Tytuły i streszczenia/programy kursów na Toruńskiej Letniej Szkole

Tytuły i streszczenia/programy kursów na Toruńskiej
Letniej Szkole Matematyki, 31.08-04.09 2009
Topology and Asymptology: two faces of Geometry
prof. dr hab. Taras Banakh
Streszczenie:
1. The subject of Geometry. The structure of geometric sciences: isometric geometry, asymptotic
geometry, uniform topology, topology, asymptotic topology, bi-uniform topology.
2. Ultrametric spaces and spaces of dimension zero in various geometric categories. Basic examples:
Cantor and anti-Cantor sets, Baire and anti-Baire spaces. Their characterizations in various categories.
3. Homogeneous (ultra)metric spaces and their classification in various geometric categories.
4. Some open problems with comments.
Teoria Nielsena punktów stałych
dr Zdzisław Dzedzej
Streszczenie:
1. Liczba Lefschetza i twierdzenie Lefschetza o punkcie stałym.
2. Lokalny indeks punktów stałych.
3. Relacja Nielsena i liczba Nielsena.
4. Klasy Nielsena i nakrycia uniwersalne - relacja Reidemeistera.
5. Twierdzenie Hopfa o skończoności zbioru punktów stałych.
6. Twierdzenie Weckena o minimalności
7. O obliczaniu liczby Nielsena - przestrzenie Jianga i grupy Jianga.
8. Odwzorowania torusów.
9. Odwzorowania włókniste - ”naiwna” formuła produktowa.
10. Różne wersje ogólniejsze teorii Nielsena
• relatywna liczba Nielsena
• koincydencje
• pierwiastki
• przeciȩcia
• odwzorowania wielowartościowe
• odwzorowania ekwiwariantne
11. Teoria Nielsena i punkty okresowe.
12. Przykłady zastosowań.
Z uwagi na ograniczenia czasowe punkty od 7 w dół potraktujemy raczej przegla̧dowo, podaja̧c odnośniki do literatury. Kolejność niekoniecznie chronologiczna. Pierwszy wykład bȩdzie wprowadzaja̧coprzegla̧dowy.
Wybrane fragmenty p. 3-6 dowodzone bȩda̧ na tyle szczegółowo, aby dać słuchaczom podstawy zrozumienia teorii. Punkty 1,2 doła̧czono, bo spodziewamy siȩ nierównego przygotowania słuchaczy z topologii.
Wybrane pozycje literatury:
• R. Brown, The Lefschetz Fixed Point Theorem, Scott- Foresman, 1971,
• A. Granas, J. Dugundji,Fixed Point Theory, Springer 2003,
• B. Jiang, Lectures on Nielsen Fixed Point Theory, Contemp. Math. 14, AMS 1983,
• J. Jezierski, W. Marzantowicz, Homotopy Methods in Topological Fixed and Periodic Point Theory,
Springer, 2006.
Kołczany, reprezentacje i nakrycia
dr hab. Stanisław Kasjan, prof. UMK
Streszczenie: Wykłady poświęcone będą teorii reprezentacji algebr – działowi algebry od lat rozwijanemu w Toruniu. Przedstawię pewne ważne pojęcia, sformułuję główne problemy teorii i opowiem o
niektórych ważnych technikach badawczych, ze szczególnym uwzględnieniem mającej topologiczną genezę
metody nakryć, również rozwijanej między innymi przez toruńskich algebraików.
Metody probabilistyczne w równaniach różniczkowych cząstkowych
dr hab. Andrzej Rozkosz, prof. UMK
Streszczenie: Począwszy od lat czterdziestych ubiegłego wieku metody probabilistyczne są szeroko i
z sukcesem stosowane do badania równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu typu parbolicznego i eliptycznego. Celem wykładu będzie przedstawienie klasycznych już wzorów probabilistycznych na
rozwiązania problemów Cauchy’ego, Dirichleta i Neumanna dla równania przewodnictwa ciepła, podanie zastosowań przedstawionych wzorów oraz podanie informacji o niektórych współczesnych kierunkach
rozwoju teorii.
Wykłady będą miały charakter elementarny. Nie będę zakładał u słuchaczy ani znajomości teorii
równań różniczkowych cząstkowych, ani elementów analizy stochastycznej (przydatna będzie jednak znajomość podstawowych pojęć teorii prawdopodobieństwa, w tym pojęcia martyngału). Skutkiem tego,
niestety, nie będę w stanie podać dowodów najważniejszych faktów, ale będę się starał przeliczyć pewną
liczbę przykładów.
Program wykładu:
1. Sformułowanie podstawowych problemów brzegowo-początkowych dla równań różniczkowych cząstkowych.
2. Proces Wienera. Przybliżenie procesu Wienera przez błądzenie losowe. Wariacja kwadratowa procesu Wienera.
3. Całka stochastyczna Itô (szkic konstrukcji). Wzór Itô.
4. Wzory Kaca-Feynmana na rozwiązanie problemów Cauchy’ego i Dirichleta dla równania przewodnictwa ciepła. Informacja o reprezentacji rozwiązań problemu Neumanna.
5. Przykłady zastosowań wzorów probabilistycznych (jednoznaczność rozwiązań, metody Monte Carlo
przybliżania rozwiązań).
6. Informacja o możliwym rozszerzeniu teorii (równania o zmiennych współczynnikach, równania półliniowe i quasi-liniowe).
Teoria mnogości - twierdzenia podziałowe.
dr hab. Piotr Zakrzewski, prof. UW
Streszczenie: Ideę twierdzeń podziałowych dobrze oddaje następujący cytat z monografii W. Lipskiego
i W. Marka ”Analiza kombinatoryczna”: ” jeśli ’duży’ zbiór podzielimy na ’niewielką’ liczbę części, to
jedna z tych części będzie ’spora’ ”. Najprostszym tego rodzaju faktem jest zasada szufladkowa Dirichleta,
innym – twierdzenie Ramseya, dobrze znane w kombinatoryce i teorii grafów.
W teorii mnogości ważne miejsce zajmują zagadnienia związane z rozmaitymi uogólnieniami tych
dwóch faktów. Celem moich wykładów będzie przedstawienie niektórych spośród nich. Przykładowe problemy pochodzić będą zarówno z kombinatoryki nieskończonej (nieskończone twierdzenie Ramseya i próby jego uogólnienia na zbiory nieprzeliczalne, np. twierdzenie Erdősa-Rado), jak i z deskryptywnej teorii
mnogości, gdzie od kawałków, tworzących podział, wymaga się np. by były zbiorami borelowskimi (twierdzenia Galvina i Galvina-Prikrego).
Tytuły i streszczenia referatów na Toruńskiej Letniej
Szkole Matematyki, 31.08-04.09 2009
Paweł Barbarski
Streszczenie: W dowodach niezależności zdań teorii mnogości częstokroć wykorzystuje się metody
teorii modeli. Przykładem jest forsing, który polega na rozszerzaniu zadanego modelu ZFC do modelu
ZFC i rozważanego zdania. W referacie przedstawię, w jaki sposób można wyrazić dowody niezależności
bez odwoływania się do modeli w metateorii.
Topological spherical space form problem: krajobraz po bitwie
Zbigniew Błaszczyk
Streszczenie: Hipoteza: Niech G bedzie grupą skończoną o randze równej r. Wówczas G działa w
sposób wolny na skończonym CW–kompleksie o typie homotopijnym produktu k sfer wtedy i tylko wtedy,
gdy r ≤ k.
Ta elegancka hipoteza narodziła się z rozwiązania tzw. spherical space form problem: które grupy skończone działają w sposób wolny na sferach? Przypomnimy odpowiedź (i jej niebanalną historię), a następnie
bliżej przyjrzymy się wspomnianej hipotezie i wynikom, które wskazują na jej prawdziwość.
Zbiory niemierzalne a równanie Cauchy’ego
Piotr Idzik
Streszczenie: Podamy konstrukcję zbiorów niemierzalnych w sensie Lebesgue’a w oparciu o nieciągłe
rozwiązania równania Cauchy’ego.
Jak tasować karty
Michał Krzemiński
Streszczenie: Celem referatu będzie przedstawienie matematycznego opisu tasowania kart. Na początku przybliżę kilka popularnych metod tasowania, a następnie sprecyzuję określenie dobrze potasowanych
kart. Wprowadzę pewną miarę pomiędzy tasowaniami, tzn. dla spaceru losowego generowanego przez kolejne tasowania określę miarę losowości rozkładu prawdopodobieństwa opisującego kolejność kart. Główną
ideą będzie pokazanie zaskakujących własności procesu tasowania.
Bijekcje i izomorfizmy
Michał Kukieła
Streszczenie: Przedstawione zostaną pewne problemy i wyniki związane z zagadnieniem ”Kiedy ciągła bijekcja między przestrzeniami topologicznymi jest izomorfizmem?” oraz analogicznym zagadnieniem
sformułowanym w prostszej sytuacji, gdy zamiast przestrzeni topologicznych rozważamy zbiory częściowo
uporządkowane.
Porządek Rudin-Keislera na zbiorze ultrafiltrów
Adam Kwela
Streszczenie: Podczas referatu zostanie zdefiniowana relacja częściowego porządku na zbiorze ultrafiltrów nazywana porządkiem Rudin-Keislera. W dalszej części zostaną przedstawione niektóre wybrane
zastosowania tego porządku.
Small system of generators
Ievgen Lutsenko
Streszczenie: For a group G we denote by PG and FG the families of all subsets and all finite subsets
of G. A subset A of an infinite group G with the identity e is said to be
• left (right) thin, if gA ∩ A (Ag ∩ A) is finite for every g ∈ G, g 6= e;
• left (right) k-thin for k ∈ N, if |gA ∩ A| 6 k (|Ag ∩ A| 6 k) for each g ∈ G, g 6= e;
• thin (k-thin), if A is left and right thin (k-thin).
Theorem 1. Every infinite group can be generated by some 2-thin subset.
Theorem 2. Let G be an infinite group without elements of order 2. If G is Abelian or periodic,
then G can be generated by 1-thin subset.
Theorem 3. For every infinite group G there exists 4-thin subset T such that G = T T −1 .
Theorem 4. Let for an infinite group G one of the following statement holds:
• the group G is Abelian;
• the subset {g 2 : g ∈ G} is finite;
• for every g ∈ G the subset {f ∈ G : f 2 = g} is finite.
Then there exists a left 2-thin subset T such that G = T T −1 .
Theorem 5. For every infinite group G without elements of even order, there exists a right 3-thin
subset T such that G = T T −1 .
Theorem 6. For every infinite group G there exists 6-thin subset T such that G = T T .
Wprowadzenie do teorii ciał uporządkowanych
Jolanta Marzec
Streszczenie: Celem tego referatu będzie znalezienie warunku koniecznego i wystarczającego, by na
ciele K dało się zdefiniować porządek. Zaczerpniemy tu z teorii ciał formalnie rzeczywistych oraz rzeczywiście domkniętych. Dodatkowo podamy przykład ciała mającego więcej niż jeden (bo aż nieskończenie
wiele!) porządków.
Klasy borelowskie ideałów
Nikodem Mrożek
Streszczenie: Interesować nas będą tylko ideały (w sensie mnogościowym) na zbiorach przeliczlnych.
Przedstawimy kilka przykładów takich ideałów a następnie postaramy się umieścić je na właściwych
szczeblach hierarchii borelowskiej.
O pierścieniach filialnych
Karol Pryszczepko
Streszczenie: Jeżeli każdy podpierścień osiągalny w pierścieniu R jest ideałem w R, to taki pierścień R
nazywamy filialnym. Problem opisu pierścieni filialnych postawił F. Szasz w monografii ”Radical of rings”
[7]. Celem referatu jest podanie przykładów, własności i pewnych charakteryzacji pierścieni filialnych.
Literatura:
[1] R.R. Andruszkiewicz, E.R. Puczyłowski, ”On filial rings.” Portugal. Math. 45, (1988), 139–149.
[2] R.R. Andruszkiewicz, ”The classification of integral domains in which the relation of being an ideal
is transitive.” Comm. Algebra. 31, (2003), 2067–2093.
[3] R.R. Andruszkiewicz, M. Sobolewska, ”Commutative reduced filial rings.” Algebra and Discrete Math.
3, (2007), 18–26.
[4] G. Ehrlich, ”Filial rings.” Portugal. Math. 42, (1983/1984), 185–194.
[5] M. Filipowicz, E.R. Puczyłowski, ”Left filial rings.” Algebra Colloq. 11, (3) (2004), 335–344.
[6] M. Filipowicz, E.R. Puczyłowski, ”On filial and left filial rings.” Publ. Math. Debrecen. 66, (3-4)
(2005), 257–267.
[7] F. Szasz, ”Radical of rings.” Akademiami Kiado, Budapest 1981.
Liuba Rubel
Streszczenie: Diffusion processes on a half-line, generated by a given differential operators and boundary conditions: returning in the middle of area by jumps. The case of finite measure jumps.
Liczba obrotu a dynamika odwzorowań okręgu
Justyna Signerska
Streszczenie: Jednym z podstawowych narzędzi charakteryzujących odwzorowania okręgu jest tzw.
liczba obrotu. W referacie omówię główne własności liczby obrotu dla homeomorfizmów okręgu takie jak
ciągła i „monotoniczna” zależność od parametrów oraz związki liczby obrotu ze strukturą orbitową i topologiczną równoważnością między homeomorfizmami/ dyffeomorfizmami okręgu a obrotami na S 1 (tw.
Poincarego o klasyfikacji homeomorfizmów okręgu, tw. Denjoy’a, diofantyczna liczba obrotu). Zobaczymy
jak przydatne jest to pozornie „proste” narzędzie.
Nierówności macierzowe
Tomasz Tkocz
Streszczenie: W fizyce statystycznej kluczowe znaczenie ma tzw. suma statystyczna, która jest postaci
”tr eA , gdzie A jest pewną macierzą n × n o zespolonych współczynnikach, samosprzężoną. Bardzo ważne dla teorii są jej oszacowania (z góry i z dołu). Motywuje to interesujące i niebanalne matematyczne
problemy, których rozwiązania prowadzą do wielu subtelnych nierówności z macierzami, ich śladami i
eksponentami w roli głównej. W referacie zostanie omówione kilka podstawowych nierówności
macierzo
wych, m. in. bardzo elegancka nierówność Goldena - Thompsona tr eA+B ≤ tr eA eB s. Ciekawe jest też
to, że powyższe wyniki są dosyć świeże — np. nierówność Goldena - Thompsona pochodzi z prac z lat
60’ ubiegłego wieku. Może znajdą one swoje zastosowania także poza fizyką statystyczną, np. w rachunku
prawdopodobieństwa?
Finitarność – skończoność z teorio-kategoryjnego punktu widzenia
Paweł Wiśniewski
Streszczenie: Przedstawimy pewne szczególne kogranice – skierowane i filtrowane, które pozwolą nam
scharakteryzować zbiory skończone za pomocą języka teorii kategorii. Wykorzystując tą charakteryzację
zdefiniujemy obiekty finitarne (finitarnie przedstawialne). Następnie zastanowimy się co oznacza to pojęcie
w kategoriach rożnych od kategorii zbiorów. Przedstawimy też definicje i przykłady pokrewne takie jak
np.: funktor finitarny, kategoria lokalnie finitarnie przedstawialna.