Prosty przykład optymalizacji za pomocą symulacji

Mariola Zalewska Prosty przykład optymalizacji za pomocą symulacji; [w:] A. Balcerak, W. Kwaśnicki (red.)
Metody symulacyjne w badaniu organizacji i w dydaktyce menedżerskiej. Oficyna Wydawnicza Politechniki
Wrocławskiej, Wrocław 2008, ss. 231-241.
ROZDZIAŁ 15
PROSTY PRZYKŁAD OPTYMALIZACJI ZA POMOCĄ
SYMULACJI
W rozdziale przedstawiono przykład optymalizacji za pomocą symulacji. Rozpatrywanym problemem jest ustalenie rozkładu jazdy nowego przewoźnika. Zaproponowany model użyto do
wstępnego rozwiązania problemu. Wyniki pozwalają na wskazanie ograniczeń zastosowanego
podejścia oraz rodzaju uzupełniającej informacji koniecznej do uzyskania użytecznego z
praktycznego punktu widzenia rozwiązania.
Słowa kluczowe: symulacja, optymalizacja, rozkład jazdy
15.1.WPROWADZENIE
Nierzetelne metro? Marvin kończy pracę w przypadkowej chwili między godziną 15
a 17. Jego matka mieszka poza miastem, a narzeczona w śródmieściu. Marvin wsiada
do pierwszego pociągu, który wjeżdża na stację niezależnie od jego kierunku, i je
obiad u osoby ( matki lub narzeczonej), do której dojechał. Matka narzeka, że syn
nigdy jej nie odwiedza, a on mówi, że ma ona 50% szans na jego odwiedziny. Ostatnio
syn jadł obiad u matki 2 razy w ciągu 20 dni roboczych. Wyjaśnij sytuację. [Aczel
2002].
Studenci, którzy po raz pierwszy podejmują próbę rozwiązania problemu, doszukują się racji zaistnienia takiej sytuacji w przyczynach pozamatematycznych. Sugerują, że być może narzeczona gotuje lepiej, Marvin oszukuje matkę, etc. Tymczasem,
korzystając z prawdopodobieństwa geometrycznego, można w prosty sposób wyjaśnić
sytuację. Skoro, według tłumaczenia Marvina, równie prawdopodobne jest odwiedzenie tak matki, jak narzeczonej, to pociągi w obie strony muszą jeździć z równą częstością. Tylko, że wynik zależy nie tylko od częstości kursowania.
Warto rozszerzyć problem Marvina i podjąć próbę jego uogólnienia. Można powyżej opisaną sytuację przedstawić jako dwóch konkurujących o pasażerów przewoźników np. firmę matki i firmę narzeczonej. Firmy konkurują między sobą o każdego
pasażera, który wsiada do najbliższego, od momentu jego przyjścia na stację, odjeż-
232
Część III. Symulacja we wspomaganiu edukacji menedżerskiej i szkoleń
dżającego środka transportu. W takim razie okazuje się istotne racjonalne ułożenie
rozkładu jazdy, tak aby pasażer, który podejmuje decyzję biorąc pod uwagę jedynie
czas oczekiwania na najbliższy środek lokomocji, wybrał nasz środek lokomocji, a nie
konkurencji. W rzeczywistości na rynkach lokalnych obserwuje się wzrost liczby
małych przewoźników, którzy muszą konkurować z istniejącymi i choć trudno uwierzyć, że znają prawdopodobieństwo geometryczne, to stosują opisane wyżej metody.
Chcąc efektywnie zarządzać przedsiębiorstwem, firmą przewozową, nie można
ignorować warunków w jakich prowadzi ona swoją działalność [Ditman 2004]. Każde
przedsiębiorstwo działa w celu osiągnięcia korzyści materialnych. Niezwykle ważne
w podejmowaniu decyzji odgrywa wykorzystanie informacji ogólnodostępnej, jak
istniejący rozkład jazdy, jak również danych, które ulegają zmianie: różnorodność
i przyzwyczajenia pasażerów.
Przedstawiony problem może być prezentowany jako symulacja w dydaktyce dla
studentów, jak również może być użyteczny w praktyce.
15.2. PRAWDOPODOBIEŃSTWO GEOMETRYCZNE
Problem Marvina można zrozumieć przy użyciu prawdopodobieństwa geometrycznego.
Jeżeli przestrzeń probabilistyczna ma nieprzeliczalny zbiór zdarzeń elementarnych,
to prawdopodobieństwo zdarzenia jest ilorazem miar:
P(A)= µ(A)/µ( Ω)
(15.1)
Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω jest w tym wypadku podzbiorem Rn, na którym istnieje naturalna miara ( długość, pole, objętość), przy czym Ω ma miarę skończoną. Zdarzeniami są podzbiory zbioru Ω, dla których potrafimy tę miarę obliczyć
[Jakubowski 2002].
W przypadku problemu o ,,nierzetelnym metrze’’ wystarczy znaleźć najprostsze,
z naszego punktu widzenia, wyjaśnienie. Możemy przyjąć, że ruch pociągów jest
okresowy w rozpatrywanej porze dnia. Wtedy wystarczy rozpatrzyć jeden okres, czyli
za Ω przyjąć np. odcinek osi czasu między odjazdem jednego pociągu do centrum (narzeczonej), a przyjazdem następnego w tym samym kierunku. Niech:
µ( Ω) =T
(15.2)
Pociąg w kierunku przedmieść (do matki), niech przyjeżdża tp po pociągu do centrum, a pociąg do centrum tc (do narzeczonej) po pociągu jadącym na przedmieścia.
Oczywiście czasy te sumują się do pełnego okresu:
Rozdział 15. Prosty przykład optymalizacji za pomocą symulacji
tp+tc=T
233
(15.3)
Marvin pojedzie do narzeczonej, jeżeli spóźni się na pociąg do matki. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe stosunkowi czasu, który upływa między odjazdem pociągu na przedmieścia, a przyjazdem pociągu do centrum i wynosi:
P(N)=tc/T
(15.4)
Analogicznie szansa na obiad u matki wynosi:
P(M)=tp/T
(15.5)
P(M)=1/10
(15.6)
tp/(tp+tc)=1/10
(15.7)
Z podanych informacji wiemy, że:
czyli mamy
Ostatecznie otrzymujemy warunek
tp=tc/9
(15.8)
Czyli rozwiązaniem problemu może być rozkład jazdy, zgodnie z którym pociąg na
peryferie przyjeżdża zawsze minutę po i dziewięć minut przed pociągiem w kierunku
domu narzeczonej Marvina. Można zatem pominąć znak zapytania w tytule zadania
i potwierdzić nierzetelność rozkładu jazdy metra. Jeżeli Marvin przychodzi
w przypadkowej chwili między godziną 15 a 17 i wsiada do pierwszego pociągu,
który wjeżdża na stację niezależnie od jego kierunku, to łączny czas oczekiwania na
pociągi, które zawiozą go do matki wynosi 12 min, zaś łączny czas oczekiwania na
pociągi, które zawiozą go do narzeczonej wynosi 108 min. Metoda wyboru kierunku
jazdy przez Marvina powoduje, że podróż do narzeczonej jest faworyzowana pomimo
identycznej częstości kursowania metra w obie strony.
15.3. SYMULOWANIE PRZEJĘĆ PASAŻERÓW DOTYCHCZASOWEGO
PRZEWOŹNIKA
234
Część III. Symulacja we wspomaganiu edukacji menedżerskiej i szkoleń
Powyżej zaprezentowane rozumowanie nie wszystkich przekonuje. Lepszym może
być użycie symulacji. Symulowanie dziwnych przypadków Marvina jest znakomitym
ćwiczeniem dla studentów, właśnie dlatego, że znamy odpowiedź przed przeprowadzeniem symulacji. Dzięki temu, przygotowując prostą symulację, sprawdzamy
umiejętność zapisania algorytmu wykorzystującego liczby losowe (por. [Brandt 1999],
[Gajda 2001], [Mielczarek 2007], [Płaczek 2007]). Warto przypomnieć, że pierwsze
rachunki z użyciem liczb losowych przeprowadzono w ramach projektu „Manhattan” i
dotyczyły rozpraszania i absorpcji neutronów. Metoda Monte Carlo (MC) została
opracowana przez Neumanna i Ulama w celu modelowania procesu powielania i
moderowania neutronów w wyniku oddziaływania neutronów z jądrami atomowymi.
Ulam wpadł na pomysł takiego rozwiązywania problemów zastanawiając się (w czasie
powrotu do zdrowia po przebytej chorobie) nad sposobem oszacowania szansy
ułożenia pasjansa. Gdy próby analitycznego rozwiązania problemu okazały się bardzo
skomplikowane, doszedł do wniosku, że może prościej jest po prostu policzyć jak
często pasjans udaje się ułożyć [Eckhardt 1987].
W tej części prezentuję symulację prostego problemu, którego analityczne rozwiązanie jest wykonalne tylko w szczególnych przypadkach. Przykład pokazuje również
jakiego typu problemy mogą być rozwiązywane za pomocą symulacji oraz jakiego
rodzaju informację należy zaimplementować w rozpatrywanym modelu, żeby wynik
był użyteczny.
Wyobraźmy sobie, że wygraliśmy przetarg na obsługę linii autobusowej łączącej
dwie miejscowości. Między tymi miejscowościami kursuje PKS według od lat nie
zmienianego rozkładu. Celem jest budowa modelu symulacyjnego, który wspomoże
proces podejmowania decyzji, w jaki sposób powinniśmy zaplanować odjazd naszego
BUSa, żeby liczba przewożonych naszą linią pasażerów była największa.
Żeby problem rozwiązać potrzebujemy dodatkowych informacji. Chodzi o:
1. regularność kursowania PKS,
2. regularność, którą możemy sami zapewnić,
3. przyzwyczajenia pasażerów.
Zbudujmy najprostszy model. Załóżmy, że jesteśmy w stanie zapewnić dokładnie
tę samą regularność kursowania. Możemy ten fakt symulować przyjmując, że różnica
między planowym a rzeczywistym przyjazdem obu rozpatrywanych środków komunikacji ma rozkład Gaussa o tym samym odchyleniu standardowym σ. Przyjmijmy, że
σ=2min. Następnie należy w jakiś sposób wymodelować zachowanie pasażerów.
Ponieważ PKS jeździ od dawna w sposób regularny, to uzasadnione jest przypuszczenie, że pasażerowie starają się na niego nie spóźnić, a więc przychodzą wcześniej
również ze skończoną regularnością. Zanim przeprowadzimy dokładne badania możemy założyć najprostszą, przynajmniej z punktu widzenia symulacji, możliwość, że
moment przyjścia pojedynczego pasażera jest opisywany rozkładem Gaussa ze średnim wyprzedzeniem τp i parametrem rozrzutu σp= 4 min. Należy przyjąć założenia co
do preferencji pasażerów. Najprostszym podejściem jest przyjęcie, że pasażerowie
Rozdział 15. Prosty przykład optymalizacji za pomocą symulacji
235
żadnych preferencji nie mają i wsiadają do środka komunikacji, który przyjedzie
pierwszy. Uwaga; jest to duże uproszczenie warunków, bo przecież z reguły, regularnie podróżujący pasażerowie mają bilety okresowe i nawet jeżeli konkurencyjny BUS
przyjedzie przed PKSem to pasażerowie z biletami okresowymi do niego nie wsiądą,
ale poczekają na już opłacony PKS. W tak skonstruowanym modelu mamy dwa parametry. Nieznane średnie wyprzedzenie τp, z jakim pasażerowie przychodzą na przystanek i wyprzedzenie BUSa τ. Celem jest wskazanie optymalnego wyprzedzenia BUSa
τ(τp), którego zaplanowanie umożliwi nam przewiezienie jak największej liczby pasażerów.
Jeżeli rozwiązanie tego problemu ma być zaproponowane jako ćwiczenie dla studentów kierunku niezwiązanego bezpośrednio z informatyką, to można ograniczyć się
wyłącznie do użycia arkusza kalkulacyjnego. Przykładowa implementacja modelu
może być następująca. Symulacja jest przeprowadzana w kilku arkuszach kalkulacyjnych. W każdym arkuszu zakłada się stałe średnie wyprzedzenie pasażera τp. W poszczególnych arkuszach zbadano sytuację dla następujących wyprzedzeń pasażera
wyrażonego w minutach: τp=16,8,6,4,3,2,1,0,-2,-4 (wyprzedzenia ujemne odpowiadają tendencji pasażerów do spóźniania się na PKS).
W symulacji przyjęto założenia, że:
1. rozkład jazdy PKS jest opisywany rozkładem normalnym N(0;2);
2. regularność jazdy BUSa jest opisywany rozkładem normalnym N(τ,2), gdzie
τ oznacza wyprzedzenie BUSa;
3. rozkład przyjścia pasażera jest opisywany zgodnie z rozkładem normalnym
N(τp,4), gdzie τp oznacza wyprzedzenie pasażera.
Trzy kolumny arkusza wypełniamy liczbami pseudolosowymi wygenerowanymi
zgodnie z rozkładami normalnymi odpowiadającymi regularności kursowania obu
środków komunikacji oraz regularności przychodzenia pasażerów (z uwzględnieniem
wyprzedzenia pasażerów). Optymalizowane wyprzedzenie BUSa τ wygodnie jest
uwzględnić na etapie sprawdzania losu potencjalnego pasażera. Test ten sprowadza się
do określenia kolejności zdarzeń: przyjście pasażera: tp, przyjazd PKS: tA i przyjazd
BUSa: tB. Jest 6 możliwości (tab. 15.1.).
Tabela 15.1. Środek lokomocji pasażera w zależności od kolejności przyjścia lub przyjazdu:
pasażera BUSa, PKS.
L.p.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Kolejność przyjścia/przyjazdu BUSa, pasażera, PKS
tp
tA
tB
tp
tB
tA
tA
tp
tB
tB
tp
tA
tA
tB
tp
tB
tA
tp
Opracowanie własne
Środek lokomocji pasażera
A
B
B
A
pasażer nieobsłużony
pasażer nieobsłużony
Część III. Symulacja we wspomaganiu edukacji menedżerskiej i szkoleń
236
Pasażer będzie zabrany przez BUSa, jeżeli przyjazd BUSa nastąpi między przyjściem pasażera a przyjazdem PKS: tp<tB<tA Drugą możliwością jest spóźnienie się
pasażera na PKS i jeszcze późniejszy przyjazd BUSa: tA<tp<tB . Jeżeli pasażer spóźni
się na oba środki komunikacji, to (w naszym modelu) nie zostanie obsłużony i wróci
do domu (są dwie takie możliwości). W pozostałych dwóch przypadkach pasażer
skorzysta z PKS. Z technicznego punktu widzenia, dla każdej rozpatrywanej pary
(τ,τp) wyprzedzenia BUSa i wyprzedzenia pasażera, tworzymy kolumnę wyników
testu, a następnie zliczamy liczbę interesujących nas wyników. Wyprzedzenie BUSa
τ uwzględniamy odejmując je od czasu wygenerowanego z rozkładu regularności
N(0,2) otrzymując liczbę z rozkładu czasów przyjazdu N(-τ,2). Test powtarzamy 1000
razy poprzez utworzenie tablicy o odpowiedniej liczbie wierszy. Następnie zliczamy
ile razy zostanie wybrany BUS, PKS lub pasażer nie zostanie obsłużony.
promil zabranych pasażerów
1000
900
800
byliby zabrani
bez BUSa
700
zabrani
ogółem
600
500
zabrani przez
konkurencję
400
300
zabrani przez
BUSa
200
100
0
10 9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 -1 -2 -3 -4 -5
wyprzedzenie BUSa w minutach
Rys. 15.1. Wynik symulacji dla średniego wyprzedzenia pasażerów τp = 6 minut
Opracowanie własne
Na rysunkach 15.1.-15.4. zamieszczono wykresy frakcji zabranych pasażerów
w zależności od wyprzedzenia BUSa, które zmienia się od 10 do –5 minut. Każdy
rysunek odpowiada innemu średniemu wyprzedzeniu pasażera τp i zawiera cztery serie
punktów.
• Serie z trójkątami przedstawiają liczbę obsłużonych pasażerów zanim BUS rozpoczął kursowanie. Liczba ta w sposób oczywisty nie zależy od wyprzedzenia
BUSa τ.
Rozdział 15. Prosty przykład optymalizacji za pomocą symulacji
237
•
•
•
Serie z kółkami odpowiadają całkowitej liczbie obsłużonych pasażerów.
Serie z kwadratami przedstawiają liczbę pasażerów obsłużonych przez PKS.
Serie z rombami odpowiadają liczbie pasażerów BUSa.
Na rysunku 15.1. pokazana jest sytuacja dla średniego wyprzedzenia przybycia pasażerów τp=6 min.
Z rysunku można odczytać, że optymalne (z dokładnością do minuty) wyprzedzenie BUSa wynosi w tym wypadku 3 minuty. Jeżeli chodzi o dokładność wyznaczenia
pojedynczego prawdopodobieństwa p (reprezentowanego przez położenie pojedynczego punktu na wykresie), to jego odchylenie standardowe jest oczywiście równe
pierwiastkowi kwadratowemu z wariancji rozkładu dwumianowego σ2=Np(1-p),
czyli, jako nie większe od 16 promili, jest rzędu rozmiarów punktów na wykresach.
Na podstawie wykresu można stwierdzić, że firma BUS, przy przyjętych założeniach,
osiągnie lepszy wynik niż PKS wtedy, gdy zaplanuje wyprzedzenie w zakresie od
6 do 0 minut oraz, że począwszy od optymalnego dla firmy BUS wyprzedzenia zwiększa się liczba obsłużonych pasażerów (krzywa ,,zabrani ogółem’’ staje się rosnąca).
Oznacza to, że dla wyprzedzeń większych firma BUS tylko przejmuje część pasażerów PKS.
promil zabranych pasażerów
1000
900
800
byliby zabrani
bez BUSa
700
zabrani
ogółem
600
500
zabrani przez
konkurencję
400
300
zabrani przez
BUSa
200
100
0
10 9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 -1 -2 -3 -4 -5
wyprzedzenie BUSa w minutach
Rys. 15.2. Wynik symulacji dla średniego wyprzedzenia pasażerów τp = 3 minuty
Opracowanie własne
Na rysunkach 15.2.-15.4. przedstawiono wyniki dla średnich wyprzedzeń pasażerów wynoszących, kolejno, τp = 3, 1, 0 minut.
Część III. Symulacja we wspomaganiu edukacji menedżerskiej i szkoleń
238
promil zabranych pasażerów
1000
900
800
byliby zabrani
bez BUSa
700
zabrani
ogółem
600
500
zabrani przez
konkurencję
400
300
zabrani przez
BUSa
200
100
0
10 9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 -1 -2 -3 -4 -5
wyprzedzenie BUSa w minutach
Rys. 15.3. Wynik symulacji dla średniego wyprzedzenia pasażerów τp = 1 minuta
Opracowanie własne
promil zabranych pasażerów
1000
900
800
byliby zabrani
bez BUSa
700
zabrani
ogółem
600
500
zabrani przez
konkurencję
400
300
zabrani przez
BUSa
200
100
0
10 9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 -1 -2 -3 -4 -5
wyprzedzenie BUSa w minutach
Rys. 15.4. Wynik symulacji dla średniego wyprzedzenia pasażerów τp = 0 minut
Opracowanie własne
Rozdział 15. Prosty przykład optymalizacji za pomocą symulacji
239
Można zauważyć, że zakres wyprzedzenia BUSa, w którym firma BUS osiąga lepsze wyniki niż PKS zmniejsza się w miarę zmniejszania się średniego wyprzedzenia
pasażerów. Jednocześnie zmniejsza się optymalna liczba pasażerów korzystających
z tej firmy. Dla średniego wyprzedzenia pasażerów τp = 1 minuta obserwujemy ciekawe zjawisko (rys. 15.3.). Po osiągnięciu optymalnej liczby przewożonych pasażerów, w miarę zmniejszania wyprzedzenia BUSa (przechodzenia na coraz większe
opóźnienie), liczba ta nie ulega zauważalnej zmianie. Natomiast dla zerowego średniego opóźnienia pasażerów (rys. 15.4.) optymalnej wartości wyprzedzenia (opóźnienia) BUSa w ogóle nie można wyznaczyć, bo liczba przewożonych pasażerów rośnie
wraz z rosnącym opóźnieniem. Jest to związane z przejściem od modu przejmowania
pasażerów poprzez przyjazd między przyjściem pasażera a przyjazdem PKS do modu
obsługiwania pasażerów, którzy spóźnili się na PKS.
optymalne wyprzedzenie BUSa
8
4
0
-4
-8
-5
0
5
10
15
20
średnie wyprzedzenie pasażerów
Rys. 15.5. Optymalne wyprzedzenie BUSa w zależności od średniego wyprzedzenia pasażerów
Opracowanie własne
Obserwacje te są zobrazowane na rysunku 15.5. Za pomocą rombów, przedstawiono na nim zależność optymalnego wyprzedzenia BUSa od założonego średniego
wyprzedzenia pasażerów τp. Na rysunku poprowadzono również linię (małe kwadraty)
o równaniu τ=τp/2. Jak widać, dla kilkuminutowych średnich wyprzedzeń pasażerów,
240
Część III. Symulacja we wspomaganiu edukacji menedżerskiej i szkoleń
optymalne wyprzedzenie BUSa może być przybliżone narysowaną zależnością liniową. Jako ćwiczenie można polecić sprawdzenie, na ile fakt ten wiąże się z założoną
zależnością między szerokościami użytych rozkładów: 2σ = σp. Dla τp bliskich zeru
następuje zdecydowana zmiana wartości optymalnego wyprzedzenia. Zaczyna coraz
bardziej opłacać się zabranie pasażerów, którzy spóźnili się na PKS. Ujemne
wyprzedzenie τp oznacza, że pasażerowie planowo spóźniają się na PKS (możliwość
taka jest nieracjonalna w naszym modelu, ale stosunkowo łatwo można wyobrazić
sobie rzeczywiste powody zaistnienia takiej sytuacji). Wtedy im później przyjedzie
BUS tym lepiej. Ponieważ rozpatrywaliśmy wartości wyprzedzania BUSa τ tylko
z przedziału (-5 minut, 10 minut) to maksymalną liczbę przewiezionych pasażerów
dostajemy dla skrajnej wartości (zobacz rys. 15.4.). Przebieg krzywych przedstawionych na rysunkach 15.1. i 15.2. można podsumować następująco. W miarę jak wyprzedzenie BUSa τ maleje, zbliżając się do wartości optymalnej, rośnie liczba klientów odbieranych PKS, ale całkowita liczba obsłużonych pasażerów nie zmienia się.
Po przekroczeniu wartości optymalnej spada liczba pasażerów BUSa, ale rośnie liczba
pasażerów, którym udało się złapać połączenie. Dla średniego wyprzedzenia pasażerów τ = σ/2=1 minuta (rys. 15.3.), zamiast wartości maksymalnej obserwujemy
plateau dla τ<τp. Liczba pasażerów BUSa przestaje się zmieniać, a rośnie tylko całkowita liczba zadowolonych klientów.
15.4. PODSUMOWANIE
Choć przedstawiony model ma głównie znaczenie dydaktyczne, może mieć również znaczenie praktyczne. W tym drugim przypadku konieczne jest jednak uściślenie
informacji użytych do jego konstrukcji. Po pierwsze należy zbadać, jaki jest rzeczywisty stopień regularności kursowania rozpatrywanych środków komunikacji. Możliwy jest nie tylko rozrzut wokół planowego czasu odjazdu, ale również systematyczne
przesunięcie. Bardziej istotne jest jednak zbadanie rozkładu czasu przyjścia
pasażerów. Założenie o gaussowskim charakterze tego rozkładu ułatwia symulację za
pomocą arkusza kalkulacyjnego, ale może nie mieć wiele wspólnego z rzeczywistością. Zastosowane przybliżenie może odpowiadać rzeczywistości, jeżeli częstotliwość kursowania jest niska. W skrajnie przeciwnym wypadku lepszym przybliżeniem
może być niezależna od czasu gęstość prawdopodobieństwa przyjścia pasażera na
przystanek, czyli sytuacja Marvina, omawiana we wstępie. Jest to jednocześnie jedna
z niewielu sytuacji, w której istnieje rozwiązanie analitycznie (w omawianym przypadku ścisłe rozwiązanie analityczne wyraża się poprzez całki funkcji specjalnych). W
takim przypadku łatwiej o pasażera, który spóźni się na PKS. Jeżeli nastawimy się na
taką możliwość, to po pewnym czasie nie tylko preferencje mogą ulec zmianie, ale
również średnia czasu przychodzenia na przystanek może przesunąć się w przód,
Rozdział 15. Prosty przykład optymalizacji za pomocą symulacji
241
skoro spóźnienie się na PKS przestanie oznaczać bezwzględną utratę połączenia. Jest
jeszcze kilka istotnych czynników, o których do tej pory nie było mowy, takich jak:
preferencje pasażerów czy dysponowanie zasobami przewozowymi nowego przewoźnika. Początkowo może zdarzyć się, że nowy przewoźnik będzie obdarzony niskim
zaufaniem. Wtedy pasażer może nie skorzystać z BUSa, jeżeli spodziewa się przyjazdu znanego środka transportu. Z obserwacji autorki, które były przyczyną podjęcia
tematu, wynika że mimo iż początkowo nowi przewoźnicy, w miejscowościach turystycznych, byli drożsi od PKSu, to turyści korzystali przede wszystkim z ich usług.
Ostatnie spostrzeżenia są następujące: mimo wyrównania cen, nowi mali przewoźnicy
nadal nastawieni są na turystów i ich BUSy przyjeżdżają regularnie przed PKSem.
Przedstawiony model może być użyty do rozwiązywania innych, podobnych problemów optymalizacyjnych. Tym bardziej należy pamiętać, że uzyskana odpowiedź
może ulec drastycznej zmianie przy niewielkiej różnicy wejściowych parametrów.
LITERATURA
ACZEL A. D. 2002. Statystyka w zarządzaniu. PWN, Warszawa.
BRANDT Z. 1999. Analiza danych. PWN, Warszawa.
CIEŚLAK M. (red.) 2004. Prognozowanie gospodarcze. Metody i zastosowania. PWN, Warszawa.
DITMAN P. 2004. Prognozowanie w przedsiębiorstwie. Metody i ich zastosowanie. Oficyna
Ekonomiczna, Kraków.
GAJDA J. B. 2001. Prognozowanie i symulacja a decyzje gospodarcze. C.H. BECK, Warszawa.
ECKHARDT R. 1987. Stan Ulam, John von Neumann and the Monte Carlo Method, [w:] Los
Alamos Science wydanie specjalne 1987.
JAKUBOWSKI J., SZTENCEL R. Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego. SCRIPT,
Warszawa
MIELCZAREK B. 2007. Metoda Monte Carlo w nauczaniu symulacji - niesłusznie pomijane podejście? [w:] Symulacja Systemów Gospodarczych. Oficyna Wydawnicza Politechniki
Wrocławskiej, Wrocław; ss. 11-20.
PŁACZEK W. 2007. Metody Monte Carlo. http://th-ww.if.uj.edu.pl/`placzek/dydaktyka/MMC/
SNARSKA A. 2005. Statystyka. Ekonometria. Prognozowanie. Ćwiczenia z Excelem. Placet,
Warszawa.
SZAPIRO T. 2000. Decyzje menedżerskie z Excelem. PWE, Warszawa.