Pobierz artykuł PDF

ZASTOSOWANIE TEORII SZARYCH SYSTEMÓW W PROGNOZOWANIU STANU
KRZYSZTOF JUREK
Streszczenie
Teoria szarego systemu jako metoda prognozowania stanu obiektu znajduje
wiele praktycznych zastosowaĔ, nie tylko w zakresie nauk technicznych, lecz równieĪ
w wielu innych gałĊziach nauki, np. naukach społecznych,, przyrodniczych.
Niniejsza publikakcja ma na celu przybliĪenie genezy teorii szarych systemów,
ich matematycznej interpretacji. Ponadto wykazano, Īe moteda szarego systemu
pierwszego rzĊdu stanowi potĊĪne narzĊdzie w rĊkach inĪyniera, ze wzglĊdu na
szerokie zastosowanie tej metody, głównie w zakresie nauk technicznych, czemu
poĞwiĊcone jest w głównej mierze niniejsze opracowanie.
Słowa kluczowe: szare systemy, diagnostyka drganiowa, prognozowanie stanu
1. Wprowadzenie
Teoria szarego systemu pierwszego rzĊdu została przedstawiona po raz pierwszy w roku 1982
przez chiĔskiego naukowca – Julonga Denga do modelowania procesów, z których dane mogą byü
niepewne i niekompletne, a zasady rządzące zjawiskami nie są do koĔca znane [1] Powstała teoria
na długi czas pozostała nieznana poza Chinami, bowiem pierwsza publikacja w jĊzyku angielskim
ukazała siĊ dopiero w 1989 r., dziĊki czemu Ğwiat anglojĊzyczny mógł siĊ z nią bliĪej zapoznaü [1]
Metoda ta jako narzĊdzie słuĪące do prognozowania stanu, w odróĪnieniu od innych metod
(np. naiwnej, Ğredniej ruchomej) nie zakłada, Īe szereg bĊdzie siĊ zmieniał z okreĞlonym trendem
oraz, Īe charakteryzuje siĊ stałą tendencją zmian [3] Istotne natomiast jest, Īe kolejne wyrazy
szeregu muszą byü monotonicznie rosnące oraz nieujemne, a iloĞü wprowadzonych danych
wejĞciowych musi wynosiü minimum cztery [1]
Teoria szarego systemu moĪe zostaü podzielona na kilka istotnych grup, tj.:
a) Grey Realational Analisys (GRA) – metoda ta słuĪy do okreĞlenia siły związku pomiĊdzy
badanymi zmiennymi,[6]
b) Grey Decision Making (GDA) – metoda słuĪąca wspomaganiu podejmowania decyzji,[6]
c) Grey Model (GM (1,1) – metoda prognozowania, na podstawie danych wejĞciowych, przy
wykorzystaniu równania róĪniczkowego pierwszego rzĊdu z jednym typem wymuszenia.
Szczególnym przypadkiem jest metoda GM ze Ğlizgającym siĊ okienkiem (ang. rolling window),
która polega na dokonywaniu prognozy dla wąskich przedziałów czasowych, duĪa szerokoĞü
przedziału moĪe wpływaü niekorzystnie na dokładnoĞü prognozy. Ten aspekt metody szarego
systemu zostanie bliĪej omówiony wraz z moĪliwymi zastosowaniami [6].
108
Krzysztof Jurek
Zastosowanie teorii szarych systemów w prognozowaniu stanu
2. Matematyczny opis budowy algorytmu szarego systemu pierwszego rzĊdu [2]
Metoda Deng’a, jak kaĪdy algorytm, posiada swoją definicjĊ matematyczną, składającą siĊ
zpewnej sekwencji etapów, przedstawionych w kolejnej czĊĞci opracowania. Do przygotowania
prognozy uĪyto Ğrodowiska numerycznego Matlab. Na tĊ okolicznoĞü zdefiniowano zapis
matematyczny szarego modelu pierwszego rzĊdu ze Ğlizgającym siĊ okienkiem na zapis
numeryczny, tak, aĪeby był on właĞciwie interpretowany przez Matlaba. Przed omówieniem
zastosowaĔ metody szarego systemu warto opisaü model oraz sposób jego budowy [2]
Szary model, który charakteryzuje zachowanie siĊ systemu na podstawie symptomu, którego
postaü okreĞlamy z obserwacji (x(0)(t)), gdzie t to kolejny odczytywany symptom, czyli
t ࣅ <1,2,3,…,’),
moĪe byü opisany zwyczajnym równaniem róĪniczkowym k - tego rzĊdu i mieü wymuszenie eͲtego rzĊdu, co umownie moĪna przedstawiü jako GM(k, e), tzn. po prawej stronie stronie
równania widzimy k -wymuszeĔ zachowania systemu, charakteryzowane równaniem
róĪniczkowym, e – tego rzĊdu, co przyjmuje postaü matematyczną:
d n − i x (1) k −1
ai
= ¦ b j y j (1)
¦
n −1
dt
i =0
j =1
e
t
x(1)(k) =
Gdzie:
¦ x( ) (i) jest zmienną stanu badanego obiektu
0
i =1
yj – niezaleĪne wymuszenie, dla poprawnego odwzorowania zachowania badanego obiektu
ai , bi – współczynniki wielomianów, wyznaczane z szeregu czasowego x(0)(t), t = 1,2,3…,’
Generalnie rzecz ujmując, zwykle przyjmuje siĊ jako punkt wyjĞcia równanie GM(1,1),
tzn. równanie pierwszego rzĊdu z jednym tylko rodzajem wymuszenia. Tok postĊpowania w takiej
sytuacji moĪe zostaü opisany w postaci kilku etapów, tzn.:
Etap I
OkreĞlenie wektora obserwacji:
x(0) = [x(0) (1), x(0) (2),x(0) (3),…,x(0) (n)],
w przypadku tego wektora warunkiem koniecznym jest, by n • 4, gdzie
n – liczba obserwacji [1]
Etap II
Utworzenie wektora sum cząstkowych (Accumulating Generating Operation) – AGO:
t
x(1)(t) =
(0)
¦ x (i), t = 1,2,3,…n
i =1
109
Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management
Nr 46, 2011
Widaü, Īe wektor sformułowany w takiej postaci jest monotoniczny oraz rosnący
x(1) = [x(1) (1), x(1) (2),x(1) (3),…,x(1) (n)], gdzie warunkiem jest:
x(1) (1) = x(0) (1), [1]
Etap III
Dla wyĪej zdefiniowanego wektora AGO dokonujemy opisu szarego modelu pierwszego rzĊdu
wg pierwszego schematu GM(1,1)
(1)
dx (t )
+ ax (1) (t ) = u
dt
Gdzie:
a – eksponent wzrostu
u – zmienna kontrolna szarego modelu
t – zmienna niezaleĪna – wielkoĞü eksploatacyjna, np. zuĪycie, czas [1]
Etap IV
Dokonujemy rozwiązania powyĪszego równania róĪniczkowego z jedynkowym krokiem
zmiennej t, w wyniku czego otrzymujemy:
਄(1)(k+1) = [x(0)(1) – u/a] exp(-ak) + u/a,
jako ਄(1) okreĞliliĞmy prognozĊ naszego rozwiązania wektora sum cząstkowych AGO [1]
Etap V
Zamieniamy z równania z etapu III róĪniczkĊ przyrostem skoĔczonym dla t = 1 zapisujemy
równania poprzedzające i progresywne, w wyniku zabiegu otrzymując:
równanie poprzedzające: x(1)(k+1) - x(1)(k) + ax(1) (k) = u
równanie progresywne: x(1)(k+1) - x(1)(k) + ax(1) (k+1) = u
Dokonując kombinacji powyĪszych równaĔ otrzymujemy:
x(1)(k+1) - x(1)(k) = -a/2[x(1)(k) + x(1)(k+1)] + u
k = 1,2,3,…,n [1]
Etap VI
Rozpisujemy powyĪsze równanie dla kolejnych wartoĞci k i opierając siĊ na wczeĞniejszym
wektorze obserwacji x(0) wyznaczamy współczynniki szarego modelu a i u, które dotychczas
pozostają nieznane. Wyznaczenie odbywa siĊ wg metody najmniejszych kwadratów, uzyskując
macierzowe rozwiązanie, tzn.
[a,u]T = (B TB)-1 BTY
Gdzie
Y = [x(0)(2), x(0)(3), x(0)(4),…, x(0)(n)]T [1]
110
Krzysztof Jurek
Zastosowanie teorii szarych systemów w prognozowaniu stanu
−[x (1) (1) + x (1) (2)]
B=
(1)
1
−[x (1) (2) + x (3)]
1
........................
...
(1)
(1)
−[x (n − 1) + x (n)] 1
Etap VII
Dokonujemy przekształcenia odwrotnego wektora AGO (Inverse AGO) IAGO, uzyskując
prognozowaną obserwacje z wektora prognoz sum cząstkowych (AGO), otrzymując:
਄(0) (k+1) = ਄(1) (k+1) – ਄(1) (k),
przy uĪyciu równania powstałego z kombinacji równania poprzedzającego i progresywnego
(etap V) otrzymujemy koĔcową wartoĞü prognozy wg modelu GM(1,1), tzn.:
਄(0) (k+1) = [x(0) (1) – u/a](e-ak – e-a(k-1) )
k = 2,3,4,…,n [1].
W siódmym kroku algorytmu otrzymuje siĊ cały sens prognozy, przy wykorzystaniu metody
Denga [1] Krok drugi wskazuje na własnoĞci wprowadzanych danych – ich monotonicznoĞü,
atakĪe by wartoĞci były coraz wiĊksze [2]. Dlatego teĪ uzasadnione jest badanie zjawisk
związanych np. ze zuĪywaniem elementów, bowiem zuĪycie elementów maszyn narasta w czasie,
niezaleĪnie od tego czy są to elementy proste typu tuleja, tarcza, wałek, czy złoĪone, jak np.
łoĪysko. Prognoza stanu obiektu (maszyny) moĪe byü przeprowadzana na podstawie np.
obserwowanych symptomów drganiowych [2].
Opisany wyĪej algorytm jest szczególnym przypadkiem metody szarego systemu pierwszego
rzĊdu z tzw. Ğlizgającym siĊ okienkiem (ang. rolling window). Jego zastosowanie uwarunkowane
jest faktem, Īe duĪa iloĞü danych (obserwacji) wpływa niekorzystnie na błąd prognozy, powodując,
Īe staje siĊ ona niedokładna. Dlatego teĪ stosuje siĊ tzw. Ğlizgające siĊ okienko o mniejszej
szerokoĞci, które przemieszcza siĊ po wiĊkszej liczbie danych. MetodĊ tą stosuje siĊ kiedy mamy
do czynienia z duĪą liczbą danych (zwykle kilkadziesiąt). SłuĪy głównie do przygotowania
prognoz krótkookresowych [2].
111
Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management
Nr 46, 2011
3 Zastosowanie metody szarego systemu pierwszego rzĊdu do prognozowania
jednowymiarowego
3.1. Zastosowanie metody szarego systemu pierwszego rzĊdu do prognozowania zuĪycia łoĪyska turbiny samolotu [2]
Jak juĪ wspomniano, opisany i scharakteryzowany powyĪej algorytm ma swoje praktyczne
zastosowanie. W tej czesci niniejszej publikacji zwrócono uwage na wykorzystanie metody
szarego systemu w diagnozowaniu stanu maszyn. Jako przykład moĪe posłuĪyü łoĪysko turbiny
samolotu.
W wyniku zuĪycia dochodzi do jego drgaĔ. Przeprowadzono okreĞloną iloĞü obserwacji
parametrow tych drgaĔ, a ĞciĞlej mowiąc prĊdkoĞci drgaĔ, wyraĪonych w (mm/s) w jednakowych
odstĊpach – co 20 godzin pracy turbiny. Wyniki przedstawiono w tabeli:
Tabela 1. Zestawienie zaobserwowanych wartoĞci zuĪycia łoĪysk turbiny silnika samolotu (wartoĞci okreĞlają przyspieszenie drgaĔ w funkcji przebiegu turbiny)
Nr obserwacji
WartoĞü (mm/s)
1
1
2
3
3
4
4
6
5
8
6
11
7
12
8
14
9
15
10
17
Jak widaü wyniki obserwacji mają charakter monotoniczny oraz rosnący, wiec moĪemy tu
zduĪym powodzeniem zastosowaü teorie szarego systemu. Dokonujemy zaimplementowania
algorytmu w MATLAB i wczytaniu otrzymanych danych. W wyniku tego zabiegu uzyskano
nastĊpującą prognozĊ:
60
Pomiary
Prognoza
wartosc obserwacji/prognozy [mm/s]
50
40
30
20
10
0
0
2
4
6
8
10
12
etap obserwacji/prognozy
14
16
18
Rysunek 1. Fragment ewolucji łoĪyska turbiny samolotu z 10 obserwacji oraz prognoza jego stanu
przy wykorzystaniu metody „rolling window” na kolejnych 8 przegladow – 160 h pracy
Jak widaü na powyĪej przedstawionym wykresie, charakter prognozy przypomina nieco wykres
funkcji kwadratowej. I tak dzieje siĊ w rzeczywistoĞci, tzn. charakter zuzycia danej czeĞci maszyny
przebiega zwykle w sposób nierównomierny, tzn., im wyĪszy stopieĔ zuĪycia, tym jego tempo
wzrasta [2]
112
Krzysztof Jurek
Zastosowanie teorii szarych systemów w prognozowaniu stanu
3.2. Zastosowanie metody szarego systemu pierwszego rzĊdu do prognozowania zuĪycia
amortyzatorów w samochodzie osobowym [4]
Zastosowanie metody szarego modelu pierwszego rzĊdu jest w tym przypadku zasadne, poniewaĪ zuĪycie takiego elementu jak amortyzator jest ze swej natury monotoniczne oraz rosnące
wraz z jego eksploatacją. Wyniki uzyskane na podstawie obserwacji przedstawiono w poniĪszej
tabeli:
Tabela 2. Zestawienie zaobserwowanych wartoĞci zuĪycia amortyzatorów
w samochodzie osobowym w funkcji przebiegu pojazdu
Nr pomiaru
IloĞü km (tys)
StopieĔ zuĪycia (%)
1
0
0
2
2
5
3
4
7
4
6
11
5
8
16
6
10
19
7
12
25
8
14
29
9
16
34
10
18
38
Po zastosowaniu algorytmu szarego modelu I rzĊdu otrzymano prognozĊ zuĪycia amortyzatora na
najbliĪszych 10 tys. km przedstawioną w postaci wykresu
80
Pomiary
Prognoza
70
wartosc zuzycia
60
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
nr pomiaru
Rysunek 2. Prognoza zuĪycia amortyzatora na podstawie 10 obserwacji stanu
Natomiast rzeczywiste wartoĞci zuĪycia przedstawiają siĊ nastĊpująco:
113
Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management
Nr 46, 2011
Tabela 3. Zaobserwowane wartoĞci zuĪycia amortyzatora w funkcji przebiegu pojazdu
Nr pomiaru
IloĞü km (tys.)
WartoĞü zuĪycia amortyzatora
1
0
0
2
2
5
3
4
7
4
6
11
5
8
16
6
10
19
7
12
25
8
14
29
9
18
34
10
20
38
11
22
44
12
24
50
13
26
57
14
28
66
15
30
74
Po zestawieniu prognozy oraz wartoĞci otrzymanej z obserwacji otrzymujemy:
100.00
80.00
60.00
obserwacja - prognoza
40.00
obserwacja
20.00
0.00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
Rysunek 3. Zestawienie wartoĞci prognozowanych przy pomocy metody szarego modelu
oraz wartoĞci zaobserwowanych
Z otrzymanego wykresu moĪna wnosiü, Īe:
– wartoĞci prognozowanego zuĪycia mają nieco wiĊkszą wartoĞü niĪ wartoĞci pochodzące z póĨniejszych obserwacji,
– róĪnice pomiĊdzy prognozą a wartoĞcią rzeczywistą nie przekraczają 7–8%,
– wartoĞü prognozowana odzwierciedla rzeczywisty stan zuĪycia amortyzatora, generując przy tym
stosunkowo niewielki błąd,
– stosowanie metody szarego modelu (systemu) pierwszego rzĊdu moĪna uznaü za właĞciwe i uzasadnione [4]
3.3. Zastosowanie metody szarego systemu pierwszego rzĊdu do prognozowania głĊbokoĞci
bieĪnika w funkcji przebiegu samochodu osobowego [3]
Kolejne zastosowanie metoda szarego modelu pierwszego rzĊdu znajduje równieĪ na
przykładzie nauk technicznych. Jako model przedstawiono prognozĊ zuĪycia bieĪnika opon, na
podstawie przeprowadzonych obserwacji przy zastosowaniu algorytmu metody szarego systemu
Deng’a. Pomiary zuĪycia bieĪnika przeprowadzano od momentu załoĪenia do samochodu
osobowego, co 2 tys, km, do 20.tys. km.
114
Krzysztof Jurek
Zastosowanie teorii szarych systemów w prognozowaniu stanu
Wyniki z przeprowadzonych pomiarów przedstawiają siĊ nastĊpująco:
Tabela 4 Zaobserwowane wartoĞci zuĪycia bieĪnika opony samochodu osobowego
w funkcji przejechanych kilometrów
Nr pomiaru
IloĞü przejechanych
km (tys.)
WartoĞü zuĪycia
bieĪnika [mm]
1
0
2
2
3
4
4
6
5
8
6
10
7
12
8
14
9
16
10
18
11
20
0
0,21
0,38
0,56
0,76
0,99
1,31
1,59
1,86
2,21
2,58
Stosując algorytm szarego modelu (systemu) pierwszego rzĊdu, celem uzyskania prognozy,
otrzymujemy wykres, przedstawiający dane wejĞciowe wraz z wartoĞciami prognozowanymi
wpostaci wykresu, wygenerowanego przez Ğrodowisko Matlab
8
Pomiary
Prognoza
wartosc zuzycia bieznika [mm]
7
6
5
4
3
2
1
0
0
2
4
6
8
nr pomiaru
10
12
14
16
Rysunek 4. Zestawienie prognozowanych wartoĞci zuĪycia bieĪnika
w funkcji przejechanych kilometrów
Otrzymane wartoĞci z prognozy porównano z wartoĞciami zaobserwowanymi z bezpoĞrednich
pomiarów. Wyniki zaprezentowano w poniĪszej tabeli͘
Tabela 5 Zestawienie wartoĞci prognozowanych oraz zaobserwowanych zuĪycia bieĪnika opony
w funkcji przebiegu, badanie własne
115
Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management
Nr 46, 2011
wartosc zuzycia bieznika
opony [mm]
Graficznym przedstawieniem danych z tabeli jest wykres.
8
6
obserwacja
prognoza I
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
numer pomiaru
Rysunek 5. Zestawienie wartoĞci prognozowanych oraz zaobserwowanych zuĪycia bieĪnika opony
w funkcji przebiegu
Jak widaü na wykresie 5, wartoĞci prognozowane nieco odbiegają od zaobserwowanych, jednak ich rozrzut jest stosunkowo niewielki, wynosi ok. 8%. Warto zauwaĪyü, Īe wraz z kolejną prognozą generowany błąd prognozy ulega zwiĊkszeniu, zatem metoda ta powinna byü stosowana do
prognozowania krótkookresowego, jeĪeli priorytetem jest jak najmniejszy błąd [3].
4. Prognozowanie stanu obiektu w diagnostyce wielouszkodzeniowej przy pomocy szarego
systemu pierwszego rzĊdu
Na chwilĊ obecną wielowymiarowa diagnostyka elementów oraz całych maszyn jest na
początku swojego rozwoju, stąd nie moĪna mówiü jeszcze o pewnych i wypracowanych, na drodze
obserwacji, metodach [1]. Jednak w przypadku okreĞlania prognozy stanu maszyn, na podstawie
przetwarzanych symptomów, zastosowanie znajdują sieci neuronowe, jako jedno z istotnych
zagadnieĔ, związanych ze sztuczną inteligencją.
Szare systemy równieĪ mogą byü stosowane do diagnostyki wielowymiarowej. Z badaĔ
wynika, Īe optymalna szerokoĞü ruchomego okna dla GM(1,1) jest rzĊdu w = 4–8, mimo, Īe np.
błąd prognozy nie jest jeszcze minimalny [1]. Bowiem powyĪej tej szerokoĞci przedziału
wpogarsza siĊ jakoĞü prognozy i wielkoĞci prognozowane mogą byü równe lub nawet mniejsze od
obserwowanych, co w diagnostyce jest zupełnie nieprzydatne [1]. ĝredni błąd prognozy w funkcji
szerokoĞci Ğlizgającego siĊ okienka został przedstawiony na poniĪszym wykresie:
116
Krzysztof Jurek
Zastosowanie teorii szarych systemów w prognozowaniu stanu
Wykres 6 WartoĞü błĊdu prognozy w funkcji szerokoĞci Ğlizgającego siĊ okienka dla wielouszkodzeniowej diagnostyki maszyn
ħródło: Diagnostyka’2/2007(1).
5. Podsumowanie
Niniejsza publikacja wskazuje na szerokie zastosowanie metody szarego systemu (modelu)
pierwszego rzĊdu. Na chwilĊ obecną, przy pomocy tej metody, dokonuje siĊ prognozowania na
potrzeby diagnostyki zarówno jednowymiarowej, jak i wielowymiarowej
NaleĪy pamiĊtaü, Īe metoda Denga wymaga właĞciwej implementacji w Ğrodowisku Matlab
izastosowania parametrów, które pozwolą na prognozĊ, która nie bĊdzie obarczona duĪym
błĊdem, np. właĞciwej szerokoĞci okienka Ğlizgającego dla metody RW (rolling window) –
zarówno zbyt duĪa, jak równieĪ zbyt mała jego szerokoĞü moĪe wpływaü niekorzystnie na
dokładnoĞü prognozy [3]. Przyjmuje siĊ, Īe szerokoĞü okienka Ğlizgającego dla prognoz
wielowymiarowych w granicach 4–8 daje minimalny błąd prognozy [1], natomiast szerokoĞü
okienka poza tymi granicami wpływa na tyle niekorzystnie na jakoĞü prognozy, Īe moĪe ona róĪniü
siĊ z znacznym stopniu od stanu obserwowanego. Uzyskanie właĞciwej prognozy stanu pozwala na
zaplanowanie dalszych działaĔ, nie tylko w zakresie eksploatacji (badanie stanu obiektów
technicznych), lecz takĪe w przypadku działaĔ związanych z zagadnieniami ekonomicznymi, np.
przy planowaniu wielkoĞci produkcji.
Jak wykazano, metoda szarego systemu pierwszego rzĊdu jest metodą uniwersalną, przy jej
stosowaniu naleĪy pamiĊtaü o tym, by dane wejĞciowe miały charakter rosnący oraz monotoniczny.
Istotnym zagadnieniem jest okreĞlenie optymalnej szerokoĞci okienka Ğlizgającego, celem
uzyskania jak najmniejszego błĊdu prognozy, a zatem najwiĊkszej przydatnoĞci metody szarego
systemu w diagnostyce maszyn. Jest to przedmiotem działaĔ w zakresie dalszego rozpoznawania
metody szarego systemu.
117
Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management
Nr 46, 2011
Bibliografia
1. Cempel C., Tabaszewski M., „Zastosowanie teorii szarych systemów do modelowania
i prognozowania w diagnostyce maszyn”, Diagnostyka’2/2007: s. 11–18.
2. Jurek K. „Elementy sztucznej inteligencji w badaniu stanu maszyn – teoria szarego systemu”,
Bydgoszcz 2010.
3. Jurek K., Opis i zastosowanie metody szarego systemu do prognozowania stanu obiektu.
Wykorzystanie tej metody zarówno na potrzeby nauk technicznych, jak równieĪ innych gałĊzi
nauki. W pływ szerokoĞci Ğlizgającego siĊ okienka na dokładnoĞü prognozy”, Bydgoszcz 2010.
4. Jurek K. „Zastosowanie metody szarego systemu (modelu) pierwszego rzĊdu na przykładzie
nauk technicznych oraz ekonomicznych. OkreĞlenie błedu generowanego przez tĊ metodĊ”,
Bydgoszcz 2010.
5. Jurek K., ĩółtowski B., „A review of artifical intelligence machine condition with a widespread consideration of grey system theory”, Studies&Proceedings Polish Association for
Knowledge Management, Bydgoszcz 2010, s. 80–87.
6. Mierzwiak R., Werner K., Pochmara A., „Zastosowanie teorii systemów szarych do
prognozowania ekonomicznych szeregów czasowych”, IV Krakowska Konferencja Młodych
uczonych, Sesja Plenarna Nauki Ekonomiczne, Kraków 2009, s. 627–632.
118
Krzysztof Jurek
Zastosowanie teorii szarych systemów w prognozowaniu stanu
THE IMPLEMETATION OF THE GREY SYSTEMS THEORY
UNDER GENERAL DIAGNOSIS
Summary
The consideration on the grey systems theory as a forecasting method – which
evaluates the condition of particular object – can be applied not only among technical science but also in the other non-technical disciplines such as social and natural science.
This publication aims to assess the origin of the grey systems theory as well as its
mathematical interpretation. At the basis of the previous studies, it is easily to state
that the first order grey model is frequently used by the scholars and engineers due
to its transparency and interdisciplinary nature.
Keywords: grey systems, vibration diagnostics, forecasting, modeling of condition
PracĊ zrealizowano w ramach projektu „Techniki wirtualne w badaniach stanu, zagroĪeĔ bezpieczeĔstwa i Ğrodowiska eksploatowanych maszyn”.
Numer projektu: WND-POIG.01.03.01-00-212/09.
Krzysztof Jurek
Wydział InĪynierii Mechanicznej
Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy w Bydgoszczy
e-mail: [email protected]