Teoria Gier i Decyzji Lista nr 5 - Wstęp do teorii gier 1. Dwa mosty

Teoria Gier i Decyzji
Lista nr 5 - Wstęp do teorii gier
1. Dwa mosty oddzielają miasto Eger od zbliżających się pierwszych trzech oddziałów wojsk króla
Attaturka. W oczekiwaniu na zbliżającą się odsiecz z miast sprzymierzonych, mieszkańcy Egeru
muszą utrzymać mosty mając do dyspozycji cztery oddziały wojsk pod wodzą Bajbuna Mądrego.
Wiadomo, że dany most zostanie zdobyty, jeśli większe siły armii Attaturka napotkają mniejsze
siły oddziałów Egeru (oddziały są niepodzielne). Do dowódców należy decyzja ile oddziałów
wysłać do walki o poszczególne mosty. Wypłata dla Bajbuna obliczana jest następująco; jeśli
Attaturk nie zdobywa żadnego mostu, wtedy Bajbun otrzymuje wypłatę 3. W przeciwnym
wypadku jego wypłata jest liczbą przeciwną do liczby regimentów Attaturka, które zdobyły most.
Zapisz tę grę w postaci normalnej (macierzowej). Znajdź strategie bezpieczeństwa obu
dowódców. Czy ta gra ma punkt równowagi?
2. Rozważmy grę pułkownika Blotto, w której dwie armie mają walczą o dwa mosty. Armia Blotto
ma 4 regimenty a armia jego przeciwnika - generała Attyli – ma 3 regimenty. Regimenty są
niepodzielne. Każdy z dowódców ma podjąć decyzję, ile oddziałów skieruje do walki o dany cel
(pozycje). Wiadomo, że siły k regimentów pokonują na danej pozycji siły l regimentów o ile k>l.
W takim wypadku wypłata jest proporcjonalna do wartości l+1 (1 za zdobycie pozycji, l za liczbę
zlikwidowanych oddziałów przeciwnika). W przypadku sił równych (l=k) wypłata wynosi 0
(gracze nie podejmują walki, pozycja jest niczyja). Wymień wszystkie strategie obu graczy. Czy
jest to gra ściśle antagonistyczna? Przedstaw tę w postaci normalnej.
3. Rozważmy ponownie grę pułkownika Blotto, ale załóżmy dodatkowo, że oddziały generała Attili
oczekują na dostawę nowoczesnej broni. Jednak ze względu na pośpiech i odległość dzielącą ich
od celów, generał już musi podjąć decyzję o podziale wojsk i ich wymarszu. Jeśli broń dotrze do
jego oddziałów przed walką, to przy spotkaniu równych co do liczebności sił obu armii wygrywa
Attila; przegrywa tylko wtedy jeśli jego siły są mniejsze. Jeśli broń nie dotrze to wypłatę liczymy
tak jak poprzednio. Obaj dowódcy wiedzą, że szanse na dotarcie broni na czas wynoszą 40% .
Przedstaw tę grę w postaci normalnej.
4. Uprość poniższą grę stosując kryterium dominacji
 (1, − 2 )
 ( 2 ,− 4 )

 ( − 2 ,4 )

 ( 2 ,− 4 )
(1, − 2 )
(1, − 2 )
(1, − 2 )
( − 1, 2 )
( 2 ,− 4 )
( 3, − 6 )
(1, − 2 )
( 2,− 4)
( 2 ,0 ) 
( 2 , 2 ) 
(1, − 2 ) (1, − 2 ) 

( − 1, − 2 ) (1, − 1) 
( 0 ,0 )
( − 1, 2 )
5. Czy poniższa gra ma punkty równowagi? Jeśli jest ich więcej niż jeden, to czy są zamienne?
Wskaż strategie bezpieczeństwa obu graczy.
 (1, − 1)
 (0,2)

 (1, 2 )

 ( 2 ,3 )
( 5, − 3)
( 6 ,5 )
( 9 ,10 )
( 2 ,1)
( − 1, 2 )
( 4,− 2 )
( 4,− 2 )
( 3, − 1)
( 3,12 ) ( 3, − 2 ) 
( 7 ,5 ) ( − 3, − 9 ) 
( − 1, − 1) ( − 2 , − 1) 

(8 , 4 ) ( 0 , 2 ) 