu k = 1,...,K odkRESEARCH
=Vol.1,...,K
corresponding
to plastic-hinge
location in the
BiTP
44 Issue
AND4,
DEVELOPMENT
2016, pp. XX-XX
BiTP Vol. 44 Issue 4
movement
mechanism:
movement
powiadającego
lokalizacji
przegubumechanism:
plastycznego w wybraИССЛЕДОВАНИЯ И РАЗВИТИЕ
DOI: 10.12845/bitp.44.4.2016.x
И РАЗВИТИЕ
DOI: 10.128
analysed
movement
mechanism:
nym do analizy mechanizmie ruchu:
BiTP
RESEARCH
Vol. 44 Issue
AND
4, DEVELOPMENT
2016, pp. XX-XX
m
W pl
И РАЗВИТИЕ
P
BiTP
RESEARCH
Vol. 44 Issue
AND4,DEVELOPMENT
2016, pp. XX-XX
DOI: 10.12845/bitp.44.4.2016.x
И РАЗВИТИЕ f
DOI: 10.12845/bitp.44.4.2016.x
m DOI: 10.12845/bitp.44.4.2016.x
 m ИССЛЕДОВАНИЯ
W pl  m
fy
И РАЗВИТИЕ
DOI: 10.128
y
P 
P 
P
  nkj x j   nki
  nkj x j   nki
(22)
Pi  W pl
mkj x j   mki
Pi 
Pi  W pl
 mkj x j   mki Pi 







A
A
j 1
i
i
j 1
i
i
M , fi
 j 1

 j 1

(22)M , fi BiTP
RESEARCH
Vol. 44 Issue
AND4,DEVELOPMENT
2016, pp. XX-XX
ELOPMENT
BiTP
RESEARCH
Vol. 44 Issue
AND4,DEVELOPMENT
2016, pp. XX-XX
BiTP Vol. 44 Issue 4, 2016, pp. XX-XX(22)
И
РАЗВИТИЕ
DOI:
10.12845/bitp.44.4.2016.x
И
РАЗВИТИЕ
DOI: 10.1284
m
m
m




W pl
f ym ИССЛЕДОВАНИЯ
Wf pl
f ym
РАЗВИТИЕ
DOI: 10.12845/bitp.44.4.2016.x
И РАЗВИТИЕ
DOI: 10.12845/bitp.44.4.2016.x
m
m




W
W
f
P
P
P
P
pl pl
pl pl
y fy
 m mkj x j P Pmki(22)
Pi  y f y nm
 m

  nm
PPW plW
P P (22)

x j
nkimPiPPP 
W plW
x jx  
n
PP
 mki Pi 


kj
kj
ki
i
(22)






m
x
n
x
n
P
W
m
m
n
x
n
P
W











kii Pi    , fi 
kj nj
ki i
pl plA    kj
kj nj
i ki Pi 
pl W pl
j
kim(23)
A  j 1  kjmkjjxji  kimkii Pi A M
  
kj x j ki n
i
j 1kj x ji   ni ki Pi   W
j j11 mkj x ji 
 M ,fi BiTP
 M
j 1j 1
i i
i i pp.XX-XX A AM
i 4, 2016,
,fiMBiTP
A j,fi1BiTP
 j1BiTP
RESEARCH
AND DEVELOPMENT
AND4,DEVELOPMENT
2016,
1 44 Issue
j 1Vol. 44 Issue
i pp. XX-XX
j 1Vol. 44 Issue
i pp. XX-XX
M , RESEARCH
fi jVol.
, fi Vol. 44 Issue 4
VELOPMENT
RESEARCH
AND4,DEVELOPMENT
2016,


И РАЗВИТИЕ W
DOI: 10.12845/bitp.44.4.2016.x
И РАЗВИТИЕ W
DOI: 10.128
m
m
m
m




РАЗВИТИЕ
DOI:
10.12845/bitp.44.4.2016.x
И
РАЗВИТИЕ
DOI:
10.12845/bitp.44.4.2016.x
f
f
pl
y
pl
y
m
m
m




P
P
P
P
W
f
W
f
m
m
m




fnykj
fnykj
plW pl  mm x
pl W f  mm x
y 
P W
P mkiPPi  W y 
P P
(22)

PPmki
PPW
W
m xmj x  n
m x j   nki Pi  
 m
P
 m
 pl
W
fy
P
kiPm
i Pki
plP  fpl
iPpl
jx
kjn jx
m
m
(22)
(22)
pl
y
pl




x jkj
n
P
W
P
n
x
n


W
W
f







P
P



(23)
(23)
m








mi kiPi    n
n
n
P
m
x
m
n



kj
ki
i
pl
i
kj
j
ki
i
ki P
kj
j
pl
y
pl
y






ki

P
PP
 pl , fi
i A pl j
i pl ,fi 
kj xxjj
ki
i A plj
kj
m

i mkiP P

mkjkj xxijjDEVELOPMENT
n x x j
nki
W
x i  Pnki
P 
W


1j 
1n nkj
j 1
i 
j 1Vol.
i 
A Aj 1RESEARCH
ki
(24)



ni ki
PiPi 
m
m(23)

j
1m

RESEARCH
44kj
Issue
AND
4,DEVELOPMENT
2016,
XX-XX
Vol. 44 Issue 4
1 kjj kj
n
1BiTP
i j
 W plAM
 W plM

jIssue
kj x jj  n
ki Ppp.
i iXX-XX
j  imki
ki Pii  MA, fi M
kj
ki Pii  MA,fi M
AjM
11 mkjAND
144
i
ii pp.
 MBiTP
 XX-XX
VELOPMENT
RESEARCH
AND4,DEVELOPMENT
2016,
pp.
2016,
ИССЛЕДОВАНИЯ
11 10.12845/bitp.44.4.2016.x
jjj
ii
j,1fi1Vol.
i
j1,fi1Vol. 44 Issue 4,
i
,ИССЛЕДОВАНИЯ
fi jjj
M
A  jBiTP
A  jBiTP
 (23) M

1



i
i
i
,
fi
, fi, fi DOI: 10.128
И РАЗВИТИЕ
DOI:
И РАЗВИТИЕ


m
m
m
m




РАЗВИТИЕ W
DOI:
10.12845/bitp.44.4.2016.x
И
РАЗВИТИЕ
DOI:
10.12845/bitp.44.4.2016.x
W
f
W
f
m
m
m




f
W
f
pl
pl
P P 
P
P
P
pl 
pl y f y m mm x
P
P
P
 (23) y f yBiTP Vol. 44 Issue 4
(22)
ki
ki
j
(22)
mkjxAND
PiWpl W ply 
Pim
W
PiWpl W ply 
W
mkjmx
mx m

Pm

Pm
BiTP
P ki(22)
f nm
f nmkj xnjx  nki Pni P P
P
AND
P
nDEVELOPMENT
xm
nDEVELOPMENT
Vol.
44
4,
2016,
pp.
XX-XX
 mki PPiP WW

m
mkj
jkjxx
plWWW
j
RESEARCH
pl RESEARCH
plfpl
iP
nki
kjIssue
ki
iP
jkj
ki
Pm
(23)
mP
n

WA
jn

plWplM ,fffiy
nki
xj
m
mn jm
mn

kjnm

iPP
 kj ji P ki (23)
iPP(24)
i (24)
W pl jfyy1m
W pl jfyy1m
P
P
Pi
yj 
P

A
kj
j
pl
i
kjjxji
ki
ji
ki
m
m
m
m
(23)
y






mm
PiPi A plj 1ИССЛЕДОВАНИЯ
x
n
P
m
x
P
x
n
W
f

A






P
P
P
1n
1


j
i
i
i
M
,
fi
И
РАЗВИТИЕ
DOI:
10.12845/bitp.44.4.2016.x
И
РАЗВИТИЕ
DOI: 10.128







x
n
W
m
x
m
P
n
x
n
P
W


kj
ki
i
i
kj
j
ki
i
pl
ki ki
kj
j
ki
1
1


j
i
pl
M
,
fi
M
,
fi











P
P
P
P

 y , fi Vol.
A
A






kj
j
ki
i
pl
i
kj
j
ki
i
pl
kj
j
ki
(24)














m
x
m
P
n
x
n
P
W
m
x
m
P
n
x
n
P
BiTP
Vol.
RESEARCH
44
Issue
4,
2016,
AND
pp.
DEVELOPMENT
XX-XX
BiTP
Vol.
44
Issue
4,
2016,
pp.
XX-XX








1
1
1
1




j
i
j
i
j
i
j
i




M
,
fi
RESEARCH
 
A A RESEARCH
j
ki
 ,,
M
x AND
Pi i
nkikii Pii   Wpl
xIssue
Pi i
nkj x j  nkiki Pii   W
Wpl
44kj
AND
4,
DEVELOPMENT
2016,
pp.
XX-XX
44 Issue 4
 
11 mkj kj
1Vol.
i i
j kj
jj
i
M
fi n
M
,,
fi
m10.12845/bitp.44.4.2016.x
kj1И
pl A A BiTP
pl  M BiTP
jjDEVELOPMENT
ki ki
kj
jj
ki(25)
1j  
1m

jj
ii m
j xРАЗВИТИЕ
i m
M
fi
fi1 kj j 
A
A







DOI:
10.12845/bitp.44.4.2016.x
DOI:
m
m
m



W
f
W
f
1
1
1



j
i
j
i
j
i
j
i
M
,
fi
M
,
fi


A
A
pl fy  j 1m
pl fy  j 1
yM , fi
j 1m
i P  
j 1mDOI: 10.12845/bitp.44.4.2016.x
i P  
Иi РАЗВИТИЕ
Иi РАЗВИТИЕ
DOI: 10.128
fi ИССЛЕДОВАНИЯ
P P  W
P(22)
W pl  m ИССЛЕДОВАНИЯ
W plyM ,fm
m
m
P
P
P
P




W
f







m
x
m
n
x
n
P
W
m
x
m
P
n
x
n
P
W
m
m
m












W
f
W
f
BiTP
RESEARCH
Vol.
44
Issue
AND
4,
DEVELOPMENT
2016,
pp.
XX-XX
BiTP
Vol.
44
Issue
4,
2016,
pp.
XX-XX
 PiW pl W pl  m
 PiW pl W pl  my kj j
jkj x j ki i m
ki i P (22)
ki
kj
ki
(22)
y kj
pl
j n
W
j n
Pi  W plmnkjm
x kj
P
Pi pl
P
 mm
mnm
P
P
P
P
P(23)
f yjnkj1m
f y
Pm
 plW
kj
kj
jm
jm
ki
PИССЛЕДОВАНИЯ
plf yjf
plf 10.12845/bitp.44.4.2016.x
WA

m
m
n x i  Pnki
 pl
A
iki
Pn
xnm

(23)
PiPiW
PPkiiP
(24)
W
x xjx
mxkjj
x xjx
niki
P
1nm
1m
1m 

 kiP




iP
iP
m
m
m
i
ki
iki
pl
iW
Mpl
,ffiyj m
M , fiy
jiki
jiki
DOI:
W
fy
plj 1jm
PP
P
plplM
DOI:
Apl
A
n
kjkj
kjkj
pl
m
Pki Pi W
xi j
PP
  nikiPPi (24)
nИ
xkj
Wipl
PW
n1kj xkjj j
m
y
pl
niP
,yjfim
(23)
1РАЗВИТИЕ
1
j
iP
W
W
fim
M
Pm
Pm

ffA
M
kiki

A,10.12845/bitp.44.4.2016.x
A
kj
j
kiP
im(24)
i
pl ff yyf yM , fi
j
j
 
PPkiiW


m
m
m
m
y
pl
 A




mki
Pii 
n
x
n
m
x
n
x
n
P
W
W


y
i m


P
P
1
1
1



j
j
i
j
i
j
,
fi
P
P


(25)
(25)





n
x
n
m
x
P
n
x
n
P
W



kj
j
ki
i
pl
i
kj
j
ki
i
pl
ki P
kj
j
ki
1
1
1



j
i
j
i
j
i
pl
y
pl
M
,
fi
M
,
fi










kiW
W
P
P
3 m
P(25)

A44
i 
i 
kikiP
i iBiTP
pl
ipl pl AM ,fi2,
pl
kjXX-XX
(22)


mW
 Vol.

W
nDEVELOPMENT
nP
Pi BiTP
n2016,
nP
Vol.
44
Issue
AND
2016,
pp.
Issue
pp.
n

n14,kj
XX-XX
xx1jjx
xx jjx
1kj
j m
im
in
j m
imkiki
in
AM
A  j j1
 

kii P
kiiiP
kj x jj
kj
,
RESEARCH
1 kj
2,xx6jj
10
P
n14,kj
nki
P
nki
pl pl M , fi2,04  2,6  10

m

j



A
m
if 
i 
fij,fi
M
fij,n
 M
 ,M
jP
0f yPii  WADOI:
j 
kjj kj
kiW
kj kj
ki P
ki
  W
  W
,ffij j104
1mm
11mmkj x j 
iim
j
ii
fAyM
f M
A
yii ki i ИССЛЕДОВАНИЯ
M
M
m
m
m
m
nP jP
P kj  j
DOI:
И1РАЗВИТИЕ
W
pl(24)
 pl(24)
W
W
11n

1mj
m
fi1m
j1
j1
A
A


jj10.12845/bitp.44.4.2016.x
ii iP ipl
jj10.12845/bitp.44.4.2016.x
ii i P P
,, fi
, fi, ffi






pl
pl
pl
y
pl

P
P
1
1
1


j
i
j
i
M
fi
M
(22)
(22)
m
m




W
m
x
m
P
n
x
P
W
P
P
P



f
W
f
 nkjP x j W









i
kjW jpl
ki kj
jy
 plW pl y,ffiy y
pl kim
yn
mmkj
m
mm
m
i W
i W
m
n
nkiP
W
m
P
nkiP
W
P P
P(22)
P 
(23)
(23)
(23)
W plkj
fy mm
W plf 
m
P
P
m
mxkjxpljxj
m
njkj
xki
niA
P
W
mixkjxjxjpl
m
ni ki
P
i


m


P
f ym
m
 xj 
iP
kj x
pl
iP
kj xnjkj
ki
ki



j
ki
i
pl
i
ki
ki

P
P
P
P
pl
y
j 
 W pl


mmPki PiW
n
n
P
x
m
P
n
n



P




W
f
W


1
1
1m


i
j
i
j
i
M
,
fi
M
,
fi



m A
Wipl
ki
i
kjjkjxj
 (24)
W
fiyPP
fi yPPki
mkiki
 xj
kiiP
kiiP
plpl
plpl
j Pn
ni Pki
PW
j P1jn
niPki
plA
 W pl M ,ffiyM , fi
m
x jPkjkj xi jj
P
m
Affyj1
Affyj1j n1kj x j i  ni Pki P
m
m

,fiyM
(24)
P
(26)
iW
iWW
j
j
xm
xkjxjkj
1
plP ki Pi W

n1




j
jm
m
ki
pl
,m
fi
fm
P
pl pl
plM
(24)
A m
A
 nn
kj1kj
iP
iW
kj1kjm
i(25)
jM
P
Mj, 1fimnkj x j(22)


3

 i Pnki3 Pii(25)
 W pl
m
x1m
W
m
mjn
mjnm
 xjW
pl

, 

xym
iPiPim
 ym
1P
1P
m
i 
iPm
jkj
iPm
m
Wplm
fA
fin
3mP
ki
P 
P


(22)
W
W





n
x
n
P
n
x
n
W

f M ,ffiy
A
A



i
kj
j
pl
i
ki
j
ki






(25)
pl
y
pl







m
P
x
n
P
W
m
x
x
n
P
W


A




pl
y
pl





P


kj
j
ki
i
pl
i
kj
j
ki
i
pl
P
P
kj
ki
1
1
1


j
i
j
i
j
i
M
,
fi
P
P
P







2
,
04

2
,
6

10






2
,
04

2
,
6

10


m
P
n
x
n
P
W
m
x
m
P
n
x
n
P
W



i
kj
j
ki
i
pl
i
kj
j
ki
i
pl
ki
kj
j
ki
1
1
1



i
j
i
j
i
j
i
M
,
fi
M
,
fi




 ki i A   



 

j
j,x
M
 yM
A  

 i


kii Pij pl
kii Pi plA  
0ki
0iW
kjmkj
im
kj
im
P
 ,fij2i
(23)
i 
,
04
 kj
2m
6kjjx
10


xkjjxj
m,ki
xi nj
ni ki
W
m
m,ki
P
xnj
ni kiPni ki


m
xkjjj
niW
P
Wm
xj 
P
W pl
i kiM
ikiM
AP
1
1
j nj1
j1
j n1
, fi2,04  2,6  10




A
0
kj
pl
kj
pl


1
1
1

j

kj
ki
i
pl
kj
fi
fi
j


A  jjij11
A
m
1

i
i
m
m



M
,
fi
M
,
fi
i  j mm










f
f
W pl
f
W
f
m
m
m
m








,ffiM
W
fij11jm
i i i yyP
j11 P iP i pl
i P pl
M j,fi1mjm
Mj,fi1mjm
 M ,ffiyMff yy, fi
AW
Apl
m
f
P i i i 3yP y A
P
P
 n xM
fyjy,

   W
W
WApl
1jP
j
i
1Pm xW
1
P

,
1 n x (22)
i Pn P
  





pl
y
pl





P
P
(23)
(23)
m
m
m
(22)






n
x
n
m
x
m
P
n
x
n
P
W
P
P
P




n
x
n
W
m
x
m
P
n
P
W



W
f
W
f













2
04

2
,
6

10






2,04  2,6
m
P
n
x
n
P
W
m
x
m
P
P








kj
ki x ij
j
ki

kj jj
ki im
i kj x jpl
pl 
i  i
kj pl
j
ki m
i kj
j
kijj
ii(26)
ym nkjnkj
ii 
pl
pl
m
0
ki
ki
ki
(23)
W

W
nkj
P
Pm
Pplm
P
 yykj
(24)
W plAkj
f y j
W plAfm
fy
mki


m 

PiiW
nkj
xm
nkiA
P
W
PiiW
xkj x jj
nkiPnP
m
pl
mjjP11P kjW
Pm
ki

 
kiiA
ki P
pl
1P
 W

M
jixkj
pl
pl pl
ki
kj
ki
(26)
nPki
P
Pn
(24)
(24)
A P
 pl  m im
j
m

j

xxkj
P
x j
nm
n
PP,(26)


3
P
fm
pl
 y 
W
fyM
fy M
 j
(25)
1pl
j fA1
j pl
i xxx
1pl
im
j m
i kj
jki
ifim
M
,P,ififi
,W
fi pl
fi
m

iW
kj
jj
pl
iW
kj
jj
ki
i(25)
1
11kjm
1
11kj x jj


jjnn
iiM
j1
ii
jjn
iiM
j1
ii ki Pii (25)
,, 
,, fi
fi



W
f
W
f


Pkii m


pl







m
m
P
n
x
n
P
W
m
n
n
W
A
m
m













P
P

P
f












m
x
n
P
W
x
m
P
n
P
W


j
j
M
M
fi
plPki
y
y
1
1









i
j
i


i
j
ki
i
pl
i
pl
M
,
fi
M
,
fi
kj
ki
kj
ki
P
P
P
pl A
Pki
M
 
yM
  iP ki

kjnkj xjP
pl
kiki
iP
, 2fimn,04
 n
P
kij
P
kjnkj
2ki,x6jP
10
iPpl

m iP  
xjm
Pm
m
W
 


 niki3PP
12kj,m


m
PW
(23)
Wm
Wypl
M
ipl pl

Pini
nkjA
xfy
 f 2,04  2,6  10
A
A

ki3
i iki
i  pl
kj xj
i W pl
 jjn
fi2jj,n04
j
10
ji

,04
2,6
 10
miki P
xm
x6(23)
xm
n iW
Akjx 
pl


j
ki ijnW
pli kiPiW
j,
kj,x
1m
1jkj
1m
1
j 11
iP
jj
jkj
P
M
Mj,,12fijfim
i  n
i 0m
1
(27)
AA
 M ,Mfiy,f fi
ki ,Pfipl
mj
mPMki,PfiipljA


 AW
(24)
fy1mnkj x j i 
n11kjmixkj jji  ni iki
P0i 3i
W
mkj xi jiki
nki P0i 3 
W pl
A
A
1m
1m
j kj
i 
j1fifjym
j
i 
,fipl
MW
jmkj xijiki





1A Wpl
1
1


j m
i
j
i
pl
i
M



W
f
P
P
P
m
m
m
1
1



j
j
m
m

,
,
M
fi
M
fi



f
W
f
W
f
W
f




pl
y
pl
y
 Pmj
P
P 0(25) M
3 kiPP
PPiy 
(25)
yi nm
pl
yiy 
plmki Pi 
pl
 Mxfxy, fim
Amjmx1m
 
n
,04
kjPP2xP
10

nn
m2j
W
W
 2,i6 10
n
nPkj
x2
m
m
P xxj
P
m
jm1 n2,04


W
W
1m
1nm


ij6

iW
ki0P
,P
,04

W
10
(26)

xm
nki
P
xi,jj6
x j(23)
nki
Pi  W pl f y, fi 2,04  2,6



iplnm
pl
plApl f
P
P
P
m
(23)
kj
W


W
PP
PkikiP
P
P

2(24)

nkjAxmjn
nm
Pxipl
W
x
mjm
nm
P
P
 
W
fkj
P nkj x
plm

W



0P
(24)
i
kj
i 
plpl
i 
kj
kj
j
kj
ki










jpl
ki
im
i
kj
j
ki
i
pl
kj
j
ki


ki
pl
i
kj
j
ki
j
ki

A
y
y
m
m
m
m



(24)






m
P
n
x
n
P
W
x
m
n
x
n
P
W
P
P
P
m
m
m
m




(25)
W
f
W
f





x
m
P
m
x
m
P











W
f
W
f
m
m
1
1
1



i
j
i
j
i
j
i







(26)
(26)
,
,
M
fi
M
fi







W
f
W
f


A
A
kjmijix
ki
kj j
pl y M
kj j
j P
j3Pn3i P
ki
 i   jnikj
M
M
i ,i W
iA
i,fi
ki
j
ki
y,fi jin
y , fi
Pi3W
Pi3ki
Pki
AjP1P
1 kjx x
m
i, fiP
j 
j 1x
Pm
P i 
P
P
m
n
x,xkj
m

P
1y j
11pl yM
j 1
jj pl
m
W


jApl
i1
M
fimpl
,iW
fi plpl ply j

i j 1pl  
j
i
kjkj
ki
ki
Apl
W
fPiyM
10
m
P
j
(25)

2
6
nki

 

2,6
m
m
niki
P
W
m
niki
W


2
,j104

2j
,x6
10


2,04
2,610
1
m
x jnki
Pipl
n1xkj
n
PAki
m
m
P
nP
Pi0(25)


P



iW
2kjj,6
10
ki

P
10
i
n
Pki
mjxkj
xPjj
m
n04
104
x
n,104
x
i fmiyP
i
,
fi2,
pl kiP
pl
1kjj1
1kj



j
j
0
pl pl A M
kjnkjjx2j,6
pl pl  M , fi2,04
P1jkj
P1jkj
0iW
i pl A A
ki
kj
ki
M, fi2mn,m
Ax  j
kj

iW
M
j
j
x, j1fi2m
P(27)
 (27)

i ki i nkjA
iplii i ki ki
jkj1
i i i0
j
iplii i ki
m
m

(24)
(24)
W
f
W
f



n
P
W
m
m
P
n
x
n
P
W


A
A








A
A
m
m
m

W
f
W


A
pl
y
pl
y,f fi



j
ki
i
i
kj
j
ki
i
kj
j
ki
1
1
1



j
j
i
j
j
i
(27)
,
,
M
fi
M
fi
1
1
1
1




j
i
i
j
i
j
i
P
P
P
P
,
M
fi
M
pl
y
pl
y
1
1
1



j
i
j
i
j
i
,
,
M
fi
M
fi




m m x
m x
m







3 (25)
P
P
m
P
P
f
W
f
Pj 1 W pl  i


















m
P
n
n
P
W
m
x
P
n
x
n
P
W

A
A
y
pl
y











3
3
P
P


P
f
 
 n M
Pf
2,04  2,6
m
n,04
n
P
Wplpl   
m
xj
m
nkj xjj
nkiiP
1   2
1m
m
m
jm
imxj
i2

ki
i
plpl
, ffi
kj  x
j  
kiP
kj2
ki
nm
,n04
 ki
 
iPi WApl  mm2kj
m Pm
ijP
,j6
kj
kipl
i 0 W
ki
Wm
f,kifiiPiW
W
10
W

 10
2,6i 10
nM
x2P,j6
m

kj

pl
pl
fW
f yMfM
Apl
m
kj
kj
iyy0
ki i
kjjP
ki
P
P xkjjj
PPxkjj
m
 fmxyxjm
 (26)
(26)
W plAf f yjmj11 ,04
(28)
1m
1m

j1m

i iykiP iy W
iP
jm
i i kiP
fi,
m
mm
m
0PiW
mnjjki

W
y,j
y, fi, fi
W
plAm
1
in1ki
n1n
j1
i Pi 3 (26)
j1
i P 3
M
fij
(25)
m
(24)
(24)
i 
PxiW pl
nPkj
P
PP
xfjpl
P
3iP
P
W

1(25)
nj
xpl
WiPpl
m
nnkjpl
xyM
P
(25)
fm
A
A
W

xW



W
kj


f
W
f

P P
P
i
kj
ki
i
pl
kj
jfi
ki

kjpl
j
i
ki
i
pl
j
ki






j
y
y
,
,
M
M
fi





n
x
n
P
W
n
x
n
P
W
3
3


P
P
pl
y
pl
y



2
,
04

2
,
6

10






2
,
04
 2,6  10
m
m
n
x
n
P
W
m
x
m
P
n
x
n
P






















3
P
P

P
P






ki
i
pl
M
n
2kj
,04

,10
6xj
10
n
W pl   2,kj
2kj,04
6 ki
10kiii00W
P1i 
P
W
m
m0ki
x jx
nPki
PM
0M
jxiikj
ki
pl
pl pl
kjx j
jx
ki
kj



,ikj
ki
fim
A

2,kj
04

2jj
,x62kj
iA

i,iP
04
j2j
,62,10
nikjnxkjm
W
m
m
xkjm
W
m


i ,iP
A
MnP,ki

04

610
ki 
2,04  2,6  1
n
P
m
1Pki
11   j
1  2n

j m
i
j jApl
jP
in
1ipl


,fifi
fipl

ij 
j2,j
i
j
kiP
M
imjW
 jj
A
0
i pl
pl M
f(27)
1mnkj

fi1mnkj x j i 
i nki Pi (27)
M
pl i ki m
pl ii0
yki
x, M
, M
1mP jkj  ji ikii i fyki i m
11

f ,1m

f 1j,m
jm
jjm
jm
,fA
,ffi,ffiy
M
fi,fjfi
P i iWki
mP kjji ii


m



W
W





Ax plA j 
A

W
W
m
m
m
1
1



j
(27)
fi

W


A
A
pl
y
pl
1
1
1


i  P nkjW
j
i



m
m
M
fi
M
fi
pl
y
pl
y



(25)
(25)
W
f
W
f
3
P
P

P
P






n
P
W
m
m
P
n
x
n
P
W
1 mi x
1 mi 2
,ki
1 n x
j ki
i Pm
jy1 n ki
i P Pn 3P
i P Pn 3P
 3i Pm
P
M
P
, fi 


 plkj j
P
  W
ypl
y , fi 2,2
i ,6
kj M
j
pl

3
PPP
P
i (26)
,j6
W
,04
,61
W
pl

2
,j2
04

2,jx6
10


iWplpl  jy


2,2
610
m
m
n2
xmjx
n
P
W
m
m
x j
nP


n2xkj,04

m P1i  j  





10
i
 10
10
nkj xxkj jj
n
W pl  n
nki
PP
im
i 
m

0
ki
ki
j
kiifiiiP
ki
0ifiiiP
kj,04
kii
pl pl  
kii P
pl pl
kj
ki
j2x
2,04
n04
2,xxkj
6
10

i
2,0404

2,
6
nki
W
m
P
nki
W

A
AP

kiki
ki

j

,6
(26)
jm0P
0pl(26)
1
m
ix
imm
 jmnj1kj
 kj
0f(28)
 j2
jkj
pl
jkj
M
kif,P
kj
ki
 ij m1mW
(28)
(28)
m  kij m
  f yi m
yM
yM
A
A
11Pkj
j
fAM
f M
A
A
W
W
f,P
m
m
(26)

fjM
(26)


f
W
f
A  Pmjjim
1j 1
1
1
m


j1
iM
j1kj
iW
j
i
i
,
,
fi
fi
1
1



j
i
j
i
i
pl
y
,
,
fi
fi
pl
y
pl
y


A
A
m
m
m
pl
pl
1


i 
j
i
j
3
3
P


P
P
P


,
,
fi
M
fi



m
W
W




3
P
P

P
W
W
f



1
1
1




i
i
j
i
j
i
M
nkimW
W
kjyxxj
3 P
P
P

Pki
2P,kiP
04

2,pl
6mm
 10
2
kjx0
04pl2y
,6n10
j
nkiP
P
xplxy,jfij2,2
nn
PP
3 Pi P
3 Pi  
P

PxiplxjW
W
mnPkjPxjnkjplxj
W
nplnkjkj

,n04
2
2x6i,x6
10
P
n
xm
nkiP
m
m
n
nkiP
W My, fi 2,04  2,6  1
mPm

nki

kixki
j

pl
ii
kj

0PiPW
iW
jm
i 2,pl
kj
j
04

10


n
nki
m
x xj
W
P
,04
m
2kiki
,(25)
10
m
(27)
2kj
,04
2,0(25)
6 10
x6P
npl


 mini



pl
kjmxkjjkj
0W

0M

kj
i0
j  n
kji,kj
j
i
pl
kjm
iki
ki
ikiM
A
AiA
jPjipl
 plpl  M , ffiy2,04  2,6  10
(27)
W
WApl f fjym
Apl
 j
(27)
P,i fi mjW
(29)
1Apl
1
j 1 ki
i  jm
j 1
im

1 W
iji kj iji W
ij1m
,Pfi
fiif P
M
,fi
ffifyj1m
y1jm
1mjm
1 j  i ikiif P
1     iM ,iki


y1m
m
j1m
i
,ffi
M
m
m
m

(26)
A
A
3
P
P




W
W
Aplpl






f
W
1



j
i
3
3


PP j 1 W
P
,
M
fi
pli  m
y
pl
y




1
1


j
i
j
y
pl
,
,
M
M
fi
3
3
P
P


P
3P
ki
PPn
m
3P
pl2,6
yn2
nP
nnkiP
 
 10

,n04
2
 10

P
Wpl
 22

 W M ,ffiy
2,04  2,6
x j
m
x
m
x ,j6
m
n,

P,i04
n2
m

Pn
Pnki
3n
P
x
xx2
x j 

,n04
W

j
22,6,
nnikjm
PP
WW
mm
xi2

0,
j2
i
i04
i
kj W
kj
ki2P



10
2

,
x,jj
2,6 10
m
P
P


mm

,m
04

ki
xplj 
04j0x
6 10

P
x,j6
P
nikj

 2,
i ikj
ikii2
plpl
i ikj
plpl
kikiPn
kj
ki
j


6W
nki

0W
2,04  2,6  1
m
m
xkj
ni10
P
m
P
n1kj,04
xkj
ni10
0jki
ki04
pl
kjxconstraints
ki





0
0 pl pl for
jpl
kj
j 10
kj
j6
ki0W
m

A
A

0i i W
kj
im
pl
ki Pi 
(26)
(26)
kjkjxxjj
kiexpress
kj
kiexpress


(28)


-st/nd/rd/th
location
It
is
convenient
to
the
(22)
to
(29),
specified
for
the
It
is
convenient
to
the
constraints
(22)
to
(29),
specified
k

A
A
1
1
1




j
i
j
j
i
j
,
, the
M
fi
fi k -st/nd/r
m
m
m
m









A
W
f
W
f yM


A
A
(26)




m
m
1
1
1



i
j
i
j
i
j
i
, ,fi1fim ij 1
,,fi1fim
M
M
(28)
(28)


W pl i j j 1m1  
f
W
f


A
1
1A
1

j
i
, fiP j m
,
M
fi
pl
y
pl
1

iM
i
j
i


m
M
M




W
f
W
f
3
P
P

P
m


1

i
j
i
j
i
j
i
y
pl
y
,
,
M
fi
M
fi
j Pm




W plim
f
W
f
3
3
P
P


P
 ofthe
  PWpl
 ofthe
  W pl
pl
pl
y 2,04  2,6  1
3P
PP
y in
y in
y 
ki

nki
plform

2n,the
04

2
,2
10
nki

plform
m
m
x
nkinpl
m
m
Pthe
x
nkinP
3matrix:
3matrix:
Pkj x
Pkj
,04
,04

Pm





2n

2,P
6
10

2n
jx2j
,6 
10
i
mjxP
xj
m
n2
xplastic
W04
of
the
plastic
the
of
  kiPinkj x j  

P


0P
iW04
kj
kj
jhinge,
ki
kj
jkjxx
j
mnn



 W j 
m
,04
,jj6
hinge,
10

i(27)


 
 W pl
2,04  2,6
nkj
xx6
m
P
nkj
Pi0
ki



Akj
2,x6
10

A
Pm
W
m
Pm
W

 m



0f2ii ,W
kiiP
i0
ki
(29)
(29)
0kjj
0
ki
i
ki
ki
m
m
 pl
f yPiki P2i ,W
(26)
(26)
(27)
2fM,6
, fijjm
 inWkjmxplA
, fijm10

fyM
fyM
pl
A  m
1 ikj jpl
1m
1 i kj
1
m
1
j1m
i i PAW
jm
i P(29)
i i P ki (27)
,ffim
,ffi, fi
M
M
pl
y W
A
A
pl
pl
1 jjPm
1
1


j
i  iiM
j
i
j
i
3
3
P


P
M
W

Ai P 


3

f


1
1




j
j
i
,
fi



pl
y
y 2,04  2,6  1
1
1


j 1nW
i
j
i
j
i
,
,
fi
M
fi
pl
y
pl
y




3
PiP  W
Pi   W pl
pl
Pi 2,04
Pi 




2
,
6

10







2
,
04

2
,
6

10


x
n
P
W
m
x
m
P
n
x
n
P
W
3
3
P
P












2
,
04

2
,
6

10



m
x
m
P
n
x
n
P
m
x
m
P
n
x
n
P








(27)




0

0
kj
j
ki
i
pl
i
kj
j
ki
i
kj
j
ki




(30)
A
X

B

C
A
X

B

C



0

kj
j
ki
pl
kj
j
ki
kj
j
ki
kj
j
ki

m


(28)
P
m2
  nkiP
2,04  2,6
xj
nkjkconvenient
x2,j6
P
x(22)
W pl
  n8
2
  nmkito
location
 constraints
,j6
,04nkj
k x2-st/nd/rd/th
,j6 10
Pi 
PimkiP
W
m
xmjjx
n
W
 nto
 n82

 to
j
  10
xj xm
jx
8ki
x
1(29),
xj,04
8
x
1P
8
 constraints
P
 constraints
0(28)
 10
0specified
ix1plAW
ix,1
i  (27)
kj1(22)
kj12
0iexpress
kj
imW
kj
im
ki
ntm
the
It,04
is
to
(29),
ffor
 the
 Mffor
pl constraints
fPy8specified
pl
ki
1
1
1 m AW
pl
iItm
jApl
i-st/nd/rd/th
jA
fi
fiplAW
1jm
1jm
j1jthe
mthe
j1is
i M
ito iW
j1is
ikito
j 1j the
ito (29),
express
(29),
specified
Itfim
express
the
location
,yfi the
,yfi the k -st/nd/r
M
W
fPyM
3P
P3plA
P3 location
plki jexpress
10
W
Apl
(26)
(26)
 f,yfor
(28)
 f,yfifor
1m
1i -st/nd/rd/th
convenient
n
kconvenient
n1 x3 (22)
i ,m
i
specified
11mx3 (22)

i 
M
fij 
M
Pkj x ji  to
P
P
ki
Pin then form
P
inP
2,04
x6P10


2the
,
04
Px P
2,x6


2,04
6 10ni ki
 W pl  M , fi2,04  2,6  1
PiW
n
Pi
W
m
m(27)
PiW
Pi
x jof
ki
x Mj,of










0

kj
j
pl
kj
j
kj
j
ki
the
matrix:
of
the
plastic
hinge,
the
form
matrix:



2
,
6

10







2
,
6

10


n
P
W
m
x
n
n
W
inge,




2
,
04

2
,


2
,
04

2
,
P
n
x
n
P
m
m
n
n
P




m








 (27)kj
0 i
kj j of
i  hinge,
plkii iin
i  hinge,
plki (29)
ki 0 ij
j
pl A kjofjjthe
j
iin
pl A ofj the
the
plastic
form
the
plastic
the form
kjMf ,j
 Mf , fi
(27)
where:
where:
 , the
 of
1ki
1 ki
kj
kj
i
m1m jmatrix:
m1 matrix:
 0ki jim
 0
Ai  ki jim
Ai (29)
 m
(29)
f, fi WW
W
W
f y, fim
1 plA  jmm1jim
1 plM
1 plA
j W
im
M
pl
plplM
i1
i  3Pi P(27)
f yy fi jm2m1,j04
f yy 2,04  2,6  1
m
  i PmPMP
 10
Pf yfi W
W
W
3P
P
P
P
P  W
fy, fi
 
3m
P
P3P

PiyW
pl
pl





2
,
6





m
x
n
x
n
m
x
P
n
x
n
W
3
3
P
P


P










2
,
04

2
,
6

10






2
,
04

2
,
6

10


P
n
x
n
P
W
m
x
m
P
n
x
n
P
(30)
(30)

C
A
X

B

C


8m









0

i
kj
j
ki
i
pl
kj
j
ki
i
pl
kj
j
ki
kj
j
ki










2
,
04

2
,
6

10






2,04
 2,6  1
m
x
m
P
n
x
n
P
W
m
x
m
P
n
x
n
P
W
P

0

0
kj
jjx
ki
i
pl
i
kj
j
ki
i
pl
ki i8 
kj
j
ki








x1m
x1 nkjx jItA
8
xj
jx
1
8
x
1
8
x
1


2
,
04

2
,
6

10







2
,
04

2
,
6

10


n
W
m
x
m
P
n
x
n
P
W
(30)
(28)
X

B

C
A
X

B

C












0

i
kj
j
ki
i
pl
i
kj
j
ki
i
pl
kj
j
ki
kj
j
ki
is
convenient
to
express
the
constraints
(22)
to
(29),
specified
for
the
It
is
convenient
to
express
the
constraints
(22)
to
(29),
specified
for the
-st/nd/rd/th
location
k
k -st/nd/r




0

0
ki
i
pl
i
kj
j
ki
i
pl
kj
j
ki
m
m
8
xj
1
8
x
1
8
x
1
8
xj
jx
1
8
x
1
8
x
1


A
A




f y  specified
fy
(27)P i itoW
1AplMfor
plM
A constraints
A M
 j 1the
 to
 j 1the
 toi i(29),
13jis
1 k -st/nd/rd/th
1
1
j 1j1m
-st/nd/rd/th
to Aexpress
It
the
for
the
pl
A
jP1j1m
1kconvenient
i i(29),
3 (27) ii Plocation

, fijjm
,2fijj,m
(28)
(28)  M
W
fconstraints
W
f y,, fi
Aexpress

i1 (22)

i1n P(22)

i 2
i P location
i specified
,, fi
M
fij 
M
fi

y

j
i
,
,
M
fi
M
fi
3

P
P
,
04


2
,
6

10




2
,
04

6

10


P
W
m
x
m
P
n
x
P
W
nkj x j   jnof








plastic
hinge,
the
form of
the
matrix:
plastic
hinge,
in
the form of
the matrix:0
 of
 
  W pl

0plastic
inki Pi inthe
kj of
jof
ki kj
jwhere:
kithe
2,the
04

2i,x6 j
10
pl
2,04  2,6  1
n
W plform
m
m(29)
imatrix:
 min P

 in the form of the
m
nge,
the
the
matrix:
0 ,Pfii 
i  j 1 kj
kj x
ji kihinge,
kj xpl
j 
ki
m nkj x j   nki Pi (29)
(29)
f
j 1
M ,i fifPyki
mmj P1 
mmjiP1  
 mW
 Mfy, fi where:
A fy jm1m
Wplj P1 m W pl  i where:
fP(28)
P3plAP
 3P
  Wmpl
  W plA fy j
W pl
(27)
1 n 3x (27)
i nW
i
i nP3P   W  My, fi 2,04  2,6  1
yM

3

P
P




2
,
04

2
,
6

10


m
x
m
P
n
x
P
m
x
m
P















W
W
0i8x2
jx
ki m
j2
pl
kjxijx
kiiCi8x21
ki(30)
,04

102
kj


2,6  10

m2kj,6x jA
m
P
nplkj x jA
Pxijxj
A
XP
Bpl
Xkj
Bpl
P
(28)
n x jIt
,kj
04

20ki,j6
10
i
2,kj
04
6 to
10 ki i
P
W
m
P
W,04
8isnn


8isnn
 mkiCP


C
 specified
0,(28)
ki
1j
8n
xto
1ki 
1j
8n
xto
1kilocation

iB
08
0 (28)
kj
j(22)
pl
i 
kj
iC
ki
(30)
X
 Mfor
Athe
Athe
(22)
-st/nd/rd/th
convenient
constraints
(22)
It
convenient
constraints
(22)
the k -st/nd/r

 1 pl
x1to
8i x11 kjA
jx
1
1to
11xjki
11xjk
jim
j 
ito8 x(29),
jim
j 1
i (29),(30)
, fi jthe
theconstraints
for
It1j8isxj1k(28)
convenient
express
theMffor
constraints
 Mexpress
 Mexpress
A express
Alocation
specified

(28)
1 M
11 A
j m
i -st/nd/rd/th
j xm
, fispecified
,fispecified


i i (29),
iW
i i (29),
, fimthe
, fimthe k -st/nd/rd/th location
W
W plMfor
f y, fi
  to
 to
 j m

 jof

W
f
f
pl
y
3
P
P

P
P
pl
y
pl
y
3
3
P
P


P
the
plastic
hinge,
in
the
form
of
the
matrix:
of
the
plastic
hinge,
in
the
form
of
the
matrix:




nge,m in
thenform
of
the
matrix:
of
the
plastic
hinge,
in
the
form
of
the
matrix:
 








2
,
04

2
,
6

10







2,04  2,6  1
m
x
m
P
n
x
n
P
W
m
x
m
P
n
x
n
P
W











2
,
04

2
,
6

10






2
,
04

2
,
6

10


x
n
P
W
m
x
m
P
n
x
n
P
W
(29)
where:
where:
  kj where:
mpl kj j  kikj i j
ki i (29)
ki i (29) pl
0 i W
0
pl ki 0f i
j kj j
ki
kikj i j pl

f ki i WmA
(28)
 jm1 kj 3j(28)
 j 1 kj j jPm
 Mf y, fi
A,pl

 10
f y, fi 
A j 
1  W
1 n P P  Wi 3  PM ,yfi W
13 im P P i P pl
i
i y  PM2,,fi
jm
jm
i P 
1 nkjM
1
iP
j pl

 A
04

2
,
6
2
04

2
,
6

10


m
x
x
nkj x j   nA

C






0

0
ki
i
pl
i
j
ki
i
pl
kj
j
ki
(30)
Ci 8x1 the constraints
X
C
 An8kjxjxXj
8W
2is
,804
 xjx
2,1j6
B
location

  nkj x j

 W pl for the
2,04
 2,6  1
m
P
m
P
(30)
Bn8(29),
8 xjm
8 xto
1
xjm
8 xto
1
8x1 the constraints
X xjx1j B
 10
Itis
convenient
express
(22)
to
specified
for the
ItA
express
(22)
ton(29),
specified
-st/nd/rd/th
kconvenient
k -st/nd/r
0ispecified
kixA
iexpress
pl
ki Plocation
i (30)
ki
kj
ki
xto
1 j express
jx1
1Plocation
to

C
(29),
specified
It
is kconvenient
to
k -st/nd/rd/th
1 8 x1 the constraints
i j 1 kj (22)
i -st/nd/rd/th
, fi A  forj the
M
mj A1  forj the
mjx11 the
(22)
 M constraints
 M , fi
f (29)
 toi (29),
(28)i
1 matrix:
1i P plastic
1 matrix:
i , fif yin the
j the
, fi of
pl  m
yM
3 P (28)iW pl  
3
P plastic



of
the
hinge,
form
of
the
hinge,
in
the
form
of
the





2
,
04

2
,
6

10







2
,
04

2
,
6

10


n
x
n
P
W
m
x
m
P
n
x
n
P
W
thekimatrix:
 kj j where:

nge,
of
the
plastic
hinge,
inthekjform
thekimatrix:
0i
0 (29)
j ofwhere:
i
pl
j ofwhere:
i
pl
ki
(29)
 in1thekjform
 specified
 Mexpress
 location
A(29),
(29)
Iti is convenient
(22) toW
for the
Iti is kconvenient
the constraints (22)
to (29), specified for the k -st/nd/r
-st/nd/rd/th
1 the constraints
i
fi j m
Mexpress
fi
   B to
 j m1
  B to
W pl  j m
f,C
f,C
y
pl
y
(30)
A
X

A
X

3
3
P
P


P
8
xj
jx
1
8
x
1
8
x
1
8
xj
jx
1
8
x
1
8
x
1
 C8x1n(22)



(30)
A
X

B

C


2
,
04

2
,
6

10







2
,
04

2
,
6

10


x
n
P
W
m
x
m
P
n
x
n
P
W
of
the
plastic
hinge,
in
the
form
of
the
matrix:
of
the
plastic
hinge,
in
the
form
of
the
matrix:





-st/nd/rd/th
location
-st/nd/rd/th
location
to
(29),
specified
for
the
It
is
convenient
to
express
the
constraints
(22)
to
(29),
specified
for
the
k
k
8constraints
x1 
8
xj
jx
1
8
x
1
8
x
1
0 to (29), (30)
ki i 
plto express thekjconstraints
kj for
j the
ki-st/nd/rd/th
i
pltolocation
j
ki 0i to (29),
(29)
(29)
109 for the k -st/nd/r
convenient
(22)
It is kconvenient
specified
 1 kj j It is
 specified
 M , fi jof
 express
Aform
1the plastic hinge,
i
i
j 1the matrix: i
M , fi



mAof the jmatrix:
in
the
of
where:
where:
of
the
plastic
hinge,
in
the
form
of
the
matrix:
of
the
plastic
hinge,
in
the
form
of
the
matrix:
(30)
A
X

B

C
A
X

B

C
where:
8 x1 for 8the
8 x1 for 8the
x1 k -st/nd/rd/th location
he constraints (22) to8 xj
(29),jx1specified
Itx1is kconvenient
express
-st/nd/rd/thtolocation
(29) the constraints (22) to8 xj(29),jx1specified
(29)
(30)
A
X jx1 hinge,
B(30)
C
orm of the matrix: A8 xj X jx1  B8 x1  C8of
the
the
8 xjplastic
8 x1 in
8 x1form of the matrix: A8 xj X jx1  B8 x1 (30)
C
x
1
8
x
1
where:
where:
to (29), specified for the
It is kconvenient
express the constraints (22)
to (29), specified for the k -st/nd/rd/th location
-st/nd/rd/thtolocation
(30)
A
X plastic
Cin8 xthe
8 xj
jx1  Bhinge,
8 x1 (30)
1 form of the matrix:
form of the matrix:
ofwhere:
the




















 
 

























































 
 
 
 
 
 
 


 








 



 




















 






























P  3 P
P
3 P  
P
pl 
P 
P m xpl    m P P 
 W pl
m
2,04
 nm
2kj,ki
10
 W plnkj x yj 
nkj x yj 
mnkjki2x ,P
 nki2,P6
  mkj x j  mki
2,04
W

 kj x j
 
2,04
Pi  kj j  nkjkix j(26)
x6P
n
0
i10
pl
i 
i   nki P
0i m
j(26)
ki P
j6
kiP
i  
i  j
 j

A  j i1
A

A
1

j 1
i
i A   j 1  M , fi j 1i
i
i
,
M
fi
1
1


j 1
j
i
i
,
M
fi



(27)


W pl  m
fy m
W pl  m
fy
(27)
3
3
P
P


P
   nkj x j   nki Pi   W pl
   nkj x j   nki Pi   W pl
 2,04
 m

2,04  2,6  10 0
m
x ,j6 10
0i 
kj 2
ki P


 M , fi jW
 M , fi W  m
A  j 1
A   j 1 f
1pl  m
i
mi
mi
 99–120 f y
I ROZWÓJ

BADANIA
BiTP
Issue 4, 2016,
y
pl Vol.
P  m
P pp.
Pm
Pm f
  nkj x P
  44
  mkj x j   mki
 W
2,04
Pkj
2,x6 j
10 3

2,04 P2,6 1
Pi 
nki
Pi  W pl
mki
nkj x P
nki
Pi  mW pl
 m
pl
y
pl
3W
0 Pi 
j(27)
j(27)





  nkj xMj,fi   nki






2
,
04


2
,
6

10



m
x
m
P
n
x
n
P
W
m
x
m
P
Pi 

A
A








0
kj
j
ki
i
pl
i
kj j
ki i i
kj
j
ki
1
1


j 1
i
j
i
j
i
,
M
fi
 j 1



DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.8


A  j 1
A  j 1
1 , fi
j 1
i
i
jM
i
i


m
(28)


W pl  m
fy
W pl  m
fy
3
3
P
P


P
  nkj x j   nki Pi   W pl


2,04
 kj
2,x6 j
10 



2
,
04

2
,
6

10


m
mki
P
n
x
n
P
W



0 i
0
kj j
ki i 
pl
(28)

 M , fi Wj 1  m
 M , fi W  m
A  j 1
A  j 1
i
mi
f y mi
fy


pl 
pl 
P  
P 
3 P
P
  nkj x j(28)
  nki
2,04
 x2,j6 10






2,04  2,6  1
Pi  W pl
mkj
m
P
n
x
n
Pi  W pl
 mkj x j   mkimPi 


0

i
kj
j
ki
ki
(28)
m
m
m





W
fyA
 M , fi j 1 P  i
 M , fi
A  j 1 P
j 1
i
i pl  
j 1 P
3i pl  
P 
W

(29)
(29)

  nkj x j   nki Pi  W pl mkj x j2,04
 m
2,ki6P i10 0   nkj x j   nki
Pi
 mkj x j   mki Pi 




A
A  j 1
W pl  m
W pl  j m1
1y M , fi
j f 1y m
i 3 P
i P  
j f(29)
i 3
i
P 

   nkj x j   nki

2,04
 x2,j6 10
 m


  nkj x j   nki Pi  W pl
2,04  2,6  10 0
Pi  W pl
mkj
P
0
i
ki


A  j 1
A  specified
-st/nd/rd/th
It iis convenient
to express
for the
It is
tolocation
express
the constraints (22) to (29),
i (22) to (29),
j 1
i kconvenient
M , fi j 1the constraints
M , fi
(29)specified for the k -st/nd/r


of the plastic hinge, in the form of the matrix:
of the plastic hinge, in the form of the matrix:
(29)
(29) (22) to (29),
OgraniczeniaIt(22)
do (29), wyspecyfikowane
k-tej lo- (22) to
It is
convenient
express
is convenient
to express thedlaconstraints
(29),
specified
It istoconvenient
for
the kthe-st/nd/rd/th
toconstraints
express location
the constraints (22) to (29),
kalizacji
przegubu
plastycznego,
wygodnie
zapisać
w
postaci
specified
for
the
k-st/nd/rd/th
location
of
the
plastic hinge, in
(30)
A
X

B

C
A
X

B

C
8 xj(29),
jx1 specified
8 x1of for
8 xthe
8 xj(29),
jx1 specified
8 x1of for
8 xthe
1plastic
the constraints (22) to
It1plastic
is kconvenient
toin
express
the of
constraints
(22) to
-st/nd/rd/th
location
location
k -st/nd/rd/th
the
hinge,
the
form
the
matrix:
the
hinge,
in
the
form
of the matrix:
the form
of BiTP
theI ROZWÓJ
matrix:
form of the matrix:macierzowej:
BADANIA I ROZWÓJ of the plastic hinge, in the form of the matrix:
BADANIA
Vol. 44 Issue 4, 2016, pp. XX-XX
B
where:
where:
BADANIA
I ROZWÓJ
44 Issue
4,C2016, pp. XX-XX
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
(30) (30)
ABADANIA
X jx1I ROZWÓJ
 B 1  C8 x1
A
X BiTP
Vol.B
(30)
8I xj
jx1Issue
x1 
8(30)
x1
BADANIA 8I xj
ROZWÓJ
BADANIA
BiTP
ROZWÓJ
Vol. 44
4, 8
2016,
pp. XX-XX
A X 8xB
(30)
C




8 xj
gdzie:
110



jx1
8 x1
8 x1
where:
where:
W pl
W pl


nWj  W pl
n1 ... W plm j 

 m1 
 A W
pl1 
m
n1 m A
... mplj n  n j 

m
n
...

1
1 A
j A
 W
Wj
  m  pl nA ... W m  pl nA
W
 pl 
j
1
1
pl j
W
W



pl1 
pl
A
n
m
...


  mA   m
 nj
j
n ... 1 m

Wjpl A n j  A
 W1pl  A 1 A
n1 ... Wplm j 
nj
W pl 
  m1
pl1 
A W
n1 m...A  Wmplj n  n j 
m

m
n
...


 W1 
1 A
j A
Wj

 m 
 pl n1 A ... W plm j  pl n j A Wpl
1

W
W


pl
pl
A
A
m
n
m
n
...


 m   1n
1 m 
j n(31)
j 
A 8 xj  
...

1
1
j
j
A
A
W
 8W
xj pl A ... W m  pl n A W

A 8xjm1 A

1
pl j
 A nW
Wjmpl  pl n 
pl1 
A
m
...
n

1
j
j

n1 A... mWj 
n 
 mW
1 pl

pl A j A

A ... W





m
n
m
n
W pl 
1
j
pl j
 1 A W
W
pl
...A  mplj   n j 
m1   m1 n1 A... n1 m

 W
pl  A
  m1
nW
nWj 
W
 pl 
1 ... Wplm j 

pl1 
pl
A
A
...



m
n
m
nj


jn 
  m1 
n1 A... 1W
mj 
j A

W


pl
pl
A
A

... W plm j 
nW
nWj  Wpl

1
 m1 
 A  m
pl1 
... mplj   n j 
n1 A

 m1   A n1 A... m j  A n j A
T
X jx1  x1 ...T x j
(32)
 x1x ... x j
X Tjx1 Xx1jx1 ...
j
W pl


P
P


 pl
  mi Pi  
Pnpli Pi W
W
 nP P niP Pi 
 i   miPPAimii Pi 
i i

Wipl A Pi A i 

Pi

m
P


n
P
W

Ppli i  pl  P 
   i i P A m
W
P  P
ni Pi 
 i    mi Pi i i i  niAPi

i
i
W
A

   m Pi   pl n P PiW
i i  pl  P
 A 

P
W
  i
pl

m
n
P

P
P
i  m
i i  niAPi i i 


i

 pl i A P i  i 

  m P P i W

i
i
pl
Pnpli Pi W
P

W
 i 


m
P
n
P
P A
P
mi Pi ii i  niAPi i i 

B8 x1  
i
i
AP i
B P8 xi1  W
pl
B8x1m
ni Pi W pl  P (33)
i Pi  

P
W
 i 
A m pl
P  
n P 
 m P P ii i  n P P  i i 

 Pi i Wi ipl A Pi iA i i 
   mi Pi 
 pl  P 
Pni Pi W
pl
n P
Pi  n P P 
 i   mPPAmW
i
i
 i i i
  iA i i i i 

W
A
 i  pl

Pi
   miP P
 pl  P 

i 
Pnpli Pi W
W
A


m
P
ni Pi 

P
P
 i    m P ii i  n P 
i ii
iA i i




W
A
pl
P i

P i

  mi Pi  
 pl  P 
Pnpli Pi W
W
 nP P  ni Pi 
 i   miPPAimii Pi 
iA i i 
i


A
i

 i


















DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
where:


where:
W pl
W pl


nWj  W pl
n1 ... W plm j 

 m1 
 A W
pl1 
m
n1 m A
... mplj n  n j 

m
n
...

1
1 A
j A
 W
Wj
  m  pl nA ... W m  pl nA
W
 pl 
j
1
1
pl j
W
W



pl1 
pl
A
n
m
...


  mA   m
 nj
j
n ... 1 m

 W1pl  A 1 A
n1 ... Wplm j 
nj
W pl 
  m1
pl1 
A W
n1 m...A  Wmplj n  n j 
m

m
n
...


 W1 
1 A
j A
Wj

 m 
 pl n1 A ... W plm j  pl n j A Wpl
1

W
W


pl
pl
A
A
m
n
m
n
...


 m   1 n(31) ... 1 m 
j n(31)
j 
A 8 xj  

1
1
j
j
A
A
W pl
(31) A
 8W

xj pl A ... W m(31)

A 8xjm1 A

nWj  Wpl
1
pl j 
 A nW
pl1 
plj 
A
m
...
n
m
n


1
j

n1 A... mWj 
n 
 mW
1 pl

pl A j A

A

nWj 
W pl 
1 ... Wplm j 
  m1 A nW
pl
...A  mplj   n j 
m1   m1 n1 A... n1 m

 W
pl  A
  m1
nW
nWj 
W
 pl 
1 ... Wplm j 

pl1 
pl
A
A
...



m
n
m
nj


jn 
  m1 
n1 A... 1W
mj 
j A

W


pl
pl
A
A

... W plm j 
nW
nWj  Wpl

1
 m1 
 A  m
pl1 
... mplj   n j 
n1 A

 m1   A n1 A... m j  A n j A
T
(32)
X jx1  x1 ...T x j
(32)
(32)
 x1x ... x (32)
j
X Tjx1 Xx1jx1 ...
j
W pl


P
P


 pl
  mi Pi  
Pnpli Pi W
W
 nP P niP Pi 
 i   miPPAimii Pi 
i i

Wipl A Pi A i 

Pi

m
P


n
P
W

Ppli i  pl  P 
   i i P A m
W
P  P
ni Pi 
 i    mi Pi i i i  niAPi

i
i
W
A

   m Pi   pl n P PiW
i i  pl  P
 A 

P
W
  i
pl

m
n
P

P
P
i  m
i i  niAPi i i 


i

 pl i A P i  i 

  m P P i W

i
i
pl
Pnpli Pi W
P

W
 i 


m
P
n
P
P A
P
mi Pi ii i  niAPi i i 

B8 x1  
i
i
AP i
B P8 xi1  W
pl
B8x1m
ni Pi W pl  P (33)
i Pi  

P
W
 i 
A m pl
P  
n P 
 m P P ii i  n P P  i i 

 Pi i Wi ipl A Pi iA i i 
   mi Pi 
 pl  P 
Pni Pi W
pl
n P
Pi  n P P 
 i   mPPAmW
i
i
 i i i
  iA i i i i 

W
A
 i  pl

Pi
   miP P
 pl  P 

i 
Pnpli Pi W
W
A


m
P
ni Pi 

P
P
 i    m P ii i  n P 
i ii
iA i i




W
A
pl
P i

P i

  mi Pi  
 pl  P 
Pnpli Pi W
W
 nP P  ni Pi 
i Pi 
 i   miPPAimi(33)

iA i i(33)
i


A
i(33)

 i





RESEARCH
ANDAND
DEVELOPMENT
RESEARCH
DEVELOPMENT
Please
cite
as: BiTP
44 Issue
RESEARCH
BiTP
Vol.
AND
44DEVELOPMENT
Issue
4, 2016,Vol.
pp. XX-XX
DOI: 10.12845/bitp.44.4.2016.x
И РАЗВИТИЕ











C8 x1  

W pl


W pl


W pl


W pl

W pl
W pl
W pl
W pl
B
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.8
fy
 M , fi
fy
 M , fi
fy
 M , fi
fy
 M , fi
























2,04  2,6 1030 
 M , fi
fy
2,04  2,6  1030 
 M , fi
fy
2,04  2,6  1030 
 M , fi
fy
2,04  2,6  1030 

fy
4, 2016, pp. 99–120
M , fi
(34)











C8 x1  

W pl


W pl


W pl


W pl

W pl
W pl
W pl
W pl
fy
 M , fi
fy
 M , fi
fy
 M , fi
fy
 M , fi
























2,04  2,6 1030 
 M , fi
fy
2,04  2,6  1030 
 M , fi
fy
2,04  2,6  1030 
 M , fi
fy
2,04(34)
 2,6  10  3  0 

fy
M , fi
(34)
A set of constraints
is, komplet
then, a set
set of where
constraints
is,the
set 8  K ofin-independent ineq
 K of independent
K a is
Zbiór ograniczeń
stanowi zatem
A setinequalities,
ofAconstraints
is, then,
set
ofthen,
8 ⋅ K8niezależ8 ⋅ K aindependent
number of plastic-hinge
locations
associated
with the analysed
number
movement
It
associated
with the analysed mo
nych nierówności,
gdzie K jest liczbą
lokalizacji
przegubów
equalities,
whereofKplastic-hinge
ismechanism.
the numberlocations
of is
plastic-hinge
locations
plastycznych
skojarzonych
wybranym
do analizy
associated
with
thetoanalysed
movement
mechanism.
It is imimportant
to note zthat
the problem
has mechanibeen formulated
without
important
taking
into
note account
that
the the
problem
has been
formulated without
zmem ruchu.
Należy
zaznaczyć,effect
że w sformułowaniu
zadania
portant
tothe
notesolution
thatnegligible
the problem
has
been
without
relatively
negligible
of the M-V interaction.
Hence,relatively
of theeffect
linearof formulated
the M-V interaction.
Hence, the
pominięto
stosunkowoproblem
mało znaczący
interakcji
M-V. is the
taking
into
account
relatively
negligible
effect mechanism
of the M-V is the maximu
programming
for thewpływ
selected
mechanism
maximum
programming
valuethe
of
problem
multiplier
for
the
 , selected
Rozwiązaniem zadania programowania liniowego dla wybrainteraction. Hence, the solution of the linear-programming
which also satisfies the above-defined constraints. In order to which
estimate
also
a critical
satisfiestemperature
the above-defined constraints. In order to estim
nego mechanizmu jest więc maksymalna wartość mnożnika
problem for the selected mechanism is the maximum value of
that
is
representative
of
the
whole
frame,
the
first
thing
to
do
that
is
is
to
representative
determine
the
critical
the
whole frame,
the first thing to do is
multiplier ζ, which also satisfiesof
the
above-defined
constraints.
ζ , przy której spełnione są jeszcze zdefiniowane powyżej
temperatures
that
correspond
to
each
of
the
kinematically
admissible,
temperatures
and
thereby
that
correspond
realisable,
to
each
of
the
kinematically admissib
ograniczenia. Oczywiście,
w celu oszacowania temperatury
In order to estimate
critical
temperature
BADANIA I ROZWÓJ
BiTP a
Vol.
44 Issue 4,
2016, pp. XX-XXthat is representamechanisms,
anddla
then
to compare
all the
resultant
and
mechanisms,
the lowest
and
one.
then
This
to thing
compare
will,to do
allisthe
krytycznej
miarodajnej
całej
ramy, należy
najpierw
wy-values,
tive
ofselect
the
whole
frame,
the
first
to resultant
determinevalues, and select
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
the same time,
indicate
the mechanism
that issporepresentative
of
at thetemperature
same
fire endurance
time, indicate
limit
the
state
mechanism to
that
is representative
of the
znaczyćattemperatury
krytyczne
odpowiadające
każdemu
the critical
values
that
correspond
each
of
being reachedkinematycznie
assuming thedopuszczalnych,
rigid-plastic model
of the frame
failure
being [11].
reached
It isassuming
important
here
rigid-plastic
model
of the frame failure
śród mechanizmów
a przez
the kinematically
admissible,
andthe
thereby
realisable,
mechademonstrate
that computational
the frame
safelyalgorithm
transfers gives
the applied
in to
the
basic
design
to możliwych
realizacji,
a następnie
porównać
wszystkie
nisms,
and
then
compare
allwhen
the situation
resultant
values, algorithm
and select gives representa
to recalldothat
the proposed
representative
toloads
recall
that
results
the
only
proposed
computational
the
(withouttemperature
taking the firefor
intoeach
account).
resultant critical
considered movement resultant
mechanism
critical
is lower
temperature
than thefor each considered movement mec
and
Figure
2. o C , as directly inferable from the formula (10) an
limit value of 785 o C , as directly inferable from the formula (10)
limit
value
of 785
7. Sample computation
To illustrate how the proposed computational approach is applied,
To illustrate
a simple steel
how the
frame
proposed computational approach is ap
is considered with a geometry and loading diagram as shown is
in considered
Figure 4. Itwith
is assumed
a geometry
that and loading diagram as shown in Fi
L  10,0 m
H  6,0 m and L  10,0 m . The Figure below also shows the H
 6,0 m and
arrangement
of external
loads
. The Figure below also shows the arra
– thewith the loads’ being specified by two
applied to the analysed frame, with the loads’ being specified byapplied
two concentrated
to the analysed
forces
frame,
respectively.
horizontal force of P1  55,0 kN and the vertical force of P2 horizontal
of P1  It
20,0 kN , force
55also
,0 kN and the vertical force of P2  20,
shows critical cross-sections, with their locations marked with
shows
Arabic
critical
numerals
cross-sections,
(1 to 5). with their locations marked with A
Plastic hinges can form in these (and only these) cross-sections
Plastic
during
hinges
thecan
fire.form
Bothin the
these (and only these) cross-sections
beams and posts of this frame are made of the IPE 300 I-beam,beams
for which
and posts
the cross-sectional
of this frame are made of the IPE 300 I-beam, for
plastic bending resistance, as defined for the basic design
plasticsituation
bendingconditions,
resistance, isas defined for the basic design
2
3
). It (with:
is easyWtopl  628 mm 3 , A  53,80 mm 2 , W pl
M pl  146,50 kNm (with: W pl  628 mm , A  53,80 mm , M
W pl A146
 ,050
,012
kNm



Ryc. 4. Geometria, Ryc.
schemat
statyczny i obciążenie
zewnętrznei obciążenie
rozpatrywanej
ramy (u góry
z lewej) orazramy
potencjalnie
mechanizmy
4. Geometria,
schemat statyczny
zewnętrzne
rozpatrywanej
(u górymożliwe
z
jej plastycznego zniszczenia, w szczególności: mechanizm kombinowany generowany przez układ obu sił skupionych (u góry z prawej),
lewej) oraz potencjalnie możliwe mechanizmy jej plastycznego zniszczenia, w szczególności:
mechanizm belkowy generowany jedynie przez siłę pionową (na dole z lewej) i mechanizm przechyłowy generowany jedynie przez siłę
mechanizm kombinowany generowany
układ
obu sił skupionych (u góry z prawej),
poziomąprzez
(na dole
z prawej)
mechanizm
belkowy
generowany
przez siłę
pionową
(na
dole
z lewej)possible
i mechanizm
Fig. 4. Geometry, static
scheme, external
loads
applied to jedynie
the considered
frame
(top left)
and
potentially
plastic failure mechanisms,
przechyłowy
generowany
przez forces
siłę poziomą
(na beam
dole zmechanism
prawej) generated by the vertical force
in particular the combined mechanism
generated
by both thejedynie
concentrated
(top right),
Fig.only
4. Geometry,
diagram,
externalgenerated
loads applied
the considered
frame
(top left)
(bottom left)static
and tilting
mechanism
by thetohorizontal
force only
(bottom
right)and
Źródło:
Opracowanie
potentially possible plastic failure
mechanisms,
in własne.
particular the combined mechanism
Source:
Own
generated by both the concentrated
forces
(topelaboration.
right), beam mechanism generated by the
vertical force only (bottom left) and tilting mechanism generated by the horizontal force only
(bottom right)
111
BADANIA I ROZWÓJ
BiTP Vol. 44 Issue 4, 2016, pp. 99–120
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.8
otrzymane wartości i wybrać najmniejszą. Będzie to równocześnie wskazanie mechanizmu miarodajnego do osiągnięcia
stanu granicznego nośności ogniowej przy założeniu sztywno-plastycznego modelu zniszczenia ramy [11]. Trzeba przy
tym przypomnieć, że proponowany algorytm obliczeniowy
daje wiarygodne wyniki jedynie wtedy, gdy wynikowa temperatura krytyczna dla każdego rozpatrywanego mechanizmu
ruchu jest niższa od wartości granicznej równej 785ºC, co
wynika bezpośrednio z formuły (10) i ryciny 2.
7. Przykład obliczeniowy
W celu ilustracji zasad stosowania proponowanego podejścia obliczeniowego rozważa się prostą ramę stalową
o geometrii i schemacie statycznym pokazanych na ryc. 4.
Zakłada się, że H RESEARCH
= 6,0 m AND
iL=
10,0. Na przytoczonej ryciDEVELOPMENT
И РАЗВИТИЕ
nie zaznaczono również
przyłożony
do analizowanej ramy
the lowest one. This will, at the same time, indicate the mechanism that is representative of the fire resistance limit state
being reached assuming the rigid-plastic model of the frame
failure [11]. It is important here to recall that the proposed
computational algorithm gives representative results only
when the resultant critical temperature for each considered
movement mechanism is lower than the limit value of 785ºC,
as directly inferable from the formula (10) and Figure 2.
To illustrate how the proposed computational approach
is applied, a simple steel frame is considered with a geometry
and static scheme as shown in Figure 4. It is assumed that
H = 6,0 m and L = 10,0. The Figure also shows the arrangement of external BiTP
loads
thepp.analysed
frame, with
Vol.applied
44 Issue 4,to
2016,
XX-XX
DOI:
the loads’ being specified
by10.12845/bitp.44.4.2016.x
two concentrated forces – the
5.zastępczy
Przyjętystatycznie
do analizy
zastępczyschemat
statycznie
wyznaczalny
schemat
statyczny
oraz (z lewej) i sił
Ryc. 5. Przyjęty doRyc.
analizy
wyznaczalny
statyczny
oraz wykresy
momentów
zginających
momentów
zginających
i sił podłużnych
(z prawej),
pochodzących
kolejno:
podłużnychwykresy
(z prawej),
pochodzących
kolejno: od(zsiłlewej)
hiperstatycznych
o wartości
jednostkowej
i od obciążenia
zewnętrznego
Fig. 5. The substitute statically
static scheme
assumed
for the analysis
diagrams of
bending moments (on the left) and
od siłdeterminate
hiperstatycznych
o wartości
jednostkowej
i odand
obciążenia
zewnętrznego
longitudinal
(on the
right), due
to unit hyperstatic
forces and
external for
loads,
Fig. 5. The forces
substitute
statically
determinate
static diagram
assumed
therespectively
analysis and
Źródło:
Opracowanie
własne. forces (on the right), due to unit
diagrams of bending moments (on
the left)
and longitudinal
112
hyperstatic forces and external loads, respectively
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.8
horizontal force of P1 = 55,0 kN and the vertical force of
układ obciążeń zewnętrznych specyfikowany poprzez dwie
skupione siły, odpowiednio poziomą o wartości P1 = 55,0 kN
P2 = 20,0 kN, respectively. It also shows critical cross-sections,
i pionową o wartości P2 = 20,0 kN. Pokazano także potenwith their locations marked with Arabic numerals (1 to 5). Placjalne przekroje krytyczne z lokalizacją oznaczoną kolejnymi
stic hinges can form in these (and only these) cross-sections
cyframi arabskimi (od 1 do 5). W przekrojach tych (i tylko
during the fire. Both the beams and columns of this frame are
w tych) w czasie pożaru mogą aktywować się przeguby plamade of the IPE 300 I-beam, for which the cross-sectional plastyczne. Zarówno słupy, jak i rygle ramy wykonano z dwuteowstic bending resistance, as defined for the persistent design sinika IPE 300, dla którego plastyczna nośność przekroju okretuation conditions, is M pl = 146,50 kNm (with: Wpl = 628 mm3,
ślona dla warunków podstawowej sytuacji projektowej wynosi
A = 53,80 mm2, (Wpl /A = 0,012). It is easy to demonstrate that
M pl = 146,50 kNm (przy czym: Wpl = 628 mm3, A = 53,80 mm2
the frame safely transfers the applied loads in the persistent de(Wpl /A = 0,012). Łatwo wykazać, że rama bezpiecznie przesign situation (without taking the fire into account).
nosi przyłożone obciążenia w podstawowej sytuacji projektoThis example is performed to define the mechanism that
wej (bez uwzględniania wpływu pożaru).
is critical due to the effect of fire and to evaluate the critical
Celem niniejszego przykładu jest wyznaczenie mechatemperature of the analysed frame that accompanies this menizmu krytycznego ze względu na oddziaływanie pożarowe
chanism. It is assumed that the fire in the fire zone of which
oraz towarzyszącej temu mechanizmowi temperatury krythe analysed frame is part flashed over earlier, so it reached
tycznej badanej ramy. Zakłada się, że pożar w strefie pożathe status of a fully developed fire, thus resulting in an equal
rowej mieszczącej analizowaną ramę uległ wcześniejszemu
and monotonically rising exhaust-gas temperature. The prorozgorzeniu, a więc osiągnął status pożaru rozwiniętego, co
blem will be solved using two qualitatively different computaskutkuje wyrównaną i monotonicznie rosnącą temperaturą
tional approaches so that the results can be verified.
gazów spalinowych. Zadanie zostanie rozwiązane przy poThe first considered algorithm, described in detail by this
mocy dwóch jakościowo różnych podejść obliczeniowych, co
article, is the one which uses the classical principles of linear
umożliwi weryfikację uzyskanych wyników.
programming. Figure 5 illustrates the substitute static diaBADANIA
I ROZWÓJ
B
Pierwszym z rozpatrywanych algorytmów jest ten, opisagram used
in the
computations and also shows how the hyny w szczegółach w niniejszej pracy, w którym zastosowano
perstatic forces are defined. For instance, the following conklasyczne reguły programowania liniowego. Na ryc. 5 zaprestraints have been obtained for the beam mechanism (plastic
zentowano zastosowany w obliczeniach zastępczy schemat
hinges induced in points 2, 3 and 4):
BADANIA I ROZWÓJ
BiTP
Vol. 44 Issue 4, 2016, pp.
 specyfikowane
punktu 2 specified for point 2:
statyczny
oraz sposób wyznaczania wartości sił hiperstatycz•
specified
for point 2: dlaXX-XX
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
nych. Przykładowo, dla mechanizmu belkowego (przeguby
plastyczne indukowane w punktach 2, 3 i 4) otrzymano na 5  x1  0  0  0.012  x 2  x3  0   5  x1  0.012  x 2  x3
stępujące ograniczenia:
  5  x  0  0  0.012  x  x  0  5  x  0.012  x  x
 specyfikowane
dla punktu
2 specified for point 2:
1
2
1
2
3

 
•
specyfikowane
dla punktu
2:
 5  x1  0  0  0.012  x 2  x3  0  5  x1  0.012  x 2  x
 
 5  x1  0  0  0.012  x 2  x3  0   5  x1  0.012  x 2  x3  5  x  0  0 80
 0.012  x 2  x3  0   5  x1  0.012  x 2  x3
1
  5  x  0  0  0.012  x  x  0  5  x  0.012  x A2 x 
 80 

1
2
3  5  x  0 
1
2
3
 x3Vol.
 044Issue4, 52016,
 x1pp. XX-XX
0.012  x 2  x3

 
 0  0.012  x 2 BiTP
BADANIA I ROZWÓJ
1
 
 5  x1  0  0  0.012  x 2  x3  0  5  x1  0.012  x 2  x3   5  x  0 80

DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
0  0.012  x 2  x3  0  5  x1  0.012  x 2  x
1

 



5  x1  0  0  0.012  x 2  x3  0   5  x1  0.012  x 2  x3  5  x  0080

0.012  x 2  x3  0  5  x1  0.012  x 2  x
1 
B

A2 
2
 
 5  x1  0  0  0.012  x 2 BiTP
 x3specyfikowane
 044Issue4, 52016,
 x1pp.
 XX-XX
0punktu
.012  x 22specified
x3  5  for
80
OZWÓJ
Vol.
 0.012  x 2  x3  0   5  x1  0.012  x 2  x3
x1 point
0  02:
dla





DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
  5  x1  0  0  0.012  x 2  x3  0  5  x1  0.012  x 2  x3 
  6  235  103
 80 10
 
147.58
628
 5  x  0  0  0.012  x  x 5 x01  0

  x 2  x3 
 0.012





0
0
.
012
x
x
0
5
x





5
x
0
.
012
x
x


 80
1  80
2
1
23
3 
1
2
3

6
3

 

147.58

  10
628
 235  10


80 
 0x1 0.0012
 x 2x
x  0  5  x1  80
0.012
 0.012  x 2  x350 x1  0 5
x1 point
0  02:
.012
cyfikowane dla punktu 2 specified
 5  for
2  3x3 
  6 x 2  x3  3




147.58

628  10  235  10

 x 2.58
 x3  0  5  x1  0.012
 x  x3  3
80 

6 2
628  10  6  235  103 5  x1  0  0  0.012147
147.58
628  10  235  10
 

  
x1  0  0  0.012  x 2  x3  0   5  x1  0.0126x 2  x3  35  x  0 0 80
 0.012 147
 x 2 .58xC3 20   5 x61  0.012 3x 2  x3 
 80
1


3


628
10
235
10



301.063  0.384
B 2 
  10  235  10  2.04  2.6  10
628

 x1  0  0  0.012  x 2  x3  0  5  x1  0.012
 x 2A2 x3 35  x  0 080
 80
 x 2 .58x3  0 BiTPVol.
 04,.012
 x3 
5 44
x61Issue
x 2XX-XX
BADANIA
I ROZWÓJ
2016,3
pp.
  0.012 147

1


3
628  10  6  235  10
628 10  235  10  2.04  2.6  10  301.063  0.384
 x1  0  0  0.012  x 2  x3  0  5  x1  0.012
 x 2  x3 3 5  x  080
 x 2.58
 x3  0  DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
0 0.012147
5  x1  0.012  x 2  x3 
80
1
628  10  6  235  10
 





628 10  6  235  103  2.04  2.6  10  3 301.063  0.384

x1  0  0  0.012  x 2  xC3 20   5 x61  0.012 3x 2  x3  5  x 30080
80 

301
 x
 5  x1  0.012  x 2  x3
0.012
2 
3 0
.063
0.x384
B12 
  10  235  10  2.04 2.6  10
628
628 10  6  235  103  2.04  2.6  10  3 301.063  0.384
Vol.








x1  0  0  0.012  x 2  x3  0 BiTP
5
x
0
.
012
x
x

80

44
Issue
4,
2016,
pp.
XX-XX
1
2
3
 specyfikowane dla punktu52 specified
 0.point
x1  30 0 for
012  2:
x  x3  0   5  x1  0.012  x 2  x3 
  80
 301.0632  0.384
628 10  6  235  103  2.04 2.6  10
 specyfikowane dla punktu 3 specified for point 3:
 x1  0  0  0.012  x 2  x3  0  DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
5 6x1  0.0123 x 2  x3 
80   6

3


3
301.063
 
147.58
0.384 

 235 10
628  10  235 010
2.04 x2.6x 10
628 510
 0 .x012
 80 x2  x3 0   x1  0.012  x2  x3 
 x1  0  0  0.012  x 2  x3  0 5 5 x 16x100.012
 x16  0.012  3x 2  x3x1 0  0  0.012
3  0  80
2  x3 2
3

3
 

147.58
0.384 x 0 0  0.012
301.063
   10
235 10
628 10  235 10
628
 2.04x2.6 x 10 0
5  x1  0.012
 x 2  x3 1
0
80 x2  x3  0  x1  0.012  x2  x3 
specified
 0.point
 x02.012
 x3 2
x1  0  0 for
012  2:
x 2  x3  0  55xx11 00.012
3
   80


6
3


147
.
58


 235  10
 specyfikowane
point
 5  x  0 dla
628
 10
 x  0for
0 punktu
.012 3xspecified
5  3:
x  0.012  x x x1  0  0  0.012
80  x2  x3  0   x1  0.012  x2  x3 
147
.x058
20  3  x628
 61x  x 3 2  3   0
628  10  6  235  103  x  0  01  0.012
 

147




x
0
.
012




10
235
10









0
5
x
0
.
012
x
x
1
2
3
1
3 
 
.2012
 80
 .x58
x1  0  0  0.012
x1  0.012  x2  x3 
3









0
x
x
0
5
x
0
.
012
x
x

80
2  x3 0 
C



16
3 2  3  5 x1  0  0
1
2
3
2
3
2






147.58
 384 


 6x  0.0123 x  x A 3   3  B0301
628 10
235  10 A 2x 0 0  0.012
x2  x3 628
0  10
2  .063x0.
 235  10  2.04  2.6  10 
 x 2  x3 1 5  x  0  080
x3  0  5  x1  0.012
 0.58
 x 2 x3 0  1  5  x1  02 .0123 x 2  x3x1 0 0 0.012
.012
 80 2 x3 0   x1  0.012  x2  x3 

6
3
1

147

6
3

3




628  10  235  10

 x0.384
 x2  x3 628
0.012
.012
0   x1 235
00301
10 x22 .
04x32.6  10 x0 
x3  0  5  x1  0.012  x 2 x3x1 50x000
80
 0..063
 x1  0.012  x2  x3 
012
2 x310








0
0
.
012
x
0
5
x
0
.
012
x
x


80
1
2  x3  0 

6
3




1
2
3
1



 301.063  0.384 
628  10  235  10

 147 .x58 x 628
0  10 x6 235
0.012
x3 2.6  10
  30 
 

 103 x 2.04
 x 2  x3x105x0  00.012
080
2
3
00  0.012
3  0 6
   5  x13  0.012A
063
00
x2 x3  01  5  x1 2 0.012
 x 2 x3xB
.012
80  x2  x3  0  x1  0.012  x2  x3 
1


 3  B1 301

3
3
.
.
384

6
3

3
8  10   235
10
2
.
04
2
.
6
10

2
















301
.
063
0
.
384











x
0
0
0
.
012
x
x
0
x
0
.
012
x
x
0
 5  x1  0.012  x 2  x3 1  
628  10  235  10  2.043  2.6  10

0 80
2
3 0

3x2 x3 0 1  5  x1 20.012
 x 2  x3x1 0 0 0.012
0 .063
0.0
012
 80 x2  x3 0   x1  0.012  x2  x3 
  35 x1 301
  103  2.04  2.6  10
.384
8  10  6  235













x
0
0
0
.
012
x
x
0
x
0
.
012
x
x
0

specyfikowane
dla
punktu
3
specified
for
point
3:
x3  0  5  x1  0.012  x 2  x3 1 
3  1
80  2 6 3
2
3
  10  6  235  103
 628
 
.063
147.58
3
 
301628
147.58  
   10
 0.384
 10
 235
  3
  0x 00.012
8  10  6  235
 2.04  2.6  10
  x 2  x3 
 510
.012xx2 2xx3 3 0    x1  0.0012
0 
 x1  0.012  x 2 x3x1 0 0  0.012
x3  0
80  x2 6 x3  x01 3 0
1

6
3

147.58
  10  235
 628
 10
  103  2.04  2.6  10  3  301628
147.58
0 
06310
0 10
x0.384
x235
8  10  6  235
 x26 x3 
x1  0 x1000.012
.012xx2 2xx3 3  0  x1  00.012
  0  0..012

x
0






0
5
x
0
.
012
x
x

80
1
2
3





3



1
2
3 
3
 6

 
 
3
147.58
 
628  10  235  10
147.58   
cyfikowane dla punktu 3 specified
for point 3:628610  235
3 10
x1  0  0 0.012 x147
x3  0  x1  0.012  x26 x3 
0 
2 .58


3
3
628
10
235
10




147
.
58



6
3
147.58
0 0  0  0.012  x  x  0   x  0.012 628
628  10  235
 10
  10
147.58   
   
0  0.012
x2 
x
10
235
  1
3
  x2147
C3   x1  06.012  x2 3x3 
  2
 x.58
0
6 3   3x1  0 0 
3 0
 3 113
2  

628
10
.58C





 6  10  235
3 3 
3  301

301
.
063
 0.384
03 0  0  0.012 x  147
B


A
628 10  235  10  2.04  2.6  10

 0.384
3
 010
x3  0 x628
.012  235
x26 10
x3   2.04
0 0.012  x .063
2.6  10
3 x
1
2
0 
  x1  06.012  x2 3x3 

  1

1  0 0 
2147x
3 0
3
.
58




3
628
10
235
10



147
.
58

6
0  0  0  0.012  x  x  0   x628
  2.6  10
  10  235  10  2.04  2.6  10   301.063  0.384
628
.063  0.384
 235
.012
x26 10
x3 3  2.04
0030.012301
1
3
  2
x147
x3  0  x1 06.012  x2 3 x3 
 1  010
3 x1  0 
2 .58
0
628
10
235
10






147
.
58







6
3

3
03 0  0  0.012
628
  x  x C
.063  0.384
  10  235  10  2.04  2.6  10  3  301.063  0.384
628
0.012301



x
0
.
012
x
x
0
10
235
10
2
.
04
2
.
6
10








3
1
2
3
2
3 0














x
0
0
x
x
0
x
0
.
012
x
x
0


6
3

3


 
2
3
2 0
3.384 
1
3 
B1   301.063













































 5  x1  0  0  0.012  x 2  x3  0  5  x1  0.012  x 2  x3  5  x1  0 80
0 0.012  x 2  x3  0  5  x1  0.012  x 2  x3 

 
 














 0.012  x 2  x3  0   5  x1  0.012  x 2  x3 




5
x
0
0
0
.
012
x
x
0
5
x
0
.
012
x
x
5
x
0
0

1
2
1
2
3
1

 80
B


A2  
A 2 3 
2
 5  x1  0  0  0.012 BADANIA
 x3Vol.
 0.012  x 2 BiTP
 x3Vol.
 044 Issue 4, 2016,
x 2 BiTP
044 Issue 4, 2016,
5  x1pp.XX-XX
0.012  x 2  x3  5  x1  0  0 80
5  x1pp.XX-XX
0.012  x 2  x3 
ÓJ
I
ROZWÓJ

 
 


 Vol. 44 Issue 4,DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
 BiTP
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
BADANIA
I
ROZWÓJ
2016,
pp.
99–120
 0  0  0.012  x 2  x3  0  5  x1  0.012  x 2  xBADANIA
440Issue
 x 2  x3  0  5  x1  0.012  x 2  x3 
5  Vol.
xI 1ROZWÓJ
04,2016,
  5  xI 1ROZWÓJ
3  
BADANIA
BiTP
pp. XX-XX
0.012
 80
 5  x  0  0  0.012  x  x  0  5  x  0.012  x  x  5  x DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
 0 0.012
 x 2  x3  0  5  x1  0.012  x 2  x3 
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.8
1
2
3
1
2
3
1  0  80

 
 




kowane dla punktu 2 specified
 0   5  x1dla
 0.012  x 2  x3  0   5  x1  0.012  x 2  x3 
 0punktu
x1 point
0  02: 0.012  x 2  x3specyfikowane
.012  x 22 specified
x3  5  for
x1 point
0  02:80
 5  for
3 2 specified
punktu
2: .58
punktu
2: .58
 for point147
 for point147
  specyfikowane
  specyfikowane

 10 6xdla
 235
 10 6xdla
 235
 103 2 specified
 0  0  0.012  x 2  x3  0   5  x1 628
 0.012  x 2  x3  0   5  x1 628
 0.012
 x3 10
 0.012
 5  x1  0  0 80
  80
2  x3 

6 2
3

6
3
147.58
147.58
  5  x  080

235
 10  x 235
 10
.10
 80 
x
0.x012
 0  0  0.012  x 2  x3  0 55 xx11628
0x.012
 x 3x 2 0x3 55 xx11628
00
0x.012
 x310
012
00.012












0 60.012
x
0
x
x
0
5
x
0
.
012
x
80
2  x 3x
2
1 0  05
2



1
1
2
2
3
2
3
3
  
3
6
  
 
 
147.58
147.58

628
10
235
10
628
10
235
10











 0  0  0.012  x 2  x3  0  5  x11  0.012
 x3 x
 x3 x 2  x3  0  805  x1  0.012  x 2 
5  x  0 80
0 0.012  x  x  0 x3  5  x11  0.012
 06 x02.012
 80
06 x02.012
23  x 31  0   5  x1  02.012 3 x 2 
3







147
.
58
147
.
58











 10  x 235
 10  x 235

  
5.012
 0  0  0.012  x 2  xC3 2 0  55 x1x1628

00.012
00.012
x3 10
xC2x20  x3 55 x1x1628
x  10
0
 0  0.012
 x 25 x13 030 0 80
 x  x3  30  80
 x x0.
 5  x  0.012  x 
012
0 0.012
 80
628
628
B 2   3011.0632  0.3384
B 2   3011.063  0.3842 
  10  6  235  103 2 A
  10  6  235 103 2 2.043  22 .6  10

2  2.6  10
2
.
04
 0  0  0.012  x 2  x3  0   5  x11  0.012
 0.012
 x3 x2 0x3  5  x11  0.012
 x3 x 
 x3 x2  x3  0   805  x1  0.012  x 2  x
5 xx31 00  0 80
 0  x02.012
3x02.012
x1  x02.012
0 80
 3   5301
6   
3   301.063  0.384
.063
2628
 0.384
  10  6  235  103  2.04 2BADANIA
  10  B
A2628
A
2
.
6
10

235
10
2
.04  2.6BiTP
44Issue




 10 Vol.

2

AI ROZWÓJ
BiTP
Vol.
I
ROZWÓJ
44
Issue
4,
2016,
pp.
XX-XX
XX-XX
 x 2  x3x2 5x3x
0  0  0.012  x 2  x3  0 55 xx1100.012
0 80
050.x012
 4, 2016,
30x.012
 0x.012
 3x 2 0x3 55 xx61100.012
 x 2  x
x1  pp.
0.012
0 80
2  x 3x2  x 3  0  80
1 
2  x
1

  5301
628 10  6  235 01030.012
03DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x

3DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x


301
.
063
0
.
384

.
063
0
.








2
.
04
2
.
6
10
628
10
235
10
2
.
04
2
.
6
10










 x 
 5  x  0.012384
 0  0  0.012  x 2  x3  0  5  x11  0.012
 x3 x2 0 x3  5  x11  0.012
 x3 x
5  x 0080
005.012
 0 3 x02.012
 80
 x 2 
x1  x02.012
0 3 x02.012
3 x 2  x 3  0 80

1
2  x 31 


6

3

6

3











301.063  0.384 628  10  235  10  2.04  2.6  10   301.063  0.384 

235

 10  2.04
05.012
5  x  0.012  x 
 0  0  0.012  x 2  x3  0 62810
55 x1x1 
00.012
x3 x 225.6 x10
x3 x 20  x3 55 x1x100.012
x3  x 2  x3  0  80
 80
 0x02 .012
 00 0 80
 x1 x02 .
012
0x02 .012
13 
1
2


 point






specyfikowane
dla
punktu
3
specified
for
point
3:

specyfikowane
dla
punktu
3
specified
for
3:
specyfikowane
dla
punktu
2
specified
for
point
2:

specyfikowane
dla
punktu
2
specified
for
point
2:
6
3

6
3





















5
x
0
0
0
.
012
x
x
0
5
x
0
.
012
x
x
5
x
0
0
0
.
012
x
x
0
5
x
0
.
012
x

80



147
.
58
147
.
58









628  10  235  10
  x  x 2 0  3  x  0.012 1 x  x  2  x
 0.10
 x 310 2  3x1  0 10  0.012
012 1 x 2235
 x1  0  10  0.012  x2  x3 2 0  3  x1628
1
2
3
2
3 
6
3

6
3
6
3  628  10
6
3 
147
.58
147
.58




 .58





235
10
 235
 10 x 2 x3 x00 0 5 0628


147
.
58
147



10
235
10
628
10
235
10






















5 628
x1  10
00
0.012
x
0
.
012
x
x
5
x
0
0
0
.
012
x
x
0
5
x
0
.
012
x
x
80
80
































.
012
x
x
0
x
0
.
012
x
x
x
0
0
0
.
012
x
x
0
x
0
.
012
x
x
0
1
3
1
3
3 1
11
2
3 2
1
2
3
2
32
2
32
 1  










6
3

6
3











6
3

6
3
0.012
 80  147.58
147
.58
.58
  5628
10 .58
 10  x 2 x3x
147
 235
 235
 5628
 x1 10
1 x1 010
.012
 x2 
 147
 x2 
0  0 235
0.012
0 0  050628
x1  10
0 80
0 235
x  x  0 0
x1  10
x3 5x628
x3   x1  0.012
0x.012
0x.012
010
.012
010
1 
2  x3 
2  x3 
 6 x2  x3 3 2  3x10 
  x2  x3 

0  0.012
6
3

6
3

6
3







 .58
147
.
58
147
.
58






235
628
10
235
10
 10
 10  x 2  xx3  00 0 05.628



147
.
58


x  x147







10
235
10
628
10
235
10






 5628
 x1 

















0  0 
0.012
x
0
.
012
x
x
5
x
0
0
0
.
012
x
x
0
5
x
0
.
012
x
x
80


 80



2x3 20  3  x1 10.012
 x2  x3  2  x31  0 
012
x1  0.012
1  x 2C
1  x 2  x3 2 0
3

0  0.012
2
3 
1








6
3

3

6
3

3












A 6 10 B3  301.063  0.384

  2.04147

6  628 3
6 
063
0.384
0 5  x235
 10  2.04 A23.6 10 00  0301
235
235
.012
 080
 0.0122x.3.58
x  0
5 .628
x1 010
x 2 0 10
x 10 5  x235
010
5  628
x1 010
x 2 0 10
x3
 .58
 80
x.012
x.012
x2  x147
1  0  0  0.012  x 2 x 3x1
1 0
3
2  x3 
2  x3 
A 23  x61 B
 3  x1 B02.012
C2 3  06.012
3 x2  x3  2 C2 3x13 0006.012


6
3
2

3

3
3

3




Vol.
 10
02016,
.384

02016,
.384

BiTP
Vol.
I ROZWÓJ
Issue4,10
XX-XX
BiTP
Issue4,10
XX-XX
0 5  x235
628
10
10
 10  2.04  2.6  10 BADANIA
301
.384
.063
301
 80
235
2x .04
.6510
00.012
235
2x .04
pp.
pp.
0301
0301
xx1235
 080

0.44063
 x 210
0.44063
 x 2.6 10
0628
x.012
012
x3 x10628
x.012
0  10
5DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
 .x012
0 
5DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
 .x012

x202..04
x3 2x.260
x1 0.012
x2 .063
x3  0.38
0
1 0
1 0
1  0  0  0.012  x 2  x3 x
1

2  x32  03
2  x32  03














6
3
 31  301

6
3

3
.04

 301
 301
301
 6.063  0.384
3  628  10  
 6.063  0.384
3   
3
0 5  235
.04
10
 2 .x62 10
235
235
 2x.04
 2x.04
x3x1
 .x602.384
x3x1
x1 010 0 20
.012
x1 010
5x1235
x31 0.012
010
012
x1 010
628
628
 10
0 x220
 x2 .063
00  10
00 
.063
050.012
x.012
0x23 .6 10
x3 2
x.012
0x23 .6  10
x1 0.012
x3  0.38
0
2 
2 
380
 80
050.012
2  x3 
2  x3 
6
3
 3  301

6

3











 6.063  0.384
3  628  10

3  10
 6.063  0.384
3 
3


301









0 5  235
10
2
.
04
2
.
6
10

235
2
.
04
2
.
6
10









301
.
063
0
.
384

301
.
063







235
235
x1  0  0  0.012  x 2  xx31 
00 010 05.012
x1  x010
.012 2x.04x23 .6 10
0x2 
0 012
00 010 05.012
x1  x010
.012 2x.04x23 .6  10
628
80
x51 x10.012
x3  x 2  xx31 
x1  0.012
x2  x3  0.38
080

628

2  x3 2 0 
2  x3 2 0 










point
 .063  0.38
 301
ukowane
2 specifiedpunktu
for point
2:
 specyfikowane
punktu 2 specified
for
2:0.384for
6
3 dlaspecyfikowane
6
3
3 specified
3 specified
.063

 0punktu
0628
235
235
 10
 2x.204
32.6 510
 10
 2x.204
32.6  10  3   80
 0  0.012
 x1 30dla
301
5  x1  0dla
x 2 x3 for
012
0.012
012
80
 60.10
3 x
 60.10
3 x
1 
1 
 .58
point
point
 53:x10
 53:x10
x3 0628
.58• x 2 specified
147

  147

628
235
10
628
235
10




•
specyfikowane
dla
punktu
3:
for
point
3:
 0  0.012  x2  x63  0   3 x1specyfikowane
 x2 
 0.012  x2  xdla
 0.012  x2  xdla
0 0  0for
.012
x63  0   3 x1specyfikowane
 x13 specified
0 for
3  punktu
3  punktu 3 specified
point
3:
point
3:





6
3

6
3



147
.
58
147
.
58




10
628
10
235
10




 x3  0 628  510 x1  235















0.012
x
x
5
x
0
0
0
.
012
x
x
0
5
x
0
.
012
x
x
80
80
147
.
58
147
.
58









  2 x 30.628
  10  x 20 
  10
10
 235
10
 235
003  0.012  x  1x  0  2 x 30.628
0 
1






0  0  0.012
x
x
0
012
x
x
012
x
x





















x
0
0
0
.
012
x
x
0
x
0
.
012
x
x
x
0
0
0
.
012
x
x
0
x
0
.
012
x
x




1
2
3
1
2
3
2
3
1
2
3










 

6
26
3   3
2
3
2 .58
3
1
2 .58
.3012
012
 x 1 0628
  1 
6 0147
 6  147
33
 3 x2 1 x3 628
10
235
10
10
235
10
















5
x
0
.
5
x
0
0
x
5
x
0
.
012
x
x
80
80
147
.
58
147
.
58


10
235
10
628
10
235
10









1
1
2
3
2  x 3  0628
1
2
3
00x2 0.012
 0.012
 x2 0.012
0  0  0.012 x2 x63  0  3 x1 
x   x2 xx31 00 
x2 x623 
x   x2  x3  0 0 x1  0.012  x2  x3  
00 0.1012
 0x3  3 x1 
x10.012
0
x10.012
0
5 0
    6 3 147
6 03147
3012  x  x x0
3
.
58
.
58














628
10
235
10
628
10
235
10





















x
0
5
x
0
.
012
x
x
x
0
0
.
5
x
0
.
012
x
x
80
80


147
.
58
147
.
58





 
628 x101 x 235  10 x  02 0 3 0.012
628 x10 x 235  10
1
2
 x2  0.3012
 x2  0.3012
 0 3 0.012
xx6312C
30x1  0.012  x2  x3  
 x1 60 
 13  03 x1 0 .x012
 x1 6 0 
03x
02 03.012
002 03.012
  x 2  x3 C03 
3    x 2 
3    x 2  x3  0
2  
 10
 10
3x 1
3x 1
3
628

147
.
58
147
.
58
B
B



A


301.063  0.384 
628
10
235


 x3  0 628 510 x16  235











0.012
x
5
x
0
0
0
.
012
x
x
0
5
x
0
.
012
x


80
80
301
.
063
0
.
384





3
3
3
10
235
10
2
.
04
2
.
6
10
628
10
235
10
2
.
04
2
.
6
10












3   
1
 0.012
  0
  2 x 03
B
 0  0.012


xB
x3   x2  C
x321 0020 3
x 2  x1233  0x3    2x1 
x3   x2  x3  0  
0 x1  0.012  x2  x3  


 x16 0.012
.3012
x384
x10.6012
.3012
2 0
2 0
2301
2301
21 
6  x 2  x33  0    x1A
.6012
30
30 0x












3

3
.
063
0
.

.
063
0
.
384















628
2.012
04
10
2.012
04
10
 235
 x  10
 0  2355 10
 0 20.04
 0.012  10
x310
 0 301
 x1  0
2
 x 0.384
x3 235
5  x110
x 2 628
5 10
0
xB 235  10  2.04
80
80
.063
A 2x.2610
301.063  0.384

x.2610
A3628
0 x20.012
0 x20.012
0
x2 xx1233x03  3628
 x1x1 3033.0012
0  03  0.012
03.0012
x3  x2 2x.36x
012
x3  x2  2x.36 10
00x01.
 0 x1  0.012  x2  x3  




0
0
.
012
0

1 
6 x2  x33  0    x1x

6

1 


3 .063
301
063
.384
 3  301.063  0.384 
628
20.04
2 .x6210
628
 x 10
 0  235
30 .
x2628
 0301
 x1 20.04
10x36235
 510
x0.384
10x36235
.012
0 00.2012
.012
80
80 02.384
5  x10
.063
 628
3x310
301
.6x  10
.6  10
  235
 510
  x 10
2 .x6210
0x21 0.012
02  0 3 0.012
x32.04
x2  x3123 
x 32.04
00 0x.1012
 x2 0.384
 x2 0.384
 0x3   x1 
x1063.012
0
x31 
003
x1063.012
0
03.012
x3 030 x1  0.012  x2  x3  
00 2 301


6 x2  x33  0    x1 
6 0.012

3
301
.
063

.
063




20.04
x310
 235
 x 10
 0  235 510
 0 280
 x 2628
 0301
 x 20.04
10x3 235
 510
x0.384
10x3 235
.012
x10
.012
.063
  2 .x6210
301.063  0.384
 2 .x6210
.004 0.2012
.6  10
10
.04  2.6  10 
 280
2628
5 0
0.x012
10x.012
0x.012
  x 2  x331 0  628
  x 2  xx33120x3 628
 0 3 0.012
x2
x2
00
  x2  x13  000 
  x2  x3  0 0 x1  0.012  x2  x3  
3 
3 
 x1x01.012
 x1x01.012
30 
3 0 
16 0.012
301
.
063
0
.
384

301
.
063
0
.
384






628
10
2
04
2
.
6
10

628
10
235
10
2
04
2
.
6
10











 x3 10
 0 6  235















5
x
0
.
012
x
x
5
x
0
0
0
.
012
x
x
0
5
x
0
.
012
x
x










  1
   
1
2
3 
1
2
3 
2
3
  80
  80
 
6 
3
 0.6012
 x210
3x3 
0.012
0.012
.58  x2  x3  0  628
.58  x2  x3  0   x1  0.012  x2  x3 
 x1 0  0 147
 x1 0 0 147
 x110
628
10
235
10
235







3 specified
3 specified
3
dla punktu
dla punktu
.58  for point 3:628  10 6  235specyfikowane
.58  for point 3:
 3 147
 3 147
5specyfikowane
 103

6
6
6
3  10
147
.58
.58


   x1  0628
628
10
235
10



147
.
58
147.58
 10



628
10
235
10



 10

3 0 10










 x26 235
x1 628
0  0.235
012
x2  x147
0
x
0
.
012
x
x
x
0
0
0
.
012
x
x
058
.147
012
x3  103









0 

1
2
3 6
3
1 3
2
3
.
58
147
.
5  10
628
  6   3

   
   
6   3
 6  10   235
3   10
6
3



147
.
58
147
.
58

628
10
235
10
628
10
235
10






147
.
58
147.58
 10 x2 235
 10 x2 235
 x  0  0  0.012 x2  147
x3 .58
0  x1 628
0.012
x36 10   x1 3 0 00  0.012 x2  147
x3 .58
0  x1 628
0.012
x3  10
0
  6
  
  235



5  101 3
628
10
10


6
3
3

6
3

6
3
.58
.58
  10
 10  235
 10
147.58
10
 10
 10
 x628
 x .58
 x3 .58
C
 x2 235
x3 .58
0   x1 628
0147
.012
x2 235
x6 10  x628
.012147
0   x1 628
0147
.012
x3  10
00 0235
0 
1 3 0  0  0.012  x 2  147
1 3 0 
3  103   235
  3   2 147

5 10
6
3 
 3C 301.063  0628
 10
6
 3   301.063  0.384





6
3
6
3


.
384



0 x1 235
2.04 x22.6x 310 0  2 x1  0628
2.04147
6x 310 0 
 10 x1 235
147.58
10
 10
 x22..58
 x2  235
0  010 0.012
012
x3628
0 010
0.012
.012
x3  10
0
6 x 2  235
 628 .10
 x1  0628
3 10
.063
.063
A

C3 
C3 
33  301
30.384
30.384
04  2.6  10 33  301
 10
 2.04 6
B23.36 10
B33   
3 
 6.063  0.235
3 

6
3



301
384
301
.
063
0
.
384







0 x61 235
10
2
.
04
2
.
6
10
628
10
235
10
2
.
04
2
.
6
10












301
.
063
0
.
384

301
.
063

 0.38














  30.012  x2  x3  0 628  10
10
x1  0 .235
0  0  0.012  x2 .063
x3 00628
01210
x2  2
x3.043  2.6 x10
01210
x2  2
x3.04  2.6  10  0
1  0 0 
x1  0 .235

.384
04 6 2.6  10 33  301
628
2.36  10
 10 60.235
 10
 2.04 6
301







 3.384
3  301.063 30







6
3

6
3

3
.
063
384

301
.
063
0
.
384


0 x1 235
.04 x22 .6 x10
628  106 10
2.04
.60.x384
10
 10 301
x2
.063
0628
235
 0 301.063  0.38
 0  10
 0 
 x2 2x.04
 x2 2x.04
0  02.012
0628
.012 10
x  235
.012 10
1 0
3 3  2.
3   2.6  10
3 
2 
3 
 10
 10
00330.012301
x628
x1 0235
.063
.384
.063
.384
04  2.6  10 33  301
 10 60.235
 10
 2.04 61 2.36  10
30
30

628


6
3

6
3

3


301
.
063
384

301
.
063
0
.
384

















0 6x1 235
10
2
.
04
2
.
6
10
628
10
235
10
2
.
04
2
.
6
10











.063
0.x384
  10
003 301
 x1 0235

 0 301.063  0.38
 0  0  0.012  x2 .063
 x
 x2 2x.04
 x2 2x.04
x3  00.384
.012 10
x  0 
0.012
.012 10
 10
3 3  2.6 10
3  2.6  10
2 
3 
.063
.384 x1 0235
 00628
 301
04  2.6  10  3  301
 10  6  235
 10
  628
  2.04 1 2.36  10

  301
 

6
3

6
3

3
.063  0.384 628 10

x1  0  0  0.012  x2  x3  0 628 10
x1  0 .235
01210
x2  2x3.04  2.6 x10
x1  0 .235
01210
x2  2x3.04  2.6  10  0 301.063  0.38
1  00  0.012  x 2  x3  0 
u 3 specified for point 3:
 specyfikowane dla punktu 3 specified for point 3:
6
3
  0 147.58
.58  x2 x3  0  628

10
235
10



 235



 0.6012
 x2 10
 3x3 
x3  0  628
x
0
.
012
x
x
0.012
 x1  0 0 147
 1
 x1 10
2
3 

   




6
3 

6
3








58  x2 
 10  235  10
 10  235  10
 x3  0 628
 0..012
00 147
  0 147.58
 x3  0 628

  x1  0 
 x1  0.012  x2  x3 
 x1  0.012  x2  x3 


3
3
  0 147.58
 x  0 628
58  x2 

 x1  0 
  x110

  x110

 235
 235
 x3  0 628
 0..012
06.012
 x 10
06.012
 x 10
00 147
2  x3
2  x3
3
   


 
     147.58
 
6
3 
6
3 
 235
 235
 0.012
 x2 10
 x3 
 0.012
 x2 10
 x3 
x3  0  628
   0 147.58

 x1B 00  0.012C 3x2x3  0   628
 x1 10
 x1 10
B



A
3
3
3
 0.384
0.063  0.384 
628
 2.04
 2.04
0.063
 0.012
 x2 628
 2x.36 10  3 x1  0301
 2x.36 10  3  301
x3 010 6 235
x1  10
0.3012
x2 
x3 010 6 235
x1  10
0.3012
x2 
   


 
    
 


.063  0.384 628
.063  0.384 
1003.012
1003.012
 2.04
 2.04
628
 x1 
 x22.x63 10  3 x1 301
 x1 
 x22.x63 10  3  301
x3  10
0 6 235
0
x3  10
0 6 235
00  0.012  x2 
 0

628  10 6 235  103  2.04  2.6 10  3  301
0.384
00.063
 .063  0.384 
1003.012
 2.04
628
 0.012
 x2
 x 
 x22x.63 10  3 x1 301
x3  10
0 6 235
0
   0
 x3  0  x1  0.012  x2  x3 

  
 6  1 3
  3
 0.384
628
 2.04
 2.04
0.063
 0.012
 x2 628
 2x.36 10  x1  0301
 2x.36 10  3  301
x3 010 235
x1  10
0.012
x2 
x3 010 6 235
x1  10
0.3012
x2 
0.063  0.384 
































5  103
5  103
5  103
5  103
04  2.6  10  3
04  2.6  10  3
04  2.6  10  3
04  2.6  10  3












































 
147.58

 

147.58
 

 
147.58

 

147.58


 301.063  0.384 
 

 301.063  0.384 
 301.063  0.384 
 

 301.063  0.384 




















 

147.58
628  10  6  235  103
 

147.58
628  10  6  235  103
 

 

147.58
628  10  6  235  103
 

147.58
628  10  6  235  103

C3  
 301.063  0.384 628  10  6  235  103  2.04  2.6  10  3
 

 301.063  0.384 628  10  6  235  103  2.04  2.6  10  3
 114
301.063  0.384 628  10  6  235  103  2.04  2.6  10  3
 

6
3
3
 301.063  0.384 628  10  235  10  2.04  2.6  10 
















































 x1 0 0  0.012  x2  x3 0   x1  0.012
 x1 0 
 x 2  x3 
00  0.012  x2  x3  0   x1  0.012  x2  x3 
147.58
147.58
628  10  6  235  103
628  10  6  235  103



 





 


 0  0.012  x2C2 x3 
0  0.012  x2  x3  0   x1  0.012  x2  x3 
0   6x1  0.0123 x2  x3 
x13  0
6
3
x13  0









301.063  0.384 628 10  235  10  2.04 A23.6 10 B3  301.063  0.384 

0  235  10  2.04 A23.6 10 
 x1  0  0  0.012  x2  x3 
 x1  0 0  0.012  x2  x3  0   x1  0.012  x2  x3 
 0   x1  0.012  x2  x3 
0  6  235  103  2.04  2.6  10
  3  301.063  0.384 628  10 6  235  103  2.04  2.6  10
  3  301

 .063  0.384   







x31 cite
 x44Issue




 0.012  x2  x3 
x
0
0
0
.
012
x
x
0
x
0
.
012
x
x
0
0 BiTP
0.012
x 4,0 2016,pp.
x 99–120
RESEARCH
AND
DEVELOPMENT
Vol.
0as:
  31  301.063  0.23843   6 1
Please
3
6
3
3 2


301.063  0.23843    1
0  235  10  2.04  2.6  10
628
10
235
10
2
.
04
2
.
6
10








 x 0 0  0.012  x  x  0  x  0.012  x  x 
 x 0 
00  0.012DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.8
 x2  x3  0  x1  0.012  x2  x3 
301.063  0.23843628  10 6 1235  103  22.04 3 2.6  10
  31  ИРАЗВИТИЕ
  31  301

0  6  235  103  2.04  2.6  10
 .063  0.384   
 x1  0  0  0.012  x2  x3  0   x1  0.012  x2  x3 
 x1  0 0  0.012  x2  x3  0   x1  0.012  x2  x3 
kowane dla punktu 3 specified
for point 3:
 specyfikowane dla punktu 3 specified
for point 3:
6
6
147.58

  x2147
628 x10
628 x10
 235  10 3x1  0 0  0.012
 235  103
 0  0.012  x2  x3  0    x1  0.012
 x.358 0    x1  0.012
0  
2  x3 
2  x3 







6 
3
6 
3









147
.
58
147
.
58
628  10
628  10
 10 x1  0 00  0.012  x2  x3  0   x1  0.012
 10
0  0  0.012  x2  x3  0   x1  0.012
x2  x 3235
x2  x 3235
0  






 
 
6
3
6
3
.x58 0    x  0.012
147.58


628  10
628
10
235
10


  10 x1  0 




0  0  0.012  x2  x3  0    x1  0.012
x2  x 3235
x
x
0

00  0.012  x147

2
3
2
3
 
  1


6 
3

6
3

 






147
.58 0  x  0.012
147.58
628 x10
628 x10
 235  10 x1  0  0  0.012
 235  10

 0  0.012  x2  x3 C0    x1  0.012



x
x
x
0



2  x3 
1
2
3
2
3




3 
3  
B 3  3    301.063  0C
B 3  3   
6
3 A3 
6
3
 x1 10
 x1 10
 235
 10
 235
 0  0.012  x2  x3  0  628
 0.012
 x210
 x3 2.04  2x.61 
 0.012
 x210
 x3 2.04  2.6  10 0  301.063  0.384 
0 0 0.012  x2  x3 .384
0  628


 


6
3 
3
6
3 
   301.063  0.384 628
2.6x1 10
 235 x 10
 2.04  
 235 x 10
 2.04  2.6  10  30  301.063  0.384 
0
0  0  0.012  x2  x3  0 628
00  0.012  x2  x3  0   x110 0.012
 x110 0.012
2  x3 
2  x3 



   10  6  235  103  2.04  2.6  10  3  301.063  0.384 628
3 
 235 x 10
 2.04  2.6  10  30  301.063  0.384 
00  0.012  x2  x3  0   x11006.012
 x1  0 
 x  0.012  x2  x3
0  0  0.012  x2  x3  0 628
2  x3




  1 6






 
3
3
6
3 
3
 0.384 628
 235
 10
 235
301
 0  0.012  x2  x3  0  628
 x.063
 0.012
 x210
 x3 2.04  2x.61 
 0.012
 x210
 x3 2.04  2.6  10 0  301.063  0.384 
0 0 0.012
 x1 10
2  x3  0 
  x1 10
 
 

147.58
147.58

628  10  6  235  103
628  10  6  235  103
 
 


6
3

6
3
147
.
58
147
.
58
628  10  235  10
628
10
235
10



 
 


 
 

147.58
147.58

628  10  6  235  103
628  10  6  235  103
 
 


6
3
6
3
147
.
58
147
.
58
628  10  235  10
628  10  235  10




C

3
0  6  235  103  2.04  2.6  10  3  301.063  0.384 628  10  6  235  103  2.04  2.6  10  3  301.063  0.384 
 
 


0  6  235  103  2.04  2.6  10  3  301.063  0.384 628  10  6  235  103  2.04  2.6  10  3  301.063  0.384 
3  301.063  0.384 
6
3
3Issue4, 2016,
RESEARCH
pp..XX-XX
BiTP Vol. 4
063  0.384 
0  6  235  103  2.RESEARCH
04  2.6 AND
10 DEVELOPMENT
04 BiTP
2.6Vol.
1044DEVELOPMENT

  301
AND
628  10  235  10  2.ИССЛЕДОВАНИЯ
DOI: 10.12845/bitp.44.4.2016.x
И РАЗВИТИЕ
DO



6
3
3 

6
3

3
0  235  10  2.04  2.6  10   301.063  0.384 628  10  235  10  2.04  2.6  10   301.063  0.384 
















































•
specyfikowane dla punktu 4:
•
specified for point 4:
0  0  0  0.012  x 2  x3  0  0.012  x2  x3 
0 00  0  0.012  x 2  x3  0  0.012  x2  x3 
0
 0  0  0  0.012  x  x  0   0.012  x  x 
0 
00  0  0.012  x  x  0   0.012  x  x 
0
2
3 
2
3 
2
3
2
3

 
  
 

0  0  0  0.012  x 2  x3  0   0.012  x 2  x3 
0 
00  0  0.012  x 2  x3  0   0.012  x 2  x3 
0

 
  
 



















0
0
0
0
.
012
x
x
0
0
.
012
x
x
0
0
0
0
.
012
x
x
0
0
.
012
x
x
0
0
2
3 
2
3 
2
3
2
3


B4  
A4  
A 4B4   
0  0 AND
 4,2016,
0BiTP
AND
0
RESEARCH
44 DEVELOPMENT
Issue
XX-XX
Vol.
XX-XX
 0 DEVELOPMENT
 BiTP
00Vol.
 044DEVELOPMENT
 BiTP
 Issue
 0.pp.
 x 2  x3 
 0.pp.
 x 2  x3 
0.012
x 2 Vol.
xAND
012
0.012
xpp.
x3 44
0 4,2016,
012
RESEARCH
RESEARCH
Issue
4, 2016,
BiTP
3 0
2 XX-XX

   DOI: 10.12845/bitp.44.4.2016.x
 



DOI: 10.12845/bitp.44.4.2016.x
ИРАЗВИТИЕ
DOI: 10.12845/bitp.44.4.2016.x

И РАЗВИТИЕ
 0  0  0  0.012  x2  x3  0   0.012  x2  x3 
0 
00  0  0.012  x2  x3  0   0.012  x2  x3 
0
0  0  0  0.012  x  x  0   0.012  x  x 
0 
   0.012  x  x 


0





0
0
0
.
012
x
x
0
0
2
3
2
3
2
3
2
3

 
  
 



0  0  0  0.012  x2  x3  0  0.012  x2  x3 
0 00  0  0.012  x2  x3  0  0.012  x2  x3 
0
a punktu 4 specified for point
4:
 dlaspecyfikowane
dla punktu
4 specified
for point
4:

specyfikowane
punktu
4
specified
for
point
4:

specyfikowane
dla
punktu
4
specified
for
point
4:
 
 


147.58
147.58

 10  60235
 103
 10  6  235
 103
x 2  x3  0  0.012  x20 
x30 628
x030 628
 x 200x3 0300 .012
 x 20x3 3 0  0.012
0  0.012
0  0.012
0x.2012
  x3x2 0x3  0.012  x20 
  x2  x3 


6

6
147
.
58
147
.
58











628
10
235
10
628
10
235
10






 0x3 0  0  0.012  0x 00 x 000 .012
 0x
 0 .x012
3 00  0  0.012  x 0 x  0   0.012
  xx3 0x  0.012 x2 
 x  x 
x2  x3  0   0.012 x2 

2





3 
3 
2  3 3 
 6 2  3 3  

 2
 2
 
    628  10  6  235
147
.
58
147
.
58

628
10
235
10
10




x 2  x3  0   0.012 x 20 
x30  0  0.012  0x 
x030  0  0.012  x 0x  0   0.012
00x 000 .012
  0x.2012
  x3 x2 0x3   0.012x 20 
  x 2  x3 

 6 2  3 3
 6 2  3 3
 




147
.
58
147
.
58
628  10 0235
100  0 .012
 10  
  x   x  0  0.012 x  x  628  10  235


x2  x3



x2  x3  0  0C
.012
0
0
0
C



2
3
2
3
















0
0
0
0
.
012
x
x
0
0
.
012
x
x
0
0
0
0
.
012
x
x
0
0
.
012
x
x
0





 3
 3
4  
4    
2
3 
2
3 
   3  301
   3  301
6
B43 22.04
B 43 22.04
 6  235  10

A410

4 
.
063
0
.
384

.
063
0
.
384



B
B



A
A
628
10
235
2
.
6
10

628
10
2
.
6
10








x 2  x3  0  0.0124 x20 
x30  0  0.012  0x 00x 000 .012
x030  0  0.012  x 0x  0  0.012
0x.2012
  x3x2 0x3  0.0124 x420 
  x2  x3 

2
3
2
3

6
3

3

6
3

3
 









.063  0.384628
 x10  235  10 02.004
 x10
 x   x301
02.60.10
   235  10  2.004  2.6 10   301.063  0.384 




x2  x3  0   0.012 x628
0
012
0
0
.
012
x





2 
3
2
3
2
3
 0
0
0  0.012  x2 x3  0   30.012
2  x3 
2  x3 
00 
 x301
 x301
  0 10
6 0  0.0123  x 2 x3  0   30.012
.063  0.384   10
.063  0.384 
 10 02
 6  235  103  2.004
x 2.06 10  0.012
.004
 0x.2012
 x3 x 0x   0.012628
x 2  x3  0   0.012 628
x20 
x30  0235
0x02.060.10
012
x2 0 
x0


3








0
.
012
x
0
0
0
.
012
x
x


2  3 
2  x3
2  3
2  3
 




6
3

3

6
3

3
  10  235  10  2.04  2.6 10   301.063  0.384628
  10
   235  10  2.004  2.6 10   301.063  0.384 









x2  x3  0  0.012 x628
x
0
0
0
0
.
012
x
x
0
0
.
012
x
x
0




2 0 
2 0 
2
 x3 2  x 3 
 3 0  0  0.012  x2 x3  0  0.012
 3 00  0  0.012  x2 x3  0  0.012  x2  x3 
6
3

6
3
Analiza
mechanizmu
przechyłowego
(przeguby
w
punktach
1,
2,
Analiza
4
i
5)
daje
mechanizmu
przechyłowego (przeguby w punktach
1,147
2, .458i 5) daje



147.58
147.58
3  10  235

  odpowiednio:
628
 235  10
  10
 
147.58


628  10 6  235  10
628  10 6  235  103
  of the tilting
  (respectively):
An analysis
mechanism
(hinges in 6points
1, 2,3 4 and
An6)analysis
yields
of the tilting mechanism
(hinges in points
1, 2, 4 and 6) yields




6
3
147
.
58
147
.
58

6
3

6
3
628  10  235  10
 235  10
147.58
147.58 for p
628  10  235dla
628  10  235dla
 10
 10punktu 1 constraints

point
 
 
  ograniczenia
specyfikowane
punktu16 constraints
specified
  for
ograniczenia
1:: specyfikowane
specified


6
3
 

 6
147.58
147
.
58
3  10  235

6
3




628
10
 235  103

.x58x5 x  0.012628
.x58 x 
  x 147
  x 147
10
235
10
 10



 x1 
 0  10








6 x 2 235
x3  0   5.012
6
x
6
x
0
x
0
5
.
012
6
 5  x1  0.012628


2  3  1
2
3
1
3
 2
  31
  1
6

.58
.58
3  10
  6  235

628
 235  103
 10  x 147
  5 x  147
 x5 x  147
.58
147
.58
66x 235
6x2235
628
628
10
10
 10
10x33  0 5.012














0
.
012
x
0
x
0
5
.
012
6
x
0
.
012
x
6
0
x
6
x
x

C


1
2
3
1
2
3 
1
1
2
3
1
1
4 
C









3
 3 C 4  301.063

6
3

3
4 301.063
0.384 
6 0.384 628
3  10  235  10 3 2.04301
0  2.04  2.6  10   5 628
106 x0.384
301.063  0.384
  4.9882 .x6.1063
  34.988
628  10 6  235  103  2.04  2.6  10
x1  10
0.012 235
x1  10
0 x23.6010
5

x
6 x2 2.04
2 
3 x1  0.012  x1  6  x 2  0  x3  0

   x1  6  x 2  x3 


3
 3  301

6
3

3





.063
301
.
063
0
.
384



6 0.384628
3  10  235  10
 3 2.04 301

6
3

3
0  2.04  2.6  10   5  628
2
.
6
10



 x 2 2.004
.60 10
.60 10
 x32
 x32
 6 x 20.384
 x1.063
 6 x 20.384
x1  010
.012  235
x1 610 x 2 2.004
x5 628
x1  010
.012  235
x1 610
x3 
  x1.063
301

 3  4.988
   4.988
 3 301
A130.384
.
063
.
063

6 0.384628
3  10  6  235  10
 3 2.04301

6 0.384  3
 3  301.063  0.384

03  2.04  2.6  10A13  5 301
2
.
6
10

.
063





.60 10  5.012  x1  6  x 2  x53  628
.60 10  5.012  x1  6  x 2  x3
 x32
 x32
x1  010
.012  235
x1 610
x  010
.012  235
x1 610
 x 2 2.004
 x 2 2.004
 628
 1 .0636 0.384

 3  301
 33 2.04301
  3

.063
10 3  2.04  2.6  10

6 0.384628
3  10  6  235  10
03  2.04  2.6  10  3   5301
2
.
6
10



.
063
0
.
384





628
10
235
10
2
.
04
2
.
6
10
628
10
235











301
 x.1063
 6 x02.384
 x
  x1  0.012  x1  6  x 2  0  x3  0 5.012  x1  6  x 2  x35 x1  0.012  x1  6  x 2  0  x3  0 5.012
3 
wpunktach
 x  0.012

 4x1przechyłowego
mechanizmu
przechyłowego
 x 2 odpowiednio:
 0   w
 (przeguby
wixpunktach
 x1  61, x2,2 4 ix5)
5  xmechanizmu
x 2 odpowiednio:
0  x3(przeguby
0   w
4.988
x1  61, x2,
5
0  x3(przeguby
4.988
echyłowego (przeguby
1, 2,
Analiza
i5)6 daje
1, 2, 4x1przechyłowego
i5)6 daje
2 4
3  daje
3
1  0.012
1
Analiza
punktach
Analiza
odpowiednio:
punktach

 
 5)
 
 mechanizmu

mechanism (hinges in
4the
and
An
analysis
yields
of0 
thex tilting
4the
and
yields
Anpoints
in
6)
(respectively):
 tilting
 0  mechanism
x11, 2,
 tilting
 0  in
 64and
points
 64and
5  x11, 2,
0of
.012
x6)
x 2 (respectively):
.988  1,
x(hinges
xin
53yields
0of
.012
x6)
x 2 (respectively):
0  x3 (hinges
.988  1,
x1 2,
x 2 6)x3yiel
1 2,
2An
1  6 mechanism
3 (hinges
1  6 mechanism
analysis
xanalysis
 4points
 4points

yfikowane dla punktu 1 constraints
specified
 for
ograniczenia
point 1::dlaspecyfikowane
dla punktu
1 constraints
specified
for point 1::dla punktu 1 constraints specified fo
ograniczenia
specyfikowane
punktu
1
constraints
specified
for
ograniczenia
point
1::
specyfikowane
  80  0.012  20   80.24
  80  0.012  20   80.24
 6  x 2  0  x3  0   5.012
 x3 x 
 x2 xx53 6x 1x 0.0012
 x2 xx3 6 x  0  x  0   5.012  x  6  x  x
0 6  x 5.x012
 x3x1 
5  x1x1 
0.6012
0 6  x 2 5.0012
53 x1x1 
0.6012
1
2
1
2
1
2
1
3




80
.
24
80.242
80
0
.
012
20
80
0
.
012
20






 x x1 
  0  x  0  5.012  x  6  x  x
 6  x 2  0  x3  0  5.012
 x1x  0.0012
 x1 0
6  x25.0012
 x3 x 06 x5.x012
 x1 
x 2 x x356
x 2 x x3 6
6012
6012



5
x
0
.
x
5
0
.
x


1
2
3
1
2
1
1
2
3
1
1
2
3
 
 
 80  0.012  20   79.76 
 80  0.012  20   79.76 
 x5
 x1x  0.0012

 6  x 2  0  x3  0  4.988
 x1 
 x3 x 06 x4.x988
x 2 x
 x1 
x 2 x
6  x240
6012
x




3
3











5  x1x1 
0.6012
6
x
0
.
988
5
x
0
.
6
x
0
x
0
4
.
988
x
6
x


1
1
2  x
3
1
3
3 0.012
 20 1 79
  80  0.012  20 1 79
 2 80
 .762
 .762





115
 6  x 2  0  x3  B
















01  4.988
x
6
x
x
5
x
0
.
012
x
6
x
0
x
0
4
.
988
x
6
x
x

1 0.012
16 x  x53 x1 1 0.012 2x1 3 6 x 2  0  x3  0   4.988  x1  6  x 2  x
6 1x 2  0  x3 1 0  2 4.988 3 x1 B
 50x.1012
  80
A1 2x1380
 80.24
 20
 0.012  20
.24
x  0  x  0 A12580


 6  x 2  0  x3  0 A15.012









 x2 xx3 6 x  0  x  0    5.012  x  6  x  x
x
6
x
x
5
x
0
.
012
x
6
012
6012


x1x1 
2 x1 3 6  1x 2  0  x3 1 0
1 0.012
2 5.012 3 x1  6  x2 .x



5
x
5
0
.
3
1
2
1
1
3
 80  0.012  20   80.24 
 0.012  20   80.242 
6  x  0  x  0 80
 
 6  x 2  0  x3  0  5.012
 x1x 0.0012
 x1 
 x1 
 x 2 x x356
5.x012
 x1 
 x 2 x x3 6
6012
6012




2
3















5
x
0
.
x
0
5
.
012
x
6
x
5
x
0
.
x
0
x
0
5
.
012
x
6
x
 
 
1
1
2  x
1
3
3
 1 79.76 2
 1 79.76 2
 
 2  3 1
 80  0.012  20
 
 80  0.012  20













































0  0.012  x 2
0  0.012  x2
LOPMENT
0  0.012  x 2
ЗВИТИЕ
0  0.012  x2
0  0.012  x 2
0  0.012  x2
0  x02  0x.3012
0 x02 0x.3012
  x 2  x3 00
  x 2  x3  00   0.012  x 2  x3 
0.
012
.012 xx22 
0.
012
 x3  0   0
 xx33  0   0
00 000.012
 
  

 


 
   
 0x20 x03.012
 x2  x3 0000 0 0.0012
 0x20 x03.012
 x2  x3  00  0.012  x2  x3 
.012 x 2x2xx3 3  0  00.012
 x3  0  00.012


A 
A 4  B 4 
B4  
A 4B4  
 RESEARCH
  x 2  xBiTP
0Vol.
0044Issue
044 Issue
AND
2016,pp.
Vol.
2016, pp.
012
0004,.012
.012
 x3  0 4 0.
DEVELOPMENT
 x 2  xBiTP
 x33  0 0.012
 04,.012
 x3 
0  x02  0x.3012
xx22XX-XX
0 x02 0x.3012
x2 XX-XX
3 0
3 0
AND
DEVELOPMENT
RESEARCH
BiTP
AND
Vol.
DEVELOPMENT
44
Issue
4,
2016,
pp. XX-XX



 RESEARCH




10.12845/bitp.44.4.2016.x
 10.12845/bitp.44.4.2016.x
DOI:
DOI:
ИРАЗВИТИЕ


012
.012 x 2x2xx3 3  0  ИССЛЕДОВАНИЯ
 x3BADANIA
 0  ИССЛЕДОВАНИЯ
.0012
BiTP
Vol.
4,02016, pp. 99–120
 0x20 x03.И012
 x2  x3 0000 0 0
 0x20 x03DOI:
 x2 44
 xIssue
.И012
10.12845/bitp.44.4.2016.x
РАЗВИТИЕ
РАЗВИТИЕ
0I0.ROZWÓJ
00.012
3  0   0.012  x 2  x3 









0 00 0  0.012  x  x  0
 0.012  x  x
 0.012 x  x
 x3  0
x 2  x3  00   0.012  x2  x3 
  x 2  x3  0    0.012  x 22  x33     0  0 02 0.3012
  DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.8
   0  0  02  0.3012
 

.012 x x2xx3  0  00.012
 x3  0  00.012
.0012
  x  x 0000 0 0
  x  x  00  0.012  x  x 
 0x20 x03.012
 0x20 x03.012
2
3 
2
3 
2
3
2
3
 

 

 
wane dla punktu
4 specified for point
4: 147.58
 specyfikowane
dla punktu
4 specified
for point
4: 147.58
6
3





628  10  6  235  103
628
10
235
10




6
3

6
3
 specyfikowane
punktu 4 specified
4:.58
 for point 4:.58
 for
  specyfikowane
147
 point
10 dla
10 dla
235punktu
100 4 specified
0 0.012  x2 6x3  0147
0.012  x 2 6 x3  0 3  0.012 x2 
x3  147
0 010
x3  147
 628
 628
235
 3  0.012x2 

.012
58
.
58
628  10  235  10
628
10
235
10


















0






0
0
0
0
.
x
x
0
0
.
012
x
x
0
0
0
0
.
012
x
x
0
0
.
012
x
x










6
3

6
3



2  3 .58
2 147
3 .58
   10 2352 103 
   10  2352 103 
0.012  x2 6 x3  0  3  0.012  x 2  x628
0 0  0  0.012  x2 6x3  0147
0    
3  0.012 x 2  x628


3
3
147
.
58
147
.
58





628  10  235  10
 10 235
 10
 0  0.012
 x2 x33  0  628
 00  0.012
 x  x  0
x3 .58 
0.012  x  x3 .58

147
0x 0628
x x2 
0x 0628
 0x.012
  10 6  2352 10330     2 147
10 6 235
10

















0.012
x
x
0
0
.
012
x
0
0
0
.
012
0
0
.
012
x
0



6
3

6
3
147
58  x  x  0 628
147
58  x  x  0   0
 .012
628  102  3235  10
10x  
020 300
 3235
 x x 
020 3 0 
  10
 x 2 147
0..012
02.012
0..012
6C4 2 33 
6
  
 3 .58 
2
33 
628
10
235
10
628
10
235
10







   2 1473 .58
 6.012  x 2 3 x3  0
 3  x 2 301

6
3

3










0
0
.
012
x
0
0
0
.
012
x
x
0
0
.
012
x
x
0
0













.
063
0
.
384

301
.
063
0
.
384



3 
2
3 
2   32.04
C
628
10
235
10
2
.
6
10


 235  10  2.04C24.6 10  0  0 










 x2 .063
 x2 .063
0 A0.4012
x3 4 .384 0 60 00 0.012
x3  0.38
 x3  0  3 0.012301
 x3  0  3 0.012301
3 Bx42
3 Bx42 
628
 6  235
04
6010
 x 10
 10
20.10
x235
20.6  10 
3
 3 10
6
3
 3 10
20.
  10  2.04
B
301
 235
 x 10
0 6.012
0 2.6 10
0A
.012
x3 .063
.012
0 2.60 10
0A
.628
012
x24 
301
0628
 0.384
4 
4 
.
04
 0x2

 235
 32.04

3 .063  0.384 
2  x
2 x
32














 x2.063
 x3 0.384 0  60 00 0.012
 x2.063
 x3 0.38
0  0  0.012
  628
3  x 2 x3  0 6  3  0.012
3  x 2  x3  0  3  0.012301
 6301
 6.012  x 3 x  0
 3 x
3x301
 3 x
10
235
10
2
.
04
2
.
6
10
628
10
235
10
2
.
04
2
.
6
10


























.
063
0
.
384

301
.
063
0
.
384










0
0
.
012
x
0
0
0
.
012
x
0
0
.
012
x
0
0


2
.
04
2
.
6
10

628
10
235
10
2
.
04
2
.
6
10

 235  10
















2
3
2
3
2
3
2
 
 
0 60  0  0.012
0 60 00 0.012
3x2 .063
 x2 .063
x3  0.384
x3  0.38
628
3  x 2 x3  06  3 0.012
3  x 2  x3  0   3 0.012301
10
10
301


6
3

3
3

3






235
10
2
.
04
2
.
6
10

628
235
10
2
.
04
2
.
6
10

















301
.
063
0
.
384

301
.
063
0
.
384



 x 10
 0 10
 0.012
0.012
0  2.6 10
0.012
0 0628
0  2.6 10
0.012
 x 2  x3
 x  x
 235
 32.04
 235
 32.04
 0    
2  x
2 x
  x 10
  
 x2.063
 x3 0.384 0 2 60 300 0.012
0  60  0  0.012
.012301
.012  x  x 
3  x 2  x3  0  3  0
3  x 2  x3  0  3  0



628
10
235
10
2
.
04
2
.
6
10

628
10
235
10
2
.
04










20.6  10



   3012.0633 0.38



















0
.
012
x
x
0
0
.
012
x
x
0
0
0
.
012
x
x
0
0
.
012
x
x
0










2
3
2
3
2
3
2
3









nizmu przechyłowego (przegubyw
punktach
2,
Analiza
4 ix5)daje
mechanizmu
w
2, 4 ix5)daje
0  01,.012
x3 odpowiednio:
0  przechyłowego
0.012  x2  x3 (przeguby
0 punktach
0 00 01,.012
x3 odpowiednio:
0  0.012  x2  x3 
2 (przeguby
2 (hinges
0  0 1,przechyłowego
analysisinofpoints
Analiza
mechanizmu
wtilting
punkAn(hinges
the tilting
mechanism
in points 1,
the tilting
(hinges
inpoints
2,
4
and
An
6)
analysis
yields
(respectively):
of
the
mechanism
1,
2,
4
and
6)
yields
(respectively):
 6 mechanism
3Analiza

6
3


mechanizmu
przechyłowego
(przeguby
w
punktach
Analiza
1,
2,
4
mechanizmu
i
5)
daje
odpowiednio:
przechyłowego
(przeguby
w punktach 1, 2, 4
147
.
58
147
.
58


628  10  235 tach
10 1, 2, 4 i 5) daje
628
2,104 and 5) yields(respectively):
6 
3  10  235
6 
3
odpowiednio:

 

147
.
58
147


zenia specyfikowane
dla
punktu
1
constraints
specified

for
ograniczenia
point
1::
specyfikowane
dla
punktu
1
constraints
specified
for
point
1::
628
10
235
10
628
10
235
10






of the
of the





analysis
tilting
mechanism
(hinges
in
points
1,
2,
An
4
and
analysis
6)
yields
(respectively):
tilting
mechanism
(hinges
in
points
1, 2, 4 and
6
6
3An

6
3
•
ograniczenia
specyfikowane
punktu628
13  10  235
• constraintsspecified
for
point
147.58  dla
147
.58 1:  6



628
10
235
10
10








6
3
5point
dla
 6  x 2  0 specified
 ograniczenia
 x1628
 610
1::
 610
0.012  x1  6  x 2  0  x3  ograniczenia
0   5.012 specyfikowane
x 2 x53235
x1 10
0.012  1
x1 constraints
x147
0.58
.012 specyfikowane
x1628
x 2  x3235



147
3
10

punktu
for
dla
punktu
1
constraints
specif
 3
 

3
  
    628  10  6  235
147
.58
.58
  5.012147
628
 10x6 235
 10

6x035
30

6x03  x 30   5.012
 0.012















6  x 10
0 x 
5
.
012
x
6
x
x
0
.
012
x
6
x
0
x
0
x
6
x

  x1  6147

147
.
58


1
2
1
2
1
2  0  x3 5
1
1
2
3













x
0
.
012
x
6
x
x
5
.
012
x
6
x
5
x
x
0
.
012
x
6
x






628
10
235
10
628
10
235
10






2  13 
1  
1
2  
3
1
2  
3
6
3
6
31

 


147
.
58
147
.
58


628
10
235
10
628
10
235
10




















6
3

6
3
 0.012  x1  6  x 2  0  x3 05 x


















4
.
988
x
6
x
x
5
x
0
.
012
x
6
x
0
x
0
4
.
988
x
6
x
x




30  1x
30  x
1 5.012
 2x 2 235
0.012 C
x1 14  6
63 x3.258
5 xx 0.012 628
x1 1  6
6 x
628
10
10 2x 2 235
10 0  5.012 x1  147
 2 x1  147
3  0
3
3
43 1 301
  610
628
C
C04  13 4301

.063
x5310
.063
x3  3
60.384
60.384
2.6 x10
235
10
2
.
04
2
.
6
10
0235





 x1  62.04













.012 10
x2  0
0
4
.
988
x
x
x
0
.
012
x
6
x
0
x
.
988
x
x
6
3

3
6
3

3




1
2
1
2
3 
1
1
2
3



 0.10
30.10
.063
.063
 5 
x1628
384
 x 2  20.04

 x 2  20.04
 x3 2.60 10 4.988 301
012  x235
6110
x  0  4.988 301
x 
6 x3250.
xx1628
012  x235
x1 
6 x
1 A
1  6 10
3
 6 3 2.6  10 3    1
301
 3    5301
 3  
2.6 x10
2
.
0235
 62.04
 x1  62.04
0
x1 0235
 x1
0
6 x10
 0    5
 6x1 60.384
3x5310
 6x1 60.384
.012 10
x2 
.012.063
x2628
.012 10
x2 
.012.063
x 2 3x3 

3
3  0 
3
 6 10
 6  10
x 2  02
x 20.6  10 3 4.988
x1 .063
6  x2350 x.x384
0.012
x 2  02
x .063
6 x
10  x1 235
.04
10  x1 235
.04x 20.6  10  4.988
 301
  301
3628
 0.012

1
 350 x1628
 63 0
 x1326.04
  3   1
.063
 x10
.063
 x3  3
 235
 x31 26.04
 x 22A
 x 2
2A
6x1  06.384

6x1  06.384
0.012
0.6
x3 
.012
x628
.012
0.6
x3  0  5301
.012
x 2 3
10
10
 10
 235
 10
1 
1 
05301
23
35 x1 


 5 x1628








301
.
063
0
.
384

301
.
063

 6  10
 0.012
 6  10
 xx13628
 x1  6  x
.012
x 2 02
x 20.6  10 3 5.012  x1  6  x25
x 2 02
10  x1 235
.04
10  x1 235
.04x 20.6  10 5.012
 30  4
 63 0
.988
20.6 10
 235
 x31 26.04
 x 220.6 10
 x1326.04
 x 2
6x1  06.384

6x1  06.384
0.012
x3 
.988
5
.012
x3 30  4
x 2 3
.063
x10
301
.063
 x3 3
 10
 3  
x628
   301
 10
 235
23
3  x1 





301
.
063
0
.
384

.063

 5  x628
 0.10
 6 10
 x 20.04
 x 2.60  10 5.012 x  6  x 5 xx628
 0.10
 6 10
 x 20.04
 x 2.60 10 5.012301
012  x235
012  x235
x1 
6 x
0.012  x1  6  x 2  0  x3  0  1 4.988  x1 1 6  x 2 2x53 x1 30.012  x1 6 x 2  0 1 x3  02  13 4.988  x1 1 6  x 2 2 x3  3
 5  w






mu przechyłowego (przeguby
punktach
Analiza
1,
2,
4
i
mechanizmu
5)
daje
odpowiednio:
przechyłowego
(przeguby
w
punktach
1,
2,
4
i
5)
daje
odpowiednio:
 0.012  x1 przechyłowego
5)0.daje
 4.988  x1  6Analiza
 x 252, x4x13imechanizmu
 4.988  x1  6 1x
x1 mechanizmu
6  x 2  0  x3 (przeguby
0
012  x1 przechyłowego
6  x 2  0  x3 (przeguby
0
Analiza
(respectively):
.24(hinges
.tilting
012  20mechanism
80 the
0.tilting
012 20mechanism
 in points
1,in
  w punktach
 1, 2, odpowiednio:


   80.24(hinges
  w80punktach
  of
1, 2, An
4 and
analysis
6) yields
points
4 and 6) yields (respectively):
 x1  0.012
 x1tilting
 6  xmechanism
yields
 x1tilting
 6  xmechanism
 x11,
 xx6)
 x11, 2,
0  x3  (hinges
0   in
4.988
6 An
0   in
4.988
6 4x

 2,
An
of the
points
4xand
of the
(respectively):
points
25analysis
2 80
2  0  x3  (hinges
 5analysis
0.012
 20   80.24dla
 0.0121::
 20
80.24dla
012specyfikowane
nia
specified
 ograniczenia
specyfikowane
113constraints
specified
for point 1:: 
 punktu 1 constraints
 punktu
 
 1 constraints
 for pointdla
ograniczenia
specyfikowane
punktu
specified

ograniczenia
for
point
1::
specyfikowane
dla
punktu
1
constraints
s
 0.012  20   79.76 
  80  05..012
  80  05..012
  79.76 
012x20
012
01220
x1  6 x 280
5.x24
x80
01220
x1  6 x 280.24
x3 
1  6  x 2  0  x3  0 
13 0.012  x1  6  x 2  0  x3  0 
 x1 
 x13 
0.012
6  x2  0  x3  0    5.012
0.012
6  x2  0  x3  0   5.012  x1 
 x180.24
 x1 .24
  05.012

  x1 6 x0
 
25
 20
 20
0012
.012 x20
.012 x20
.76
00.012
.76
 x1  6B
.012
 x1  6 80
x 279
0  x3  080
6  x 279
0  x3  080
5.012
x 2  x3
 x25x80


 6  

1 
13
1 

 55.012


2.5
 x1 80
 6x0
 x13 
x1 
0.012 1x79
6  x 2  0  x3 0   5.012
0.012 x79
6  x 2  0  x3  0  5.012  x1
1 
1 

.
76
.
76

80
0
.
012
20
012
20


 6  






80
.
24
80
.
24
.012
012 x20
80
0
.
012
20
x  0  x3  0  4.988  x1  6 x25 x13  0.012  x1  6  x 2  0  x3  0  4.988  x1  6  x 2  x3 
1 


 2
   5  x1  0.012 x1  6  x2  0  x3 0   4.988
 6 x25 x13  0.012 x1  6  x2  0  x3  0  4.988  x1

.24  x0180
012
20
.012x206 x 80
 0.012 20
.24
012  x1 6  x 280
0 Bx3  080  04..012
98820
x1 6 x 279
5.x76
x80
x1 6 x 279.76
x3 
 
00.012
13 
1
2  0 Bx3 
6 x 54.988
 x  6 80
 x20.0012
 x320 0   79

x1 80
 6.24
 x2  0  x3  0   4.988  x1 
x1  020
.012
476
.988
x
0
.012
  50.012
A
1  x1 
2
3
1



1  1 80.24
.
012  20   79.76 1 A80





80
0
.
012
20










A
012  x1 6  x 2  0  x3  0 1  5.012  x1  6  x 25 xx13  0.012  x1 6 x 2  0  x3  0 1  5.012 x1  6  x 2  x3
 x1  6 80
 x1  6  x2  0  x3  0   5.012  x1 
   5  x1  0.012
 x3 20
 0  795..76
x2 00.012
012  x1 6  x25 x13  0.012
0.012  20   79.76
 0.012  20 x  6 80
 20 x  6 80
 6  x   0  x  080  0.012
 
 x  0.012  x 
 x
012  x1  6  x 2  0  x3  080
x 5.24
5.012
x .24
 55.012
x1  0.1012 x12 6 13x2  0  x3 1 0 2 5.0123 x1  6 x2 5 x13  0.1012 x12 6 3x2  0  x3  0  5.012  x1

 80




 0.012
 x  0.012  x  6  x  0  x  080
x 
012  x1  6  x 2  0  x3  0 0.012
4.98820 x1  6 79
x 5.76
4.98820 x  6 79
x .76
 x1  0.012  x12 6 13x2  0  x3 1 0 2 4.9883 x1  6 x25 x13  0.1012 x12 6 3x2  0  x3  0  4.988  x1
80 05.012







79
.
76
79
20
80
0
.
012
20
 
0.012  x  6 x  0  x  0   4.988 x  6 x .76
012  x1  6  x 2  0  x3  0   4.988  x1  6 x 25 xx13 
x 
 5  x1  0.012  x1  6  x 2  0  x3 1 0  2  4.9883 x1  6  x25 x13  0.1012  x1 2 6 3x 2  0  x3  0   4.988  x1 
2  20   80.24
  80  0.012  20   80.24
  80  0.012  20   80.24  
  80  0.012  20   80.24




80.24
80.24 
2 20
80 0.012  20


 80  0.012  20   80.24 


 
 
80.24
80  0.012  20 

 


2  20   79.76 
 80 0.012  20   79.76 








79
.
76
79
.
76



80
0
.
012
20

80
0
.
012
20


 
 





79
.
76
2  20   79.76
80
0
.
012
20









 80  0.012
 80  0.012  20   79.76
20   79.76   
B1 

B1  
B1  

 80  0.012  20   80.24
2  20   80.24
  80  0.012  20   80.24  
  80  0.012  20   80.24


 

 80 0.012  20   80.24 
 


2  20   80.24 

80  0.012  20   80.24 
80  0.012  20   80.24 





2  20   79.76BADANIA
0.012  20   79.76BADANIA
I ROZWÓJ
I ROZWÓJ
 80  0.012  20  8079
 80  0.012  20   79.76 
.76


 
 




 

 DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x




79
.
76
2  20   79.76
80
0
.
012
20

 

  80  0.012  20   79.76
  80  0.012  20   79.76




























































 
 

147.58
147.58

628  10  6  235  103
628  10  6  235  103







147.58
147.58
628  10  6  235  103
628  10  6  235  103
 
 


 
 

147.58
147.58

628  10  6  235  103
628  10  6  235  103







147.58
147.58
628  10  6  235  103
628  10  6  235  103



C1  
C

1
628  10  6  235  103  2.04  2.6  10  3  301.063  0.628
  6  235  103  2.04  2.6  10  3  301.063  0.38
384 10

 


 6

384 10
 235  103  2.04  2.6  10  3  301.063  0.38
628  10  6  235  103  2.04  2.6  10  3  301.063  0.628

628  10  6  235  103  2.04  2.6  10  3  301.063  0.628
  6  235  103  2.04  2.6  10  3  301.063  0.38
384 10
 
 


 6
6
3
3
384 10
 235  103  2.04  2.6  10  3  301.063  0.38

628  10  235  10  2.04  2.6  10   301.063  0.628
 ograniczenia specyfikowane dla punktów 2 i 4 są analogiczne
 ograniczenia
jak przy mechanizmie
specyfikowane dla punktów 2 i 4 są analogiczn
belkowym,
belkowym,
116
 constrains specified for points 2 and 4 correspond to the
 beam-mechanism
constrains specified
constraints;
for points 2 and 4 correspond to the beam
 ograniczenia specyfikowane dla punktu 5:
 ograniczenia specyfikowane dla punktu 5:
 constraints specified for point 5:
 constraints specified for point 5:
















BADANIA AND
I ROZWÓJ
RESEARCH
DEVELOPMENT
BADANIA
BiTP
I ROZWÓJ
Vol. 44 Issue 4, 2016, pp. XX-XX
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
BADANIA
BiTP
I ROZWÓJ
Vol. 44
Issue
2016, Vol.
pp. XX-XX
Please
cite
as:4,BiTP
44BiTP
Issue
4, 44
2016,
99–120
Vol.
Issue pp.
4, 2016,
pp. XX-XX
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
BiT
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.8
6
3
6
  6
 

1473.58   
147.58
628147
 10.58
 235
 10.58
 235 103
 10
 628147
628  10  6  235  103
628  10
  235  10
 
  
 

6
3

6
3
 10
.58    628  10  235 10
147.58
 10.58 235
  6 235 147
 
   628147
147.58
 
628  10  6  235  103
628  10
103
 


6   3

6
3




1473.58
147.58


628147
628147
 10.58 235
 10.58 235 10
 6
 10
628  10  6  235  103
628  10
  235  10
 
  
   

6
3

6
3



147
.
58
147.58
 628  10  235 10
 628  10  235 10
 6 235  103 C   

147.58  
147.58
628  10  6  235  103 C1     6
628
10


1


628  10
C31 2.04  2.6610  3  3301.063  0.384628

   6  235  103  2.04  2.6  10  3  301.063  0.384
 235
628
.063 10
   10  235  10  2.04  2.6  10  3  10301
.063  0.384 
 0.384
 
 235  103  2.04  2.6  10  3  301
6
3

3
6
3




 2.6  10  3  301.063  0.384


301
.
063
0
.
384


628
10
235
10
2
.
04
2
.
6
10

628
10
235
10
2
.
04













3
3

6
3

3


301
.
063
0
.
384

301
.
063
0
.
384

BADANIA

628ROZWÓJ
 235  10  2.04  2.6  10     6
 10
 235
 10
 2.04  2.6  10    6
44 Issue
4, 2016,
pp. XX-XX
BiTPVol. 44 Issue 
4, 2016, pp. XX-XX
3 BiTPIVol.
3

628
2.04
2.6610  3  3301.063  0.384628
2.04
2.6  10 3  301.063  0.384
 235
 10
384
 DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
 235
 10
384
 DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
3

3  10301
3  10301


.
063
0
.

.
063
0
.




628  10  235
 235  10  2.04  2.6  10    6
 10  2.04  2.6  10    6

3  
3
 2.6  10  3  301.063  0.384
628
2.04
2.04
 235
 10
384
 2.6610  3  3301.063  0.384628
 235
 10
384
3

3  10301
3   10301
.
063
0
.

.
063
0
.




 235  10  2.04  2.6  10   
  10  235  10  2.04  2.6  10   

628
 ograniczenia specyfikowane dla punktów 2 6i 4 są analogiczne
 ograniczenia
specyfikowane dla punktów 2 i 4 są analogiczne
6
3 punktów 2 i4 są analogiczne
3
nia
specyfikowane
dla

ograniczenia
jak
przy
mechanizmie
specyfikowane
dla
punktów
2
i
4
są
analogiczne
jak


147.58

 przy mechanizmie

628  10  235  10
628  10  235  10
belkowym, 147.58
belkowym,




 4 correspond to the


m,
belkowym,
6
3constrains specified for147
specyfikowane
i 628
44sącorrespond
analopoints
2 and
147.58dla
.58for
 constrains
forpunktów
2 2and
beam-mechanism
 constrains
constraints;
points
2 and 4 correspond to the beam628  10  6  235 •103ograniczenia
 10
 235 to
•10the
  specified
  specified
points


specified
for
points
2
and
4
correspond
to
the
beam-mechanism

constrains
specified
constraints;
for
points
2
and
4
correspond
to
the
beam-mechanism
constraints;
przy
belkowym,
6
3giczne
 mechanizmie
  constraints;
  dla punktu
 jak
ograniczenia
specyfikowane
5:  6  235  103beam-mechanism
 ograniczenia
specyfikowane
dla punktu 5:
147
.
58
147
.
58


628
10
235
10
628
10




•
ograniczenia
specyfikowane
dla
punktu
5:
•
constraints
specified
for
point
5:
nia specyfikowane dla punktu 5:
specyfikowane dla punktu 5:
  specifiedforograniczenia
  specified for point
 5:
 5:
 constraints
point
 constraints
147.58  constraints
147.58
235point
628
235point
 10  6 for
 1035:
 10  6 for
 1035:


s628
specified
specified



C1 

  10  6  235  103  2.04  2.6  10  3  301.063  0.384 
.063  0.384628
 235  103  2.04  2.6  10  35  x 301
5.012  x  6  x25 x3x1  0.012 x330
  1  0.012  x1  6  x2  0  x63  0  
1  6  x2  0  x3  0   5.012  x1  6  x2
3
3
3 6 x  01  x 
3
5.012
6  x2628
5.012
6 x2  x3 
.012
5 xx 310
 x
 x
330
x10

.063
0.384
.063
0.384
 330 
235x10
6 x10
235
2.04
 02.

1
1
1  62 .x04
2
3  0   301
1 0.012
1
2  2.6  10
3  0  301



BADANIA
BiTP
5IROZWÓJ
.0124,2016,
.0124,2016,
 x1  6  x2 BiTP
5x 3xVol.
 x1  6  x2
x1 pp.6 XX-XX
x1330
 xVol.
 x2  0 x3  0  5.012
pp.6 XX-XX
 x2  0 x3  0    5.012
1440Issue
1440Issue

3

3

6
3

3









5301
.012
5301
.012
012
5 xx3110
6 2x.20402.6x310
 x106.384
 x2628
 x106.384
 x2 x3
 330
 x110 6 2x.20402.6x310
 0  DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
 0.012
 x1
 0  DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.x
.063
.063
10330
 235
 235














 6  x2  0  x3  0   4.988  x1  6  x2
 5  x1  0.012  x1  6  x2  0  x3  0   4.988  x1  6  x2 5 x 3x1  0.012 x1330
36 x  0  x 03    4301
.063
.063
.988
012
5 xx31 10
 x106.384
 x2628
 x106.384
x2 x3 
 x11036 2x.20402.6x310
03   4301
 06.012
 x1
10330
 235
 235
 2.204  2.6 310      .988
   330
4
.
988
6
5
0
.
012
6
0
0
5
0
.
012





x
x
x
x
x
x
x
x
x













330
1
2  31
1
1  6  x2  0 
 3
 x3  0    4.988  x1  6  x2
 2
  

 0 21i 44.są


B

A
A


988
6
4
.
988
6
0nia
.012specyfikowane
5
0
.
012
6
0
0









x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 x1  6  x2  0dla
 5xpunktów










330
330
analogiczne
  2jak
ograniczenia
przy mechanizmie
specyfikowane
dla5punktów
2 i 4 są
5 analogiczne
1
2
6 
 
.012
63 x25
01210
6 235
147
x1 .58
x1A
 x1  0.628
 x2 100313 x3B5 0  1  5
x3x1  0.012 x330
 6  x22  03 x3B5 0    5.012  x1  6  x2
147.583  5

1
1
5
m,
.012  x1  6  x2  0  x3 0    5.012  x1 66  x2belkowym,
5 xx313 0.012x1330
 6 x2  0  x3  0   5.012  x1  6 x2  x3 
 
  330
.012
6235
0 x3 specified
0constraints;
6  x2  0 x3  0constraints;
 x147
 x245correspond
x2constrains
 10
beam-mechanism
1330
1472.58
58
628
10
x1 0.012
x3x1 0.012toxthe
 points
  x1  6  x2
1 2.6
  5for
  5.012
1 beam-mechanism
s specified
for
points
and45correspond
toxthe
and





012  x1  6  x2  0  x3  0   5.012  x1 66  x2 5 xx313 0.012  x1 330
6 x2  0  x3  0   5.012  x1  6 x2  x3 
 330





4.988  x147
4.988  x1  6  x2
5 5:
0  x3  0 specyfikowane
.6
 x2 5 x5:
x1  0.012
x2ograniczenia
 10
 6  x 2  0  x3  0
nia specyfikowane
dla.58
punktu
punktu
147
58

628x10
1dla
3x1  0.012  x1 330
1  6 235
   330
012
6for
 xx31 3 0.012
 x1 6for
 x2point
 0 5:x3  0    4.988  x1 66 x2 5constraints
 x1330
x2point
 0 5:x3  0    4.988  x1  6 x2  x3 
ts
specified
specified
4
.
988
6
5
0
.
012
6
0
0
5
0
.
012
6
0
0






x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x


















330
147.58    1
147
 3
 2  10  3
1 .58 2   31
628  101  235
 1  2
    
   4.988  x1  6  x2

C


4
.
988
6
4
.
988
6
0.012
6
0
0
5
0
.
012
6
0
0










x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x















330
1
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
1
2
3


 330 







 3  301.063  0.384
    10  6  235  103  2.04  2.6  10  3  301.063  0.384 
10
0.012 x1 6  x2  0  x3 628
0   5.012  x1  6  x2 5x3x1  0.012  330
x1 6  x2  0  x3  0   5.012  x1  6  x2  x3 
 330 
3
6
3
3
301.063  0.384  10
301.063  0.384
 5.012
  330
10
 235
.012 
.012
 x1 10
 6 x22.04
5x
x12.6 0 10
 x1  6  x2  0  x3  0628
 x1330
 6 x2  0  x3  0   5.012  x1  6  x2  x3 
3











 3  301.063  0.384

6
3

3
301.063  0.384 
   10  235  10  2.04  2.6  10 
10

628
.012  x1  6  x2  0  x3  0   4.988  x1  6  x25x3x1  0.012  x1330
 6 x2  0  x3  0   4.988  x1  6  x2  x3 
  330
3
301.063  0.384  10

  6  235  103  2.04  2.6  10  3  301.063  0.384 


10
0.012 x1 6  x2  0  x3 628
0   4.988
 x1  6  x2 5x3x1  0.012 330
x1  6  x2  0  x3  0   4.988  x1  6  x2  x3 
 330 
B
B




A

5 plastycznego
5 plastycznego zniszczeni
5
punktów
mechanizmie
specyfikowane
mechanizmie
analizowanym
ramy
analizowanym
mechanizm
1 punktów
przy
jak przy
  330
 330 
.012
0.012  x12i 64 są
0ograniczenia
5x3xdla
0.012
0  x3 Kolejnym
0jak
 5.012
 x1  6  x2 sposobem
 5był
 x1  6  x2 sposobem
x3 
x analogiczne
x12i64 są
x2analogiczne
 0  x3 Kolejnym
zniszczenia
analizowanym2 sposobem
plastycznego
zniszczenia
ramy
analizowanym
plastycznego
zniszczenia
ramy
kombinowany
w Kolejnym
1, mechanizm
5). kombinowany
Ograniczenia
odpowiadające
w punktach
belkowym,
 był
 był1, mechanizm
  (przeguby
  (przeguby
 punktach
 2, 3 i sposobem
 2, 3 i 5). Ogran
012  5).
012
6Ograniczenia
.012  x1  6w x2punktach
0.odpowiadające
012  x1330
 6Ograniczenia
 x25x3x1  (przeguby
 x 2  x3 
x1kombinowany
x1 krytycznym
 0 poszczególnym
 x3  01,  2, 53.punktom
 6w
 x2tych
 0przytoczonych
 x3  01,  2, 5powyżej.
przeguby
punktach
3.punktom
i  5).
odpowiadające
do
  330do tych przytocz
krytycznym
poszczególnym
są analogiczne
and
4 correspond to the
beam-mechanism
 constrains ispecified
constraints;
for pointssą2 analogiczne
and 4correspond
to the
beam-mechanism
constraints;









4
.
988
6
4
.
988
6
.
012
6
0
0
5
0
.
012
6
0
0








x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x















 330
330
unktom
krytycznym
są
analogiczne
do
tych
poszczególnym
przytoczonych
powyżej.
punktom
krytycznym
są
analogiczne
do
tych
przytoczonych
powyżej.
powyższych
nierówności
dzięki wykorzystaniu
powyższych
uzyskano
1
2
3układów
1
2
3układów nierówności
1
2
3  Rozwiązanie
1dla punktu
1
2 uzyskano
3 Rozwiązanie
punktu 5:
ograniczenia
specyfikowane




nierówności
nierówności
 dzięki

 5: 

nie
powyższych
układów
uzyskano
Rozwiązanie
wykorzystaniu
powyższych
układów
uzyskano
dzięki
wykorzystaniu
obliczeniowego
„Solver”,
stanowiącego
integralną
środowiska
część
programu
obliczeniowego
„Microsoft
„Solver”,
stanowiącego
integralną
częś
4
.
988
6
4
.
988
6
0.012  x1  6  x2  0środowiska
5
0
.
012
6
0
0










x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 x3  0constraints









330
330
specified
for
point
5:
1
2
3 1
1
2
3
3

 1  2

 
 
zeniowego „Solver”,
stanowiącego
integralną
środowiska
część
programu
obliczeniowego
„Microsoft
„Solver”,
stanowiącego
integralną
część
programu „Microsoft
Excel”.
Otrzymano
następujące
wyniki:
Excel”.
Otrzymano
następujące
wyniki:
o
no następujące wyniki:  dla mechanizmu Excel”.
Otrzymano następujące
wyniki:poziomie

C, 
– temperatura krytyczna na poziom
xx31 0.012 belkowego
330
x1 6  xdla
x3a, cr  763belkowego
x3  0   5.012  x1  6  x
x330
 x3  0 krytyczna
  5.012 na
25
2 mechanizmu
1  6 x2 – 0temperatura
o
o


763
C
a, cr  763
,
,
nizmu
belkowego
–
temperatura
krytyczna
na
poziomie

dla
mechanizmu
belkowego
–
temperatura
krytyczna
na
poziomie











na poziomie
przechyłowego
– Ctemperatura
kry
5.012  x1  6krytyczna
6przechyłowego
 xx31mechanizmu
 xdla
 x3mechanizmu
 330
330
 0.012  x

 x2  0 ax, cr3  0 – temperatura
25
2
3  0   5.012  x1  6  xdla
1








o
o
hanizmu
przechyłowego
–
temperatura

krytyczna
dla
mechanizmu
na
poziomie
przechyłowego
–
temperatura
krytyczna
na
poziomie
0.012C ,x
6 x2  0  x3  0   4.988  x1  6  x2a,xcr3  674 C ,  330
a,xcrx31  674
330
3 o0   4.988  x1  6  x25
1


, 
 a, cr  674o C, 




74
C
4.988  x1 6krytyczna
6
xxmechanizmu
 xdla
x  0   4.988  x1 6  xdla
x2  0  x3  0–  

 x330
temperatura
poziomie
– temperatura kry
25
31 0.012
2  xmechanizmu
3  na zniszczenia
1 kombinowanego
 ramy był mechanizm
 330kombinowanego
m3analizowanym
sposobem
plastycznego
zniszczenia
Kolejnym
ramy
był
analizowanym
mechanizm
sposobem
plastycznego
B
B




A

5
5
5
o
o
hanizmu
kombinowanego
–
temperatura

krytyczna
dla
mechanizmu
na
poziomie
kombinowanego
–
temperatura
krytyczna
na
poziomie

5.012
5.012
0i.012
 x1  6  x1,
 x1  6  x1,
x(przeguby
xx313705
 6 x2  0  x(przeguby
330
2 a5,2,
C
2 a,2,
punktach
5).. xkombinowany
odpowiadające
punktach
i C
5).. 330
Ograniczenia
odpowiadające
3  0   w
1Ograniczenia
3  0   w
cr
crx33705
o  
o  







05 C . krytycznym są analogiczne
C . krytycznym
punktom
tych xprzytoczonych
poszczególnym
punktom
są
dowyniki
tych
przytoczonych
0.wyniki
012
6 x2 a, cr0na
 xx31  do
 6analogiczne
 xPowyższe
x705

powyżej.
330
330
wybór
tego,
który
napowyżej.
wybór mechanizmu przechy
25
2  x3  jako
3  0   5.012  x1  6  xPowyższe
1 pozwalają
3  0 mechanizmu
 5.012  x1przechyłowego


 pozwalają
anie
powyższych
układów
nierówności
uzyskano
Rozwiązanie
dzięki
wykorzystaniu
powyższych
układów
nierówności
uzyskano
dzięki
wykorzystaniu
jest
miarodajny
dla
rozpatrywanej
ramy
ajako
uzyskana
dla
niego
jest
miarodajny
temperatury
dla rozpatrywanej
może
być
ramy ajako
uzyskana
dla niego wartoś
wyniki
pozwalają
na wybór
mechanizmu
przechyłowego
Powyższe
wyniki
tego,
pozwalają
który
nawartość
wybór
mechanizmu
przechyłowego
tego, który











4
.
988
6
4
.
988
6
0
5
0
.
012
6
0
0







x
x
x
x
x
x
x
x
x
x











330
330
1 stanowiącego
2
31
1 stanowiącego
2
3
3czeniowego „Solver”,
1środowiska
2 programu
3
integralną
część
obliczeniowego
„Microsoft
„Solver”,
integralną
część
programu











interpretowana
poszukiwana
temperatura
krytyczna.
interpretowana
poszukiwana
krytyczna.
la rozpatrywanej ramy
a uzyskana jako
dla niego
jest
wartość
miarodajny
temperatury
dla rozpatrywanej
może być ramy
a uzyskana jako
dla niego
wartośćtemperatura
temperatury„Microsoft
może być
0   4.988
5xx31 0.012  xExcel”.
0   4.988
 x1  6  x
 x1  6  x2  x3 
xno
x3 następujące
330
330 
następujące
wyniki:
wyniki:
2krytyczna.
3 poszukiwana
1  6 xOtrzymano
2  0 jako
ko
temperatura
interpretowana
poszukiwana
temperatura
krytyczna. 
o
a, cr  763 belkowego
C,
anizmu belkowego – temperatura krytyczna na poziomie
 dla mechanizmu
– temperatura krytyczna na poziomie a, cr  763o C ,




chanizmu
























































Kolejnym analizowanym
sposobem
znisz- przechyłowego
Another analysed
way in whichkrytyczna
the frame can
is the
przechyłowego
– temperatura
krytyczna
dlaplastycznego
mechanizmu
na poziomie
– temperatura
nafail poziomie
czenia ramy był mechanizm kombinowany (przeguby
combined mechanism (hinges in points 1, 2, 3 and 5). The
a, cr  674oposzczeC,
w punktach 1, 2, 3 i 5). Ograniczenia odpowiadające
constraints corresponding to individual critical points corrególnym punktom
są analogiczne
do tych
spond to the constraints
mentioned krytyczna
above.
chanizmu kombinowanego
– krytycznym
temperatura
krytyczna
dla mechanizmu
na przytopoziomie
kombinowanego
– temperatura
na poziomie
czonych powyżej.
The solution to these systems of equations has been proo
o
705 C
asposobem
C
bem
plastycznego
zniszczenia
Kolejnym
ramy
był
analizowanym
mechanizm
plastycznego
zniszczenia
ramy
mechanizm
.
.
, cr  705uzyskano
RESEARCH
AND
DEVELOPMENT
Vol.
44 Issueadd-in
4,był
2016, pp.
XX-XX
Rozwiązanie
powyższych
układów
nierówności
vided
by theBiTP
“Solver”
program
available in Microsoft
И РАЗВИТИЕ
DOI: 10.12845/bitp.44.4.2016.x
h
1,
2,
3
i
5).
kombinowany
Ograniczenia
(przeguby
odpowiadające
w
punktach
1,
2,
3
i
5).
Ograniczenia
odpowiadające
dzięki
środowiska
obliczeniowego
„Solver”,
yielded
the following
results
e wyniki pozwalają
na wykorzystaniu
wybór mechanizmu
przechyłowego
Powyższe
jako
wyniki
tego, pozwalają
który Excel.
naThis
wybór
mechanizmu
przechyłowego
jako tego, który
analogiczne
poszczególnym
przytoczonych
powyżej.
punktom
krytycznym
sąpp.
analogiczne
przytoczonych
powyżej.
ND
DEVELOPMENT do tych
BiTP
Vol. 44 Issue „Microsoft
4, 2016,
XX-XXExcel”. do tych
stanowiącego
integralną
część jest
programu
• for
the
beam mechanism
– a critical
temperature
dla
rozpatrywanej
ramy
a
uzyskana
dla
niego
wartość
miarodajny
temperatury
dla
rozpatrywanej
może
być
ramy
a
uzyskana
dla
niego
wartość
temperatury
możeofbyć
НИЯ И РАЗВИТИЕ
DOI: 10.12845/bitp.44.4.2016.x
Otrzymano
następujące
dówposzukiwana
nierówności
uzyskano
Rozwiązanie
dzięki wyniki:
wykorzystaniu
powyższych
układów
nierówności
uzyskano
o dzięki wykorzystaniu
ako
temperatura
krytyczna.
interpretowana
jako
poszukiwana
temperatura
krytyczna.
for the beam mechanism – a critical temperature of a, cr  763 C ,,
•środowiska
dla
mechanizmu
belkowego
– temperatura
krytycz- integralną część programu „Microsoft
stanowiącego integralną
część
programu
obliczeniowego
„Microsoft
„Solver”,
stanowiącego

for
the
tilting
mechanism
– a critical temperature of  a, cr  674 o C ,
o
natemperature
naOtrzymano
poziomie
, wyniki:
Excel”.
the beam mechanism – a critical
of anastępujące
, cr  763 C ,
o
674 C ,
o
 for the ocombined
mechanism – a critical temperature of a, cr  705 C ,
a,of
C o,
mperatura
krytyczna
poziomie
 temperature
dla mechanizmu
belkowego
– temperatura krytyczna na poziomie a, cr  763o C ,
the tilting mechanism
– ana
critical
cr a,763
cr  674 C ,
Based on these results, the tilting mechanism can be chosen as being representative of
o
ego
– temperatura
 krytyczna
dlatemperature
mechanizmu
na
przechyłowego
temperatura
na aspoziomie
 705
C , the temperature– value
the combined
mechanism – a critical
of apoziomie
the considered
and
established for itkrytyczna
can be interpreted
the
, cr frame
temperature
sought.
o
sed on these results, the tilting mechanism
can
be chosen
representative of
 cr critical
 674
Ccorresponding
, as being
Afor
result with
to the choice of the critical mechanism can be
ered frame and the temperature valuea ,established
it can be interpreted
as regard
the
arrivednaat much
faster
by using the classical
approach.
It is important
note,
mperature
nego sought.
– temperatura  krytyczna
dla mechanizmu
poziomie
kombinowanego
– kinematic
temperatura
krytyczna
na to poziomie
117
BADANIA I ROZWÓJ
EARCH AND DEVELOPMENT
СЛЕДОВАНИЯ
И РАЗВИТИЕ
CH AND DEVELOPMENT
ДОВАНИЯ И РАЗВИТИЕ
И РАЗВИТИЕ
DOI:4410.12845/bitp.44.4.2016.x
RESEARCH
AND DEVELOPMENT
BiTP Vol.
Issue 4, 2016, pp. XX-XX
DOI: 10.12845/bitp.44.4.2016.x
BiTP Vol. 44 Issue 4, 2016, pp. 99–120
BiTP Vol. 44DOI:
Issue10.12845/bitp.44.4.2016.x
4, 2016, pp. XX-XX
DOI: 10.12845/bitp.44.4.2016.x
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.8
BiTP
RESEARCH
Vol. 44 Issue
AND
4, 2016,
DEVELOPMENT
pp. XX-XX
BiTP Vol. 44
DOI: 10.12845/bitp.44.4.2016.x
И РАЗВИТИЕ
DOI:
o
o
RESEARCH
AND
DEVELOPMENT
BiTPof
Vol. 44 Issue 4, 2016, pp. XX
•
for
the
tilting
mechanism
–
a
critical
temperature
mechanizmu
przechyłowego
–
temperatura
kryRESEARCH
AND•DEVELOPMENT
BiTP
Vol.
44
Issue
4,
2016,
pp.
XX-XX


763
C


763
C
 for the beam
mechanism
– adla
critical
temperature

of
for
the
beam
mechanism
,
– a critical
temperature
of
,
RESEARCH
AND
DEVELOPMENT
RESEARCH
AND
DEVELOPMENT
,
,
a
cr
a
cr
BiTP Vol. 44 Issue 4, 2016, pp. X
RESEARCH
AND
DEVELOPMENT
BiTP
Vol.
44
Issue
4,
2016,
pp.
XX-XX
RESEARCH
AND
DEVELOPMENT
BiTP
Vol.
RESEARCH
44
Issue
4,
2016,
AND
pp.
DEVELOPMENT
XX-XX
BiTP
Vol.
44
Issue
4,
2016,
pp. X
RESEARCH
AND DEVELOPMENT
BiTP
Vol.
44 10.12845/bitp.44.4.2016.x
Issue 4, 2016,
pp. XX-XX
o 44 Issue
o ИССЛЕДОВАНИЯ
И
DOI:44
10.12845/bitp.44.4.2
RESEARCH AND
DEVELOPMENT
Vol. 44
Issue 4,
2016,
pp.44
XX-XX
DEVELOPMENT
BiTP
RESEARCH
Vol.
AND
4, 2016,
DEVELOPMENT
pp. XX-XX
BiTP
Issue 4, 2016, pp. XX-XX
И РАЗВИТИЕ
И РАЗВИТИЕ
ИVol.
РАЗВИТИЕ
RESEARCH
AND DEVELOPMENT
Vol.
44DOI:
Issue
4,
2016,
pp.
XX-XX
RESEARCH
AND
DEVELOPMENT
BiTP Vol.
Issue 4, 2016, pp. X
РАЗВИТИЕ
DOI: 10.12845/bitp.44.4
763
ИРАЗВИТИЕ
763
C ,o C ,DOI:BiTP
theИССЛЕДОВАНИЯ
beam
mechanism
–И
aРАЗВИТИЕ
critical
 for
the
beam
mechanism
temperature
of
o C , – a critical BiTP
И
, cr 
a,4,
cr
И РАЗВИТИЕ
DOI:
10.12845/bitp.44.4.2016.x
DOI: 10.12845/bitp.44.4.
DOI:
10.12845/bitp.44.4.2016.x
aРАЗВИТИЕ
674
C,, 10.12845/bitp.44.4.2016.x
 674
for
for
the
tilting
mechanism
– atyczna
criticaltemperature
temperature
of
of 
for
mechanism
–И aРАЗВИТИЕ
critical
temperature
of
na
poziomie
, 10.12845/bitp.44.4.2016.x
И РАЗВИТИЕ
DOI: 10.12845/bitp.44.4.2016.x
И
РАЗВИТИЕ
DOI:
DOI: 10.12845/bitp.44.4.2016.x
RESEARCH
AND
DEVELOPMENT
BiTP
Vol.
44
Issue
2016,
pp.
XX-XX
, crРАЗВИТИЕ
a ,the
cr tilting
aИ
И РАЗВИТИЕ
DOI:
10.12845/bitp.44.4.2016.x
И
РАЗВИТИЕ
DOI: 10.12845/bitp.44.4
RESEARCH
AND DEVELOPMENT
BiTP Vol. 44 Issue 4, 2016,
pp. XX
o o
o
10.12845/bitp.44.4.2016.x
o beam
dla
mechanizmu
kombinowanego
–a temperature
temperatura
for
the
– –a acritical
of4,
RESEARCH
AND
DEVELOPMENT
Vol.
44 Issue 4, 2016,
pp.critical
XX-XXtemperature
ofa,the
674
C ,mechanism

o
674
C
thethe
tilting
mechanism
– Иa РАЗВИТИЕ
critical
temperature
for
the
tilting
mechanism
critical
, the
DOI:
•
Ca,XX-XX
763o C ,
– a for
the temperature
beam
mechanism
– a705
critical
of
,crcombined
for
mechanism
temperature
,2016,
cr a
a763
cr
AND
BiTP Vol. 44 Issue
2016,
pp.XX-XX
RESEARCH
AND•DEVELOPMENT
BiTP
Vol.
44
Issue
4,
pp.

C –, BiTP
 705
C BiTP
for for
combined
mechanism
critical
of44
for
combined
– atemperature
critical
temperature
of
, mechanism
,of
aDEVELOPMENT
cr
a, cr
И РАЗВИТИЕ
DOI:
10.12845/bitp.44.4.2
ESEARCH
AND
DEVELOPMENT
Vol.RESEARCH
44
Issue
4,ИССЛЕДОВАНИЯ
2016,
pp.
XX-XX
,2016,
cr ИРАЗВИТИЕ
BiTP
Vol.
Issue 4,
pp. XX-XX
DOI:
10.12845/bitp.44.4.2016.x
И
РАЗВИТИЕ
DOI: 10.12845/bitp.44.4.2016.x
И РАЗВИТИЕ
10.12845/bitp.44.4.2016.x
oo
o DOI:
orepresentative
o o representative
ССЛЕДОВАНИЯ
ИРАЗВИТИЕ
10.12845/bitp.44.4.2016.x
DOI:
10.12845/bitp.44.4.2016.x
o  as
on these
results,
tilting
mechanism
beBased
chosen
onasthese
being
results,
tilting
canof
bechosen
being
of the
763
C , temperature
the
beam
mechanism
– athe
critical
temperature
of
ofmechanism
763
C , for
for thethe
beam
–can
athe
critical
temperature

705
C of
705
C., for
for Based
the combined
mechanism
– a mechanism
critical
temperature
 poziomie
for
combined
of
mechanism
, the
–a DOI:
critical
temperature
krytyczna
na

mechanism
– a
critical
of  o of
 beam
for
beam mechanism
critical
a, cr –atemperature
.of
a, cr temperature
, cr –o a critical
,beam
amechanism
cr  
oo of
o a , crfor
a,acr, cr  763
763
Ca,, cr  674
the
mechanism
– mechanism
a critical
critical temperature
temperature
oftemperature
the
674
, 763
–o a criticalof
ofo 
 mechanism
for the tilting
mechanism
for
the
tilting
a, crC ,
aafor
Cinterpreted
–the
atemperature
critical
, 763
, crC

cr
C
frame
the
beam
mechanism
aafor
temperature
,established
for
beam
mechanism
aC
763
for
for
beam
–critical
athe
critical
temperature


abeam
for
the
beam
mechanism
–
aprzecritical
temperature
,, crthe


763
Cbeand
 763
C,
e considered
beam mechanism
– the
athe
critical
temperature
of
, of
for
beam
mechanism
–of
a Based
critical
temperature
of––o
and
temperature
value––established
the
considered
for
itwybór
frame
can
interpreted
the
as763
the
value
itof
can
as
,
aatemperature
aa,,cr

763
C ,,ooCcan
for
the
beam
mechanism
critical
temperature
of
, cr

763oo C
C ,,
abe
the
beam
mechanism
athe
temperature
of 
, cr
acritical
Powyższe
wyniki
pozwalają
na
mechanizmu
these
results,
mechanism
can
becho,cr
cra,
cr
Based on these
results,
the
tilting
mechanism
Based
can
be
on
chosen
these
results,
as
being
the
representative
tilting
mechanism
of763
beforchosen
ason
being
representative
oftilting
o
o
o


C
 for
forthe
thetilting
beam
mechanism
–
a
critical
temperature
of
,

674
C
–
a
critical
temperature
of
,

for
the
tilting
mechanism
o


674
C
–
a
critical
temperature
of
,
mechanism
tical temperaturesought.
critical
temperature
sought.
 , cr of

–of
a critical
temperature
 combined
foro–the
tilting
mechanism
, cr
a, cr
oo C
a763
critical
 of
for
the
tilting
, cr,and
atemperature
oo established
o of
atemperature

674
acritical
critical
temperature
, aof
for
the
tilting
mechanism

705
C
 jako
forvalue
theconsidered
combined
mechanism
 mechanism
for
theC
mechanism
– aof
critical
, interpreted
critical
of
o the
o – amechanism
itabeing
674
–the
acritical
temperature
for
the
tilting
mechanism
cr–
frame
andfor
the
temperature
the
frame
for
itcritical
and
can
temperature
interpreted
as
value
the
for
can
be
as
the
chyłowego
tego,
który
jest
miarodajny
dla
rozpatrywanej
sen
as
representative
the
considered
the
,a
, cr a705
cr


C
for
the
–of–aoC
offrame
, ,temperature
oC
, cr


674
C
674
–established
aachoice
temperature
aC
critical
temperature
of
 for
the
tilting
,temperature
for
the
tilting
mechanism
674
C
–critical
a
temperature
of
tilting
mechanism
o, cr

,763
674
–
a763
critical
temperature
oftemperature
,, crbe
critical
for
the
tilting
mechanism
the
674
C

 temperature
674
C,
– the
atilting
critical
temperature
of
, mechanism
–aof
critical
ensidered
tilting
mechanism
bemechanism
for
tilting
mechanism
a,aacr
,with
aa
cr
,
acan
crregard
A corresponding
result
withmechanism
regard
to the
A
of
corresponding
the
result
be
too,,C
the
choice
ofbeam
the
critical
mechanism
can



for
beam
–674
a
critical
of
,
ocr

C
–
critical
temperature
of
for
the
mechanism
,

674
C
a
cr
–
a
critical
temperature
of
,
for
the
tilting
mechanism
,
a
cr
a

763
C

for
the
beam
mechanism
–
a
critical
temperature
of
,
o
,
a
cr


for
the
beam
mechanism
–
a
critical
temperature
of
,
o
,
o
,
a
cr
o
, crmechanism
tilting
 mechanism
763
 at–for
thesought.
beam
mechanism
–
aacritical
temperature
of
,note,
aC, cr
l temperature
temperature
sought.
o
on
763
nism
amuch
critical
ramy,
a tilting
uzyskana
niego
temperatury
być
intemperature
value
itthe
can
beoainterpreted
the
a

can
674
–Cawartość
critical
temperature
ofmoże
,C
for
thecombined
mechanism

705
C
for
combined
–results,
a for
critical
temperature
ofof
Based
these
the
be
chosen
asof
being
Based
representative
ono for
these
tilting
can
be
chosen
 temperature
705
–,results,
aat critical
of
, the
 temperature
for
the
mechanism
,critical
crdla
a,
established
the
combined
mechanism
acritical
ived
faster
by
using
theofclassical
kinematic
arrived
approach.
much
faster
Ittemperature
is, crimportant
by using
the
classical
approach.
It 
ismechanism
important
to
note,
,critical
cr
ocritical
atemperature
of
the
combined
mechanism
,acr
a, cr
ookinematic
ooCC, temperatur
aas
705
afor
critical
temperature
, asofbeing
for
the
combined
mechanism
a, cr
705
C
–to
aa
for
the
combined
mechanism
,674
cr– 
–of

C , for
athe
critical
Co,,temperature
for
the
tilting
mechanism


705
C
705
C
––corresponding
aaand
temperature
of
–––obe
aC
critical
temperature
,it
mechanism
for
the
combined
mechanism
for
the
mechanism
o
C
critical-temperature
for
the
combined
mechanism
–critical
afor
critical
temperature
of
,ofit
A
corresponding
result
with
regard
to the
choice
A
of
the
critical
result
regard
can
be
the
the
critical
mechanism
ochoice

,–ocan
705
for
the
combined
mechanism
–
a705
critical
temperature
of
,, crtemperature

tilting
705
Cwith

 705
C , ofvalue
ewever,
combined
 omechanism
for
the
combined
mechanism
–the
a critical
temperature
of
,krytyczna.
–mechanism
acombined
critical
temperature
of
a , cr
aa,
cr
aa,,,cr
,
a–to
cr


674
C
a
critical
of
,
the
mechanism
o
terpretowana
jako
poszukiwana
temperatura
critical
temperature
sought.

705
for
the
combined
mechanism
critical
temperature
of
,


705
C
a
cr
for
the
combined
mechanism
a
critical
temperature
of
,
,
a
cr
a
considered
frame
the
temperature
value
established
for
can
the
be
considered
interpreted
frame
as
and
the
temperature
established
can
be
that
the
estimates
so
however,
obtained
that
will
the
be
critical-temperature
qualitatively
different.
estimates
so
obtained
will
be
qualitatively
different.

674
C
–
a
critical
temperature
of

for
the
tilting
o
,
a
cr


674
C
–
a
critical
temperature
of
,

for
the
tilting
mechanism
o
,
cr
cr
,the
acan
cr
Based
on
these
results,
the
tilting
mechanism
be
chosen
as
being
representative
Based
on
these
results,
the
tilting
mechanism
can
be
chosen
as
being
representative
of


674
C
–
a
critical
temperature
of
,

for
the
tilting
mechanism
,
a
cr
Based
on
these
results,
tilting
mechanism
can
be
chosen
Based
on
these
results,
the
tilting
mechanism
can
b


674
C
–
a
critical
temperature
of
,
nism
,
a
cr


705
C
Based
on
these
results,
the
tilting
mechanism
can
be
chosen
as
being
representativ
–
a
critical
temperature
of
,

for
the
combined
mechanism
dcordingly,
at muchthe
faster
by
using
thethese
classical
kinematic
at sought.
much
approach.
faster
by
It do
is
using
important
the
classical
to as
note,
kinematic
approach.
It istemperature
important
tosought.
note,
Based
on
these
results,
the
tilting
mechanism
can
be
chosen
aschosen
beingcan
representative
ofbeing
, cr the
aarrived
,as
atilting
cr
o representativ
result
(see
Figure
4)
Accordingly,
the
result
(see
Figure
4)
Based
on
these
results,
tilting
mechanism
can
be
chosen
being
representative
Based
on
these
of
results,
the
tilting
mechanism
can
be
chosen
as
being
Based
on
results,
the
tilting
mechanism
can
be
chosen
being
representative
of
Oczywiście
analogiczny
wynik
wyboru
mechaniA critical
corresponding
result
with
regard
to
the
choice
of
the
critical
temperature
Based
on
these
results,
the
mechanism
can
be
as
being
representative
of
on
these results,
the
tilting
mechanism
can
be
chosen
asco
being
Based
representative
on
these
of
results,
the
tilting
mechanism
be
chosen
as
representative
of
o


705
C
–
a
critical
temperature
of
,

for
the
combined
mechanism
o
Based
on
these
results,
the
tilting
mechanism
can
be
chosen
as
being
representative
of
the
considered
frame
and
the
temperature
value
established
for
it
can
be
interpreted
asai
Based
on
these
results,
the
tilting
mechanism
can
be
chosen
as
being
representativ
the
considered
frame
and
the
temperature
value
established
for
it
can
be
interpreted
as
the
o
a, cr
the
considered
frame
and
the
temperature
value
established
for
the
considered
frame
and
the
temperature
value
establish


705
C

for
the
combined
mechanism
–
a
critical
temperature
of
,
er,
that
the
estimates
however,
so
obtained
that
the
will
be
qualitatively
estimates
different.
so
obtained
will
be
qualitatively
different.
o
the
considered
frame
and
the
temperature
value
established
for
it
can
be
interpreted


705
C
–
a
critical
temperature
of
,

for
the
combined
mechanism
the
considered
frame
and
the
temperature
value
established
for
it
can
be
interpreted
as
the
o
,
a
cr


705
C

for
the
combined
mechanism
–
a
critical
temperature
of
,
theand
mechanism
is:
for
the
beam
mechanism
is:
, cr
Based
on
these
results,
the
can
be
chosen
as
being
representative
of
tilting
the
considered
frame
and
the
value
established
itittemperature
can
be
the
interpreted
as
frame
the
the
temperature
value
established
for
it
can
be
interpreted
as

705
 forfor
combined
mechanism
–established
atemperature
critical
temperature
of
,can
the
considered
frame
the
value
established
for
itchoice
be
interpreted
asmechanism
the
zmu
krytycznego
można
otrzymać
znacznie
stosując
critical
can
be be
arrived
atcan
much
faster
bythe
using
the
, cr
aC
Aand
corresponding
result
with
regard
to
the
ofconsidered
the
critical
A and
corresponding
can
befor
result
with
regard
to
of
critical m
the
considered
frame
the
value
established
for
it temperature
can
interpreted
the abe
d frame
the
temperature
value
for
can
the
be
considered
interpreted
frame
as
the
and
the
temperature
value
established
itsought.
beas
interpreted
aschoice
the

705
C
–beam
a critical
temperature
of
, itmechanism
echanism
,and
aszybciej,
cr4)for
thethe
considered
frame
the
value
established
for
can
be
interpreted
asmechanism
the
critical
temperature
sought.
the
considered
frame
and
the
temperature
value
established
for
itas
can
be the
interpreted
as
critical
temperature
sought.
, crtemperature
atemperature
critical
dingly,
the
(see
Figure
4) and
Accordingly,
the
result
(see
Figure
Based
on
these
results,
the
tilting
mechanism
can
chosen
being
representativ
critical
temperature
sought.
critical
temperature
results,

itas
result
sought.
at
4at
4tilting
4the
5sought.
4sought.
5tilting
critical
temperature
Based
on
results,
the
mechanism
can
be
chosen
as
being
representative
of to note,
the
considered
frame
and
the
temperature
value
established
for
can
beon
interpreted
as
the
1these
1 
1 much
1 Based
these
results,
the
mechanism
canthe
be choice
chosen
as kinematic
being
representative
of
critical
temperature
sought.
critical
temperature
sought.
critical
temperature
sought.
klasyczne
podejście
kinematyczne.
Należy
jednak
zauważyć,
classical
kinematic
approach.
It
is
important
howearrived
faster
by
using
classical
kinematic
approach.
arrived
It
is
important
much
to
faster
note,
by
using
the
classical
approach.
It
is
im
Based
on
these
the
tilting
mechanism
can
be
chosen
being
representative
of
critical
temperature
rature
sought.
critical
temperature
sought.







4

















4












Based
on
these
results,
the
tilting
mechanism
can
be
chosen
as
being
representative
of
critical
temperature
sought.
A
corresponding
result
with
regard
to
of
the
critical
mechanism
can
critical
temperature
sought.
A
corresponding
result
with
regard
to
the
choice
of
the
critical
mechanism
can
be
1 tilting
1
3as
1the beam
21representative
1mechanism1is:
1
3
1 corresponding
2 frame
1
1A
2 can be chosen
2
lts,
mechanism
being
of
corresponding
result
with
regard
to
the
choice
of
the
for the
the
beam
mechanism
is:
for
the
considered
and
the
temperature
value
established
for
it
can
be
interpreted
as
A
corresponding
result
with
regard
to
the
choice

A
result
with
regard
to
the
choice
of
the
critical
mechanism
ca
A
corresponding
result
with
regard
to
the
choice
of
the
critical
mechanism
can
be
4 the
4critical
6 sought.
6 the
6for
6obtained
6the
3A
6of
3 choice
the
considered
frame
and
the
temperature
value
established
for
itthe
can
be
interpreted
as
the
critical
temperature
the
frame
and
the
temperature
value
established
for
itapproach.
can
be
interpreted
as be
the quali
A
corresponding
result
with
regard
the
choice
of
critical
mechanism
A
corresponding
can
be
result
with
regard
to
the
choice
of
the
critical
mechanism
ca
Aat
corresponding
result
with
regard
to 4temperatury
choice
of
critical
can
be
że
uzyskane
tą
drogą
oszacowania
krytycznej
ver,
that
the
estimates
so
obtained
will
be
however,
that
the
estimates
so
will
be
however,
qualitatively
that
different.
estimates
so
obtained
will
considered
frame
and
the
temperature
value
established
itconsidered
can
bemechanism
interpreted
as
the
Ato
corresponding
result
with
regard
to
the
choice
the
critical
mechanism
can
be
responding
result
with
regard
to
choice
of
the
mechanism
corresponding
can
be
result
with
regard
to
the
of
the
critical
mechanism
can
be
he
considered
frame
and
the
temperature
value
established
for
it
can
be
interpreted
as
the
A
corresponding
result
with
regard
to
the
choice
of
the
critical
mechanism
can
be
arrived
at
much
faster
by
using
the
classical
kinematic
It
is
important
to
n
A
corresponding
result
with
regard
to
the
choice
of
the
critical
mechanism
ca
arrived
much
faster
by
using
the
classical
kinematic
approach.
It
is
important
to
note,








4
5
4
4
5
the
temperature
value
established
for
it
can
be
interpreted
as
the
arrived
at
much
faster
by
using
the
classical
kinematic
approac
critical
temperature
sought.
arrived
at
much
faster
by
using
the
classical
kinematic
arrived
at2 much
much
faster
by
using
the classical
classical
kinematic approach.
approach. ItIt is
is important
important to
to n
1 be
1the
resulting
in:
4M
using
1the
important
 faster
M 3faster
M1arrived
 2result
k y,the
with
P
M

the
M
classical
M
It
kis
P
at
much
by
using
kinematic
approach.
Itkinematic
is
important
to Figure
note,
critical
temperature
2the
3 
4by
2 (see
11 by
3of
3faster
4
2arrived
yusing
,
A
to
choice
critical
mechanism
can
critical
temperature
sought.
1corresponding
sought.
1 resulting

arrived
in:using



classical


atfaster

Figure
kinematic
4arrived
kinematic
approach.
using
qualitatively
at

to

arrived
at
by
using
ItItthe
is
to
note,
faster
by
using
the
kinematic
at
much
classical
approach.
note,
Accordingly,
the
result
4)
result
4)
będą
różne.
Dostajemy
bowiem
(patrz
ryc.
4):
different.
Accordingly,
thethe
result
(seeof
Figure
4) Itqualitatively
critical
temperature
sought.
arrived
much
faster
classical
kinematic
approach.
Itthat
is
important
to
note,
uch
faster
by
classical
kinematic
approach.
It
important
much
to
note,
the
approach.
is
important
to
note,
11the
1is
3
2regard
1
3by
1important
2that
1classical
1the
2 ilościowo
22at
ritical
temperature
sought.
at 1much
much
faster
by
using
the
classical
kinematic
approach.
ishowever,
important
toAccordingly,
note,
the
estimates
soso
obtained
will
be
differ
arrived
much
faster
by
using
the(see
classical
kinematic
approach.
is
important
to
however,
that
the
estimates
so
be
qualitatively
different.
however,
the
estimates
somechanism
obtained
will
Aat
corresponding
result
with
regard
toItthe
choice
the
critical
can
however,
that
so
obtai
4arrived
4 the
6 faster
6 however,
6 kinematic
3obtained
6result
6will
6
3with
however,
that
the
estimates
obtained
will
be estimates
qualitatively
diffe
that
estimates
so
obtained
will
be
qualitatively
different.
A
corresponding
with
regard
to
the
choice
of
the
critical
mechanism
can
be
arrived
at
much
by
using
the
classical
approach.
It
is
important
to
note,
A
corresponding
result
regard
to
the
choice
of
the
critical
mechanism
can
be
however,
that
the
estimates
so
obtained
will
be
qualitatively
however,
that
different.
the
estimates
so
obtained
will
be
qualitatively
diffe
however,
that
the
estimates
so
obtained
will
be
qualitatively
different.
•
dla
mechanizmu
belkowego:
•
for
the
beam
mechanism
is:
A
result
with
regard
toM
the
choice
of
the
critical
mechanism
can
be(see
however,
that
the
estimates
so
obtained
will
beAccordingly,
qualitatively
different.
for
the
beam
is:
for
the
beam
mechanism
is:
tsult
thethus:
estimates
so
obtained
will
however,
qualitatively
that
the
different.
estimates
soFigure
obtained
will
bethe
qualitatively
different.
ocritical-temperature
 o
 critical-temperature
Ahowever,
corresponding
result
with
regard
toPmechanism
the
choice
of
critical
mechanism
can
be
the
estimates
so
will
be
qualitatively
different.
Accordingly,
the
result
4)4)
however,
that
the
estimates
so
obtained
will4)be
qualitatively
diffe
Accordingly,
the
result
(see
Figure
4)
with
regard
to1corresponding
the
choice
the
critical
mechanism
be
Accordingly,
the
result
(see
Figure
4)
kin:
M
0.that
163



756
Cof
kbe
can
0obtained
.the
163

34)

756
C
thus:
resulting
resulting
in:






M
M

k



M


M

k

P

arrived
at
much
faster
by
using
the
classical
kinematic
approach.
It
is
important
to
n
result
(see
Figure
Accordingly,
the
result
(see
Figure
,
,
y

y

2
3
3
4
2
y
,

2
2
1
3
4
2
y
,

2
Accordingly,
the
result
(see
Figure
arrived
at
much
faster
by
using
the
classical
kinematic
approach.
It
is
important
to
note,
arrived
much
faster
byresult
using
the
classical
kinematicapproach.
It is important to note,
however,
that
the
estimates
so 4obtained
will4)be
qualitatively
different.
Accordingly,
result
(see
Figure
4)
Accordingly,
the
(see
4)
Accordingly,
the
result
(see
4)kinematic
arrived
at the
much
faster
by
using
the
classical
kinematic
Itat
is
important
note,
Accordingly,
the
result
Figure
the
result
(see
Figure
4)by
Accordingly,
the
result
(see
Figure
4)4beam
(see
Figure
 Figure

4is:
5mechanism
4differ
rrived
at
using
the
classical
approach.
is
important
note,
Accordingly,
the
result
(see
Figure
4)
Accordingly,
the
(see
Figure
4)
the
is:
1toresult
1 5
1 Itapproach.
1
for
the
beam
mechanism
is:
using
themuch
classical
kinematic
approach.
It
is
important
to
note,
tofor
however,
that
the
estimates
somechanism
obtained
will
be
qualitatively
for
the
mechanism
 faster
for
the
beam
is:
 
for
the
beam
mechanism
is:
4beam







4
























for
the
beam
mechanism
is:
however,
that
the
estimates
so
obtained
will
be
qualitatively
different.
however,
that
the
estimates
so
obtained
will
be
qualitatively
different.
Accordingly,
the
result
(see
Figure
4)

1
1
3
1
2
1
1
1
3
1
2
1
2
2
for
the
beam
mechanism
is:
beam
is:
for
the
is:qualitatively
omechanism
obeam
thus:
for the
tilting
mechanism:
 kfor
tilting
mechanism:
however,
the
estimates
obtained
be
 0
 for
for
beam
is:mechanism
eowever,
beam
is:
for
thequalitatively
is: the
.163
 will
that
the
different.
for
the
beam
mechanism
is:be
beam
mechanism
is:4)
4estimates
4Figure
6so
6different.
3mechanism
6
3
kmechanism
that
so
756
C will
1the
0.163

mechanism
6be
756
C will
thus:
 4
the
emperature
obtained
different.
 so
obtained
beam
qualitatively
4the
4Accordingly,
5 for the
result
(see4)
414
,
y , estimates
14 55
1 1  6   6   



4
result
(see
2Figure
Accordingly,
the
result
(see
4)
5
the
beam
mechanism

Figure
4
 
5
1

in:
for

1 resulting
4(see
1 Figure
is:
y1



Accordingly,
4


result
11  
Accordingly,
result
4)



4441
55415the
4
the
4
4P11


4M
4

1131 5

11






3 35M
1241
22k2 
11P4
1
2



4



Figure


4
4
5
4
1
36
1 
1441
1 1
2


4






Accordingly,
the
(see
Figure
4)
1
1
1
1
1
2



4







1
3



4
4)
resulting
in:
1




4
5



1
1

M

M


M
k


M




1





6





1
1
2
for
the
beam
mechanism
is:
1
3
1113mechanism
1 66
24
126
1


3beam









 


3 1
4
21 the
y,
 1
4
6
3beam

  tilting
 4 mechanism:

1
1614for

132 12 is:


for
mechanism:
3
6222 
611 
6 62 61633
114
1
1y
1
is:
the
is:
1mechanism

 44mechanism

662

622

2,
1
1 1
1

1 4244 

2 4
4
3
 2426
333 
1114 

1 22
116
1 22 
111661 4 3
2
2
4
4
the
beam
36 3113mechanism
 1 for
4the
66 
6tilting
66
33 1
for6 the1beam
is:
6 64331613 5
6 663 M
4for the
64
6
6  M6 1 3resulting
6M
3 P
nism
is:

M4M2112kfor
M

PM
421M 
1P64 in:
461
4M
4k661M 5
6M64124in:
resulting
M
k

in:



M


k


3
1
1
2
in:

M


M


P
resulting
in:



M


M

k
2
1
3
3
2
y
,

2
resulting
in: M1resulting
resulting




4
4
5


41M


M


P





M

k

3
3
y
,

2



4
4
5
resulting
in:



M


M



k

P

2
1
3
3
4
2
y
,



resulting
5k61yM
1P
M

in:
M

3
P

2 4 in:
4 
,M
 
,
1
1 113 
3
2 12 
y ,  P2 

thus:
4M
122k1

o
22
4 
1130
2461

4in:
5
1
3 
42
y ,
2in:
1P2
,1y
2
resulting
resulting
4M
k2yy,,M


,

P
C
resulting
1k
22M
,3y
3M

M
k
131 
4
43122
5443


1in:

resulting
o2resulting
ng

M
M
234M

P
4k11y21,51kM
M

4

M

P
M
M
4

4


.16
163

C1P


544
co
daje:
resulting
in:
 in:
 

6

22M
336
33 
44
y3y,,
3
2
resulting
in:
M
M

M
1

1
1
36 
2 
16
2
resulting
2
y3,3
M
M
.163
M
221kk756
1P
P122
2 6 
24
1
3
3in:
2
233
2 
1 4
3
42
2
y ,
2k
11
1M
2
M
thus:

2y756



,
y
y
10
1
4
3
3124
2 1k6

2













1
3
2
1
1
o
o
thus:











4
6
6
3
1
1
3
1
1
2
4
6
6
6
3
6
6
resulting
in:
C2 6M 2
P2
116 M 36 3thus:
2
k y,
 0.559 3 
k4y,2 k 0y,.
559
C 6
oo
4k  1571
3thus:
o 1M
o
46
6  571
6756
0.0163

3756
C
o3
 0.163
resulting
C6 
thus:
thus:
Pky2,y,
M
thus:
M
756
M
0.P163
 C 756o C
omechanism:
oyresulting
.M
163


C,40
thus:
23
1
32k
2756
resulting6in: M
tilting
M
thus:
stąd:
M
M
M
k
3

P
M
M35
3kresulting

Presulting
in:
kkokyMy,Cyin:
ykothus:
,o

M
2.k163
oy,
01.k
163

756
C
in:M
2mechanism:

M
M
yo,
M
k y756
P
,22
1in:
2k 
5
ythus:
,756

1k
4k
oP
1for
3 
4mechanism:
yC
04.
for
the
the
tilting
,in:
the
2
1
4
21thus:
,
kk756
0
163


C

0
.
163

756
resulting
in:


thus:

M

M


M
k


0
.
163



756
C

0
.
163


756
C
0
.
163



C

0
.
163



thus:
the
combined
mechanism:

for
combined
thus:



M

M


M

k

P

,
,
y


2
1
3
3
4
2
y
,

2
,
y


.
163



756
C
thus:
k

0
.
163



756
C
,
y


thus:
,
y

k1y,for
Mresulting


M

k

P

4 2 y ,o
2
,2 1 2o 3 3
y ,
3 3
4 2thus:
yy,
k571
0.163

 756
3 przechyłowego:
 for

wtilting mechanism:
3
ofor the
y,
k y, 0.
559


C
kyw,C
0
 571o C
thus:
thus:
the
tilting
mechanism:
o
dla
for
the
tilting
tilting
tilting mechanism:
o 1 kfor
1 
6for
•
 2tilting
mechanizmu



6
.k559
 

60
756
thus:
•
the

 30

for
the
tilting
mechanism:
k.ytilting
.163

756
C mechanism:
thus:


1mechanism:

6

tilting
mechanism:
1 the
2  o
1 for
3the
1
3
1
1
2
2
3
o
,

0
163


756
C the
.
163


C

for
the
tilting
mechanism:

for
the
mechanism:
thus:

for
mechanism:

for
the
tilting
mechanism:
,
y

e tiltingthus:
mechanism:

for
the
tilting
mechanism:
ok for thus:
h
x
L
h
x
L
2
0
.
6
2
0
.
6
,
y

k

0
.
163



756
C

the
tilting
mechanism:

for
the
tilting
mechanism:
6
6

 0.163
 y
,   756 C for the


 combined
756 Cy,mechanism:

forthe
combined
mechanism:

 
tilting
 resulting
6
for
5 resulting
6mechanism:
 5  M
 the

 M 
 6   6
    resulting
5k5yM,3 P51M
6 P win:


6
tilting

kyM
M

M
M
 3tilting
for
the
mechanism:
,the
resulting
in:

 4


P
P
w
M
k
P16
66
w
w


in:

M62 3 Min:
6M

 1  
6  6for

26for2 the
61  M 26  M 4  M 5 k y,  P1
1
1
3  M
2
1
26
1
y ,
2
615
for
tilting
mechanism:
6




566mechanism:



6
















6













the
tilting
mechanism:
2
2
2




6
1
1
1
1
2
2
1
3
3
1
2
2
1
3
3
1
6

for
the
tilting
mechanism:
6nism: h
6  
 162 M 2  Mh04.6L M65 k y,o  P
0M.M
resulting
xin:oM
x16M  
2  k  resulting
0.6PL6 in:
in:
M
M5
kin:
,oM2C1PP1P1M
MMM54ky,
M 5P1ky,  P
1
4
resulting
in:M
M
kMM
M2resulting

M
15
o M 5
kMy,
0M.559
571
C
559

571
thus:
resulting
in:
M
kin:

M


resulting
in:




6M
in:
1
4resulting
y
6
1y
2
y,
 M

1kM
y,6
resulting
resulting
in:
M
kkkyy,yM



M

k,k
P

M



4 2

M
M
14


M

P
resulting
436

in:
614
C
k
0y.
436


M4614
C
thus:
thus:
resulting

ng in:
resulting
in:
M



M
M

M


P1thus:
Mk1y,


M0.2resulting


M

M
k5y22,
M
P





M

k y,yM,
222
P1





6
1
5
,

1
1
4
5
,,
1
2
4
,

1
y5
in:
M

M


M


M


P
resulting
in:
1
2
4
5

M


M

M

4
5

1
2
4
5
5
5
5





6



co
daje:
6
1
4
5
y
,

1
1
4
5
  P11 o
in:resulting
6M
   in:MM
oo
oresulting
6
o
6
1   resulting



in:










M

M

k
P

M
P

w
M

M

M

k
P

P
w



M


M


M

k

P





1for
0.559
 571
C  0.k559
thus:


 571
2.559
3 21
 5 1 y,12
3
5thus:yk,k
2 
thus: 61k oy,2  0for
thus:
1the
4C y ,
1 o2 C 2 o
k ymechanism:

 571
thus:
combined
the
combined
 0.559
 C  571 C
y ,y
6
oo 5koymechanism:
.559


571
,kC
 2571
2
,P
in:
M0021.
M
  M
othus:
 M y,
k1
C

, 0.k559
00..559

thus:
571
C
ko 


571
thus:
k y,C
0.559
8.
571
resulting
in:
thus:
M
 M
stąd:
y,  P1
0.1559
 0571
thus:
k y,Concluding
 0.559 thus:


kk571
.559

resulting
571
thus:
resulting
M
P
k
My,2
M

M

kyM

,,
yy,,

54oC
559


571
C
thus:
.559
559
42
M
571
Cy, 5 P
,remarks
yin:
y,
4C
5thus:
,combined
k1yC
10
remarks
Concluding
resulting
in:

M

M

M


M

k
o

y



w


w
3
3
resulting
in:


M


M


M


M

k

P

1
2
4
5

1
o
o

for
the
mechanism:

 8.
M


M


M

k

P


for
the
combined
mechanism:
1y,
,C 0.436
1 mechanism:
5the
571
 
for
mechanism:
6combined
the combined
mechanism:
2 k y ,4 0.4365thus:
k614
for
the
combined
mechanism:
the
Cmechanism:

2614
thus:
thus:
01.559
 4 

6kcombined
yy,1for
 C
1  3 mechanism:
  thus:
 the


1combined
mechanism:
571
o1for
y ,2 1
for
o the
 
2 
30
•
for
the
mechanism:
the
combined
for
for
for
combined
mechanism:
o 0.based
k.combined

0
.1559
 mechanism:

C  2 3 x   2  2w1  3  0.6L   3  1
algorithm
the
combined
mechanism:
e combined
 estimation
for
the
combined
k

559

571
C
thus:
The above-discussed
linear-programming
based
The
above-discussed
for
the
linear-programming
of
the
algorithm
for
the
estimation
of
the
o
,
y

for
the
combined
mechanism:
for
the
combined
mechanism:
h
x
L
h
2
6




w
3
k
0
.
559



571
C
thus:
,
y

o


w
3
3
3
dla
mechanizmu
0.6559


C 3 3 y,  w w   3    
thus:

w  

w
•for
0.559


571
C
, 
y
the
combined
36w
21 w

1 


1mechanism:
kombinowanego:



  thus:
571okCytemperature
w
kcombines
571


3
1  3
, 
el-frame
critical
classical
steel-frame
static
and
critical
kinematic
temperature
combines
ofthe
the
and
kinematic
approaches
of
the

633
2363

2

1
2
1
12 1 3 
6
31static

w
h
36the
1
2
2
1 5approaches
3 w 
3 classical
1


6



1 1
1








1
2


3

w
5
5
5
1
1
2
2
3



for
the
combined
mechanism:
1
1
2
2
1
3
3
1





6





6
























x
L
2
0
.
6

















h
x
L
2
0
.
6

for
the
combined
mechanism:







3223analysis
limit
  61remarks


M



333of
M
1110

Pw
 xh1 



Concluding
remarks
11 2for
11hand,
228.the
33 M
111 5the
11
23Concluding
1
for
L 3
2

1hthe

2one
6


31211combined
3106On

36
122the
1L
2
32



6

22M3h1
1related
1
resulting
resulting
in:of
1related
111 M233x00..66M

mechanism:
M
hand,
12k2kinematic-approach

x233M511k y2, 0.P61L 

w
3
On
the
plastic
kinematic-approach
load
theory.
analysis
one
h62limit
xhthe
L
2
.hP
61
theory.
combined
mechanism:
2in:
1
1
2
y
,

2
h
x
x
L
.
6
2
h
x
L
0
.
6
 for load
the combined
mechanism:
h
x
L
2
0
.
6
hstic
x
L
x
L
2
0
.
2
0
.
6
echanism:
h1  movement
  61 mechanisms
individual

03.to


x535  3525 2w
x2  5
6Lestimates
L
0w
2 movement

5 12leads
22 
 3 inh
3
1
 to estimates
 based
ividual
kinematically admissible
inkinematically
and
of
admissible
mechanisms
and
ofthe
leads
52
55 P w5

for

w
.6k
My
5



M5

352itself
The above-discussed
linear-programming
The
above-discussed
algorithm
estimation
for
estimation
x5 M
Lyof
0w


in:

3
2of
M
M
M
 

resulting
itself
1in:



3


31 
5hresulting
in:
relation
value
M
in55this
usually
M

M
Palgorithm
w
value
2
1M
 located
wthe
3
.6k2M
55its
55resulting
5
in:
M
M
2P2M

resulting
115
3P1P
1
M
 side
5the

L
1
22
3
,y2
1
26
11
3M
36
12


3linear-programming
61


M
P
kresulting



5P5based
1
,the
11
2in
5in:
5
5actual

6resulting
usually
w
12
M
M
k1
213
wM53ky,M


the
1
1in:

M



resulting
in:



M

M

P

P
w
o
o
this
load
on
the
dangerous
of
load
to
actual
located
on
(in
other
dangerous
side
relation
to
its
(in
other
1
2
1
3
3
5



6









1
1
2
5
,

1


h
x
2
0
.
6
1
2
3
5
y
,

1
2





resulting
in:
in:
2


h
x
L
2
0
.







M

M

M

M
k
P

P
w
M

M

M
M

k
P
P
w
resulting





6















M

M

M

M

k
P

w
2
2
1
1
2
2
1
3
3
1









resulting
in:
rame




resulting
in:
resulting
in:





M

M

M

M

k
P

P
w










M
M

M

M

k
P

P
w
M

M

M

M

k
P

P
w


2 k yy,,
2
 2 critical
 1 temperature


critical
k11y
0M
.436

hM

C
ky,
0.436

614
thus:
thus:
combines
thesteel-frame
classical
temperature
approaches
combines
classical
kinematic
the
11111resulting
2
2
,,
approaches
335614
55350
y.y6
11 21 P22static
1115of
22
332C M55
1
2
1  32 2 in:
2,3
1225and
3kinematic
1the


1 static
2
3M
yof
,
the
21211and

x
L
0
.
6
2
2
M
k
P
w


1
resulting
in:
1
1
3
5
y
,
2


M
M
M
P

P
w
3
5
y
,

1
2
2
3
y
,

1
2
1

2


h
x
L
2



1
2
rds, it leads
tohoverestimates).
This
means
that
the
words,
critical
it
leads
temperature
to
overestimates).
of
the
load
This
bearing
means
that
the
critical
temperature
of
the
load
bearing
2
2
2
2
2
2
x
L
2
0
.
6




2
2


2
2
2
2
x
L
2
0
.
6









resulting
in:





M

M

M

M

k
P

P
w
2 load
2
52of
52
 limit
5o oC
5analysis

o theory.
 
limit load theory.thus:
On
plastic
the
kinematic-approach
On
related
analysis
hand,
related
1 the
3 the one
5 o
y ,ofthe
25
5 1kinematic-approach
.1436
0M
.0
436

2
thus:
k ,one
 0hand,
.436
1 614
Can2 overestimated
ucture defined through
this procedure,
corresponding
structure
to
defined
this
load,
procedure,
corresponding
such
overestimated
load,
be


kkyoresulting
will
2 w
M
0
M

P1oC P2 w
5such
5
2  leads
resulting
in:
0
Pko1
 
M
614

k.y436
P
thus:

k.436
 614
 
will
thus:
,an

C
1to


614
C
resulting
in:
thus:
1P
2
3
yC,
5
5ooC
1o2
3
,
 5614
,oo
yM
M
thus:

k2yoin
0ofk.through
436


614
resulting
in:
thus:
,M
yM
5


k2P
M
be
M
P
M
kin:
w
5  thus:
5k
,M
estimates
436

dual
kinematically
admissible
movement
individual
mechanisms
kinematically
admissible
itself
movement
to
mechanisms
in
and
of
itself
leads
to
estimates
12and
,C

1P
3 kk yy
50
y ,
1
2
co

in:
,
00M
..436

614

.
614
C




M

M

M

M

k
P
w
thus:
kyyoresulting
0
.
436



614
thus:
2



0
.
436



614
C
kyM
10.436


614
C
k
0
.
436



614
C
thus:
2
2
in:








M

M

M

k
P
w
1
daje:
1
3
5
y
,

1
2
,
,
y




underestimated
value,
which
should
be
considered
an
underestimated
as
the
lower
acceptable
value,
which
limit
should
of
its
be
considered
as
the
lower
acceptable
limit
of
its


k
436



614
C
thus:

0
.
436



614
C
,
y





M resulting

M
M

k
P

P
w
thus:
,1
,
y

2 1remarks
y ,
1
2 2
2
of2y ,this
8. 15Concluding
Concluding
y ,
 value (inremarks
,8.
yits
 actual
2
3the

2 32o Ctolocated
25 actual

the
s load
usually
side
load
in based
usually
its
the
value
dangerous
(in
side in relation
2relation
k y,dangerous
0.436

614
thus:
 on
2Onlocated
2 onhand,
proximation.
the other
thestatic-approach
approximation.
computations
On
the
other
that
factor
hand,
in other
the
static-approach
basedtocomputations
that ofactorother
in othe


o 8.critical
k

0
.
436
load

614
C linear-programming
thus:
k

0
.
436


the
614
Cbearing
thus:
,erve
it leads
to
overestimates).
This
means
words,
that
the
it
leads
critical
to
temperature
overestimates).
of
the
This
load
means
bearing
that
the
temperature
of
Concluding
remarks
o
,
y

8.
Concluding
remarks
thus:
,
y

8.
Concluding
remarksremarks based algorithm for the
k

0
.
436



614
C
thus:
o
8.
Concluding
The
above-discussed
linear-programming
based
algorithm
for
the
estimation
The
above-discussed
of
the
of thus:
load bearing
capacity
of
the
structure
resulting
reserve
from
of
load
bending-moment
bearing
capacity
redistribution
of
the
structure
resulting
from
bending-moment
redistribution
8.
Concluding
remarks
o
,
y

k

0
.
436



614
C
thus:
8.
Concluding
remarks

0.procedure,
436y
remarks
 614
C defined
,remarks

stąd:
8.
Concluding
8.
Concluding
remarks
Concluding
defined
solutions
remarks
614
C8.
Concluding
remarks
uding
8.theprocedure,
Concluding
,the
yConcluding
ure
through
this
corresponding
structure
to8.such
through
aninterpreted
overestimated
this
corresponding
will
be
towhich,
such
an
overestimated
load,
will
be
8. kfor
remarks
8.and
Concluding
remarks
ovide
limit
load
to be
estimated
provide
which,
while
solutions
for
limit
as the
theload,
load
ones
to
that
beremarks
estimated
while
interpreted
as
the
ones
that
steel-frame
critical
temperature
combines
classical
static
kinematic
steel-frame
approaches
critical
of
temperature
the
combines
the
classicalfor
static
and
kinematic
The
above-discussed
linear-programming
based
algorithm
estimation
above-discussed
linear-programming
based
algorithm
for thebased
estimation
ofacceptable
the
8. The
Concluding
The
above-discussed
linear-programming
based
algorithm
above-discussed
linear-programming
basedofoa
The
above-discussed
linear-programming
based
algorithm
forthe
the
estimation
derestimated
value,
which
should remarks
be an
considered
underestimated
as
thesafe,
lower
value,
acceptable
which
should
limitbeof
considered
its
as
the
lower
limit
of
itsThe
The
above-discussed
linear-programming
algorithm
for
the
estimation
of
the
always safe, are
often
quantitatively
underestimated.
aretheory.
always
By
extension,
are
the
often
critical
quantitatively
temperature
underestimated.
By
extension,
the critical
temperature
The
above-discussed
linear-programming
based
algorithm
for
the
estimation
The
above-discussed
of
the
linear-programming
based
algorithm
for
the
estimation
of
The
above-discussed
linear-programming
based
algorithm
for
the
estimation
of
the
8.
Concluding
remarks
8.
Concluding
remarks
plastic
limit
load
On
the
one
hand,
the
kinematic-approach
plastic
related
limit
analysis
load
theory.
of
On
the
one
hand,
the
kinematic-approach
re
8.
Concluding
remarks
The
above-discussed
linear-programming
based
algorithm
for
the
estimation
of
the
bove-discussed
linear-programming
based
algorithm
for
the
estimation
The
above-discussed
of
the
linear-programming
based
algorithm
for
the
estimation
of
the
The
above-discussed
linear-programming
based
algorithm
for
the
estimation
of
the
steel-frame
critical
temperature
combines
the
classical
static
and
kinematic
approaches
of
The
above-discussed
linear-programming
based
algorithm
for
the
estimation
oko
steel-frame
critical
temperature
combines
the
classical
static
and
kinematic
approaches
of
the
8.
Concluding
remarks
steel-frame
critical
temperature
combines
the
classical
static
andsta
steel-frame
critical
temperature
combines
the
classical
ximation.
On
the
other
hand,
the
static-approach
approximation.
based
On
computations
the
other
hand,
that
the
factor
static-approach
in
the
based
computations
that
factor
in
the
steel-frame
critical
temperature
combines
the
classical
static
and
kinematic
approaches
8.
Concluding
remarks
the
analysed
frame
established
on
the
basis
of
of
such
the
analysed
computations
frame
should
established
instead
on
be
the
basis
of
such
computations
should
instead
be
8.
Uwagi
końcowe
steel-frame
critical
temperature
combines
the
classical
static
andthe
kinematic
approaches
ofthe
theclassical
8. Concluding
remarks
The
above-discussed
linear-programming
based
algorithm
for
the
estimation
of
the
ks
steel-frame
critical
temperature
combines
the
classical
static
and
kinematic
steel-frame
approaches
critical
of
temperature
combines
static
and
kinematic
approaches
steel-frame
critical
temperature
combines
the
classical
static
and
kinematic
approaches
of
the
individual
kinematically
admissible
movement
mechanisms
in
and
of
individual
itself
leads
kinematically
toOn
estimates
admissible
movement
mechanisms
inkinematic-app
and of
itselfoo
steel-frame
critical
temperature
combines
the
classical
static
and
kinematic
approaches
of
the
ritical
temperature
combines
the
classical
static
and
kinematic
steel-frame
approaches
critical
of
temperature
the
combines
the
classical
static
and
kinematic
approaches
of
the
steel-frame
critical
temperature
combines
the
classical
static
and
kinematic
approaches
of
the
plastic
limit
load
theory.
the
one
hand,
the
kinematic-approach
related
analysis
steel-frame
critical
temperature
combines
the
classical
static
and
kinematic
approaches
plastic
limit
load
theory.
On
the
one
hand,
the
kinematic-approach
related
analysis
of
The
above-discussed
linear-programming
based
algoe of load
bearing
capacity
the
structure
reserve
resulting
of
load
from
bearing
bending-moment
capacity
of
the
redistribution
structure
resulting
from
bending-moment
redistribution
plastic
limit
load
theory.
On
the
one
hand,
the
The
above-discussed
linear-programming
based
algorithm
for
the
estimation
of
the
nsidered
as
the upper
limitof
estimate
of
the
value
considered
sought.
as
For
the
the
upper
proposed
limit
algorithm,
estimate
of
the
value
sought.
For
the
proposed
algorithm,
The
above-discussed
linear-programming
based
algorithm
estimation
of
limit
loadthe
theory.
On the for
one hand,
theanalysi
kinem
plastic
limit
loadofof
theory.
On
the
one
hand,
kinematic-approach
related
plastic
limit
load
theory.
On
the
one
hand,
the
kinematic-approach
related
analysis
of
The
above-discussed
linear-programming
based
algorithm
forplastic
the
estimation
of
the
steel-frame
critical
temperature
combines
the
classical
static
and
kinematic
approaches
the
Przedstawiony
powyżej
algorytm
szacowania
temperatuplastic
limit
load
On
the
one
hand,
the
kinematic-approach
plastic
related
limit
analysis
load
theory.
On
the
one
hand,
the
kinematic-approach
related
analysi
plastic
limit
load
theory.
On
the
one
hand,
the
kinematic-approach
related
analysis
of
oftheory.
this
load
located
on
the
dangerous
side
in
relation
to
its
of
actual
this
load
value
usually
(in
other
located
onanalysis
the
dangerous
side in
relation
to
its
actua
The
above-discussed
linear-programming
based
algorithm
for
the
estimation
of
the
plastic
limit
load
theory.
On
the
one
hand,
the
kinematic-approach
related
ofstatic
theory.
On
the
one
hand,
theusually
kinematic-approach
plastic
related
limit
load
theory.
of
On
the
one
hand,
the
kinematic-approach
related
analysis
of
The
above-discussed
linear-programming
based
algorithm
the
estimation
of
the
plastic
limit
load
theory.
On
the
one
hand,
the
kinematic-approach
related
analysis
of
individual
kinematically
admissible
movement
mechanisms
inand
of
leads
to
estima
plastic
limit
load
theory.
On
the
one
hand,
the
kinematic-approach
analysi
individual
kinematically
admissible
movement
mechanisms
in
and
of
itself
leads
to
estimates
rithm
for
the
estimation
of
the
steel-frame
critical
temperature
solutions
for
the
limit
load
to
be
estimated
provide
which,
solutions
while
for
interpreted
the
limit
load
asfor
the
toanalysis
be
ones
estimated
that
which,
while
interpreted
as
the
ones
that
deload
linear-programming
based
algorithm
for
the
estimation
of
the
individual
kinematically
admissible
movement
mechanisms
in
and
steel-frame
critical
temperature
combines
the
classical
static
and
kinematic
approaches
of
the
steel-frame
critical
temperature
combines
the
classical
kinematic
approaches
of
individual
kinematically
admissible
movement
mechanism
individual
kinematically
admissible
movement
mechanisms
inand
and
ofitself
itselfrelated
leads
to
estim
individual
kinematically
admissible
movement
mechanisms
in
and
of
itself
leads
to
estimates
steel-frame
critical
temperature
combines
the
classical
static
and
kinematic
approaches
of
the
plastic
limit
load
theory.
On
the
one
hand,
the
kinematic-approach
related
analysis
of
ry
krytycznej
ramy
stalowej
oparty
na
technice
programowania
individual
kinematically
admissible
movement
mechanisms
in
and
of
itself
individual
leads
to
estimates
kinematically
admissible
movement
mechanisms
in
and
of
itself
leads
to
estim
individual
kinematically
admissible
movement
mechanisms
in
and
of
itself
leads
to
estimates
words,
it
leads
to
overestimates).
This
means
that
the
critical
temperature
words,
of
it
the
leads
load
to
bearing
overestimates).
This
means
that
the
critical
temperature
of
steel-frame
critical
temperature
combines
classical
static
and
kinematic
approaches
the
individual
kinematically
admissible
movement
mechanisms
in
and
of
itself
leads
estimates
nematically
admissible
movement
mechanisms
and
of
individual
itself
leads
kinematically
to
estimates
admissible
movement
mechanisms
in
and
ofto
itself
leads
to dangerous
estimates
ways
are
often
underestimated.
are always
safe,
Byin
extension,
arethe
often
quantitatively
the
critical
temperature
underestimated.
By
extension,
the
critical
temperature
teel-frame
critical
temperature
combines
classical
static
and
approaches
of
the
individual
kinematically
admissible
movement
mechanisms
in
and
of
itself
leads
to
estimates
of
this
load
usually
located
on
the
dangerous
side
in
relation
to
its
actual
value
(in
ot
individual
kinematically
admissible
movement
mechanisms
in
and
of
itself
leads
to
estim
of
this
load
usually
located
onthe
the
dangerous
side
inkinematic
relation
to
its
actual
value
(in of
other
combines
the
classical
static
and
kinematic
approaches
of
the
ture safe,
combines
thequantitatively
classical
static
and
kinematic
approaches
of
the
plastic
limit
load
theory.
On
the
one
hand,
the
kinematic-approach
related
analysis
of
of
this
load
usually
located
on
the
side
in
relation
to
plastic
limit
load
theory.
On
the
one
hand,
the
kinematic-approach
related
analysis
of
this
load
usually
located
on
the
dangerous
side
in
reo
of
this
load
usually
located
on
the
dangerous
side
in
relation
to
its
actual
value
(in
of
this
load
usually
located
on
the
dangerous
side
in
relation
to
its
actual
value
(in
other
plastic
limit
load
theory.
On
the
one
hand,
the
kinematic-approach
related
analysis
of
individual
kinematically
admissible
movement
mechanisms
in
and
of
itself
leads
to
estimates
of
this
load
usually
located
on
the
dangerous
side
in
relation
to
its
actual
of
this
value
load
(in
usually
other
located
on
the
dangerous
side
in
relation
to
its
actual
value
(in
oo
of
this
load
usually
located
on
the
dangerous
side
in
relation
to
its
actual
value
(in
other
liniowego
łączy
w
sobie
klasyczne
podejścia
statyczne
i
kinemastructure
defined
through
this
procedure,
corresponding
to
such
an
overestimated
structure
defined
load,
through
will
be
this
procedure,
corresponding
to
such
an
overestim
plastic
limit
load
theory.
On
the
one
hand,
the
kinematic-approach
related
analysis
of
of
this
load
usually
located
on
the
dangerous
side
in
relation
to
its
actual
value
(in
other
usually
located
on
the
dangerous
side
in
relation
to
its
of
actual
this
load
value
usually
(in
other
located
on
the
dangerous
side
in
relation
to
its
actual
value
(in
other
analysed
frame
established
on
the
of
basis
the
of
analysed
such
computations
frame
established
should
on
instead
the
basis
be
of
such
computations
should
instead
be
lastic
limit
load
On
the one
hand,
themeans
kinematic-approach
related
analysis
of
of one
this
load
usually
located
on the
dangerous
side
to
its actual
value
(inusually
other
words,
itthe
leads
to
overestimates).
This
means
the
critical
ofof
the
load
bear
of
this
load
located
on
the
dangerous
side
in
relation
toleads
actual
value
(in
words,
ittheory.
leads
overestimates).
This
that in
therelation
critical
temperature
of
load
bearing
plastic
limit
load
theory.
On
the
one that
hand,
kinematic-apOn the
hand,
the to
kinematic-approach
related
analysis
of
individual
kinematically
admissible
movement
mechanisms
inthe
and
ofintemperature
itself
tothe
estimates
words,
itthe
leads
to
overestimates).
This
means
that
critical
temp
individual
kinematically
admissible
movement
mechanisms
andThis
ofits
itself
leads
to
estim
words,
itmeans
leads
to
overestimates).
means
that
the
crit
words,
it
leads
to
overestimates).
This
that
the
critical
temperature
the
load
bea
words,
it
leads
to
overestimates).
This
means
that
the
critical
temperature
of
load
bearing
individual
kinematically
admissible
movement
mechanisms
in
and
of
itself
leads
to
estimates
of
this
load
usually
located
on
the
dangerous
side
in
relation
to
its
actual
value
(in
other
words,
it
leads
to
overestimates).
This
means
that
the
critical
temperature
words,
of
the
load
it
leads
bearing
to
overestimates).
This
means
that
the
critical
temperature
of
the
load
bea
words,
itlimit
leads
to
overestimates).
This
means
that
the
critical
temperature
of
the
load
bearing
an
underestimated
value,
which
should
be
considered
as
lower
an
acceptable
underestimated
limit
of
value,
its
which
should
be
considered
as
the
lower
accep
tyczne
teorii
nośności
granicznej.
Z
jednej
strony
związana
z
poered
aswords,
the
upper
estimate
of
considered
the
value
sought.
as
the
upper
For
the
limit
proposed
estimate
algorithm,
of
the
value
sought.
For
the
proposed
algorithm,
individual
kinematically
admissible
movement
mechanisms
in
and
of
itself
leads
to
estimates
words,
it
leads
to
overestimates).
This
means
that
the
critical
temperature
of
the
load
bearing
smissible
to overestimates).
This
means
that
the
critical
temperature
words,
of
it
the
leads
load
to
bearing
overestimates).
This
means
that
the
critical
temperature
of
the
load
bearing
ndividual
kinematically
admissible
movement
mechanisms
in
and
of
itself
leads
to
estimates
it
leads
to
overestimates).
This
means
that
the
critical
temperature
of
the
load
bearing
structure
defined
through
this
procedure,
corresponding
to
such
an
overestimated
load,
wil
words,
it
leads
to
overestimates).
This
means
that
the
critical
temperature
of
the
load
bea
structure
defined
through
this
procedure,
corresponding
to
such
an
overestimated
load,
will
be
proach
related
analysis
of
individual
kinematically
admissiof corresponding
this of
load
located
onstructure
the
side
in
relation
to
its
actual
(invalue
other
movement mechanisms in
and ofofdefined
itself
leads
to
estimates
defined
through
this
procedure,
corresponding
to
such
thisusually
load
usually
located
on
the
dangerous
side
in relation
to overestimated
itsvalue
actual
(inan
o
structure
defined
through
procedure,
corresponding
to
structure
defined
through
this
procedure,
corresponding
tothis
such
an
load,
wi
structure
through
this
procedure,
to
such
an
overestimated
load,
will
be(in
this
load
usually
located
on
the
dangerous
side
inwill
relation
todangerous
its
actual
value
other
itdefined
leads
to
overestimates).
This
means
that
the
critical
temperature
of
the
load
bearing
structure
defined
through
this
procedure,
corresponding
to
such
an
overestimated
structure
load,
defined
will
through
be
this
procedure,
corresponding
to
such
an
overestimated
load,
wi
structure
through
procedure,
corresponding
torelation
such
an
load,
be
approximation.
On
the
other
hand,
the
static-approach
based
computations
approximation.
that
factor
On
inthe
the
other
hand,
the
static-approach
based
computations
dejściem
analiza
poszczególnych
kinematycznie
ofwords,
this
load
usually
located
the
dangerous
side
tooverestimated
its
actual
value
(in
other
structure
defined
through
this
procedure,
corresponding
to
such
an
overestimated
load,
will
be
ned
this
procedure,
corresponding
to
such
an
structure
defined
load,
through
will
be
this
procedure,
corresponding
to
such
an
overestimated
load,
will
fd this
load
usually
located
on
the
dangerous
side
inoverestimated
relation
to
its
actual
value
(in
other
structure
defined
through
thisthis
procedure,
corresponding
toin
such
anwords,
overestimated
load,
will
be
an
underestimated
value,
which
be
considered
as
the
lower
acceptable
limit
ofao
structure
defined
through
this
procedure,
corresponding
to
such
an
overestimated
load,
wi
an
underestimated
value,
which
should
be
considered
as
the
lower
acceptable
limit
of
itsan
ble
movement
mechanisms
in
and
of
itself
leads
to
estimates
it
leads
to
overestimates).
This
means
that
the
critical
temperature
ofbe
the
load
bearing
onthrough
the
dangerous
side
inkinematycznym
relation
toon
itswords,
actual
value
(in
other
underestimated
value,
which
should
be
considered
asload
the
low
words,
it
leads
tocritical
overestimates).
This
means
that
the
critical
temperature
of considered
the
bear
anshould
underestimated
value,
which
should
be
an
underestimated
value,
which
should
be
considered
as
the
lower
acceptable
limit
an
underestimated
value,
which
should
be
considered
as
the
lower
acceptable
limit
of
its
it
leads
to
overestimates).
This
means
that
the
temperature
of
the
load
bearing
structure
defined
through
this
procedure,
corresponding
to
such
an
overestimated
load,
will
be
an
underestimated
value,
which
should
be
considered
as
the
lower
acceptable
an
underestimated
limit
of
its
value,
which
should
be limit
considered
as
the
lower
acceptable
limit
oo
an
underestimated
value,
which
should
be
considered
as
the
lower
acceptable
limit
of
its
reserve
of
load
bearing
capacity
ofacceptable
the
structure
resulting
from
bending-moment
reserve
of
load
redistribution
bearing
capacity
ofacceptable
the
structure
resulting
from
bending-mom
words,
itdopuszczalnych
leads
to
overestimates).
This
means
that
the
critical
temperature
of
the
load
bearing
an
underestimated
value,
which
should
be
considered
as
the
lower
acceptable
ofthe
itsan
mated it
value,
which
should
be
considered
as
the
lower
an
underestimated
of
value,
itsdo
which
should
be
considered
as
the
lower
limit
of
its
mechanizmów
ruchu
sama
w
sobie
prowadzi
words,
to overestimates).
This
means
that
the
critical
temperature
of
the
load
bearing
anleads
underestimated
value,
which
should
be
considered
as
thelimit
lower
acceptable
limit
of
itsthe
approximation.
On
other
hand,
the
static-approach
based
computations
factor
in
an
underestimated
value,
which
should
considered
as
the
lower
limit
approximation.
On
the
other
hand,
the
static-approach
based
computations
that
factor
in
the
structure
defined
through
this
procedure,
corresponding
to
such
overestimated
load,that
will
be
of
this
load
usually
on
the
dangerous
side
in
relation
mates).
This
means
that
the
critical
temperature
of
the
load
bearing
approximation.
the
other
hand,
the
static-approach
based
com
structure
defined
through
this
procedure,
corresponding
tobased
such
an
overestimated
load,
wil
approximation.
On
hand,
the acceptable
static-approach
ba
approximation.
On
the
other
hand,
theOn
static-approach
computations
that
factor
in
approximation.
On
the
other
hand,
the
static-approach
based
computations
that
factor
inbe
the
structure
defined
through
this
procedure,
corresponding
to
such
an located
overestimated
load,
will
beother
an underestimated
value,
which
should
be
considered
as
the
lower
acceptable
limit
of
its
approximation.
On
the
other
hand,
the
static-approach
based
computations
approximation.
that
factor
in
On
the
the
other
hand,
the
static-approach
based
computations
that
factor
in
approximation.
On
the
other
hand,
the
static-approach
based
computations
that
factor
in
the
provide
solutions
for
limit
tothe
be
estimated
which,
while
interpreted
provide
solutions
as
the
ones
for
that
the
limit
load
to
be
estimated
which,
while
interpreted
structure
defined
through
this
procedure,
corresponding
to
such
an
overestimated
load,
will
be
approximation.
On
other
hand,
the
static-approach
based
computations
that
factor
in
the
n. On
the
other
hand,
the
static-approach
based
computations
approximation.
that
factor
On
in
the
the
other
hand,
the
static-approach
based
computations
that
factor
in
the
oszacowań
nośności
na
ogół
lokowanych
po
stronie
niebeztructure
defined
through
this
procedure,
corresponding
toload
such
an
overestimated
load,
will
be
approximation.
On
the
other
hand,
thethe
static-approach
based
computations
that
factor
in
the
reserve
of
load
bearing
capacity
of
the
structure
resulting
from
bending-moment
redistribut
approximation.
On
the
other
hand,
the
static-approach
based
computations
that
factor
in
reserve
of
load
bearing
capacity
of
structure
resulting
from
bending-moment
redistribution
redistribu
an
underestimated
value,
which
should
be
considered
as
the
lower
acceptable
limit
of
its
his
procedure,
corresponding
totej
such
an
overestimated
load,
will
be
to
its
actual
value
(in
other
words,
it
leads
to
overestimates).
reserve
of
load
bearing
capacity
of
the
structure
resulting
from
bend
an
underestimated
value,
which
should
be
considered
as
the
lower
acceptable
limit
of
reserve
of
load
bearing
capacity
of
the
structure
resulting
f
reserve
of
load
bearing
capacity
of
the
structure
resulting
from
bending-moment
redistribu
reserve
of
load
bearing
capacity
of
the
structure
resulting
from
bending-moment
redistribution
an
underestimated
value,
which
should
be
considered
as
the
lower
acceptable
limit
of
its
On
the
other
hand,
the
based
computations
that
factor
in
reserve
of
bearing
capacity
the
structure
resulting
from
bending-moment
reserve
redistribution
load
bearing
capacity
of
the
structure
resulting
from
bending-moment
redistribu
reserve
of
bearing
capacity
of
the
resulting
from
bending-moment
redistribution
are
always
safe,
are
often
quantitatively
underestimated.
By
extension,
are
the
always
critical
safe,
temperature
are
often
quantitatively
underestimated.
By extension,
the crit
anapproximation.
underestimated
value,
which
should
be
considered
as
the
lower
acceptable
limit
of
its
reserve
ofstatic-approach
load
bearing
capacity
ofinterpreted
the
structure
resulting
from
bending-moment
redistribution
capacity
ofload
the
structure
resulting
from
bending-moment
reserve
of
load
redistribution
bearing
capacity
of
the
structure
resulting
from
bending-moment
redistribution
piecznej
względem
jejof
wartości
rzeczywistej
(czyli
inaczej
mówiąc
nd bearing
underestimated
value,
which
should
be
considered
as
theof
lower
acceptable
limit
of
its
reserve
of load
load
bearing
capacity
of
the
structure
resulting
from
bending-moment
redistribution
provide
solutions
for
the
limit
load
toto
be
estimated
while
interpreted
asas
ones
reserve
of
load
bearing
capacity
of
the
structure
resulting
from
bending-moment
redistribu
provide
solutions
for
the
limit
load
to structure
be
estimated
which,
while
as
the
ones
that
approximation.
On
the
other
hand,
the
static-approach
computations
that
inthe
the
which
should
be
considered
as
the
lower
acceptable
limit
its
This
means
that
the
critical
temperature
ofwhich,
the
load
bearing
provide
solutions
for
thebased
limit
load
to
be
estimated
which,
while
approximation.
On
the
other
hand,
the
static-approach
based
computations
that
factor
in
provide
solutions
for
the
limit
load
to befactor
estimated
which
provide
solutions
for
the
limit
load
be
estimated
which,
while
interpreted
the
ones
provide
solutions
for
the
limit
load
to
be
estimated
which,
while
interpreted
as
the
ones
that
approximation.
On
the
other
hand,
the
static-approach
based
computations
that
factor
in
the
reserve
of
load
bearing
capacity
of
the
structure
resulting
from
bending-moment
redistribution
provide
solutions
for
the
limit
load
to
be
estimated
which,
while
interpreted
provide
as
the
solutions
ones
that
for
the
limit
load
to
be
estimated
which,
while
interpreted
as
the
ones
provide
solutions
for
the
limit
load
to
be
estimated
which,
while
interpreted
as
the
ones
that
the
analysed
frame
established
on
the
basis
ofthat
such
computations
the
should
analysed
instead
frame
be
onthat
the
basis
ofthat
such
computations
s
approximation.
On
the
other
hand,
the
static-approach
based
computations
that
factor
in
the
provide
solutions
for
the
limit
load
to
be
estimated
which,
while
interpreted
as
the ones
ions
forprovide
the
limit
load
toof
be
estimated
which,
while
interpreted
provide
solutions
as
the
ones
for
the
limit
load
toofbe
estimated
which,
while
interpreted
as
the
ones
zawyżonych).
Oznacza
to,
wyznaczona
nain
podstawie
tego
typu
pproximation.
On
thesafe,
other
hand,
the
static-approach
based
computations
that
factor
the
solutions
for
the
limit
load
tożebe
estimated
which,
while
interpreted
asin
the
ones
that
are
always
safe,
are
often
quantitatively
underestimated.
By
extension,
critical
temperat
provide
solutions
for
the
limit
load
toestablished
be
estimated
which,
while
interpreted
asBy
the
ones
are
always
are
often
quantitatively
underestimated.
By
extension,
the
critical
temperature
reserve
of
load
bearing
capacity
of
the
structure
resulting
from
bending-moment
redistribution
er
hand,
the
static-approach
based
computations
that
factor
the
are
always
are
often
quantitatively
underestimated.
extensi
structure
defined
through
this
procedure,
corresponding
tothe
reserve
of
load
bearing
capacity
ofsafe,
the
structure
resulting
from
bending-moment
redistribu
are
always
safe,
are
often
quantitatively
underestimated.
B
are
always
safe,
are
often
quantitatively
underestimated.
By
extension,
the
critical
temper
are
always
safe,
are
often
quantitatively
underestimated.
By
extension,
the
critical
temperature
of
load
bearing
capacity
ofoften
the
structure
from
bending-moment
redistribution
provide
solutions
for
the
load
tostructure
be
estimated
which,
while
interpreted
asresulting
the
ones
that
are
always
safe,
are
often
underestimated.
By
extension,
are
critical
always
temperature
safe,
are
often
quantitatively
underestimated.
extension,
the
critical
tempera
are
always
safe,
are
often
quantitatively
underestimated.
By
extension,
the
critical
temperature
considered
aslimit
thereserve
upper
limit
estimate
of
the
value
sought.
For
the
considered
proposed
as
algorithm,
theanalysed
upper
limit
estimate
ofBy
the
value
sought.
Forthat
the
pro
reserve
of
load
bearing
capacity
of
the
resulting
from
bending-moment
redistribution
are
always
safe,
are
often
quantitatively
underestimated.
By
extension,
the
critical
temperature
fe, areofof
often
quantitatively
underestimated.
By
extension,
are
the
always
critical
safe,
temperature
are
quantitatively
underestimated.
By
extension,
the
critical
temperature
procedury
temperatura
krytyczna
ustroju
nośnego,
odpowiadaeserve
load
bearing
capacity
ofquantitatively
the
structure
resulting
from
bending-moment
redistribution
are
always
safe,
are
often
quantitatively
underestimated.
By
extension,
the
critical
temperature
of
the
analysed
frame
established
on
the
basis
of
such
computations
should
instead
are
always
safe,
are
often
quantitatively
underestimated.
By
extension,
the
critical
tempera
provide
solutions
for
the
limit
load
to
be
estimated
which,
while
interpreted
as
the
ones
of
the
analysed
frame
established
on
the
basis
of
such
computations
should
instead
be
acity
the
structure
resulting
from
bending-moment
redistribution
of
the
frame
established
on
the
basis
of
such
compu
such
an
overestimated
load,
will
be
an
underestimated
vaprovide
solutions
for
the
limit
load
to
be
estimated
which,
while
interpreted
as
the
ones
of
the
analysed
frame
established
on
the
basis
of
suc
of
the
analysed
frame
established
onasthe
the
basis
of such
such computations
computations should
should instead
instea
ofestablished
the
analysed
frame
established
on
theinterpreted
basis
of
such
computations
should
instead
provide
solutions
for
the
limit
load
to
be
estimated
which,
while
thebe
onesshould
that
arethe
always
safe,
are
often
quantitatively
underestimated.
Byinstead
extension,
the
critical
temperature
of
the
analysed
frame
established
the
basis
of
such
computations
of
should
the
analysed
instead
be
frame
established
on
basis
of
of
analysed
frame
on
the
basis
of
such
computations
should
instead
be
provide
solutions
for
the
load
to
be
estimated
which,
while
as
the
ones
that
ofon
analysed
frame
established
on
the
basis
of
such
computations
should
instead
sed
frame
established
on
basis
ofinterpreted
such
computations
ofones
the
should
analysed
frame
established
on
the
basis
ofinterpreted
such
instead
be
jąca
zawyżonej
nośności,
będzie
wartością
zaniżoną,
którovide
solutions
for
the
limit
load
tolimit
be
estimated
which,
while
interpreted
asbe
the
ones
that
of
the
frame
established
onthe
the
basis
of
such
computations
should
instead
be
considered
as
the
upper
limit
estimate
of
the
value
sought.
For
the
proposed
algorith
of
the
analysed
frame
established
on
the
basis
ofbeacceptable
such
computations
should
instea
are
always
safe,
are
often
quantitatively
underestimated.
By
extension,
the
critical
temperature
astakiej
thethe
upper
limit
estimate
of
the
value
sought.
For
the
proposed
algorithm,
mit
load
toconsidered
be analysed
estimated
which,
while
as
the
that
considered
ascomputations
the
upper
limit
estimate
of
the
Fo
lue,
which
should
be
considered
as
the
lower
limit
are
always
safe,
are
often
quantitatively
underestimated.
By
extension,
thevalue
critical
tempera
considered
the
upper
limit
estimate
of
thesought.
value
so
considered
as
the
upper
limit
estimate
ofas
the
value
sought.
For
the
proposed
algori
considered
as
the
upper
limit
estimate
of
the
value
sought.
For
the
proposed
algorithm,
are
always
safe,
are
often
quantitatively
underestimated.
By
extension,
the
critical
temperature
of
the
analysed
frame
established
on
the
basis
of
such
computations
should
instead
be
considered
as
the
upper
limit
estimate
of
the
value
sought.
For
the
proposed
considered
algorithm,
as
the
upper
limit
estimate
of
the
value
sought.
For
the
proposed
algori
considered
as
the
upper
limit
estimate
of
the
value
sought.
For
the
proposed
algorithm,
are
always
safe,
are
often
quantitatively
underestimated.
By
extension,
the
critical
temperature
considered
as
the
upper
limit
estimate
of
the
value
sought.
For
the
proposed
algorithm,
sre
the
upper
limit
estimate
of
the
value
sought.
For
the
considered
proposed
as
algorithm,
the
upper
limit
estimate
of
the
value
sought.
For
the
proposed
algorithm,
always
safe,
are rą
often
underestimated.
By
extension,
critical
temperature
considered
as trzeba
thequantitatively
upper
limit jedynie
estimate
of dolną
thetemperature
value
sought.the
For
proposed
algorithm,
of
the of
analysed
established
onOnthe
ofhand,
suchvalue
computations
should
instead
traktować
jako
akceptowalną
granicę
jej
considered
the
upper
limit
estimate
the
sought.
For
the proposed
algori
uantitatively
underestimated.
By extension,
thethe
critical
offrame
itsas
approximation.
thebasis
other
the
static-approach
the
analysed
frame
established
on
theof
basis
of
such
computations
should be
instead
of
analysed
frame
established
on
the
basis
of
such
computations
should
instead
be
considered
as
the
upper
limit
estimate
of
the
value
sought.
For
the
proposed
algorithm,
of the
theframe
analysed
frame
established
on
basis
of be
such computations
be estimate
fablished
the analysed
established
on thestrony
basis
ofthesuch
shouldconsidered
instead
beupper
considered
asshould
the
limit
offactor
the value
sought.
For
proposed
algorithm,
przybliżenia.
Z computations
drugiej
bazujące
nacomputations
podejściu
statycznym
on
basis
of such
should
instead
asinstead
thesought.
upper
limit
estimate
of
value
the proposed
algorit
based
computations
in the
the
reservesought.
of the
loadFor
bearconsidered
as
thevalue
upper
limit
estimate
of the
value
Forthat
the
proposed
algorithm,
considered
as limit
thesought.
upper
limit
estimate
ofnośności
the
sought.
For thealgorithm,
proposed
algorithm,
onsidered
as the
upper
estimate
the
value
sought.
For
the
proposed
obliczenia
uwzględniające
rezerwę
ustroju
wynikającą
imit
estimate
of the
value
Forofthe
proposed
algorithm,
ing capacity of the structure resulting from bending-moment
z redystrybucji momentów zginających dają w stosunku do szacowanej nośności granicznej rozwiązania co prawda interpretowane jako te, które są zawsze bezpieczne, ale za to często ilościowo niedoszacowane. A zatem, wyliczona na ich podstawie temperatura krytyczna badanej ramy powinna zostać potraktowana
raczej jako graniczne górne oszacowanie poszukiwanej wartości. W prezentowanym algorytmie ograniczenia specyfikuje się
z wykorzystaniem twierdzeń klasycznego podejścia statycznego.
Z tego podejścia wynika również sama zasada maksymalizacji
mnożnika ζ . Wyboru temperatury miarodajnej dokonuje się
jednak dopiero po porównaniu wszystkich rozwiązań, z których
każde dotyczy innego, kinematycznie możliwego mechanizmu
118
redistribution provide solutions for the limit load to be estimated which, while interpreted as the ones that are always
safe, are often quantitatively underestimated. By extension,
the critical temperature of the analysed frame established on
the basis of such computations should instead be considered
as the upper limit estimate of the value sought. For the proposed algorithm, constraints are specified using the rules of
the classical static approach. Consequent to this approach is
also the principle of the maximisation of multiplier ζ . A representative temperature is not selected, however, until all the
solutions have been compared, with each solution relating
to a different, kinematically possible movement mechanism.
ruchu. Wybór temperatury minimalnej spośród wszystkich wartości zgromadzonych w pierwszym etapie obliczeń stanowi formalne wykorzystanie twierdzeń podejścia kinematycznego.
Należy zauważyć, że obydwa podejścia przytoczone
w przykładzie obliczeniowym wskazały jako miarodajny taki
sam, czyli przechyłowy, mechanizm plastycznego zniszczenia
ramy. Z zastosowania formalizmu programowania liniowego
wynika jednak temperatura krytyczna oszacowana na poziomie Θa,cr = 674⁰C, z podejścia czysto kinematycznego natomiast
temperatura znacznie niższa, czyli Θa,cr = 571⁰C. W świetle uwag
przytoczonych powyżej pierwsze z tych oszacowań jest zdaniem
autorów bardziej wiarygodne, drugie natomiast powinno zostać
opatrzone ilościowym kwantyfikatorem „co najmniej”.
Rekomendowana w tym artykule procedura obliczeniowa
jest jakościowo różna od analogicznej procedury bazującej
na formalizmie programowania liniowego i zaproponowanej
przez Králika i Vargę [12]. W pracy tych autorów w celu oszacowania odporności ogniowej ramy stalowej rozwiązuje się
bowiem osobno zadania specyfikowane dla podejścia statycznego i kinematycznego, a następnie określa przedział wartości, wewnątrz którego spodziewana jest lokalizacja faktycznej
odporności rozpatrywanego ustroju. W algorytmie zaproponowanym w niniejszym artykule, prowadzącym do oszacowania dla badanej ramy jednoznacznie do niej odniesionej
temperatury krytycznej, oba podejścia zostały włączone do
jednej wspólnej procedury, co czyni ją w rozumieniu autorów
łatwiejszą w zastosowaniu i czytelniejszą w interpretacji.
Literatura / Literature
[1] Maślak M., Temperatura krytyczna konstrukcji stalowej,
„Ochrona Przeciwpożarowa” 2014, (48)2, 2-7.
[2] Maślak M., Tkaczyk A., Fire resistance of simple steel frame
– kinematic approach to evaluation, w: Proceedings of the
6th European Conference on Steel and Composite Structures
“Eurosteel 2011”, L. Dunai, M. Iványi, K. Jármai, N. Kovács,
L. Gergely Vigh (eds.), Budapest, Hungary, August 31 –
September 2, 2011, Vol. B, 1497-1502.
[3] Maślak M., Tkaczyk A., Oszacowanie nośności granicznej ramy
stalowej w pożarze rozwiniętym, „Inżynieria i Budownictwo”
2012, 3, 160-163.
[4] Maślak M., Tkaczyk A., Critical temperature of pitched-roof steel
frame. Semi-graphic approach to evaluation for fire conditions,
w: Proceedings of the 7th European Conference on Steel and
Composite Structures “Eurosteel 2014”, R. Landolfo, F.M. Mazzolani
(eds.), Napoli, September 10-12, 2014, 821-822, 6.
[5] Maślak M., Tkaczyk A., A semi-graphic approach to the fire
resistance assessment of a gable steel frame, “Czasopismo
Techniczne” 2014, 6B, 67-82.
[6] Grabowski W., Programowanie matematyczne, Państwowe
Wydawnictwa Ekonomiczne, Warszawa 1982.
[7] Maślak M., Pazdanowski M., Tkaczyk A., Fire resistance
evaluation of a sway frame load-bearing structure using the
linear programming, w: Recent progress in steel and composite
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.8
The selection of the minimum temperature from among all
the values collected in the first computation stage represents
a formal use of the rules of the kinematic approach.
It should be noted that both approaches mentioned in
the sample computation indicated the same mechanism
– i.e. the tilting mechanism – as the representative mechanism of the plastic failure of the frame. However, the use of
the linear-programming formalism leads to an estimated
critical temperature of Θa,cr = 674⁰C, whereas the purely kinematic approach produces the much lower temperature of
Θa,cr = 571⁰. Considering the above, the authors of this article
consider the former of the estimates to be more representative, whereas the latter should be provided with the qualitative
quantifier of “at least”.
The computational procedure recommended in this article is qualitatively different from the corresponding procedure
based on the linear-programming formalism as proposed by
Králik and Varga [12]. Indeed, in order to estimate the steel
frame fire resistance, Králik and Varga recommend solving
the problems specified for the static and kinematic approach
separately, followed by determining the value interval within
which the actual fire resistance of the considered structure is
expected to be located. The algorithm proposed in this article,
which aims to estimate for the analysed frame a critical temperature unambiguously relating to the frame, incorporates
both approaches into a joint procedure, which is, in our view,
easier to apply and interpret.
structures, Proceedings of the 13th International Conference on
Metal Structures (ICMS 2016), M. Giżejowski, A. Kozłowski,
J. Marcinowski, J. Ziółko (eds.), Zielona Góra, 15-17.06.2016,
Taylor & Francis Group, abstract 138-139, paper CD
323-330,
[8] Aribert J.M., Kruppa J., Détermination par programation linéaire
de champs de temperatures critiques dans des structures soumises
a un incendie, “Construction Métallique” 1978, 1, 3-16,
[9] PN-EN 1993-1-2. Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji
stalowych. Część 1-2: Reguły ogólne – Obliczanie konstrukcji
z uwagi na warunki pożarowe.
[10] PN-EN 1991-1-2. Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje.
Część 1-2: Oddziaływania ogólne – Oddziaływania na
konstrukcje w warunkach pożaru.
[11]
Maślak M., Tkaczyk A., Identyfikacja krytycznego
kinematycznego mechanizmu zniszczenia plastycznego ogarniętej
pożarem stalowej ramy portalowej, „Inżynieria i Budownictwo”,
2015, 2, 103-107,
[12]Králik J., Varga T., Deterministic and probability analysis of
fire resistance of a steel portal frame with tapered members, w:
Safety and Reliability for Managing Risk, Proceedings of the
15th European Safety and Reliability Conference “ESREL 2006”,
C. Guedes Soares, E. Zio (eds.), Estoril, Portugal, September
18-22, 2006, CRC Press.
Artykuł został przetłumaczony ze środków MNiSW w ramach zadania:
Stworzenie anglojęzycznych wersji oryginalnych artykułów naukowych wydawanych w kwartalniku „BiTP. Bezpieczeństwo
i Technika Pożarnicza - typ zadania: stworzenie anglojęzycznych wersji wydawanych publikacji finansowane w ramach umowy
935/P-DUN/2016 ze środków Ministra Nauki i Szkolnictwa Wyższego przeznaczonych na działalność upowszechniającą naukę.
119
BADANIA I ROZWÓJ
BiTP Vol. 44 Issue 4, 2016, pp. 99–120
DOI:10.12845/bitp.44.4.2016.8
***
dr hab. inż. Mariusz Maślak, prof. PK – profesor nadzwyczajny w Katedrze Konstrukcji Metalowych na Wydziale Inżynierii
Lądowej Politechniki Krakowskiej. Zajmuje się kształtowaniem, utrzymaniem i weryfikacją stanu bezpieczeństwa różnego typu
stalowych ustrojów nośnych ze szczególnym uwzględnieniem zachowania się tego typu konstrukcji w warunkach ekspozycji
ogniowej. Członek International Association for Fire Safety Science (IAFSS). Z ramienia Polski członek Technical Committee 3
(TC3): “Fire Safety” przy European Convention for Constructional Steelwork (ECCS), a także członek Komitetu Technicznego
CEN TC 250/SC3: „Evolution Group Eurocode 3, Part 1-2”. W latach 2010-2014 członek Komitetu Zarządzającego Międzynarodowego Projektu Badawczego COST TU0904 „Integrated Fire Engineering and Response”. Od roku 2014 członek Komitetu Zarządzającego Międzynarodowego Projektu Badawczego COST TU1402 „Quantifying the Value of Structural Health Monitoring.
Kierownik grantu badawczego własnego N N506 243938 „Miary bezpieczeństwa i ich wzajemne relacje w wyjątkowej sytuacji
projektowej pożaru rozwiniętego” (również w latach 2010-2014).
Maślak Mariusz, Ph.D., D.Sc.Eng, prof. CUT – associate Professor at the Chair of Metal Structures of the Faculty of Civil Engineering, Cracow University of Technology. His focus areas are the development, maintenance and verification of the safety of various
types of steel load bearing structures, including in particular the behaviour of such structures when exposed to fire. A member of
the International Association for Fire Safety Science (IAFSS). A member of the Technical Committee 3 (TCS): “Fire Safety” of the
European Convention for Constructional Steelwork (ECCS) representing Poland, and also a member of the Technical Committee
CEN TC 250/SC3: “Evolution Group Eurocode 3, Part 1-2”. Between 2010 and 2014 he was a member of the Managing Committee
of the International Research Project COST TU0904 “Integrated Fire Engineering and Response”. A member of the Managing
Committee of the International Research Project COST TU1402 “Quantifying the Value of Structural Health Monitoring”. Manager of the project N N506 243938 funded by the Polish Ministry of Science and Higher Education called “Measures of safety and
their interrelations in an accidental situation of a fully developed fire” (including between 2010 and 2014).
mgr inż. Anna Tkaczyk – uprawniony projektant budowlany. Absolwentka studiów doktoranckich prowadzonych w Politechnice Świętokrzyskiej. Prowadzi własne biuro budowlane Bauko S.C. Obecnie pracuje nad rozprawą doktorską Nośność graniczna
stalowych ustrojów ramowych w pożarze rozwiniętym – oszacowanie metodą kinematyczną.
Anna Tkaczyk, M.Sc.Eng. – licensed construction designer. Graduated from a doctoral programme at the Kielce University
of Technology. She runs her own construction studio Bauko S.C. Currently, she is working on her doctoral dissertation on The
plastic limit load of steel frame structures in a fully developed fire – a kinematic-method estimation.
120

Programowanie liniowe jako technika obliczeniowa użyteczna w

Transkrypt

Podobne dokumenty

Encased thermostat FTR 1207

Pozabankowe pieniedze na remont domu dla

Licznik w dół

Frame Box 2

Karta katalogowa DCD-1E-IS (PDF, 293,13 KB )