Twierdzenie Atiyaha–Singera o indeksie i jego

Transkrypt

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO
Seria II: WIADOMOŚCI MATEMATYCZNE XLI (2005)
Henryk Żołądek (Warszawa)
Twierdzenie Atiyaha–Singera o indeksie i jego okolice
1. Wstęp. Israel M. Gelfand w 1960 r. wysunął w [28] przypuszczenie, że
indeks różniczkowego operatora eliptycznego, czyli liczba liniowo niezależnych rozwiązań odpowiedniego równania jednorodnego minus liczba liniowo
niezależnych rozwiązań sprzężonego równania, nie zmienia się przy deformacjach i powinien wyrażać się w terminach topologicznych. Michael F.
Atiyah i Isadore M. Singer [18] udowodnili, że to rzeczywiście ma miejsce
i że indeks jest równy całce po cyklu fundamentalnym rozmaitości z iloczynu
charakteru Cherna wiązki różnicowej skonstruowanej za pomocą symbolu
operatora i genusu Todda rozmaitości.
To pozornie niewinne twierdzenie zdominowało świat matematyczny drugiej połowy XX wieku. W 2004 r. jego autorzy zostali uhonorowani nagrodą
Abela.
W tym artykule1 postaram się przedstawić genezę powstania twierdzenia
o indeksie (poczynając od twierdzenia Riemanna–Rocha i jego uogólnień).
Przy tym nie obejdzie się bez wprowadzenia elementów topologii i geometrii
algebraicznej (np. kohomologie snopów i klasy charakterystyczne wiązek).
Samo twierdzenie Atiyaha–Singera będzie przedstawione z różnych punktów widzenia, m.in. poprzez równanie przewodnictwa cieplnego oraz za pomocą całek Feynmana. Z jego pomocą zinterpretujemy pewne klasyczne
niezmienniki rozmaitości (charakterystyka Eulera, genus algebraiczny, sygnatura i spin-genus).
Spośród zagadnień związanych z twierdzeniem o indeksie krótko omówię
uogólnienie twierdzenia Lefschetza o punktach stałych (Atiyah–Bott), asymetrię spektralną (Atiyah–Patodi–Singer) i wyrażenie torsji Reidemeistera
za pomocą zregularyzowanych wyznaczników (Ray–Singer). Nie można było
pominąć także konstrukcji Atiyaha–Drinfelda–Hitchina–Manina instantonów. Na zakończenie przedstawię próbę konstrukcji 3-wymiarowej topologicznej kwantowej teorii pola podjętą przez Atiyaha w [7].
1
Praca napisana w ramach tematu KBN No 1 P03A 015 29.
2
H. Ż o ł ą d e k
2. Twierdzenie Riemanna–Rocha
A. Funkcje meromorficzne z zadanynmi biegunami. Niech M będzie (zwartą i spójną) powierzchnią Riemanna genusu g. Niech p1 , . . . , pd
będzie układem punktów w M . Formalną sumę D = p1 + . . . + pd nazywamy P
dywizorem na M . Jest to szczególny przypadek ogólnego dywizora
m
D =
j=1 nj · pj , gdzie współczynniki nj są całkowite. Jeśli wszystkie
że dywizor jest efektywny i piszemy D ≥ 0. Przez
nj ≥ 0, to mówimy,
P
d = deg D = nj oznaczamy stopień dywizora.
Na M nie ma zbyt wielu funkcji holomorficznych, są to tylko funkcje
stałe. Ale jeśli dopuścić bieguny, to takich funkcji już może być więcej; na
przykład f (z) = z na CP1 z biegunem w z = ∞. Twierdzenie Riemanna–
Rocha dotyczy pytania o wymiar przestrzeni funkcji meromorficznych z biegunami w zbiorze {p1 , . . . , pd } i rzędami biegunów co najwyżej 1. Tę przestrzeń oznacza się przez H 0 (M, O(D)), D = p1 + . . . + pd .
Z każdą funkcjąPmeromorficzną P
f na M można związać jej dywizor zer
i biegunów (f ) = p−zera np · p − q−bieguny mq · q (np , mq to rzędy zer
i biegunów); jest to tzw. dywizor główny. Dla ogólnego dywizora mamy następującą przestrzeń
H 0 (M, O(D)) = {f : (f ) + D ≥ 0} .
Na przykład, jeśli D = −p0 , to H 0 (M, O(D)) składa się z funkcji holomorficznych zerujących się w p0 ; zatem H 0 (M, O(−p0 )) = 0. Ogólniej,
H 0 (M, O(−D)) = 0 dla efektywnego dywizora D. Widać też, że
H 0 (M, O(D)) ≃ H 0 (M, O(D′ )), jeśli różnica D − D′ = (h) jest dywizorem głównym; takie dywizory D, D′ są często traktowane jako równoważne.
B. Różniczki holomorficzne. W monografii P. Griffithsa i J. Harrisa [31] znajduje się geometryczne wyprowadzenie wzoru na h0 (D) =
dim H 0 (M, O(D)). Jest ono wystarczająco elementarne, aby je tutaj przedstawić.
Dla uproszczenia załóżmy, że D = p1 + . . . + pd i d ≥ g ≥ 1. Zamiast
funkcji f takich, że (f ) + D ≥ 0, będziemy rozważać ich różniczki df . Każda
taka różniczka ma w pj biegun
R rzędu co najwyżej 2 i zerowe residuum; ponadto jej okresy, czyli całki γ df po cyklach γ z H1 (M, Z), też są zerowe.
Z drugiej strony, każda różniczka holomorficzna η spełniająca powyższe
waR
runki (rzędy biegunów w pi nie przekraczające 2, respi η = 0 i γ η = 0)
Rx
definiuje funkcję z H 0 (M, O(D)) wzorem f (x) = x0 η. Następujący lemat
będzie udowodniony później.
(2.1) Dla każdego punktu p ∈ M istnieje różniczka holomorficzna w M \p
z biegunem drugiego rzędu i zerowym residuum w p.
Przypomnę jeszcze pewne standardowe fakty o geometrii powierzchni
Riemanna.
3
(2.2) Dla g ≥ 1 istnieje układ pętli γ1 , . . . , γg , δ1 , . . . , δg w M , które rozcinają M tak, że po rozcięciu dostaje się wielokąt W z 4g bokami odpowiadającymi kolejno γ1 , δ1 , γ1−1 , δ1−1 , . . . , γg , δg , γg−1 , δg−1 .
(2.3) Dla g ≥ 1 istnieje g liniowo
R niezależnych różniczek holomorficznych ω1 , . . . , ωg na M i takich, że γi ωj = δij . Na przykład, dla krzywej
hipereliptycznej y 2 = P (x) te 1-formy są postaci xj dx/y.
(2.4) Każda różniczka meromorficzna ρ wyznacza swój dywizor zer i biegunów K = (ρ) stopnia 2g − 2. Klasa równoważności dywizora K nazywa
się dywizorem kanonicznym.
C. Wzór Riemanna–Rocha. Zastosujmy własność (2.1) do każdego
z punktów pi . Dodając odpowiednie formy holomorficzne (z własności (2.3)),
uzyskujemy następujący fakt:
(2.5) Każdemu wektorowi a = (a1 , . . . , ad ) ∈ Cd można jednoznacznie
przyporządkować 1-formę holomorficzną ηa w M \ {p1 , . . . , pd } taką,
R że ηa =
[ai zi−2 + O(1)]dzi w otoczeniu pi (z lokalną współrzędną zi ) oraz γj ηa = 0.
Przenieśmy teraz wszystkie powyższe funkcje i różniczki do wielokąta
W
R z (pozostawiając te same oznaczenia). Możemy określić funkcje Ωj (z) =
ω , z ∈ W , oraz formy meromorficzne Ωj ηa . Wyrażając całkę z Ωj ηa po
z0 j
brzegu ∂W za pomocą okresów z jednej strony i za pomocą residuów w pk
z drugiej, dostaje się następujące ‘prawo wzajemności’
R
X
ωj
(2.6)
ηa = 2πi
ak
(pk ).
dzk
δj
k
Odsyłam czytelnika do [31] po więcej szczegółów.
My chcemy, aby całki w (2.6) zerowały
się. Mamy zatem odwzorowanie
R
R
A : Cd → Cg , a → δ1 ηa , . . . , δg ηa , które zadaje się za pomocą macierzy
wymiaru g × d

 ω1
ω1
(p1 ) . . . dz
(p
)
d
dz1
d
...
... .
A =  ...
ωg
ωg
dz1 (p1 ) . . .
dzd (pd )
Zatem h0 (D) = dim ker A + 1.
Z drugiej strony, indeks macierzy A zależy tylko od jej wymiarów i wynosi
dim ker A − dim coker A = d − g. Ale dim coker A jest równy liczbie liniowo
niezależnych holomorficznych różniczek zerujących się w p1 , . . . , pd . Każda
taka różniczka jest traktowana jako element przestrzeni H 0 (M, Ω1 (−D)) =
{η : (η) − D ≥ 0}. Poniżej snop Ω1 (−D) utożsamimy ze snopem O(K − D).
Twierdzenie Riemanna–Rocha zamyka się w następującym wzorze:
(2.7)
h0 (D) − h0 (K − D) = d − (g − 1).
4
H. Ż o ł ą d e k
W istocie Riemann udowodnił tylko, że h0 (D) ≥ d − g + 1, a poprawkę
wyliczył Roch. W zastosowaniach często okazuje się, że h0 (K − D) = 0 (np.
gdy D − K jest efektywny) i dlatego wzór (2.7) jest tak użyteczny.
D. Interpretacja topologiczna. Teraz zinterpretujemy wzór (2.7)
w terminach wiązek liniowych i ich klas charakterystycznych.
Istnieje wzajemna jednoznaczność pomiędzy holomorficznymi wiązkami
liniowymi (tzn. z 1-wymiarowym włóknem) E nad M i klasami równoważności dywizorów na M . Wybierając meromorficzny przekrój s : M → E
wiązki definiujemy
dywizor D = (s) jego zer i biegunów. Z drugiej strony,
P
jeśli D = ni ·pi , to wybieramy pokrycie U = (Uα ) powierzchni M takie, że
U
/ Uα to kładziemy ψα,i ≡ 1). Z rozłącznej sumy
Fα ∩pi = {ψα,i = 0} (jeśli pi ∈
Uα ×C konstruujemy wiązkę E przy pomocy sklejeń (x, y) ∼ (x, ϕα,β (x)y),
α
Q
ϕα,β = (ψα,i /ψβ,i )ni nad Uα ∩ Uβ . Ta odpowiedniość przenosi się na przyi
padek rozmaitości zespolonych wyższych wymiarów (na przykład rzutowych
rozmaitości algebraicznych).
Jeśli wiązka E jest stowarzyszona z dywizorem D, to przez E −1 oznacza
się wiązkę stowarzyszoną z dywizorem −D, a sumie dywizorów odpowiada
iloczyn tensorowy wiązek liniowych. Na przykład, E ⊗ E −1 jest wiązką trywialną.
Ważna w geometrii algebraicznej jest tzw. wiązka Hopfa (związana z rozwłóknieniem Hopfa S 3 nad S 2 ) L nad CPn z funkcjami przejścia ϕi,j = zi /zj
(w jednorodnych P
współrzędnych (z) = (z0 : . . . : zn )), taka, że H = L−1 ma
przekroje liniowe aj zj . Włóknem L(z) nad (z) jest prosta C·(z0 , . . . , zn ) ⊂
Cn+1 .
Z każdą holomorficzną wiązką wektorową F (niekonieczne liniową) jest
stowarzyszony snop O(F ) jej lokalnych (holomorficznych) przekrojów. Rozważa się także snopy Ωk (E) kiełków holomorficznych k-form o wartościach
w F . Snopy O(H m ) = O(H ⊗m ) = O(L−m ) nad CPn są oznaczane przez
O(m), a snopy O(E ⊗ H m ) przez E(m).
Kohomologie Čecha H q (M, F) snopa F są definiowane przy pomocy
pokryć i stanowią ważne narzędzie w geometrii algebraicznej. Dla wiązek
liniowych E nad zespoloną rozmaitością rzutową M (lub tylko rozmaitością Kählera) grupy H q (M, Ωp (E)) utożsamia się jeszcze z następującymi
obiektami:
∂¯
– jako kohomologie Dolbeaulta związane z resolwentą 0 → Γ(Ωp (E)) →
Γ(Ωp,1 (E)) . . .;
– jako formy harmoniczne typu (p, q) o wartościach w E (teoria Hodge’a).
Odnotujmy jeszcze dualność Kodairy–Serre’a, tzn. niezdegenerowaność
formy dwu-liniowej
(2.8)
H q (M, Ωp (E)) × H n−q (M, Ωn−p (E −1 )) → C, n = dimC M,
5
(całka z iloczynu zewnętrznego form harmonicznych) oraz izomorfizm
H p (M, Ωq ) ≃ H q (M, Ωp ).
(2.9)
W szczególności dla powierzchni Riemanna mamy
H 0 (M, Ω1 (−D)) ≃ H 1 (M, O(D))
(2.10)
oraz H 1 (M, Ω1 (p)) ≃ H 0 (M, O(−p)) = 0. Ta ostatnia równość wraz z długim ciągiem dokładnym . . . → H 0 (M, Ω1 (2p)) → H 0 (M, Cp ) →
→ H 1 (M, Ω1 (p)) → . . ., związanym z ciągiem dokładnym snopów 0 →
Ω1 (p) → Ω1 (2p) → Cp → 0 (gdzie Cp ma nośnik w p) pozwala udowodnić
lemat (2.1).
Wzór (2.9) pokazuje, że lewą stronę tożsamości Riemanna–Rocha (2.7)
można przedstawić w postaci ‘charakterystyki Eulera’
(2.11)
χ(M, E) = χ(M, D) =
n
X
i=0
(−1)i dim H i (M, O(E)),
n = 1, nazywanej genusem arytmetycznym wiązki E stowarzyszonej z dywizorem D.
Prawa strona tożsamości (2.7) ma dwa składniki: d (charakteryzujący
dywizor) i 1 − g (charakteryzujący powierzchnię Riemanna). My je zinterpretujemy następująco:
(2.12)
d=
R
M
c1 (E),
1−g =
1R
c1 (Thol ),
2
M
gdzie Thol ≃ K
jest holomorficzną wiązką styczną do M (dualną do
wiązki kanonicznej Ω1 ≃ K), E jest wiązką stowarzyszoną z D, zaś c1 (F ) ∈
H 2 (M, Z) jest tzw. pierwszą klasą Cherna wiązki zespolonej F (jej definicję podajemy w następnym rozdziale). Stosuje się także oznaczenie c1 (E) =
c1 (D). Całki w (2.12) można rozumieć albo jako całki z odpowiednich 2-form
(nieholomorficznych) albo jako wartości 2-wymiarowych
klas kohomologii na
R
cyklu fundamentalnym [M ] ∈ H2 (M, Z), M c1 = hc1 , [M ]i.
W algebrze kohomologii H ∗ (M, Z) można wprowadzić następujące obiekty (pełna klasa Cherna, charakter Cherna i genus Todda):
−1
(2.13)
c(D)
ch(D)
T d(F )
= 1 + c1 (D),
= ec1 (D) = 1 + c1 (D),
= c1 (F )/[1 − e−c1 (F ) ] = 1 + 12 c1 (F ).
Wtedy prawa strona tożsamości (2.7) przyjmuje postać hch(D) · T d(Thol ) ,
[M ]i i twierdzenie Riemanna–Rocha można zapisać następująco
(2.14)
χ(M, D) = hch(D) · T d(Thol ), [M ]i .
6
H. Ż o ł ą d e k
3. Twierdzenia Hirzebrucha
A. Klasy charakterystyczne wiązek wektorowych. Są to pewne
kohomologiczne przeszkody, aby wiązka była trywialna.
Przykładem jest klasa Eulera e(T M ) ∈ H n (M, Z), n = dim M , wiązki
stycznej do rzeczywistej rozmaitości M. Jest to klasa dualna w sensie Poincarégo
P do pewnego 0-wymiarowego cyklu, czyli elementu H0 (M, Z). Ten cykl
to X(p)=0 indp (X) · p, gdzie X : M → T M jest generycznym polem wektorowym z izolowanymi punktami osobliwymi p ∈ M o indeksach indp (X) =
±1.
]i =
P M ), i[M
P Znane twierdzenie Poincarégo–Hopfa mówi, że he(T
(−1) bi , bi =
indp (X) równa się charakterystyce Eulera rozmaitości
dim H i (M, R). W geometrii zespolonej tę charakterystykę oznacza się przez
e(M ), dla odróżnienia od genusu algebraicznego2
X
(3.1)
χ(M ) =
(−1)i dim H i (M, O)
(porównaj z (2.11)).
Uogólnienie klasy Eulera prowadzi do teorii przeszkód i tzw. klas charakterystycznych Stiefela–Whitney’a (patrz [DNF,I,9] i [36]). Spróbujmy skonstruować k liniowo niezależnych pól wektorowych X1 , . . . , Xk na M . Możemy
zakładać, że te pola tworzą układ ortonormalny (względem danej metryki
riemannowskiej) w Tx M , czyli stanowią przekrój s(x) wiązki z włóknem
Vn,k = SO(n)/SO(n − k) (rozmaitość Stiefela). Jeśli przedstawimy M w
postaci CW-kompleksu z j-wymiarowymi szkieletami Mj , to możemy kolejno przedłużać przekrój ze szkieletu Mj−1 do szkieletu Mj . Ponieważ Mj
powstaje z Mj−1 przez doklejanie j-wymiarowych komórek σ j do Mj−1 , to
dostajemy kołańcuch σ j → [s|∂σj : S j−1 → Vn,k ] o wartościach w grupie
homotopii πj−1 (Vn,k ). Ten kołańcuch okazuje się być kocyklem, a zatem
definiuje element grupy H j (M, πj−1 (Vk,n )), tzw. przeszkodę. Dalej, na ćwiczeniach z topologii algebraicznej wylicza się, że πi (Vn,k ) = 0 dla i < n − k
oraz πn−k (Vn,k ) = Z lub = Z2 w zależności od tego czy n − k jest parzyste
czy nieparzyste. Zatem pierwszą (nietrywialną) przeszkodą jest dobrze określony element αn−k+1 ∈ H n−k+1 (M, Z) lub ∈ H n−k+1 (M, Z2 ). Z definicji
q-ta klasa Stiefela–Whitney’a (wiązki T M ) to wq = wq (T M ) = αq mod 2 ∈
H n−k+1 (M, Z2 ). Geometrycznie jest to klasa dualna (w H ∗ (M, Z2 )) do cyklu (modulo 2) zdefiniowanego przez podrozmaitość złożoną z punktów liniowej zależności układu n − q + 1 typowych pól wektorowych X1 , . . . , Xn−q+1 .
W szczególności, wn (T M ) = e(T M ) mod 2. Ponadto zerowanie się w1 (T M )
oznacza orientowalność M .
Klasy charakterystyczne Cherna cj (E) są definiowane dla zespolonych
wiązek wektorowych E, dimC E = k, nad rozmaitością M (niekoniecznie
2
Definicję (3.1) podajemy za monografią Hirzebrucha [32], ale we współczesnej literaturze z geometrii algebraicznej (n.p. [GH]) przyjęto nazywać genusem algebraicznym
wielkość ga (M ) = (−1)n (χ(M ) − 1).
7
zespoloną). Analogicznie jak poprzednio, cj (E) ∈ H 2j (M, Z) jest klasą dualną do cyklu definiowanego jako zbiór punktów liniowej zależności k − j + 1
typowych przekrojów s1 , . . . , sk−j+1 wiązki E.
W szczególności, gdy M jest powierzchnią Riemanna i E jest holomorficzną wiązką liniową (t.j. k = 1) nad M , to c1 (E) jest kocyklem dualnym
do cyklu miejsc zerowych typowego przekroju s : M → E. Ponieważ każdy
przekrój meromorficzny smer : M → E można zamienić na przekrój ciągły
scont : M → E taki, że bieguny p przekroju smer stają się zerami scont
z ujemnym indeksem, indp (scont ) = ordp (smer ), to mamy
X
hc1 (E), [M ]i =
indp (scont ) = deg smer = deg D.
scont (p)=0
W przypadku wiązek rzeczywistych E nad rzeczywistymi rozmaitościami
M rozważa sie klasy Cherna kompleksyfikacji E ⊗C wiązki E. Wtedy E ⊗ C
jest izomorficzne z E ⊗ C, co prowadzi do c2j+1 (E ⊗ C) = 0. Elementy
pj (E) = (−1)j c2j (E ⊗ C) ∈ H 4j (M, Z) nazywają się klasami Pontriagina
wiązki E.
Pełne klasy charakterystyczne zapisuje się w postaci szeregów w H ∗ (M )
= H 0 (M ) ⊕ H 1 (M ) . . . :
w(T M ) = 1 + w1 + w2 + . . .
(3.2)
c(E) = 1 + c1 + c2 + . . .
p(E) = 1 + p1 + p2 + . . .
Stosuje się też taki oto zapis:
(3.3)
c(E) = (1 + α1 ) . . . (1 + αk ),
k = dim E;
wtedy cj są funkcjami symetrycznymi od 2-wymiarowych klas αi .
Klasy charakterystyczne cj (oraz wj i pj ) zachowują się naturalnie przy
odwzorowaniach rozmaitości i przeciąganiu wiązek oraz spełniają następujące własności:
c(E ⊕ F ) = c(E)c(F
),
Q
(1 + αi + βj ),
c(E ⊗ F ) =
(3.4)
ij
c(L)
= 1 + α,
Q
gdzie c(F ) = (1 + βj ) oraz L jest wiązką Hopfa nad CP1 , zaś α generuje
H 2 (CPn , Z). Naturalność i powyższe własności służą jako aksjomatyczna
definicja klas Cherna. Odnotujmy jeszcze własności
(3.5)
c(Thol CPn ) = (1 − α)n+1 ,
p(T CPn ) = (1 + α2 )n+1 .
Wielowymiarowe uogólnienia charakteru Cherna i genusu Todda są następujące:
ch(E) = eα1 + . . . + eαk ,
k
Q
(3.6)
αj
T d(E) = 1 + T1 (E) + . . . =
,
1−e−αj
j=1
8
H. Ż o ł ą d e k
gdzie prawe strony są symetrycznymi funkcjami od α1 , . . . .αk , czyli wielo1
(c21 + c2 ). Łatwo widać, że
mianami od c1 , c2 , . . . , ck , np. T1 = 12 c1 , T2 = 12
charakter Cherna jest homomorfizmem z pierścienia Grothendiecka K(M )
(wiązek zesponych nad M ) do pierścienia kohomologii H ∗ (M, Z):
(3.7)
ch(E ⊕ F ) = ch(E) + ch(F ),
ch(E ⊗ F ) = ch(E) ch(F ).
B. Twierdzenie Riemanna–Rocha–Hirzebrucha. W [32] F. Hirzebruch udowodnił następujące uogólnienie wzoru (2.7), zwane twierdzeniem
Riemanna–Rocha–Hirzebrucha:
χ(M, E) = hch(F ) · T d(Thol M ), [M ]i ,
(3.8)
gdzie E jest holomorficzną wiązką wektorową nad rozmaitością zespoloną
M , a χ jest genusem arytmetycznym zdefiniowanym w (2.11).
To twierdzenie jest powszechnie stosowane w
zespo
2teorii powierzchni
1
lonych (dimC M = 2): 1 − q(M ) + pg (M ) = 12 c1 + c2 , [M ] , gdzie c1,2 =
c1,2 (Thol M ), q(M ) = dim H 0 (M, Ω1 ) jest nieregularnością powierzchni,
a pg (M ) = dim H 0 (M, Ω2 ) jest jej genusem geometrycznym.
Dowód wzoru (3.8) jest znacznie bardziej złożony niż dowód wzoru (2.7).
Nie będziemy go tu omawiać. Za to bliżej zajmiemy się innym twierdzeniem
Hirzebrucha (powiązanym z (3.8)).
C. Twierdzenie Hirzebrucha o sygnaturze. Załóżmy, że M jest rozmaitością Kählera, czyli że jest wyposażona w metrykę hermitowską, której
część urojona jest formą symplektyczną ω (a część rzeczywista jest metryką
riemannowską); na przykład, każda rozmaitość rzutowa posiada strukturę
rozmaitości Kählera dzięki metryce Fubiniego–Study.
∗
W (3.8) można brać zamiast E wiązki zespolone Ωp = Λp (Thol
M ) p-form
holomorficznych. Definiujemy
X
χp (M ) = χ(M, Ωp ) =
(−1)q hp,q ,
q
gdzie h
= dim H (M, Ω ). Wyrażają się one za pomocą klas cj (M ) =
cj (Thol M ). Zatem i wyrażenie
X
(3.9)
τ (M ) =
χp (M )
p,q
q
p
p
wyraża się za pomocą cj (M ). Łatwo sprawdzić, że τ (M ) = 0 gdy n, wymiar
M , jest nieparzysty (np. dla krzywej algebraicznej mamy τ (M ) = (h0,0 −
h0,1 ) + (h1,0 − h1,1 ) = 0). Jeśli n jest parzyste, to z tzw. rozkładu Lefschetza
i relacji Hodge’a (patrz [31]) wynika, że τ (M ) jest sygnaturą formy przecięć
H n (M, R) × H n (M, R) → R (liczba plusów minus liczba minusów postaci
kanonicznej), czyli sygnaturą rozmaitości.
9
Definiujemy następujący L-genus rozmaitości
p
n
Y
βj
p ,
(3.10)
L(M ) = 1 + L1 (p) + . . . =
tanh βj
j=1
gdzie βj ∈ H 4j (M,
1+
Q Z) zadają klasy Pontriagina1 pj = pj (T1M ) wzorem
2
p1 + p2 + . . . = (1 + βj ). Na przykład, L1 = 3 p1 , L2 = 45 (7p2 − p1 ).
Twierdzenie Hirzebrucha o sygnaturze mówi, że
(3.11)
τ (M ) = hL(M ), [M ]i .
Ponadto ta tożsamość zachodzi, gdy M jest dowolną rzeczywistą orientowalną rozmaitością wymiaru 4m, a wielomiany Lj = Lj (p1 , . . . , pj ) są Lgenusami od klas Pontriagina rozmaitości.
Sygnatura jest powiązana z innymi
Eulera’ poprzez
P‘charakterystykami
tzw. wirtualny genus arytmetyczny
y p χp (M ) (patrz [32]), ale nie będziemy się nad tym zatrzymywać. Za to nakreślimy szkic dowodu tożsamości
(3.11).
Po pierwsze, sygnatura ma następujące własności:
τ (M1 ∪ M2 ) = τ (M1 ) + τ (M2 ),
τ (M1 × M2 ) = τ (M1 )τ (M2 ),
τ (∂N ) = 0
(Thom [44]). Zatem jest to niezmiennik kobordyzmów. Niech Ωj oznacza
grupę kobordyzmów rozmaitości wymiaru j. R. Thom [44] udowodnił, że
Ωj ⊗ Q = 0 dla j 6= 4m i że grupa Ω4m ⊗ Q jest generowana przez produkty kartezjańskie zespolonych przestrzeni rzutowych CP2n1 × . . . × CP2nr ,
n1 + . . . nr = m. Te generatory są jednoznacznie wyznaczone przez jednomiany Pontriagina
pm1 . . . pms , m1 + . . . + ms = m. Na przykład, Ω4 ⊗ Q =
Q · CP2 , p1 , [CP2 ] = 3, τ (CP2 ) = 1 oraz Ω8 ⊗ Q = Q · CP4 + Q ·
CP2 × CP2 , p21 , [CP4 ] = 25, p21 , [CP2 × CP2 ] = 18, p2 , [CP4 ] = 10,
p2 , [CP2 × CP2 ] = 9, τ (CP4 ) = 1, τ (CP2 ×CP2 ) = 1 (patrz (3.5)). Również
sygnatura jest wielomianem quasi-jednorodnym od klas Pontriagina stopnia
m. Wystarczy zatem ją policzyć na iloczynach rozmaitości rzutowych i w
ten sposób wyznaczyć współczynniki tego wielomianu. Okazuje się, że tym
wielomianem musi być Lm (p1 , . . . , pm ).
4. Twierdzenie Atiyaha–Singera
A. Indeks analityczny. Niech M będzie zwartą, zorientowaną, gładką
(rzeczywistą) rozmaitością (wymiaru n), a E i F będą zespolonymi wiązkami
nad M . Rozważa się liniowe operatory różniczkowe
D : Γ(E) → Γ(F ),
tzn. liniowe operatory na przestrzeni Γ(E) = Γ(M, E) gładkich przekrojów, które lokalnie (tj. w trywializacjach Uα × Ck ⊂ E lub ⊂ F ) wyrażają
się za pomocą macierzy utworzonych z kombinacji pochodnych cząstkowych
10
H. Ż o ł ą d e k
∂xγ = ∂xγ11 . . . ∂xγnn ze współczynnikami zależnymi od x ∈ Uα . Rzędem m operatora D nazywa się największy rząd |γ| = γ1 + . . . γn spośród pochodnych cząstkowych występujących w D. Symbolem operatora σ(D) nazywa
się objekt powstały z D przez odrzucenie wszystkich pochodnych cząstkowych rzędu < m i zastąpienie ∂xj przez iξj . Traktując ξj jako współrzędne w T ∗ M możemy traktować symbol σ(D) jako homomorfizm wiązek
σ(D) : π ∗ E → π ∗ F , gdzie π : T ∗ M → M jest rzutowaniem, a π ∗ E =
T ∗ M ×π E = {(z, e) : π(z) = πE (e)} jest cofnięciem wiązki E (z takimi samymi włóknami co i E). Operator D nazywa się eliptycznym, jeśli macierze
σ(D)(x, ξ) są odwracalne dla ξ 6= 0; w szczególności, wymiary (zespolone)
włókien Ex i Fx powinny być takie same (równe k).
Pn
Przykładami operatorów różniczkowych
są: laplasjan ∆ = i=1 ∂x2i na
P
E = F = Rn × C i z symbolem − ξi2 oraz operator Cauchy’ego-Riemanna
∂v ∂u
∂v
(a w zasadzie jego kompleksyfikacja) ∂∂z̄ (u, v) = 12 ( ∂u
∂x − ∂y , ∂y + ∂x ) na
ξ1 −ξ2
E = F = R2 ×C2 i z symbolem 2i
. Tutaj rozmaitość M = Rn nie
ξ2 ξ1
jest zwarta; w zwartym przypadku ∆ zastępuje się operatorem Laplace’a–
Beltramiego d∗ d, a ∂∂z̄ zastępuje się przez ∂¯ + ∂¯∗ (patrz niżej).
Jedną z podstawowych własności operatorów eliptycznych jest fakt, że
przestrzenie ker D i coker D = Γ(F )/DΓ(E) ≃ ker D∗ (gdzie D∗ oznacza
operator formalnie sprzężony względem pewnych metryk na M, E, F ) są
skończenie wymiarowe; główny powód to fakt, że operatory (D∗ D + 1)−1
i (DD∗ + 1)−1 są zwarte. Indeksem analitycznym (lub po prostu indeksem)
operatora eliptycznego D nazywa się liczba
(4.1)
ian D = dim ker D − dim ker D∗ .
B. Indeks topologiczny. Niech, jak powyżej, D będzie różniczkowym
operatorem eliptycznym. Oznaczmy przez B(M ) i S(M ) wiązki kul i sfer
jednostkowych w T ∗ M z rzutowaniami πB i πS na M . Ograniczenie symbolu σ(D) do S(M ) zadaje izomorfizm σS wiązek πS∗ E i πS∗ F nad S(M ). Ten
izomorfizm pozwala skonstruować tzw. element różnicowy (lub wiązkę różnicową) d(D) = d(πS∗ E, πS∗ F, σS ) grupy Grothendiecka K(B(M ), S(M )) =
K(B(M )/S(M )).
Przypomnijmy, że grupa K(X) składa się z wyrażeń K − L, czyli ‘różnic’ wiązek K i L nad X (dokładniej, klas izomorficznych wiązek), przy
czym N w ciągu dokładnym 0 → K → N → L → 0 jest utożsamiane
z K + L w K(X). Funktory K 0 (X) = K(X), K 1 (X) = K(S 1 × X),
Bott
K 2 (X) = K(S 2 × X) = =K(X), K(X, Y ) = K(X/Y ) tworzą pewną teorię kohomologii. W szczególności dla pary przestrzeni (X, Y ) mamy ciąg
dokładny K-grup
p∗
i∗
. . . → K(X, Y ) → K(X) → →K(Y ) → . . . ,
11
gdzie p : X → X/Y jest ściągnięciem a i : Y → X włożeniem. Jeśli σ :
K|Y → L|Y zadaje izomorfizm wiązek, to element różnicujący d(K, L, σ) jest
pewnym elementem z K(X, Y ) o własności p∗ d(K, L, σ) = K − L w K(X).
Element d(K, L, σ) wyznacza się jednoznacznie, ale w dosyć skomplikowany
sposób (patrz [18], [39]).
Dalej, para rozwłóknień topologicznych (B(M ), S(M )) jest orientowalna
(bo M jest orientowalna). Elementy jej grup kohomologii są postaci π ∗ a·U =
π ∗ a ∪U ∈ H j+n (B(M ), S(M )), gdzie a ∈ H j (M ), zaś U ∈ H n (B(M ),
S(M )) jest tzw. klasą orientacji taką, że jej ograniczenie na dowolne włókno
(B(M )x , S(M )x ) ≃ (Dn , S n−1 ) generuje H n (Dn , S n−1 , Z). Mamy tzw. izomorfizm Thoma
(4.2)
φ∗ : H ∗ (B(M ), S(M )) → H ∗−n (M );
(w szczególności, φ∗ (U 2 ) = e(T ∗ M ) jest klasą Eulera wiązki kostycznej).
Z elementem różnicującym d(D) = d(πS∗ E, πS∗ F, σS ) są związane jego
klasy Cherna oraz charakter Cherna ch(d(D)) ∈ H ∗ (B(M ), S(M ), Z). Definiujemy charakter Cherna operatora D jako
(4.3)
ch(D) = φ∗ [ch(d(D))] ∈ H ∗ (M, Z).
Następnie definiujemy genus Todda rozmaitości jako
(4.4)
T (M ) = T d(T M ⊗ C),
czyli jako genus Todda kompleksyfikacji wiązki stycznej. Indeksem topologicznym operatora D nazywamy liczbę
(4.5)
itop D = hch(D) · T (M ), [M ]i .
W punktach D i E poniżej podajemy sposób wyliczania ch(D) i T (M )
w konkretnych przykładach.
C. Wzór Atiyaha–Singera. Znamienite twierdzenie Atiyaha–Singera
o indeksie mówi, że
(4.6)
ian D = itop D
dla dowolnego eliptycznego operatora różniczkowego.
Ciekawe jest prześledzenie, w jaki sposób to twierdzenie zawojowało
świat matematyczny. Zostało ono po raz pierwszy opublikowane w 11-stronicowej pracy [18] Atiyaha i Singera w 1963 r. ze szkicem dowodu. Pełny
dowód został najpierw opublikowany w 1965 r. przez A. Borela, R. Solovay’a, F. Floyda, R. Seely’ego i R. Palaisa w książce [39] pod redakcją Palaisa; jest tam tylko jeden artykuł Atiyaha traktujący o indeksie operatora
na rozmaitości z brzegiem. Twierdzenie o indeksie było także omawiane na
seminarium H. Cartana i L. Schwartza w Paryżu. Dopiero w latach 1968
i 1971 pojawiła się seria prac [19] i [17], w których można znaleźć pełne
(i zmodyfikowane w stosunku do pierwotnego dowodu) dowody twierdzenia
12
H. Ż o ł ą d e k
o indeksie i jego uogólnień. Na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Moskwie w 1966 r. M. Atiyah dostał medal Fieldsa (głównie za to
twierdzenie).
Pierwszy dowód twierdzenia Atiyaha–Singera (ten z [39]) opiera się na
K-teorii i twierdzeniu Thoma o kobordyzmach, a jego idea jest następująca.
Wzór (4.3) pozwala zdefiniować charakter Cherna dla dowolnego elementu
a ∈ K(B(M ), S(M )), a następnie jego indeks topologiczny itop a tak jak
w (4.5). Ten ostatni indeks posiada szereg własności: addytywność względem
sumy rozmaitości lub sumy Whitney’a wiązek, multyplikatywność względem
iloczynu kartezjańskiego rozmaitości i (jednoczesnego) iloczynu tensorowego
wiązek, zerowanie się, gdy M = ∂N oraz normalizacja dla pewnych standardowych rozmaitości (jak CP2m i S 2m ) i wiązek. Tutaj n = dim M jest
parzyste, bo dowodzi się, że itop D = 0 dla eliptycznego operatora różniczkowego na rozmaitości o nieparzystym wymiarze. Podobnie jak w twierdzeniu
Hirzebrucha o sygnaturze dowodzi się, że powyższe własności wyznaczają
itop jednoznacznie. Następnym etapem jest określenie indeksu analitycznego
dla elementów a ∈ K(B(M ), S(M )) przez przyporządkowanie elementowi a
najpierw symbolu σa , a następnie operatora Da takiego, że σa = σ(Da ).
Tutaj trzeba rozszerzyć klasę operatorów różniczkowych do tzw. algebry
Seeley’a (eliptycznych operatorów całkowych). Pokazuje się, że ian spełnia
cytowane powyżej własności, a zatem musi pokrywać się z itop .
W pracach [19] i [17] usunięto z dowodu teorię kobordyzmów.3
W punktach F i G poniżej opowiemy o jeszcze innych dowodach wzoru (4.6).
D. Zastosowania: charakterystyka Eulera, genus arytmetyczny,
sygnatura. Myliłby się ten, kto spodziewałby się istotnego zastosowania
twierdzenia o indeksie w jakościowej teorii równań różniczkowych cząstkowych. Jego autorzy są topologami i geometrami; dlatego też ich przykłady służą interpretacji pewnych geometrycznych niezmienników rozmaitości w terminach indeksów pewnych operatorów różniczkowych.
Najbardziej znanym niezmiennikiem rozmaitości jest jego charakterystyka Eulera
X
i
(M, C)
(4.7)
e(M ) =
(−1)i dimC HdR
(kohomologie de Rhama). Zakładając, że M posiada metrykę riemannowską (·, ·)x (na T M , T ∗ M i Λj T ∗ M ), przestrzenie gładkich zespolonych form
j
j ∗
różniczkowych
R E = Γ(Λ T M ⊗ C) można wyposażyć w iloczyn hermitowski (θ, η) = M (θ(x), η(x))x V OL(x) (gdzie V OL jest riemannowską formą
3
Niedawno (czerwiec 2005 r.) P. Baum opowiadał o tym drugim dowodzie na Uniwersytecie Warszawskim i było to całkiem zrozumiałe.
13
objętości) oraz zdefiniować gwiazdkę Hodge’a ∗ : E j → E n−j
(4.8)
θ(x) ∧ ∗η(x) = (θ(x), η(x))x V OL(x).
Teraz E są przestrzeniami prehilbertowskimi i można zdefiniować operatory
sprzężone d∗ różniczki zewnętrznej d : (d∗ θ, η) = (θ, dη). Zachodzą wzory
d∗ = −∗d∗ i ∗2 = (−1)j(n−j) na E j . Teoria Hodge’a mówi, że grupy kohomoj
logii de Rhama HdR
(M, C) można utożsamiać z przestrzeniami form harmonicznych, tzn. takich, że dθ = 0 i d∗ θ = 0 (oraz ∆θ = 0 dla ∆ = dd∗ + d∗ d).
Niech n = dim M = 2l będzie parzyste; w nieparzystym przypadku
mamy e(M ) = 0 (dualność Poincarégo). Zdefiniujmy wiązki zespolone
j
(4.9)
E=
l
M
j=0
oraz operator
2j
∗
Λ T M ⊗ C,
F =
l
M
j=1
Λ2j−1 T ∗ M ⊗ C
DEul = d + d∗ : Γ(E) → Γ(F ).
Nietrudno sprawdzić, że DEul jest eliptyczny oraz, że
(4.10)
ian DEul = e(M ).
P
Teraz zinterpretujmy genus arytmetyczny χ(M, W ) = (−1)p dim H p
(M, O(W )), dla rozmaitości kählerowskiej M i holomorficznej wiązki W ,
jako indeks pewnego operatora eliptycznego. Tutaj mamy
M
M
∗
∗
(4.11)
E=
Λ2j Thol
M ⊗ W, F =
Λ2j−1 Thol
M ⊗W
j=0
j=1
oraz
Dχ = ∂¯ + ∂¯∗ : Γ(E) → Γ(F ),
gdzie ∂¯∗ jest operatorem sprzężonym do ∂¯ względem metryki hermitowskiej
(pochodzącej od metryki kählerowskiej). Ponadto wykorzystujemy fakt, że
grupy H p (M, O(W )) można interpretować z jednej strony jako grupy kohomologii Dolbeaulta, a z drugiej jako przestrzenie form harmonicznych typu
¯
(0, p) (które są również ∂-harmoniczne,
bo ∆∂¯ = 12 ∆d ).
(4.12)
Również sygnatura τ (M ) 2l-wymiarowej rozmaitości jest indeksem pewnego operatora różniczkowego. Tutaj Dτ = d+ d∗ (jak dla DEul ), ale inaczej
definiuje się wiązki E i F . Wprowadzamy inwolucję na Λ∗ (T ∗ M ⊗ C)
(4.13)
ι = ir(r−1)+l ∗ : Λr (T ∗ M ⊗ C) → Λ2l−r (T ∗ M ⊗ C);
ponieważ ∗2 = (−1)r , to ι2 = id. Kładziemy E i F jako przestrzenie własne tej inwolucji odpowiadające wartościom własnym +1 i −1 odpowiednio.
Ponieważ ι(d + d∗ ) = −(d + d∗ )ι (sprawdzić), to Dτ : Γ(E) → Γ(F ). Jądro
Dτ (odpowiednio Dτ∗ ) składa się z form harmonicznych θ ∈ H ∗ = H ∗ (M )
takich, że ιθ = θ (odpowiednio ιθ = −θ). Podprzestrzenie H r ⊕ H 2l−r ,
r
r
r < l, są niezmiennicze względem inwolucji i mają rozkład H+
⊕ H−
na
14
H. Ż o ł ą d e k
l
l
r
podprzestrzenie własne; podobnie H l = H+
⊕ H−
. Łatwo widać, że H±
=
r
r
r
{α ± ια : α ∈ H } ; dlatego dim H+ = dim H− dla r < l. Dalej, jeśli l jest
l
l
nieparzyste, to ι = i∗ i odzorowanie
R η → η̄ zadajeRizomorfizm H+ z H− . Gdy
l
l = 2m jest parzyste, to ι = ∗ i M η ∧ ∗η = ± M (η, η)V OL dla η ∈ H±
.
Stąd wynika, że
(4.14)
ian Dτ = τ (M ).
Operator Dτ jest w istotny sposób używany w pierwszym dowodzie twierdzenia Atiyaha–Singera (patrz [39]).
Następnym naszym zadaniem jest wyliczenie indeksu topologicznego
operatorów DEul , Dχ i Dτ ze wzoru hch(D)T (M ), [M ]i. Do tego celu użyjemy następującego wzoru ([18], [39], [AS2, Ch. 19, Proposition 5.3])4:
!
ch(
X̃)
−
ch(
Ỹ
)
.
(4.15)
ch(D) = f ∗
e(Ṽ ∗ )
Tutaj f : M → BG jest odwzorowaniem w tzw. przestrzeń klasyfikującą
BG wiązek wektorowych z grupą strukturalną G, a f ∗ jest indukowanym
homomorfizmem w kohomologiach. Dla naszych celów wystarczy, gdy G =
SO(2l) lub G = U (n).
Przypomnijmy, że istnieje uniwersalna wiązka EG → BG taka, że dowolna wiązka nad M z homomorfizmami sklejającymi z G jest postaci f ∗ EG
dla pewnego odwzorowania ciągłego f : M → BG ; (BG jest granicą prostą
grassmanianów z tautologicznymi wiązkami). Wiązki X̃, Ỹ i Ṽ są postaci
P ×G X = {(p, v) : (pg, v) = (p, gv), g ∈ G} = EG ×G X, P ×G Y i P ×G V ,
gdzie P → BG jest tzw. wiązką główną z wł óknem G stowarzyszoną z EG ,
zaś przestrzenie wektorowe X, Y, V są przestrzeniami reprezentacji grupy
G (G-modułami). V jest takim rzeczywistym G-modułem, że T M = f ∗ Ṽ
i T ∗ M = f ∗ Ṽ ∗ , zaś X i Y są G-modułami związanymi z wiązkami E i F
(te ostatnie są cofnięciami X̃ i Ỹ lub ich kompleksyfikacji). W (4.15) zależność od symbolu operatora σ(D) nie jest zbyt istotna; zakłada się, że σ(D)
pochodzi od pewnego G-equiwariantnego izomorfizmu σ̃ wiązek πS∗ X̃ i πS∗ Ỹ
nad S(Ṽ ∗ ).
W G istnieje maksymalny torus T = S 1 × . . . × S 1 i mamy włożenie
ρ : BT → BG , gdzie BT = CP∞ × . . . × CP∞ . Klasy charakterystyczne (np.
Cherna) wiązki EG są konstruowane z generatorów xj grupy H ∗ (BT ) =
Z[γ1 , . . . , γl ], γj ∈ H 2 (CP∞ ). Dokładniej, H ∗ (BG ) składa się z tych elementów H ∗ (BG ), które są niezmiennicze względem działania grupy Weyla
(twierdzenie Borela–Hirzebrucha). W naszych przykładach grupa Weyla
składa się z permutacji klas xj .
4
W różnych miejscach ten wzór jest podawany na różne sposoby, w zależności od
wyboru orientacji w T ∗ M i definicji izomorfizmu Thoma; te sposoby nie zawsze są zgodne.
15
Dla przykładu, niech G = SO(2l) i niech X będzie rzeczywistym Gmodułem takim, że torus T działa jako suma prosta macierzy
cos 2πωj − sin 2πωj
,
sim2πωj
cos 2πωj
gdzie ωj = ωj (t) ∈ Hom(T, S 1 ) są wagami modułu X. Wtedy ωj : T → S 1
indukują odwzorowania ω̃j : BT → BS 1 ≃ CP∞ . Będziemy utożsamiać wagi
ωj z klasami ω̃j∗ (γ) ∈ H 2 (BT ), gdzie γ jest generatorem H 2 (CP∞ ). Okazuje
Q
się, że pełna klasa Cherna wiązki X̃ ⊗ C wynosi c(X̃ ⊗ C) = (1 − ωj2 ),
Q
zaś klasa Pontriagina wiązki X̃ wynosi p(X̃) = (1 + ωj2 ). Ponadto klasa
Q
Eulera wiązki X̃ wynosi e(X̃) = ωj .
W przypadku grupy G = U (n) i zespolonego modułu X torus maksymalny T (złożony z diagonalnych macierzy) działa za pomocą macierzy
diagonalnych w X z wartościami własnymi e2πiωj , gdzie ωj = ωj (t) ∈
Q
Hom(T, S 1 ) są wagami modułu X. Tutaj mamy c(X̃) = (1 + ωj ) oraz
Q
e(X̃) = ωj .
Policzmy
z następujących tożsamości: jeśli
Q teraz itop DEul . Skorzystamy
Q
c(N ) = (1 + αi ), to c(Λk N ) =
(1 + αi1 + . . . + αik ) oraz ch(Λk N ) =
i1 <...<ik
P
Q
P
αik
αi1
e
.
.
.
e
.
Zatem
(−1)k ch(Λk N ) = (1 − eαi ).
i1 <...<ik
Wybierając SO(2l)-moduł V = R2l z wagami ω1 , . . . , ωl , zauważmy, że
moduł V ⊗ C ma wagi ±ωj , a V ∗ ma wagi −ωj . Weźmy moduły X =
L 2j−1 ∗
Q
L 2j ∗
Λ
V ⊗ C. Wtedy ch(X̃)− ch(Ỹ ) = (1− eωj )(1−
Λ V ⊗ C, YQ=
e−ωj ), e(Ṽ ∗ ) = (−ωj ) i wzór (4.15) daje nam charakter Cherna operatora
Y
Y
(1 − eωj )(1 − e−ωj )
(1 − eαj )(1 − e−αj )
∗
ch(DEul ) = f
=
,
−ωj
−αj
gdzie αj = f ∗ ωj . Następnie genus Todda rozmaitości wynosi
Y
αj
−αj
T (M ) = T d(T ∗ M ⊗ C) =
·
.
−α
1 − e j 1 − eαj
Q
Łącząc to wszystko razem widzimy, że ch(DEul
αj = e(T M )
Q)T (M ) =
jest klasą Eulera wiązki stycznej i itop DEul = h αj , [M ]i = e(M ).
Analogiczne obliczenia przeprowadza się dla operatorów Dχ i Dτ (patrz
[39], [19]).
E. Algebra Clifforda, grupa Spin(n) i operator Diraca. Klasyczny
operator Diraca /∂ = γ 0 ∂x0 + γ 1 ∂x1 + γ 2 ∂x2 + γ 3 ∂x3 został wprowadzony
przez Diraca, aby działać na funkcję falową elektronu ψ(x) w relatywistycznej elektrodynamice kwantowej. Tutaj γ j są tzw. macierzami Diraca
wymiaru 4 × 4, które spełniają relacje γ µ γ ν + γ ν γ µ = ±δµν (wynikające
z żądania /∂ 2 = ∂x20 − ∂x21 − ∂x22 − ∂x23 ). Funkcja falowa ψ przyjmuje wartości w przestrzeni spinorów, która jest przestrzenią ‘reprezentacji’ o spinie 12
16
H. Ż o ł ą d e k
grupy Lorenza SO(1, 3); ściślej, jest to przestrzeń reprezentacji dwukrotnego
nakrycia Spin(1, 3) grupy Lorenza.
Istnieje analog operatora Diraca na rozmaitościach riemannowskich dopuszczających spin-strukturę. Jego indeks stanowi ważny niezmiennik takich
rozmaitości. Poniżej podajemy odpowiednie definicje (według [11] i [34]).
Algebrą Clifforda Cn wzorowaną na przestrzeni wektorowej V = Rn
(z bazą e1 , . . . , en i standardowym iloczynem skalarnym Q(ei , ej ) = δij )
nazywamy R-algebrę z 1, generowaną przez V i z relacjami
(4.16)
ei ej + ej ei = −2δij .
Zatem jako przestrzeń wektorowa (nie algebra) Cn jest izomorficzna z algebrą Grassmanna Λ∗ V i ma wymiar 2n .
Podobnie jak algebra Grassmanna dopuszcza ona rozkład Cn = Cn+ ⊕
−
Cn , gdzie Cn+ (odpowiednio Cn− ) jest rozpinana przez jednomiany ei1 . . . eik
z parzystą (odpowiednio nieparzystą) liczbą czynników k. Mamy Cn± · Cn+ =
Cn± i Cn± · Cn− = Cn∓ .
Definiujemy anty-automorfizm algebry Cn : x → x̄ generowany przez
ei1 . . . eik → (−1)k eik . . . ei1 . Wtedy ei1 . . . eik · ei1 . . . eik = 1. Grupa P in(n)
składa się z elementów odwracalnych ϕ ∈ Cn , które spełniają
(4.17)
ϕϕ̄ = 1 i
ϕV ϕ−1 = V.
Okazuje się, że przekształcenia x → ϕxϕ−1 przestrzeni V są ortogonalne,
czyli należą do grupy O(n). Przeciwobraz w P in(n) grupy SO(n) jest grupą
Spin(n). Odwzorowanie
(4.18)
Spin(n) → SO(n)
jest 2-krotnym nakryciem. (Dla n ≥ 2 grupa Spin(n) jest jednospójna, zaś
π1 (SO(n)) = Z2 , np. Spin(3) = SU (2) = S 3 i Spin(4) = SU (2) × SU (2).
Dla n = 2 grupy SO(2) i Spin(2) są równe S 1 i odpowiednie odwzorowanie
S 1 → S 1 jest równe z → z 2 .)
Odwzorowanie (4.18) można przedstawić w jawny sposób. Jeśli mamy
1-parametrową rodzinę obrotów w SO(n) :
(4.19) e1 → cos 2πω · e1 + sin 2πω · e2 , e2 → − sin 2πω · e1 + cos 2πω · e2
i ej → ej dla j > 2, to w Cn mamy odpowiadającą jej rodzinę obrotów
w Spin(n) :
(4.20)
cos πω + sin πω · e1 e2 .
Widać, że obrót w Spin(n) jest 2-krotnie wolniejszy niż w SO(n); stąd
pochodzi pojęcie spinu połówkowego.
Dalej będziemy zakładać, że n = 2l jest parzyste. Algebra C2l ma wymiar (2l )2 i nietrudno pokazać, że jest prosta (nie jest sumą prostą podalgebr). Zatem jej kompleksyfikacja C2l ⊗C jest pełną algebrą endomorfizmów
17
l
pewnej przestrzeni zespolonej S ≃ C2 ; przestrzeń S nazywa się przestrze+
nią spinorów. Dalej, jako moduł nad C2l
⊗ C przestrzeń S rozkłada się na
sumę prostą niezmienniczych podmodułów S + ⊕ S − (dodatnich i ujemnych
spinorów). S ± są podprzestrzeniami własnymi z wartościami własnymi ±1
dla mnożenia przez element τ = (−1)l e1 . . . e2l ; (zauważmy, że τ 2 = 1).
Zauważmy też, że
ej : S ± → S ∓ .
Przestrzeń spinorów można zdefiniować w jawny sposób. Zauważmy, że
w przestrzeni Λ∗ Ck operatory gi = ei ∧ (·) (mnożenie zewnętrzne przez
wektor bazowy) i hi = ei y(·) (mnożenie wewnętrzne) spełniają relacje gi hj +
hj gi = δij , gi gj + gj gi = hi hj + hj hi = 0 (typu Clifforda, tylko z inną formą
dwuliniową Q). Potraktujmy przestrzeń wyjściową V = √
R2l jako W = Cl
(z utożsamieniami e2j ↔ ie2j−1 ). Wtedy operatory Av = 2(v ∧ (·) − vy(·)),
v ∈ V , działają na przestrzeni Λ∗ W i spełniają relację A2v = −2|v|2 =
−2Q(v, v). Właśnie
M
M
S = Λ∗ W = Λ∗ Cl , S + =
Λ2j W, S − =
Λ2j−1 W
są naszymi przestrzeniami spinorów oraz dodatnich i ujemnych spinorów.
Niech teraz M będzie rzeczywistą rozmaitością riemannowską wymiaru
n = 2l. Wtedy wiązka styczna jest O(2l)-wiązką, tzn. homomorfizmy przejścia ϕαβ (x) ∈ O(2l) (nad przecięciami Uα ∩ Uβ ). Układ {ϕαβ } traktuje się
jako kocykl Čecha o wartościach w O(2l); zadaje on element ϕ ∈ H 1 (M,
O(2l)). Jeśli rozmaitość jest orientowalna, to można wybrać ϕαβ ∈ SO(2l),
tj. det ϕαβ (x) = 1; wiemy, że orientowalność jest równoważna znikaniu klasy
Stiefela–Whitney’a w1 .
Załóżmy, że M jest orientowalna i że T M zadaje się za pomocą kocyklu ϕ ∈ H 1 (M, O(2l)). Mówimy, że M dopuszcza spin–strukturę (jest
rozmaitością spinorową) jeśli kocykl ϕ jest obrazem pewnego kocyklu ϕ̃ ∈
H 1 (M, Spin(2l)). Wyjaśnimy, co to oznacza w terminach klas charakterystycznych.
p
Mamy ciąg dokładny grup 0 → Z2 → Spin(2l) → SO(2l) → 0 i odpowiadający mu ciąg dokładny snopów. Wypiszmy odpowiedni długi ciąg
dokładny kohomologii Čecha
p∗
δ
(4.21) . . . H 1 (M, Z2 ) → H 1 (M, Spin(2l) → H 1 (M, SO(2l)) → H 2 (M, Z2 ) . . .
Pytamy się, czy ϕ = p∗ (ϕ̃)? Do tego wystarczy, aby δ(ϕ) = 0; wtedy wszystkie spin-struktury na M są numerowane przez elementy H 1 (M, Z2 ). Okazuje
się, że δ(ϕ) = w2 ∈ H 2 (M, Z2 ), druga klasa Stiefela–Whitney’a. Aby czytelnik w to uwierzył, proponuję zauważyć analogię z ciągiem dokładnym snoexp
pów 0 → Z → O → O∗ → 0 i definicją klasy Cherna c1 (L) wiązki liniowej L
18
H. Ż o ł ą d e k
(zadanej przez kocykl ϕ ∈ H 1 (M, O∗ )) jako δ(ϕ) ∈ H 2 (M, Z) w analogicznym ciągu dokładnym jak (4.21) (patrz [31]). Nawet w przypadku zespolonej
rozmaitości M okazuje się, że w2 = c1 (Thol M ) mod 2 (patrz [34]).
Wybór Spin(2l)-struktury na M oznacza, że możemy napisać T M =
P ×Spin(2l) R2l , gdzie P jest główną wiązką z włóknem Spin(2l) i z grupą
strukturalną Spin(2l). Definiujemy następujące wiązki nad M :
E = P ×Spin(2l) S,
E + = P ×Spin(2l) S + ,
E − = P ×Spin(2l) S − .
Na T M istnieje SO(2l)-koneksja Levi–Civity ∇, która podnosi się do koneksji w wiązce głównej P → M . (Przypomnijmy, że koneksja zadaje możliwość jednoznacznego wyboru elementów z włókna wiązki wzdłuż krzywych
γ(t) w bazie (przy wybranym punkcie początkowym włókna nad γ(0)). Ten
d
T (t).
wybór jest zadany przez rodzinę operatorów T (t) ∈ SO(2l), zaś ∇ = dt
Rodzinę T (t) można też traktować jako koneksję w wiązce głównej z włóknem SO(2l). Ponieważ wiązka P jest dwukrotnym nakryciem tej ostatniej,
to elementy T (t) lokalnie jednoznacznie podnoszą się do P.) Zatem możemy
podnieść koneksję ∇ również do wiązek E, E ± .
Ponadto mamy homomorfizmy wiązek
(4.22)
T M ⊗ E → E,
gdzie wektory z Tx M ≃ V działają na Ex przez mnożenie w algebrze Clifforda Cn (wzorowanej na Tx M ). Wiemy też, że T M ⊗ E ± → E ∓ .
Operator Diraca działa na przekrojach s ∈ Γ(E) i ma postać
X
(4.23)
DDir s(x) =
ei · (∇ei s)(x),
gdzie (e1 , . . . , e2l ) jest dowolną bazą ortonormalną w Tx M i elementy ei
działają jak w (4.22). W istocie (4.23) definiuje dwa operatory Diraca
+
DDir
: Γ(E + ) → Γ(E − ),
−
DDir
: Γ(E − ) → Γ(E + ),
−
+
gdzie DDir
= (DDir
)∗ . Rozwiązania równania Diraca DDir η = 0 nazywają
się spinorami harmonicznymi. Indeks
(4.24)
+
+
−
ian DDir
= dim ker DDir
− dim ker DDir
+
operatora DDir
nazywa się spinorowym indeksem rozmaitości i oznacza się
przez Spin(M ).
+
Zakończmy ten punkt wyrażeniem Spin(M ) za pomocą itop DDir
, czyli
w terminach klas Pontriagina pj (M ). Użyjemy wzoru (4.15) ze Spin(2l)modułami X = S + i Y = S − . Jeśli ω1 , . . . , ωl są bazowymi wagami SO(2l)modułu V (związanego z T M ), to są one związane z maksymalnym torusem
T0 w SO(2l). Można je rozpatrywać także jako wagi dla Spin(2l)-modułów,
związane z torusem maksymalnym T ⊂ Spin(2l) (który dwukrotnie nakrywa
19
T0 ). Wagi Spin(2l)-moduł ów S + (odpowiednio S − ) są postaci 12 (±ω1 ±. . .±
ωl ) z parzystą (odpowiednio nieparzystą) liczbą minusów. Stąd wynika, że
+
−
ch(S ) − ch(S ) =
l
Y
1
(eωj /2 − e−ωj /2 ).
+
ch(DDir
)
Q
Ponieważ e(V ) = (−ωj ), to
= (eαj /2 − e−αj /2 )/(−αj ), gdzie
αj = f ∗ (ωj ) (patrz punkt D). Zatem
Y
yj /2
1
+
ch(DDir
)T (M ) =
= 1 − p1 + . . .
sinh(yj /2)
24
X
= Â(M ) =
Âr (p1 , . . . , pr ).
∗
Q
Jest to tzw. Â-genus (wprowadzony również przez Hirzebrucha).
Zatem mamy następujące twierdzenie
D
E
(4.25)
Spin(M ) = Â(M ), [M ] ;
ponadto Spin(M ) = 0, jeśli dim M nie jest krotnością 4 (jako że Â zależy
tylko od klas Pontriagina).
(Zatem poznaliśmy trzy funkcje generujące niezmienników topologicznych rozmaitości: T-genus (genus Todda), L-genus (genus sygnatury) i Âgenus (genus spinorowy). I wystarczy, nie będzie więcej genusów w tym
artykule.)
W teorii indeksu zwykło się uważać operator Diraca za najważniejszy
eliptyczny operator różniczkowy. W istocie, używając pewnej algebro-topologicznej i K-teoryjnej analizy można sprowadzić dowód ogólnego twierdzenia o indeksie do dowodu tego twierdzenia w przypadku operatora Diraca
(patrz [11]).
F. Równanie przewodnictwa ciepła. Oczywiście jest to zagadnienie
początkowe postaci ∂u
∂t = ∆u, u(0, x) = u0 (x) z rozwiązaniem u(t, x) =
(et∆ u0 )(x), t ≥ 0; (tutaj ∆ ≤ 0 w przeciwieństwie do następnych laplasjanów).
My zastosujemy je w przypadku, gdy ‘laplasjan’ jest postaci
(4.26)
∆E = D∗ D : Γ(E) → Γ(E)
lub ∆F = DD∗ : Γ(F ) → Γ(F ).
Tutaj ∆E i ∆F są samosprzężonymi i nieujemnymi operatorami z dyskretnym widmem o skończonej krotności. Ponadto ker ∆E = ker D, ker ∆F =
ker D∗ oraz dla λ > 0 podprzestrzenie własne Γλ (E) = ker(∆E − λ)
i Γλ (F ) = ker(∆F − λ) są izomorficzne (z izomorfizmem D|Γλ (E) ). Stąd
wynika, że
(4.27)
ian D = tr(e−t∆E ) − tr(e−t∆F )
X
X
=
e−tλ dim Γλ (E) −
e−tλ dim Γλ (F ).
λ
λ
20
H. Ż o ł ą d e k
Sumy w ostatnim wzorze są skończone dla t > 0 i ich różnica nie zależy od
t. W granicy t → ∞ otrzymujemy dim Γ0 (E) − dim Γ0 (F ). Główna idea zastosowania równania przewodnictwa polega na policzeniu granicy wyrażenia
tr(e−t∆E ) − tr(e−t∆F ) przy t → 0+. .
Okazuje się, że istnieje asymptotyczne rozwinięcie (rozwinięcie Seeley’a)
postaci
∞
X
−t∆
(4.28)
tr e
∼
tk/2m Uk (∆), t → 0+ ,
k=−n
gdzie n = dim M , 2m jest rzędem nieujemnego eliptycznego operatora różniczkowego ∆ i
(4.29)
Uk (∆) =
R
µk (∆),
M
gdzie µk (∆) jest pewną miarą na M jednoznacznie wyznaczoną przez współk
czynniki operatora ∆. Dalej, miara µk (∆) jest jednorodna wagi
P 2m względem
Pwspółczynników ∆. W przypadku m = 1, czyli gdy ∆ = aij (x)∂xi ∂xj
+ ai (x)∂xi + a0 (x), miara µk (∆) wyraża się za pomocą wielomianu od
współczynników aij , ai , od ich pochodnych oraz od det−1 (aij ).
Dla nas ważne są miary µ0 (∆E ) i µ0 (∆F ). Ponadto chcemy wyliczyć
µ0 w przypadku pewnych naturalnych operatorów pierwszego rzędu, jak
+
operator sygnatury Dτ lub operator Diraca DDir
(patrz uwaga na końcu
poprzedniego punktu). Wobec tego m = 1 i mamy wyrażenie
ian D =
R
ω,
M
gdzie ω jest pewną n-formą kanonicznie wyznaczoną przez metrykę i spełniającą określone własności. Na przykład, w przypadku operatora Dτ forma
ω = ω(g) jest dana jako wielomian od współczynników gij metryki, od skończonej liczby pochodnych ∂xα gij i od det−1 gij oraz jest jednorodna stopnia 0.
P. Gilkey [30] udowodnił, że jedyne takie formy ω(g) są wielomianami od
form różniczkowych p1 (M ), p2 (M ), . . . reprezentujących klasy Pontriagina
Rrozmaitości; w [10] podano prostszy dowód tego twierdzenia. Zatem ian Dτ =
f (p , . . . , pk ) dla pewnego quasi-jednorodnego wielomianu fk stopnia
M k 1
k = n/4. Analogicznie jak w dowodzie twierdzenia Hirzebrucha o sygnaturze
sprawdza się, że fk = Lk , a do sprawdzenia służą produkty przestrzeni
rzutowych.
J.-M. Bismut [24] wyliczył tr(e−t∆ ) za pomocą rachunku stochastycznego. Wiadomo, że gdy ∆ = −∂x21 − . . . − ∂x2n w Rn , to jądro operatora e−t∆
ma postać
K(x, y) = pt (x|y),
21
czyli gęstość prawdopodobieństwa, że trajektoria w(t) procesu Wienera startującego
z y znajdzie się w pobliżu x po czasie t > 0. Zatem tr(e−t∆E ) =
R
p (x|x)dx. Analogiczna teoria procesów stochastycznych na rozmaitoRn t
ściach zwartych została stworzona przez Malliavina i innych. Bismut zasto− +
+ −
sował tę teorię. Przedstawił jądra operatorów e−tD D i e−tD D , dla ope±
ratorów Diraca D± = DDir
przy pomocy gęstości prawdopodobieństw określonych procesów stochastycznych (spełniających równania stochastyczne
Itó lub Stratonovicha). Wzory w [24] są mocno skomplikowane, ale w rezultacie dostaje on wyrażenia w postaci całki po rozmaitości z konkretnej
formy różniczkowej, która okazuje się być formą Â-genusu.
G. Supersymetria i operator Diraca. Tutaj przedstawiamy ostatnie podejście do twierdzenia Atiyaha–Singera. Jest ono najbardziej efektowne ze wszystkich, ale wykorzystuje pojęcie super-lagranżjanu na superrozmaitości, ich kwantowe odpowiedniki oraz całki po trajektoriach. Te pojęcia jeszcze nie zadomowiły się w matematyce.5 W pewnym sensie ten dowód
jest skróconym dowodem Bismuta, a skrócenie polega na zastąpieniu całek
stochastycznych ich super-symetrycznymi analogami. Ciekawe, że właśnie
Bismut i Witten zostali zaproszeni do wygłoszenia wykładów podczas ceremonii wręczania medalu Abela (patrz [43]).
Skorzystam z wykładu Wittena [46], od którego pochodzi idea. Ściślejsze
dowody można znaleźć w pracach L. Alvarez-Gaumé’a [1] i E. Getzlera [29].
Klasyczny układ fizyczny jest opisywany przez równanie różniczkowe
zwyczajne (lagranżjan na T ∗ M ), zaś kwantowy układ opisuje się za pomocą
liniowego równania różniczkowego cząstkowego (operator Schrödingera).
Przy tym funkcjom na T ∗ M są przypisywane operatory liniowe w przestrzeni Hilberta stanów układu. Ta odpowiedniość prowadzi do ‘bozonowej’
(parzystej) mechaniki kwantowej. Ale istnieje też ‘fermionowa’ (nieparzysta) mechanika kwantowa. Klasycznym odpowiednikiem nieparzystej mechaniki kwantowej jest nieparzysta mechanika lagranżowska na tzw. superrozmaitościach.
Super-rozmaitość różni się od rozmaitości tym, że oprócz zwykłych (parzystych) współrzędnych xi , i = 1, . . . , n, posiada także nieparzyste współrzędne θi , i = 1, . . . , N , które są anty-przemienne między sobą. Wtedy mówi
się, że super-rozmaitość ma wymiar n|N . Przestrzeń topologiczna (‘podścielająca’) jest taka sama dla rozmaitości i super-rozmaitości. Na przykład,
taką super-rozmaitością jest Rn|N z C ∞ (Rn|N ) = C ∞ (Rn ) ⊗ Λ∗ RN . Innym
przykładem jest ΠT M , wiązka nad M z włóknami (Tx M )0|n traktowanymi
jako czysto nieparzyste przestrzenie wymiaru 0|n; tutaj Π oznacza zmianę
parzystości.
5
Dotyczy to również mnie, chociaż chyba nie można mi zarzucić braku starań.
22
H. Ż o ł ą d e k
Kwantyzacja na super-rozmaitości polegałaby na przypisywaniu parzystym współrzędnym i pędom (parzystych) operatorów mnożenia i pochodnych cząstkowych, zaś zmienne nieparzyste powinny przechodzić na (nieparzyste) operatory z algebry Clifforda działające na spinory.
Typowe super-działanie ma postać
R
1
(4.30)
S(X) = − dtdθ hẋ(t) + θ∇t ψ, ψ − θ ẋ(t)i ,
2
1|1
R
gdzie R = {(t|θ) : t parzyste, θ nieparzyste}, X = x(t) + θψ(t) : R1|1 →
ΠT M = {(x|ψ) : x parzyste, ψ nieparzyste},R h·, ·i jest metryką Riemanna
na
Levi–Civity. Ponadto dθ jest tzw. całką Berezina:
R M , a ∇ koneksją
R
dθ · 1 = 0, dθ · θ = 1. Ponieważ θ 2 = 0 (antyprzemienność), to (4.30)
można przepisać w następującej postaci
D
E
1R
1R
(4.31) S(x, ψ) =
|ẋ|2 − h∇t ψ, ψi dt = −
dtdθ Ẋ(t), QX(t) ,
2
2 1|1
1|1
R
R
gdzie
∂
∂
−θ
∂θ
∂t
jest (nieparzystym) polem wektorowym generującym przekształcenia supersymetrii (mieszanie zmiennych przystych z nieparzystymi). Mamy Q2 X =
∂
− ∂t
X, co odpowiada (parzystej) hamiltonowskiej ewolucji.
Równania Eulera–Lagrange’a przyjmują postać ∇t QX = 0 lub (równoważnie)
∇t ψ = 0, R(ψ, ẋ)ψ = ∇t ẋ,
gdzie R jest krzywizną. Tutaj odpowiednikiem parzystej przestrzeni symplektycznej T ∗ M jest przestrzeń π ∗ ΠT M , gdzie π : T ∗ M → M jest rzutowaniem.
Odpowiednikiem parzystej przestrzeni Hilberta L2 (M ) jest przestrzeń
H = L2 (E) przekrojów wiązki spinorowej E = E + ⊕ E − (z włóknem S =
S + ⊕ S − ). Jest to super-przestrzeń Hilberta H = H+ ⊕ H− , H± = L2 (E ± ),
czyli z Z2 - gradacją. W super-przestrzeni Hilberta mamy super-ślad trs =
tr |H+ − tr |H− .
Ponieważ Q2 odpowiada hamiltonianowi H w przypadku klasycznym,
to kwantyzacja Q powinna dać operator Diraca DDir (patrz [46]). Indeks
operatora Diraca wyraża się zatem jako super-ślad,
Q=
(4.32)
ian DDir = tr e−βH .
s
Następny etap dowodu polega na wyliczeniu super-śladu operatora e−βH
dla małych β. To wyliczenie dokonuje się za pomocą całek po trajektoriach
(typu Feynmana). Rozważa się super-symetryczne pętle X = (x, ψ) : S 1|1 →
23
ΠT M , gdzie S 1|1 = {(t|θ) : t ∈ R mod β}. Wtedy zachodzi następujący
super-analog odpowiedniego wzoru Bismuta:
tr e−βH =
(4.33)
s
R
{X}
DxDψe−S(x,ψ) ,
gdzie D oznacza
miary funkcjonalne (typu Wienera). Przeskalowanie t′ = βt,
√
ψ ′ = ψ/ β daje analogiczny wzór jak w (4.33), tylko z pewną stałą przed
R
R1
całką {X} i z super-działaniem S = −1
|ẋ|2 − h∇t ψ, ψi dt.
2β 0
Stała nie jest dla Wittena groźna, gdyż zależy tylko od wymiaru n (i od
β), a jego interesuje tylko wiodący wyraz asymptotyki przy β → 0. Tego
typu stałe pojawiają się również dalej. W rezultacie końcowy wynik będzie
określony z dokładnością do czynnika niezależnego od rozmaitości, który
wyznacza się na podstawie przykładów.
Dla małych β działanie staje się duże i całka powinna być liczona metodą
fazy stacjonarnej, czyli z wyróżnieniem wkładu pochodzącego od otoczeń
punktów krytycznych. Punkty krytyczne działania odpowiadają zamkniętym geodezyjnym w M . Przy tym geodezyjne o minimalnym działaniu, to
stałe geodezyjne, czyli x(t) ≡ x0 , ψ(t)
√ ≡ ψ0 .
√
Bierzemy zaburzenia x(t) = x0 + βa(t), ψ(t) = ψ0 + βη(t) i wyliczamy
część kwadratową w S względem zaburzenia. Wynosi ona I1 + I2 , gdzie
1 1
1R
1
1R
2
I1 = −
|ȧ| − hR(ψ0 , ψ0 )a, ȧi dt, I2 = −
hη̇, ηi dt;
2
2
2
0
0
(tutaj R(ψ0 , ψ0 ) 6= 0, boR ψ0 jest nieparzyste).
Całka funkcjonalna {(a,η)} DaDηe−I1 (a)−I2 (η) zapisuje się w postaci iloR
R
czynu {a} e−I1 · {η} e−I2 , przy czym ta ostatnia całka znowu daje pewną
stałą zależną tylko od wymiaru n. Za to pierwsza całka jest gaussowska i
wynosi
(4.34)
R
{a}
gdzie
Dae−I1 (a) = [det DR (x0 , ψ0 )]
−1/2
,
d2
1
d
− R(ψ0 , ψ0 ) .
2
dt
2
dt
Wyznacznik operatora DR , R ∈ so(n), liczymy metodą regularyzacji Ray’a–
Singera (patrz punkt 6A poniżej).
DR działa na przestrzeni odwzorowań
R
a : S 1 → Rn z zerową średnią, a = 0. Niech n = 2l i rozłóżmy
Tx0 M na 2
0
αj
wymiarowe podprzestrzenie Vj takie, że R|Vj =
. Wektory włas−αj 0
P
ne operatora DR są postaci
vj e2πikj t , vj ∈ Vj , kj ∈ Z \ 0, z wartościami
(4.35)
DR = DR (x0 , ψ0 ) = −
24
H. Ż o ł ą d e k
√
l
Q
∞
Q
αj 2
4πk
.
własnymi (2πkj ) ±πkj αj . Zatem det DR =
(2πk) 1 +
j=1 k=1
Q
P
4
Iloczyny (2πk)
regularyzuje
się
przy
pomocy
ζ-funkcji,
np.
(ck)4 =
P
d
d
|s=0 (ck)−s ) = exp(−4 ds
(ζ(s)c−s )|s=0 ). Pozostaje
exp(−4 ds
"∞ #
Y
−1
l
α 2 Y
Y
αj /2
j
const·
1+
= const·
= const·Â(R)−1 ,
4πk
sinh
α
/2
j
j=1
2
4
k=1
gdzie Â jest Â-genusem.
Ale R zależy od x0 i ψ0 , a pamiętamy, że w metodzie fazy stacjonarnej trzeba sumować wkłady od poszczególnych punktów krytycznych.
−1/2
W naszym przypadku powinniśmy jeszcze scałkować [det DR (x0 , ψ0 )]
=
const · Â(R) po super-rozmaitości ΠT M . Przy tym wszystko jest tak wykombinowane, że nieparzyste składowe ψ0,i , jako funkcje na ΠTx0 M , są elementami dxi ∈ Tx∗0 M , a całka BerezinaP
po ΠTx0 M jest stała. Zatem wyrażenie R(ψ0 , ψ0 ) trzeba zastąpić 2-formą
Rij (x0 )dxi ∧ dxj . Tę formę należy
jeszcze wstawić do Â(R) i odpowiednią n-formę dopiero wycałkować po M .
Dostajemy
(4.36)
+
ian DDir
=C·
R
Â(R),
M
plus wyższe potęgi β. Tutaj C jest pewną stałą , która mogłaby być postaci
C1 β ν , ale ponieważ wynik jest skończony i niezerowy, to ν = 0 i C zależy
tylko od n = 2l.
Istnieje definicja klas Cherna (i Pontriagina) poprzez krzywiznę koneksji
w wiązce E (patrz [31], [36]). Jeśli R jest 2-formą (o wartościach w End(E))
krzywizny tej koneksji, to zachodzi wzór
i
1
i
(4.37)
c(E) = det(1 +
R) = 1 +
tr R − 2 tr R ∧ R + . . . ,
2π
2π
4π
gdzie poszczególne składniki są zamkniętymi formami
i są traktowane
jako
D
E
R
klasy kohomologii de Rhama. Zatem Â(R) = Â(M ), [M ] , czyli mamy
twierdzenie o indeksie z dokładnością do stałej C. Z przykładów wynika,
że C = 1. W [1] w analogiczny sposób policzono indeksy operatorów DEul
i Dτ .
Wzór (4.36) jest przykładem tzw. lokalnego twierdzenia
o indeksie. InR
nym przykładem jest wzór Gaussa–Bonneta 2πe(M ) = M K dla powierzchnii ze skalarną krzywizną K.
Ciekawa jest też praca Atiyaha [6], gdzie wykonano podobne rachunki jak
powyżej, ale przy wykorzystaniu nie przybliżonego rozwinięcia metodą fazy
stacjonarnej, tylko pewnego dokładnego wzoru Duistermaata i Heckmana
25
[27] przy założeniu działania grupy S 1 . Tutaj S 1 działa na pętlach S 1 → M
poprzez przesuwanie argumentu. W ten sposób Atiyah unika super-symetrii.
5. Uogólnienie twierdzenia Lefschetza. Wymiar skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej, to ślad operatora identycznościowego. Zatem
naturalnym uogólnieniem indeksu analitycznego operatora eliptycznego będzie
tr TE − tr TF ,
gdzie TE : Γ(E) → Γ(E), TF : Γ(F ) → Γ(F ) są operatorami liniowymi
zgodnymi z D, tzn. TF ◦ D = D ◦ TE .
Można pójść jeszcze dalej. Zamiast jednego operatora eliptycznego można
rozważyć kompleks eliptyczny
D
D
Dm−1
E : 0 → Γ(E0 ) →0 Γ(E1 ) →1 . . . → Γ(Em ) → 0
(5.1)
taki, że (i) Di+1 ◦ Di = 0 oraz (ii) ciąg symboli
σi (x,ξ)
. . . → Ei,x → Ei+1,x → . . .
jest dokładny dla wszystkich x ∈ M i ξ ∈ Tx∗ X \ 0, gdzie σi są symbolami
operatorów różniczkowych Di . Wtedy grupy kohomologii H i (E) kompleksu
(5.1) są skończenie wymiarowe.
Dalej, jeśli mamy endomorfizm T = (Ti )i=0,...,m kompleksu E,
Ti : Γ(Ei ) → Γ(Ei+1 ),
(5.2)
Ti+1 ◦ Di = Di ◦ Ti ,
to definiujemy jego liczbę Lefschetza jako
m
X
(5.3)
L(T ) =
(−1)i tr H i (T ),
i=0
gdzie H (T ) : H (E) → H (E) są odpowiednimi odwzorowaniami w kohomologiach. Przypuśćmy teraz, że endomorfizm T = (Ti ) jest związany
z pewnym gładkim odworowaniem f : M → M oraz że potrafimy utożsamiać cofnięte wiązki f ∗ Ei z wiązkami Ei za pomocą homomorfizmów
ϕi : f ∗ Ei → Ei . Wtedy mamy endomorfizmy Ti = ϕi ◦ f ∗ : Γ(Ei ) → Γ(Ei ).
Jeśli przy tym zachodzą komutowania (5.2), to dostajemy endomorfizm kompleksu E.
Załóżmy na koniec, że odwzorowanie f posiada tylko niezdegenerowane
punkty stałe, tzn. det(1 − f ′ (p)) 6= 0, jeśli f (p) = p (1 nie jest wartością
własną f ′ (p)).
M. Atiyah i R. Bott [AB1, AB2] udowodnili, że w tej sytuacji liczba
Lefschetza endomorfizmu T wyraża się wzorem
X
(5.4)
L(T ) =
ν(p),
i
i
i
f (p)=p
26
H. Ż o ł ą d e k
gdzie indeks punktu stałego wynosi
P
(−1)i tr ϕi,p
,
(5.5)
ν(p) =
| det(1 − f ′ (p)|
zaś endomorfizmy ϕi,p : Ei,p → Ei,p są ograniczeniami ϕi do włókien Ei,p .
(5.4) jest uogólnieniem klasycznego
twierdzenia Lefschetza L(f ) =
P
P Wzór
(−1)i tr f ∗ : H i (M ) → H i (M ) =
f (p)=p indp (f ), gdzie indp (f ) jest
indeksem pola wektorowego x − f (x). Istotnie, biorąc jako E kompleks de
Rhama z różniczkami zewnętrznymi jako Di oraz z Ti = f ∗ , znajdujemy
X
−1
(−1)i tr f ∗ |Λi Tp∗ M
ν(p) = |det(1 − f ′ (p))|
=
det(1 − f ′ (p))
= sign det(1 − f ′ (p)).
| det(1 − f ′ (p))|
W przypadku zespolonym zachodzi analogiczne twierdzenie. Załóżmy,
że mamy holomorficzne odwzorowanie f : M → M zespolonej rozmaitości, mamy holomorficzną wiązkę E nad M i holomorficzny izomorfizm
ϕ : f ∗ E → E. Jeśli zdefiniujemy endomorfizmy H i (f ) = ϕ∗ ◦ f ∗ na grupach
kohomologii H i (M, O(E)), to zachodzi wzór
X
X
(5.6)
(−1)i tr H i (f ) =
ν(p),
f (p)=p
gdzie
(5.7)
ν(p) =
tr ϕp
.
detC (1 − f ′ (p))
Jako przykład zastosowania weźmy holomorficzne odwzorowanie f powierzchni Riemanna
M i trywialną wiązkę liniową E. Wtedy wzór (5.6) daje
P
1 − H 0,1 (f ) = f (p)=p 1−f1′ (p) , gdzie H 0,1 (f ) jest indukowanym homomorfizmem na H 0,1 (M ) = H 1 (M, O).
Heurystyczne uzasadnienie wzoru (5.6) jest następujące (patrz [40]), ale
ścisły dowód jest inny. Spróbujmy policzyć następujący ‘ślad’ tr ϕ ◦ f ∗ :
Γ(E) → Γ(E) = H 0 (M, O(E)). Wkład do niego wnoszą jedynie infinitezymalne otoczenia punktów stałych odwzorowania f . Zatem liczymy ślad odwzorowania na przestrzeni kiełków przekrojów s : U → E, gdzie U jest otoczeniem punktu stałego p. Z algebraiczno-formalnego punktu widzenia przestrzeń kiełków, to Ep ⊗STP∗ M , gdzie STp∗ M jest symetryczną algebrą (wielohP
i
∗
∗
mianów na Tp M ). Tutaj tr (ϕ ◦ f ∗ |Ep ⊗ STP∗ M ) = tr ϕp
tr
f
|ST
M
.
p
p
j
P
P
k1
′
∗
∗
kn
Jeśli λi są wartościami f (p), to j tr fp |STp = k1 ,...,kn λ1 . . . λn =
n
Q
(1 − λi )−1 = 1/ (det(1 − f ′ (p))). Często okazuje się, że H j (M, O(E)) = 0
i=1
27
dla j > 0. W tych przypadkach powyższe rozumowanie daje właśnie wzór
(5.6).
Ciekawym przykładem zastosowania twierdzenia Atiyaha–Botta jest interpretacja formuły Weyla




iλ
X
e
Q
(5.8)
χλ =
w·

(1 − e−iα ) 
w∈W
α>0
w terminach (5.6). Tutaj χλ jest charakterem pewnej specjalnej reprezentacji ρ : G → Aut(Vλ ) zwartej grupy Liego G. Jest to reprezentacja indukowana z 1-wymiarowej reprezentacji torusa maksymalnego T ⊂ G określonej przez tzw. młodszą wagę λ ∈ Hom(T, S 1 ) (z charakterem eiλ ). Sumowanie w (5.8) odbywa się po elementach
grupy Weyla W = N (T )/T ,
gdzie N (T ) = n ∈ G : n−1 T n = T jest normalizatorem torusa maksymalnego T , a działanie elementu w ∈ W na funkcję F zadaje się wzorem
(w · F )(h) = F (n−1 hn), gdzie n ∈ N (T ) reprezentuje element w.
Przestrzeń Vλ reprezentacji rozkłada się na sumę 1-wymiarowych przestrzeni niezmienniczych względem T , których wagi są ≥ λ (patrz [40] i [9]).
Podobnie, kompleksyfikacja algebry Liego gC grupy rozkłada się na algebrę
Cartana h (czyli styczną to T ) i 1-wymiarowe podprzestrzenie niezmiennicze
T (względem dołączonego działania), których wagami są pierwiastki α algebry. Pierwiastki dodatnie α > 0 wygodnie jest wyobrażać sobie jako odpowiadające górno-trójkątnym macierzom (np. gdy gC = SL(n, C)), a ujemne
α < 0 – dolno-trójkątnym.
Rozmaitość M = G/T można traktować jako zespoloną rozmaitość
GC /B + , gdzie GC jest kompleksyfikacją grupy, a B + jest grupą Borela (‘górno-trójkątnych macierzy’). Moduł Vλ zadaje wiązkę liniową Eλ nad M (oraz
Vλ = H 0 (M, O(Eλ )), natomiast f jest indukowane przez działanie typowego
elementu g ∈ T na G/T (mnożenie z lewa). Punkty stałe odwzorowania
f odpowiadają elementom w grupy Weyla. Przestrzeń kostyczną do G/T
utożsamia się z nilpotentną podalgebrą n+ algebry Liego g, odpowiadającą
dodatnim pierwiastkom α > 0. Wtedy wartości własne działania g ∈ T na
n+ , to eiα(g) , α > 0.
Z lewej strony w (5.8) mamy χλ = tr ρ(g) = tr ( g|H 0 (M, O(Eλ ))); dowodzi się, że H j (M, O(Eλ )) = 0 dla j > 0 (patrz [9] i [40]). Zatem wzór
Weyla wynika ze wzoru (5.6).
6. Regularyzacja wyznaczników, ζ-funkcje i η-funkcje
A. Wyznaczniki
i dzeta-funkcje. Przy wyliczaniu całek funkcjonalR
−(∆φ,φ)
nych typu X Dφe
, gdzie X jest nieskończenie wymiarową przestrzenią, a ∆ ≥ 0 operatorem linowym (typu laplasjanu), pojawia się konieczność
wyliczenia wyznacznika operatora ∆ (patrz punkt 4G).
28
H. Ż o ł ą d e k
W przypadku skończenie wymiarowego operatora A > 0 mamy det A =
λ1 . . . λn , gdzie λj > 0 są jego wartościami własnymi. Możemy bezpiecznie
przepisać to w postaci
!
!
P
X 1
′
d
(6.1)
det A = e log λj = exp −
|s=0 = e−ζA (0) ,
s
ds
λj
gdzie
(6.2)
′
ζA
(s) =
X 1
λsj
j
jest ζ-funkcją operatora A.
Q
W przypadku nieskończenie wymiarowym wyrażenie λj zwykle nie ma
sensu. Ale ζ-funkcja jest dobrze określoną funkcją zespoloną, przynajmniej
dla dużych Re s. Istotnie, gdy operator ma postać ∆ = D∗ D + DD∗ , to
mamy
∞
(6.3)
1 R s−1
ζ∆ (s) =
t
tr e−t∆ dt.
Γ(s)
0
Ponadto, korzystając z rozwinięcia Seeley’ego (4.28), widzimy, że ζ∆ (s) jest
meromorficzną funkcją na płaszczyźnie zespolonej z możliwymi biegunami
k
w punktach s = − 2m
, k = −n, −n + 1, −n + 2, . . ..
Przy s → 0 mamy Γ(s) = 1s (1 + . . .), a więc ζ∆ (0) = lims→0 s · U0 (∆) ·
R 1 s−1
t dt = U0 (∆) jest skończone. To oznacza, że funkcja ζ∆ (s) jest ho0
′
(0).
lomorficzna w otoczeniu s = 0 i ma dobrze zdefiniowaną pochodną ζ∆
Właśnie w tym sensie wzór
(6.4)
det ∆ = e−ζ
′
(0)
definiuje wyznacznik operatora ∆.
Obecnie nosi on nazwę regularyzacji Ray’a–Singera i jest powszechnie
używany w fizycznej i matematycznej literaturze (patrz [7], [46]).
B. Torsja Reideimeistera–Franza i torsja Ray’a–Singera. Prawdopodobnie właśnie od pracy D. Ray’a i I. Singera [41] rozpoczęło się stosowanie zregularyzowanych wyznaczników. Jej autorzy użyli tych wyznaczników do zdefiniowania tzw. analitycznej torsji (lub torsji Ray’a–Singera)
w następującej sytuacji.
Niech M będzie rozmaitością riemannowską. Załóżmy, że jest dana reprezentacja ρ : π1 (M ) → O(m) grupy podstawowej. Wtedy ρ zadaje wiązkę
E nad M z włóknemRm . Mamy snopy E j (E) = E j ⊗ E form różniczkowych o wartościach w E i operator d różniczki zewnętrznej; oczywiście
d2 = 0, bo wiązka jest płaska. Niech d∗ będzie operatorem sprzężonym do
29
d względem iloczynu skalarnego na E ∗ (E). Mamy laplasjany ∆ = dd∗ + d∗ d
i ∆q = ∆|Γ(E q (E)) . Zróbmy jeszcze następujące istotne założenie:
(6.5)
0 nie jest wartością własną dla ∆
(czyli wszystkie ∆j > 0). Zauważmy, że założenie (6.5) oznacza znikanie
wszystkich kohomologii de Rhama o wartościach w E (nie ma form harmonicznych).
Torsją Ray’a–Singera nazywamy wyrażenie
1 √
3
√
det ∆1
det ∆3 . . .
(6.6)
Tρ (M ) = √
0 √
2 ,
det ∆0
det ∆2 . . .
gdzie wszystkie wyznaczniki są zdefiniowane wzorem (6.4). Ray i Singer
w [41] udowodnili, że Tρ jest niezmiennikiem rozmaitości M i reprezentacji
ρ; np. nie zależy od metryki. W następnej pracy [42] wprowadzili analityczną
¯
torsję dla zespolonych rozmaitości; wzór jest ten sam, tylko ∆ = ∂¯∂¯∗ + ∂¯∗ ∂.
W [41] Ray i Singer wysunęli hipotezę, że Tρ (M ) pokrywa się z torsją
Reidemeistera (lub Reideimeistera–Franza) zdefiniowaną następująco. Niech
K będzie rozbiciem symplicjalnym M i K̂ jego nakryciem uniwersalnym,
na którym grupa podstawowa π1 = π1 (M ) = π1 (K) działa za pomocą
przekształceń nakrywających. Wtedy grupy łańcuchów Cq (K̂) są modułami
nad algebrą grupową R(π1 ). Definiujemy następujący kompleks łańcuchowy
C : Cn → Cn−1 → . . . złożony z R(π1 )-modułów Cq = Cq (K, ρ) = Rn ⊗R(π1 )
Cq (K̂). Zakładamy, że
(6.7)
kompleks C jest acykliczny,
czyli dokładny (z zerowymi grupami homologii).
Niech cq będą wybranymi bazami w Cq . Wybierzmy bazy b̃q w Bq =
∂Cq+1 i niech b̂q−1 ⊂ Cq będą takimi układami niezależnych
elementów, że
∂ b̂q−1 = b̃q−1 . Założenie (6.7) implikuje, że bq = b̃q , b̂q−1
w Cq . Niech [bq |cq ] = |wyznacznik zamiany baz|.
Torsja Reideimeistera, to
(6.8)
τρ (M ) =
też jest bazą
[b1 |c1 ] · [b3 |c3 ] . . .
.
[b0 |c0 ] · [b2 |c2 ] . . .
Można ją przedstawić także w następującej postaci
p
1 p
3
det ∆c1
det ∆c3 . . .
τρ (M ) = p
,
0 p
2
det ∆c0
det ∆c2 . . .
gdzie tzw. kombinatoryczne laplasjany ∆cj = ∆c |Cj są wyznaczone za pomocą ∆c = ∂ ⊤ ∂ + ∂∂ ⊤ , a ∂ ⊤ jest macierzą transponowaną do macierzy
odpowiadającej ∂ w bazie c = (c0 , . . . , cn ).
30
H. Ż o ł ą d e k
Ray i Singer wysunęli przypuszczenie, że Tρ (M ) = τρ (M ). Tę hipotezę
później niezależnie udowodnili J. Cheeger [25] i W. Müller] [38].
C. Eta-niezmiennik i asymetria spektralna. Dotychczasowe niezmienniki rozmaitości związane z indeksami pewnych operatorów eliptycznych były nietrywialne tylko dla rozmaitości o parzystym wymiarze (itop = 0
na nieparzystowymiarowych rozmaitościach). Jak zdążyliśmy się przekonać,
te niezmienniki są związane z dzeta-funkcją operatorów eliptycznych drugiego rzędu; na przykład, ian (d + d∗ ) = ζd∗ d (0) − ζdd∗ (0).
Na rozmaitościach o nieparzystym wymiarze istnieją eliptyczne operatory różniczkowe pierwszego rzędu, które są samosprzężone, ale zbiór ich
wartości własnych rozciąga się od −∞ do +∞. Na przykład,
(6.9)
Aφ = (−1)p+1 ∗ dφ + (−1)p d ∗ φ, φ ∈ E 2p (M ),
dim M = 4k − 1.
Dla takich operatorów M. Atiyah, V. Patodi i I. Singer [APS] wprowadzili
następującą η-funkcję
X
−s
sign(λ) · |λ| ,
(6.10)
ηA (s) =
λ6=0
suma po wartościach własnych A. Podobnie jak dzeta-funkcja, ηA (s) przedłuża się meromorficznie na całą płaszczyznę zespoloną. Ponadto, także
ηA (0) jest skończone.
Właśnie ηA (0) okazuje się być niezmiennikiem topologicznym rozmaitości (dla odpowiedniego A). Na przykład, dla operatora (6.10) zachodzi
następujący wzór (patrz [APS])
(6.11)
τ (T ) −
R
Lk (p(Y )) = (−1)k+1 ηA (0),
Y
gdzie Y jest 4k-wymiarową rozmaitością taką, że M = ∂Y (i lokalnie Y
jest izometryczna z M × [0, 1)), τ (Y ) jest sygnaturą formy przecięć na
H 2k (Y, M ), zaś Lk jest L-genusem Hirzebrucha. Własność ηA (0) 6= 0 nosi
nazwę asymetrii spektralnej.
W pracy [12] znaleziono zastosowanie wzoru podobnego
do (6.11) w analiP
−s
tycznej teorii liczb. Pewien szereg postaci L(s) = µ sign(N (µ)) · |N (µ)|
(tzw. L-szereg), gdzie µ przebiega pewną kratę w danym rozszerzeniu algebraicznym ciała liczb wymiernych, a N (µ) jest jego normą, jest analogiczny
do szeregu w (6.10). Hirzebruch postulował, a M. Atiyah, H. Donnelly i I.
Singer udowodnili, że L(s) wyraża się wzorem analogicznym do (6.11) dla
pewnej specjalnie dobranej rozmaitości M .
7. Fizyka matematyczna. Jak na jednego z czołowych matematyków
swoich czasów, Atiyah bardzo późno zainteresował się fizyką (Singer był dużo
31
bardziej aktywny na tym polu). Prawdopodobnie przyczyną był brak problemów pochodzenia fizycznego, które by ‘pasowały’ do jego zainteresowań
i doświadczeń (które wywodzą się z K-teorii i geometrii algebraicznej).
A. Instantony. Taki problem pojawił się w połowie lat 70-tych ubiegłego stulecia. W 1975 r. A. Belavin, A. Polyakov, A. Schwartz i Y. Tyupkin
[23] znaleźli przykłady nietrywialnych globalnych rozwiązań równań Eulera–
Lagrange’a dla lagranżjanu Yanga–Millsa. Powstało pytanie, jak znaleźć
wszystkie rozwiązania. Matematycy, na czele z Atiyahem, rozwiązali ten
problem w sposób naprawdę imponujący. Prawdopodobnie była to ostatnia spektakularna demonstracja intelektualnej przewagi matematyków nad
fizykami.
Warto dodać, że pola Yanga–Millsa stanowią uogólnienia pola elektromagnetycznego i okazały się bardzo użyteczne przy klasyfikacji cząstek elementarnych, np. w teorii Weinberga–Salama słabych oddziaływań i w chromodynamice kwantowej (patrz [47]).
Działanie rozważane przez fizyków, to funkcjonał energii
(7.1)
S(A) =
1R
|F |2 d4 x,
2 4
R
gdzie F =
Fµν dxµ ∧ dxν , Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ + [Aµ ∧ Aν ] = [∇µ ∧ ∇ν ],
jest formą krzywizny koneksji ∇µ = ∂µ + Aµ dxµ trywialnej wiązki E nad
R4 z włóknem C2 i z grupą strukturalną SU (2) = Sp(1). (Tutaj krzywizna jest oznaczana przez F , a nie przez R, jak w punkcie 4G.) Zatem
Aµ (x), µ
= 1, . . . , 4, i Fµν (x), µ, ν = 1,. . . , 4, są elementami algebry Liego
P
iα
β
2
su(2) =
: α ∈ R, β ∈ C . Ponadto |F | = − µ,ν tr (Fµν )2 ,
−β̄ −iα
czyli lagranżjan wynosi
P
1
2
|F | V OL = − tr F ∧ ∗F,
2
gdzie ∗ jest gwiazdką Hodge’a: ∗dx1 ∧dx2 = dx3 ∧dx4 , ∗dx1 ∧dx3 = dx4 ∧dx2 ,
∗dx1 ∧ dx4 = dx2 ∧ dx3 . Zauważmy, że ∗2 = id na Λ2 R4 oraz, że (A, B) =
− tr (AB) jest dodatnio określoną formą Killinga na su(2).
Jeśli A + a jest wariacją koneksji (a = δA małe), to wariacją
R krzywizny
jest F + δF , δF = ∇ ∧ a i wariacja działania wynosi δS = − (F, [ ∇ ∧ a]).
Ponieważ ∇ = d + A i d∗ = − ∗ d∗, oraz niezmienniczość formy Killinga (A,
C]) = −([B, A], C) implikuje (adA )∗ = − ∗ adA ∗, więc mamy
R [B,
δS = ( ∇∗ F, a), gdzie ∇∗ = − ∗ ∇∗. Zatem równania Eulera–Lagrange’a
przyjmują postać tzw. równań Yanga–Millsa
(7.2)
(7.3)
L=
∇ ∧ ∗F = 0.
32
H. Ż o ł ą d e k
Z drugiej strony tożsamość Jacobiego w su(2) implikuje następującą tożsamość Bianchi
(7.4)
∇ ∧ F = 0.
Koneksja A nazywa się samodualną (odpowiednio anty-samodualną), jeśli
F = ∗F
(odp. F = − ∗ F ).
Jest zatem oczywiste, że samodulane i anty-samodualne koneksje tworzą
rozwiązania równań Yanga–Millsa. Ponieważ zmiana orientacji prowadzi do
zmiany ∗ → −∗, to samodualne koneksje przechodzą na anty-samodualne
i odwrotnie.
Dla fizyków istotne jest, aby energia pola była skończona, czyli aby |F (x)|
malało dostatecznie szybko przy |x| → ∞. To oznacza, że blisko nieskończoności potencjał A(x) można sprowadzić do niemal zera za pomocą odpowiedniego cechowania, czyli zamiany y → g(x)y zmiennych we włóknach
Ex . Taka zamiana prowadzi do A(x) → g−1 Ag + g−1 dg i F → g−1 F g.
Zatem zakładamy dodatkowo, że A(x) ∼ g−1 (x)dg(x) przy |x| → ∞,
gdzie g(x) ∈ SU (2). W szczególności, możemy określić odwzorowanie g :
3
3
→ SU (3), gdzie SR
jest sferą o dużym promieniu R, a SU (2) ≃ S 3 . ZaSR
kłada się, że stopień tego odwzorowania jest niezerowy; oznaczamy go przez
k. Okazuje się, że tego typu dane prowadzą do koneksji w pewnej wiązce
nad S 4 = R4 ∪ ∞, którą dalej będziemy oznaczać przez E, ale która już nie
jest trywialna. Dokładniej, E ma nietrywialny tzw. topologiczny ładunek
1 R
(7.5)
k = 2 tr (F ∧ F ),
8π 4
S
1
4
czyli k = −c2 (E), [S ] = 2 p1 (E), [S 4 ] . Przypomnijmy, że c(E) = det(1+
i
i
F ) = 1 + c1 + c2 + . . ., gdzie c1 = 2π
tr F = 0 i że p1 (E) = c21 − 2c2 .
2π
Zatem p1 (E) = 2k.
Jeśli rozłożymy krzywiznę na część samodualną i anty-samodualną,
(7.6)
F = F + + F −,
to możemy napisać
2 2
2 2
(7.7)
S = F + + F − , 8π 2 k = F + − F − .
Zatem rozwiązania samodualne (odpowiednio anty-samodualne) realizują
minimum S przy warunku (7.5) dla k < 0 (odpowiednio dla k > 0). Nazywamy je odpowiednio instantonami i anty-instantonami.
Zadanie (z którym fizycy sobie nie poradzili) polega na znalezieniu wszystkich anty-samodualnych koneksji modulo przekształcenia cechowania o zadanym (dodatnim) ładunku topologicznym.
Poniżej przedstawiamy te koneksje. Potem nakreślimy schemat dowodu,
że są to wszystkie rozwiązania.
33
Będziemy używać zmiennych kwaternionowych x = x1 + ix2 + jx3 + kx4 ,
2
ze sprzężeniem x̄ = x1 − ix2 − jx3 − kx4 , z modułem |x| = xx̄, z częścią
urojoną Im x = 12 (x − x̄) = ix2 + jx3 + kx4 i z własnością xy = ȳ · x̄. Wtedy
algebrę Liego su(2) utożsamiamy z Im H :
i 0
0 1
0 i
i ←→
, j ←→
, k ←→
.
0 −i
−1 0
i 0
P
Potencjał
koneksji
A(x)
=
Aµ(x) dxµ będziemy zapisywać jako Im{f (x)dx}
n
o
= 12 f (x)dx − dx̄f (x) .
Zauważmy, że dx ∧ dx̄ = −2[(dx1 ∧ dx2 + dx3 ∧ dx4 )i + (dx1 ∧ dx3 +
dx4 ∧ dx2 )j + (dx2 ∧ dx4 + dx2 ∧ dx3 )k] ma składowe tylko samodualne, czyli
∗dx ∧ dx̄ = dx ∧ dx̄. Za to forma dx̄ ∧ dx jest anty-samodualna.
Rozwiązanie Belavina i jego kolegów jest następujące:
(
)
(
)
x̄dx
1 x̄dx − dx̄x
(7.8)
A(x) = Im
=
2
1 + |x|2
1 + |x|2
z krzywizną
(7.9)
F = dA + A ∧ A =
dx̄ ∧ dx
.
(1 + |x|2 )2
A więc A jest anty-instantonem. Ponadto z (7.8) wynika, że dla dużych |x|
mamy A(x) ∼ Im x−1 dx = ϕ−1 dϕ, gdzie ϕ(x) = x/|x| mierzy ‘fazę’ kwater
3
3
nionu; zatem jego ładunek topologiczny wynosi
k
=
deg
ϕ
:
S
→
S
= 1.
R
2
Aby dostać instanton, trzeba przyjąć A = Im xdx̄/(1 + |x| ) .
Anty-instanton (7.8) ma ‘środek masy’ w x = 0 i znormalizowaną ‘amplitudę’. Zmieniając środek masy i amplitudę dostaniemy 5-parametrową
rodzinę anty-instantonów
(x̄ − ā)dx
(7.10)
A(x) = µ Im
, µ > 0, a ∈ H.
1 + |x − a|2
Zauważmy teraz, że gwiazdka Hodge’a działająca na 2-formach w 4wymiarowej przestrzeni jest niezmiennicza względem konforemnej zmiany
metryki. Rzeczywiście, pomnożenie
g przez λ powoduje pomnoże√ metryki
4
nie elementu objętości V OL = det gd x przez λ2 , zaś na T ∗ M metryka
jest dana przez g−1 . Podobnie lagranżjan Yanga–Millsa jest konforemnie
niezmienniczy.
Stąd wynika, że równania (anty-)samodualności można przenieść na S 4 ,
uzwarcenie H przy pomocy rzutu stereograficznego. Z drugiej strony, S 4
można potraktować jako kwaternionową przestrzeń rzutową HP1 . Tutaj działa grupa P SL(2, H) przekształceń Möbiusa. W szczególności mamy 5-parametrową rodzinę przekształceń
(7.11)
x → λ(b − x)−1 , λ > 0,
b ∈ H.
34
H. Ż o ł ą d e k
Okazuje się, że zamiast (7.10) wygodniej jest przedstawiać wszystkie antyinstantony z k = 1 za pomocą podstawienia (7.11) w (7.8).
Tę własność można zastosować do skonstruowania pewnych anty-instantonów dla dowolnego k > 0 :
∗
u (x)du(x)
,
(7.12)
A(x) = Im
1 + u∗ (x)u(x)
gdzie
∗
(7.13)
u(x) = λ(B − x)−1 .
Tutaj λ = (λ1 , . . . , λk ) jest wektorem utworzonym z kwaternionów, B jest
symetryczną k×k macierzą utworzoną z kwaternionów, zaś C ∗ = C̄ ⊤ (zatem
u(x) jest wierszem, a u∗ (x) jest kolumną). Ponadto wymaga się, aby:
(I) B ∗ B + λ∗ λ była rzeczywistą k × k macierzą (dla (7.11) to jest spełnione);
k
(II) układ równań (B − x)ξ = 0, λξ
= 0w H miał tylko zerowe rozwiąλ
zanie, czyli rząd (k + 1)× k macierzy B−x
był maksymalny dla dowolnego
x ∈ H (dla (7.11) tak jest).
W (7.13) występuje pewna niejednoznaczoność: jeśli
(7.14)
λ′ = qλT, B ′ = T −1 BT, gdzie q ∈ H, |q| = 1,
T ∈ O(k),
to para (λ , B ) zadaje taki sam potencjał (7.12).
Okazuje się, że wzory (7.12), (7.13) z warunkami (I) i (II) i relacją równoważności (7.14) opisują wszystkie anty-instantony z ładunkiem topologicznym k. Łatwo policzyć, że to rozwiązanie zależy od 8k − 3 parametrów.
′
′
Jest to treścią twierdzenia udowodnionego przez M. Atiyaha, V. Drinfelda, N. Hitchina i Yu. Manina [13] i nazywa się ADHM-konstrukcją.
Jego historia jest również dosyć pouczająca. Najpierw M. Atiyah, N.
Hitchin i I. Singer [14] policzyli, że ogólne rozwiązanie powinno zależeć od
8k − 3 parametrów. Potem M. Atiyah i R. Ward [21] nakreślili schemat
zastosowania geometrii algebraicznej i transformacji Penrose’a do znalezienia ogólnych rozwiązań. Na koniec, w 3-stronicowej notatce [13] w Physical
Letters pokazano, że powyższe rozwiązania są kompletne i że opisują się
w terminach algebry liniowej. Wszystko to działo się około roku 1977. Ale
detale dowodów zostały wyjawione światu znacznie później, przy czym oksfordczycy zrobili to niezależnie od moskwiczan. Atiyah [3] opublikował je
w 1979 r w Pizie, gdzie miał wykłady. Manin zamieścił je w swojej książce
[35] wydanej w 1984 r. w Moskwie (po rosyjsku).6
6
Przyznaję się, że usiłowałem czytać książkę Manina; niestety nie byłem w stanie jej
zrozumieć. Z wykładami Atiyaha (które są dosyć trudno dostępne) zapoznałem się dopiero
przy pracy nad tym artykułem; w pierwszej chwili byłem nimi zachwycony, dopiero później
zaczęły się pojawiać pewne problemy i nieścisłości (o których sza!).
35
Przejdźmy do dowodu zupełności rozwiązań (7.12)–(7.13).
Najpierw dowodzi się, że przestrzeń moduli takich rozwiązań ma wymiar
taki sam jak liczba parametrów, które znaleźliśmy. Dla tego celu rozważa
się następujący kompleks eliptyczny
(7.15)
D
D
2
0 → E 0 (g) →0 E 1 (g) →1 E−
(g) → 0,
gdzie E j (g) = E j (S 4 ) ⊗ g są snopami j-form o wartościach w wiązce g
algebr Liego (stowarzyszoną z wiązką E o ładunku topologicznym −k),
D0 = ∇ = d + A0 jest pochodną kowariantną z samodualnym potencjałem
A0 , zaś D1 jest złożeniem pochodnej kowariantnej i rzutowania na przestrzeń
anty-samodualnych form. Indeks analityczny tego kompleksu, to h0 −h1 +h2 ,
gdzie h0 = dim ker D0 = 0 (bo na S 4 nie ma globalnych ∇-płaskich przekrojów dla typowego A0 ), h1 = dim (ker D1 / Im D0 ) jest wymiarem przestrzeni
deformacji A0 modulo działanie infinitezymalnych przekształceń cechowania
oraz h2 = dim coker D1 . (Zatem liczymy wymiar przestrzeni moduli instantonów, który jest taki sam jak wymiar przestrzeni moduli anty-instantonów.)
W [14] dowodzi się, że h2 = 0; sprowadza się równanie D1∗ ϕ = 0 do równania ∆ + 16 R φ = 0, gdzie R > 0 jest krzywizną skalarną sfery. Teoria
deformacji Kuranishiego mówi, że jeśli h2 = 0, to infinitezymalne deformacje odpowiadają faktycznym deformacjom, czyli że h1 = dim M jest wymiarem przestrzeni moduli instantonów M. Z drugiej strony, indeks analityczny kompleksu (7.15) wylicza się w terminach topologicznych i wynosi
on p1 (g) + dim G · (b0 − b1 + b2− ), gdzie p1 (g) jest liczbą Pontriagina wiązki
g (i wynosi −8k w naszym przypadku) zaś b0 − b1 + b2− = 12 (e(M ) − τ (M ))
2
jest indeksem kompleksu 0 → E 0 → E 1 → E−
→ 0 (i wynosi 1 w na2
2
szym przypadku); (b+ i b− są wymiarami przestrzeni form samodualnych
2
i anty-samodualnych w HdR
(M )). Odsyłam czytelnika do [14] po więcej
szczegółów.
Wiemy zatem, że znalezione rozwiązania tworzą pełną rodzinę, czyli wypełniają jakąś składową przestrzeni moduli M. Ale mogłyby istnieć inne
składowe i to należy wykluczyć. W tym celu nasz problem będzie zamieniony
na odpowiedni problem wiązek holomorficznych nad CP3 i rozwiązany przy
użyciu kohomologii snopów.
Najpierw przedstawimy wzory (7.12) –(7.13) w jednorodnej postaci. Użyjemy współrzędnych
jednorodnych (x : y) w HP1 , tzn. x = (x : 1) ∈ H.
λ
Macierz B−x
zastąpimy przez
C0 x + D0 y
(7.16)
v = v(x, y) = Cx + Dy =
,
C1 x + D1 y
gdzie C0 , D0 są wymiaru 1 × k, a C1 , D1 mają wymiar k × k; dla y = 1,
C0 = 0, D0 = λ, C1 = −I i D1 = B mamy poprzednią macierz. Założenie
36
H. Ż o ł ą d e k
(II) oznacza, że v(x, y) ma maksymalny rząd dla (x, y) 6= (0, 0). Założenie (I)
jest zastąpione następującym założeniem
macierz ρ2 := v ∗ v jest rzeczywista i dodatnia.
(7.17)
Weźmy reprezentację biegunową v(x, y) = V ρ. Łatwo sprawdzić, że operator
Q = V V ∗ jest ortogonalnym rzutem na k-wymiarową podprzestrzeń F(x:y)
(w Hk+1 ) i że V ∗ V = 1.
Niech macierz U wymiaru (k + 1) × k będzie taka, że
U ∗ V = 0,
(7.18)
U ∗ U = 1.
Wtedy operator P = U U ∗ jest rzutem
E(x:y)
na 1-wymiarową podprzestrzeń
λ
⊥
bierzemy U = −1
σ, σ 2 = (1 +
= F(x:y)
. W przypadku v = B−x
u
u∗ u)−1 , u∗ = λ(B − x)−1 . Wtedy potencjał (7.12) zapisuje się w postaci
A = σ −1 Im {U ∗ dU } σ − σ −1 dσ, czyli jest równoważny z potencjałem
1
(7.19)
A = Im {U ∗ dU } = {U ∗ dU − dU ∗ U } .
2
Koneksja określona za pomocą (7.19), gdzie U jest takie, że P = U U ∗ jest
rzutem, a U ∗ U = 1, jest naturalną koneksją indukowaną przez rzutowanie
z Hk+1 na podprzestrzeń E(x:y) . Tutaj podprzestrzenie E(x:y) tworzą wiązkę
E nad HP1 i jej przekroje są postaci f = U g, g : HP1 → Hk+1 , zaś ∇f =
P (df ) = U U ∗ d(U g) = u[dg + U ∗ (dU )g]. Z drugiej strony, mamy tożsamość
0 = d(U ∗ U ) = dU ∗ U + U ∗ dU , co daje ∇f = U [d + A]g.
Nietrudno także zobaczyć, że wiązka F z włóknami F(x:y) jest sumą k
wiązek izomorficznych z tautologiczną wiązką Hopfa nad HP1 . Stąd wynika,
że klasa Pontriagina wiązki E wynosi 2k.
W następnym kroku zamieniamy zmienne kwaternionowe
na zespolone.
Zatem wprowadzamy przestrzenie Z = C2k+2 ≃ Hk+1 , W = Ck i zmienne
z = (x, y) ∈ C4 (≃ H2 ). Rozważamy odwzorowania
(7.20)
P4
B(z) : W → Z,
B(z) = 1 Bi zi takie, że dla każdego z 6= 0 obraz Uz = B(z)W jest kwymiarowy. Odwzorowanie (7.20) jest związane z v(x, y) w (7.16) w następujący sposób. Weźmy przestrzeń W ⊗C H = Hk . Odwzorowanie (7.20)
chcemy przedłużyć do dwu-liniowego odwzorowania B : H2 ⊗ Hk → Hk+1 .
2
Przypomnijmy, że H = {ζ1 + jζ2 } = {(ζ1 , ζ2 )} = C
i że mnożenie przez j
działa w następujący sposób: (ζ1 , ζ2 )j = −ζ̄2 , ζ̄1 . W analogiczny sposób
mnożenie przez j działa na Z = Hk+1 i na H2 . To mnożenie indukuje automorfizm σ na Z taki, że σ 2 = −1, oraz inwolucję σ na CP3 (bo j 2 = −1
w C4 ). Na H2 ⊗ Hk mnożenie przez j nie jest automatyczne, bo mamy
σ(z ⊗ w) = (z ⊗ w)j = z ⊗ jσ(w) = σ(z) ⊗ σ(w), gdzie σ jest pewną
inwolucją na W (σ 2 = 1). Zakłada się, że B jest zgodne z σ, tzn.
B(σ(z) ⊗ σ(w)) = σB(z ⊗ w)
37
i dlatego jest postaci Cx + Dy (jak w (7.16)).
Ponadto na Z mamy niezdegenerowaną anty-symetryczną formę
[u, v] = (u, σv) = (u, jv),
gdzie (u, v) = Re(uv ) jest zwykłym iloczynem hermitowskim. Następne
założenie mówi, że
∗
(7.21)
przestrzenie Uz są izotropowe względem [·, ·].
To ostatnie założenie odpowiada założeniu (7.17).
Odwzorowanie (7.20) i warunek (7.21) stanowią wstępne dane do tzw.
konstrukcji Horrocksa [33] pewnej 2-wymiarowej wiązki holomorficznej nad
CP3 . Punktowi (z) = (z1 : z1 : z3 : z4 ) ∈ CP3 przypisujemy dwie podprze0
strzenie U(z) (wymiaru k) i U(z)
(wymiaru k + 2) przestrzeni Z (wymiaru
0
2k + 2)), przy czym U(z) , to przestrzeń polarna do U(z) . Kładziemy
0
/U(z) .
Ẽ(z) = U(z)
(7.22)
W ten sposób dostajemy wiązkę Ẽ → CP3 , która jest holomorficzna, ale
która może nie być lokalnie trywialna (bo dim Ẽ(z) mógłby podskoczyć).
Okazuje się, że nad prostymi (rzutowymi) ℓ(z) ⊂ CP3 łaczącymi (z) i (σz)
wiązka ma 2-wymiarowe włókna, a nawet ograniczona wiązka Ẽ|ℓz → ℓz jest
trywialna.
Zatem koneksja anty-samodualna nad S 4 , którą skonstruowaliśmy poprzednio, doprowadziła do algebraicznej wiązki Ẽ nad CP3 . Powstaje pytanie, czy dla każdej anty-samodualnej koneksji nad S 4 można skonstruować
analogiczną wiązkę nad CP3 . Okazuje się, że tak i do tego celu wykorzystuje
się tzw. transformację Penrose’a.
Transformacja Penrose’a jest to zespół kilku rozwłóknień, które służą
do zamiany pól na R4 (lub na przestrzeni Minkowskiego) na algebraiczne
obiekty na zespolonej przestrzeni rzutowej. Najważniejszym z tych rozwłóknień jest odwzorowanie (kwaternionowe rozwłóknienie Hopfa)
(7.23)
1
CP3 → HP1 ,
(z) → (z1 + z2 j : z3 + z4 j),
z włóknem CP . Przypomnijmy, że mnożenie przez j indukuje inwolucję σ
przestrzeni CP3 .
W CP3 mamy proste rzutowe. Są one numerowane przez zespolony Grassmannian 2-wymiarowych płaszczyzn w C4 , który można przedstawić w postaci hiperpowierzchnii stożkowej Q w CP5 . Jeśli pij = xi yj − xj yi są współrzędnymi Plückera na Λ2 C4 , to
(7.24)
Q = {p12 p34 + p13 p42 + p14 p23 = 0}
(kwadryka Kleina) odpowiada rozkładalnym elementon Λ2 C4 postaci u ∧ v,
generującym płaszczyzny Cu+Cv. Inwolucja σ działa również na przestrzeni
prostych, czyli na Q. Jej zbiór punktów stałych zadaje podrozmaitość w Q
38
H. Ż o ł ą d e k
dyfeomorficzną z S 4 . Te proste (niezmiennicze względem σ), to dokładnie
włókna wiązki (7.23). Nazywamy je prostymi rzeczywistymi.
Okazuje się, że wiązki E nad S 4 (z włóknem C2 ) wyposażone w antysamodualną koneksję można podnieść do 2-wymiarowych wiązek Ẽ nad CP3 .
Przy tym dostaje się holomorficzne wiązki wyposażone w koneksje zgodne
(na ile to możliwe) ze strukturą holomorficzną i strukturą unitarną; w każdym bądź razie są typu (1, 0) i ich krzywizna jest formą typu (1,1). Ponadto
ograniczenia wiązki Ẽ nad prostymi rzeczywistymi w CP3 są trywialne.
Teraz chciałoby się, aby wiązka Ẽ powstała z konstrukcji Horrocksa. Do
tego celu autorzy [13] wykorzystują pewne twierdzenie Bartha [Bar], które
mówi, że tak rzeczywiście jest, jeśli dodatkowo założyć
(7.25)
H 1 (CP3 , Ẽ(−2)) = 0.
W [3] jest nawet przytoczony dowód tego twierdzenia.
W przypadku wiązek pochodzących od anty-samodualnych koneksji nad
S 4 elementy Φ ∈ H 1 (CP3 , Ẽ(−2)) są traktowane jako pewne funkcje ϕ na
S 4 . Rzecz w tym, że po ograniczeniu do rzeczywistych prostych ℓ ⊂ CP3 (nad
którymi Ẽ jest trywialne) mamy H 1 (ℓ, Ẽ(−2)) = Ẽ(z) ⊗ H 1 (CP1 , O(−2)) =
Ẽ(z) ⊗ C (z dualności Serre’a). W ten sposób dostajemy pewną wiązkę nad
S 4 postaci E ⊗ N , dim N = 1, i ϕ jest jej przekrojem. Pokazuje się, że ϕ
spełnia równanie (∇∗ ∇ + 16 R)ϕ = 0, R > 0. Zatem ϕ = 0 i (7.25) zachodzi.
Na zakończenie tego punktu warto dodać, że w podobny sposób rozwiązano problem monopoli w R3 . Po definicje i szczegóły odsyłam czytelnika
do zbioru [37].
B. Anomalie i indeks. W kwantowej teorii pola fizycy często napotykają się na tzw. anomalie, np. chiralna anomalia, konforemna anomalia.
Istota anomalii polega na tym, że przy kwantowaniu pewnych pól używa
się całek typu feynmanowskiego, z których najprostsze są typu gaussowskiego od nieskończonej liczby zmiennych. Wtedy trzeba liczyć wyznaczniki nieskończenie wymiarowych operatorów typu operatora Laplace’a. Jedyną rozsądną metodą wyznaczania takich wyznaczników jest regularyzacja
′
Ray’a–Singera det ∆ = e−ζ∆ (0) (opisana w poprzednim rozdziale). Niestety,
przeważnie okazuje się, że pewne własności symetrii lagranżjanu przestają
być zachowywane.
Na przykład, przy kwantowaniu pola elektromagnetycznego lub pola
Yanga–Millsa chciałoby się jakoś uwzględnić symetrię względem nieskończenie wymiarowej grupy przekształceń cechowania. Można wybierać cięcie
w przestrzeni pól transwersalne do orbit grupy cechowania, ale żaden taki
wybór nie jest kanoniczny, a przejście od jednego cięcia do innego wiąże się
z liczeniem nieskończenie wymiarowego wyznacznika. Jednym słowem, są
trudności.
39
W pracach [4], [5] i [20] Atiyah i Singer proponują podejście do tego
problemu za pomocą teorii indeksu rodziny operatorów eliptycznych. Na
przykład, jeśli mamy rodzinę Dy operatorów eliptycznych zależnych od parametru y ∈ Y , czyli mamy operator D : Γ(E) → Γ(F ) związany z wiązkami
nad M × Y (eliptyczny w kierunku M ), to wirtualna wiązka ker Dy − ker Dy∗
tworzy element grupy K(Y ), który może być nietrywialny.
Inna możliwość to ian Dy = 0 i dla typowego y ∈ Y mamy ker Dy =
ker Dy∗ = 0. W pewnych punktach dim ker Dy0 może podskoczyć. To odpowiadałoby temu, że pewien wyznacznik, lokalnie skończonego wymiaru,
zeruje się w y0 . Z powodu nietrywialności wiązki E nad M × Y często nie
można zdefiniować tego wyznacznika globalnie.
Inna ewentualność, to niemożliwość wyboru zgodnej fazy dla wyznacznika operatora Diraca zależnego od parametrów.
C. Topologiczna teoria pola i wielomian Jones’a. Topologiczna
teoria pola w wymiarze d przypisuje (patrz [7]):
– przestrzeń Hilberta H(Σ) każdej zwartej d-wymiarowej rozmaitości Σ,
– wektor Z(Y ) ∈ H(Σ) każdej (d + 1)-wymiarowej rozmaitości Y z brzegiem Σ.
Powyższy funktor spełnia następujące aksjomaty:
A1 (inwolutywność) H(Σ∗ ) = H(Σ)∗ , gdzie ∗ oznacza rozmaitość z odwróconą orientacją lub sprzężoną przestrzeń;
A2 (multyplikatywność) H(Σ1 ∪ Σ2 ) = H(Σ1 ) ⊗ H(Σ2 );
A3 (łączność) jeśli Y powstało z Y1 i Y2 , ∂Y1 = Σ∗1 ∪ Σ2 i ∂Y2 = Σ∗2 ∪ Σ3 ,
przez sklejenie wzdłuż Σ2 , to
Z(Y ) = Z(Y1 )Z(Y2 ) ∈ Hom (H(Σ1 ), H(Σ2 )) = H(Σ1 )∗ ⊗ H(Σ2 );
A4 H(∅) = C;
A5 Z(Σ × [0, 1]) = id ∈ Hom (H(Σ), H(Σ)).
Idea wprowadzenia tego
R funktora pochodzi od kwantowania pól φ : Y →
M z działaniem S(φ) = Y L(φ) metodą całek funkcjonalnych. Wtedy H(Σ)
jest przestrzenią Hilberta ograniczeń pól na Σ, zaś element macierzowy operatora Z(Y ), ∂Y = Σ∗1 ∪ Σ2 , na wektorach ψ1 , ψ2 , hZ(Y )ψ1 , ψ2 i, jest interpretowany jako suma statystyczna
R
Dφe−iS(φ) ,
gdzie całkowanie odbywa się po polach φ z ustalonymi wartościami na
brzegu.
Dla d = 0 i M = Rk mamy zwykłą mechanikę kwantową z H(punkt) =
L2 (M ). Dla d = 1 i M rozmaitość Calabi–Yau mamy teorię strun. Atiyaha
interesuje przypadek d = 2.
40
H. Ż o ł ą d e k
Zauważmy, że asjomat A5 implikuje, że działanie dyfeomorfizmów
z Diff(Σ) na H(Σ) zależy tylko od ich klas izotopii. Ponadto, jeśli Y jest
rozmaitością zamkniętą, to Z(Y ) jest po prostu liczbą, która stanowi niezmiennik rozmaitości. Rozcięcie Y = Σ × S 1 wzdłuż cięcia Σ × {1} prowadzi
do wzoru dim H(Σ) = Z(Σ × S 1 ); dlatego też w [7] zakłada się, że przestrzenie H(Σ) są skończonego wymiaru.
Dla d = 2 rozważa się także relatywną topologiczną teorię pola. Tutaj
w powierzchnii Σ wyróżnia się układ P = (P1 , . . . , Pr ) puktów Pj ∈ Σ.
Przy tym każdy punkt Pj jest brany ze znakiem + lub − i jest z nim
stowarzyszona pewna reprezetacja λj pewnej grupy Liego G. Takiej trójce
(Σ, P, λ), λ = (λ1 , . . . , λr ) jest przypisana przestrzeń Hilberta H(Σ, P, λ).
3-wymiarowe rozmaitości Y są wyposażone w sploty L = (L1 , . . . , Ls ) złożone z węzłów Lj ⊂ Y ; każdemu węzłowi Lj jest przypisana reprezentacja µj
grupy G. Brzeg trójki (Y, L, µ), to (Σ, P, λ) = (∂Y, ∂L, µ|∂L ), przy czym jeśli punktowi Q odpowiadała reprezentacja ν, to punktowi −Q odpowiada reprezentacja ν ∗ . Takiej trójce przypisuje się wektor Z(Y, L, µ) ∈ H(Σ, P, λ).
Aksjomaty topologicznej teorii pola implikują pewne relacje, które przypominają relacje typu Alexandera–Conway’a z teorii węzłów. W szczególności, dla Y = S 3 i G = SU (2) i standardowej 2-wymiarowej reprezentacji
µ = µj dla wszystkich Lj suma statystyczna Z(Y, L, µ) okazuje się ściśle
związana z tzw. wielomianem Jones’a splotu L; definicję wielomianu Jones’a
czytelnik znajdzie w [7].
Powstaje problem skonstruowania modelu spełniającego powyższe aksjomaty. Witten [45] zaproponował działanie Cherna–Simonsa
1 R
2
(7.26)
S(A) =
tr A ∧ dA + A ∧ A ∧ A ,
4π
3
Y
gdzie A jest koneksją w trywialnej G-wiązce nad Y , oraz
R ikS(A) Y
WLj (A).
Z(Y, L, µ) = DAe
W ostatnim wzorze tzw. pętla Wilsona WLj (A) jest śladem w reprezentacji
µj operatora holonomii M onLj (A) koneksji d + A wzdłuż drogi Lj (przesunięcie równoległe). Ponieważ w (7.26) mamy całkę funkcjonalną, to teoria
Wittena nie jest ścisła w sensie matematycznym.
Atiyah w [7] podjął próbę uściślenia tej teorii. Udało mu się skonstruować przestrzenie Hilberta H(Σ, P, λ) używając θ-funkcji i przestrzeni moduli wiązek wektorowych nad Σ. Niestety, podstawowy problem określenia
wektora Z(Y, L, µ) pozostał niewyjaśniony.
41
Literatura
[1] L. A l v a r e z - G a u m é, Supersymmetry and the Atiyah–Siger index theorem, Commun. Math. Phys. 90 (1983), 161–173.
[2] M. A t i y a h, “Collected works”, v. 1–5, Clarendon Press, Oxford, 1988.
[3] M. A t i y a h, “Geometry of Yang–Mills fields”, Scuola Normale Superiore, Pisa,
1979; [również w: “Geometria i fizika uzlov”, Mir, Moskwa, 1995, 79–185].
[4] M. A t i y a h, Anomalies and index theory, Lect. Notes in Phys. 288, Springer–
Verlag, New York, 313–322.
[5] M. A t i y a h, Topological aspects of anomalies, w: “Symposium on Anomalies, Geometry and Topology”, World Sci. Press, 1984, 22–32.
[6] M. A t i y a h, Circular symmetry and stationary-phase approximation, w: “Colloquium in honour of Laurent Schwartz”, tom II, Asterisque, 1985, 43–60.
[7] M. A t i y a h, “Geometry and physics of knots”, Cambridge University Press, Cambridge, 1990; [po rosyjsku: Mir, Moskwa, 1995].
[8] M. A t i y a h, R. B o t t, A Lefschetz fixed point formula for elliptic differential
opearators, Bull. Amer. Math. Soc. 72 (1966), 245–250.
[9] M. A t i y a h, R. B o t t, A Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes. I,
Ann. Math. 86 (1967), 374–407; II. Applications, Ann. Math. 88 (1968), 451–491.
[10] M. A t i y a h, R. B o t t, V. K. P a t o d i, On the heat equation and the index
theorem, Invent.Math. 19 (1973), 279–330; Errata to the paper “On the heat equation
and the index theorem”, Invent. Math. 28 (1975), 277–280.
[11] M. A t i y a h, R. B o t t, A. S h a p i r o, Clifford modules, Topology 3 (1964),
3–38.
[12] M. A t i y a h, H. D o n n e l l y, I. M. S i n g e r, Eta invariant, signature defects
and values of L–functions, Ann. Math. 118 (1983), 131–177; Eta invariant, signature
defects and values of L–functions: the nonsplit case, Ann. Math. 119 (1984), 635–637.
[13] M. A t i y a h, N. J. H i t c h i n, V. G. D r i n f e l d, Y. I. M a n i n, Construction
of instantons, Phys. Letters A65 (1978), 185–187.
[14] M. A t i y a h, N. J. H i t c h i n, I. M. S i n g e r, Self-duality in four-dimensional
geometry, Proc. Roy. Soc. London Ser. A 362 (1978), 425–461.
[15] M. A t i y a h, V. K. P a t o d i, I. M. S i n g e r, Spectral asymetry and Riemannian
geometry, Bull. London Math. Soc. 5 (1973), 229–234.
[16] M. A t i y a h, V. K. P a t o d i, I. M. S i n g e r, Spectral asymetry and Riemannian
geometry. I, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 77 (1975), 43–69; II, Math. Proc.
Cambridge Phil. Soc. 78 (1975), 405–432; III, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 79
(1976), 71–99.
[17] M. A t i y a h, G. S e g a l, The index of elliptic operators. II, Ann. Math. 87 (1968),
531–545.
[18] M. A t i y a h, I. M. S i n g e r, The index of elliptic operators on compact manifolds,
Bull. Amer. Math. Soc. 69 (1963), 422–433.
[19] M. A t i y a h, I. M. S i n g e r, The index of elliptic operators. I, Ann. Math. 87
(1968), 484–530; III, Ann. Math. 87 (1968), 546–604; IV, Ann. Math. 93 (1971),
119–138; V, Ann. Math. 93 (1971), 139–149.
[20] M. A t i y a h, I. M. S i n g e r, Dirac operators coupled to vector potentials, Proc.
Natl. Acad. Sci. USA 8 (1984), 2597–2600.
[21] M. A t i y a h, R. S. W a r d, Instantons and algebraic geometry, Comm. Math.
Phys. 55 (1977), 117–124.
[22] W. B a r t h, K. H u l e k, Monads and moduli of vector bundles, Manuscr. Math.
25 (1978), 323–347.
42
H. Ż o ł ą d e k
[23] A. B e l a v i n, A. P o l y a k o v, A. S c h w a r t z, Y. T y u p k i n, Pseudo-particle solutions of the Yang–Mills equations, Phys. Letters B59 (1975), 85
[24] J.-M. B i s m u t, The Atiyah–Singer theorems: a probabilistic approach. I. The index
theorem, J. Funct. Anal. 57 (1984), 56–99; II. The Lefschetz fixed point formula,
J. Funct. Anal. 57 (1984), 320–348.
[25] J. C h e e g e r, Analytic torsion and the heat equation, Ann. Math. 109 (1979), 259–
322.
[26] B. A. D u b r o v i n, S. P. N o v i k o v, A. T. F o m e n k o, “Modern geometry —
methods and applications. III. Introduction to homology theory”, Springer–Verlag,
New York, 1990; [po rosyjsku: “Sovremennaja geometria. Metody teorii gomologii”,
Nauka, Moskwa, 1984].
[27] J. J. D u i s t e r m a a t, G. J. H e c k m a n, On the variation of the cohomology
of the symplectic form of the reduced phase space, Invent. Math. 69 (1982), 259–
268; Addendum to “On the variation of the cohomology of the symplectic form of the
reduced phase space”, Invent. Math. 72 (1983), 153–158.
[28] I. M. G e l f a n d, O elipticeskikh uravneniakh, Uspekhi Mat. Nauk 15 (1960) No 3,
121–132; [po angielsku: Russ. Math. Surv. 15 (1960) No 3, 113].
[29] E. G e t z l e r, Pseudo-differential operators on supermanifolds and the Atiyah–Singer
index theorem, Commun. Math. Phys. 92 (1983), 163–178.
[30] P. B. G i l k e y, “The index theorem and the heat equation”, Publish or Perish Inc.,
Boston, 1974.
[31] P. G r i f f i t h s, J. H a r r i s, “Principles of algebraic geometry”, John Wiley and
Sons, New York, 1978; [po rosyjsku: Mir, Moskwa, 1982].
[32] F. H i r z e b r u c h, “Topological methods in algebraic geometry”, Springer–Verlag,
New York, 1966; [po rosyjsku: Mir, Moskwa, 1973].
[33] G. H o r r o c k s, Vector bundles on the punctured spectrum of a local ring, Proc.
London Math. Soc. 14 (1964), 684–713.
[34] H. B. L a w s o n, M.-L. M i c h e l s o h n, “Spin geometry”, Princeton Un-ty Press,
Princeton, 1989.
[35] Y. I. M a n i n, “Gauge field theory and complex geometry”, Springer–Verlag, Berlin,
1997; [po rosyjsku: Nauka, Moskwa, 1984].
[36] J. M i l n o r, J. S t a s h e f f, “Characteristic classes”, Ann. Math. Studies 76, Princeton Un-ty Press, Princeton, 1974; [po rosyjsku: Mir, Moskwa 1979].
[37] “Monopoli. Topologiceskie i variacionnye metody” (pod redakciej M. I. M o n a s t y r s k o g o i A. G. S e r g e e v a ), Mir, Moskwa, 1989 [po rosyjsku].
[38] W. M ü l l e r, Analytic torsion and R-torsion of Riemannian manifolds, Adv. Math.
28 (1978), 233–305.
[39] R. S. P a l a i s, “Seminar on the Atiyah–Singer index theorem”, Princeton Un-ty
Press, Princeton, 1965; [po rosyjsku: Mir, Moskwa, 1970].
[40] A. P r e s s l e y, G. S e g a l, “Loop spaces”, Clarendon Press, Oxford, 1986; [po
rosyjsku: Mir, Moskwa, 1990].
[41] D. B. R a y, I. M. S i n g e r, R-torsion and the laplacian on Riemannian manifolds,
Adv. Math. 7 (1971), 145–210.
[42] D. B. R a y, I. M. S i n g e r, Analytic torsion for complex manifolds, Ann. Math.
98 (1973), 154–177.
[43] M. R a u s s e n, Ch. S k a u (interviewers), Interview with Michael Atiyah and Isadore Singer, Europ. Math. Soc. 53 (2004), 24–30.
[44] R. T h o m, Quelques proprietés globales des variétés différentiables, Comment. Math.
Helv. 27 (1953), 198–232.
43
[45] E. W i t t e n, Quantum field theory and the Jones polynomial, Commun. Math. Phys.
117 (1989), 251–399.
[46] E. W i t t e n, Index of elliptic operators, w: “Quantum fields and strings. A course for
mathematicians”, tom I (P. Deligne and others, eds.), Amer. Math. Soc., Providence,
1999, str. 475–511.
[47] H. Ż o ł ą d e k, Piąty problem milenijny: istnienie pola Yanga–Millsa i luka masowa,
Wiad. Matem. XL (2004), 23–34.

Twierdzenie Atiyaha–Singera o indeksie i jego

Transkrypt

Podobne dokumenty

Geometria różniczkowa / Andrzej Jankowski. – Gdańsk, 2015 Spis

Chwała i dziękczynienie

"Wiosenny koszyk rozmaitości"

Egzamin pisemny

Algebra liniowa z geometrią

pobierz PDF - System LOOX