7. Interferencja 7. Interferencja: Dodawanie fal: Dodawanie fal:

7. Interferencja:
Interferencja:
Dodawanie fal:
fale stojące
stojące,, dudnienia i prędkość grupowa
Dla fal zapisanych jako fale o zespolonych amplitudach i
takich samych wykładnikach jest to łatwe:
• Fale stojące: suma fal o przeciwnych
kierunkach
• Dudnienia: suma fal o róŜnych
częstotliwościach
• Prędkość fazowa (jeszcze raz)
• Zatrzymać światło
• Ruch z prędkością większą niŜ
światło
Etot ( x, t ) = E1 exp i (kx − ω t ) + E2 exp i (kx − ω t ) + E3 exp i (kx − ω t )
%
%
%
%
= ( E1 + E2 + E3 ) exp i (kx − ω t )
% %
%
gdzie zespolone fazy początkowe zawarte są w
Ale zespolone eksponensy mogą być róŜne!
Na przykłąd:
E
,E i E .
~1 ~ 2 ~ 3
Zwróć
uwagę na
znak!
Etot ( x, t ) = E1 exp i (k1 x − ω1t ) + E2 exp i (k2 x − ω2t ) + E3 exp i (k3 x + ω3t )
%
%
%
%
=?
1
Zasada superpozycji:
Dodawanie fal:
(układy liniowe)
Zasadzie superpozycji podlegają
fale (rozwiązania równania
falowego), w tym harmoniczna fala
elektromagnetyczna.
Dwie fale kołowe
zmarszczek na
powierzchni wody
przechodzą jedna przez
drugą.
W przeciwieństwie do
przedmiotów materialnych,
fale mogą się przenikać.
Mogą nakładać się na
siebie w przestrzeni i gdy
to zachodzi, wychylenia
dodają się.
Pole elektromagnetyczne
pochodzące od kilku źródeł jest
sumą pól, jakie wytwarza kaŜde z
tych źródeł.
Ale juŜ natęŜenie światła
pochodzącego od kilku źródeł
nie spełnia zasady
superpozycji, poniewaŜ jest
proporcjonalne do kwadratu
sumy pól elektrycznych:
Konsekwencją zasady superpozycji
fal jest interferencja fal.
4
1
2
Fala stojąca
Dodawanie fal o róŜnych amplitudach:
- Wynik dodawania fal o tej samej długości fali, ale róŜnych kierunkach:
Dla fal zapisanych jako fale o zespolonych amplitudach i takich samych
wykładnikach jest to łatwe:
Etot ( x, t ) = E0 exp i (kx − ω t ) + E0 exp i (kx + ω t )
%
%
%
= E0 exp(ikx)[exp(−iω t ) + exp(iω t )]
%
= 2 E0 exp(ikx) cos(ω t )
%
Etot ( x, t ) = E1 exp i (kx − ω t ) + E2 exp i (kx − ω t ) + E3 exp i (kx − ω t )
%
%
%
%
= ( E1 + E2 + E3 ) exp i (kx − ω t )
% %
%
gdzie zespolone fazy początkowe zawarte są w E1 , E2 i E3 .
~ ~
~
Ale zespolone eksponensy mogą być róŜne!
Na przykłąd:
PoniewaŜ musimy wziąć część rzeczywistą pól, otrzymujemy:
Zwróć
uwagę na
znak!
Etot ( x, t ) = 2 E0 cos(kx) cos(ω t )
Etot ( x, t ) = E1 exp i (k1 x − ω1t ) + E2 exp i (k2 x − ω2t ) + E3 exp i (k3 x + ω3t )
%
%
%
%
=?
(E0 jest rzeczywista)
Fale stojące powstają na przykład we wnękach laserowych,
gdzie odbijane są one tam i z powrotem między zwierciadłami.
Fala stojąca
Fala stojąca
- Wynik dodawania fal o tej samej długości fali, ale róŜnych kierunkach:
Etot ( x, t ) = 2 E0 cos(kx) cos(ω t )
Etot ( x, t ) = E0 exp i (kx − ω t ) + E0 exp i (kx + ω t )
%
%
%
= E0 exp(ikx)[exp(−iω t ) + exp(iω t )]
%
= 2 E0 exp(ikx) cos(ω t )
%
Węzły
Miejsca, gdzie amplituda jest
zawsze równa zero to „węzły”
fali.
Miejsca, gdzie oscylacje
amplitudy są maksymalne to
“strzałki”
3
strzałki
4
Dudnienia światła: prędkość grupowa
Fala stojąca
Mamy więc:
Etot(x,t) = 2E0 cos(kavex–ωavet) cos(∆kx–∆ωt)
Etot ( x, t ) = 2 E0 cos(kx) cos(ω t )
To jest szybko oscylująca fala:
[cos(kavex–ωavet)]
“fala nośna”
obwiednia
z wolnozmienną amplitudą: [2E0 cos(∆kx–∆ωt)]
Miejsca, gdzie amplituda jest
zawsze równa zero to „węzły”
fali.
Prędkość fazowa wynika z części szybkozmiennej:
Miejsca, gdzie oscylacje
amplitudy są maksymalne to
“strzałki”
A co z drugą prędkością - prędkością amplitudy?
Zdefiniujmy „prędkość grupową”:
węzeł strzałka
vg ≡ ∆ω /∆k
W ogólności prędkość grupowa to:
Dudnienia światła: prędkość grupowa
k +k
k −k
kave = 1 2 and
Let
Wprowadźmy:
i ∆k = 1 2
2
2
ω1 + ω2
ω1 − ω2
Similiarly, ωave =
and
Podobnie:
i ∆ω =
2
2
k1
ω1
So:
Tak więc:
Dla dwóch fal
o róŜnych
częstościach:
Niech E0 będzie rzeczywiste
k2
vg =
∆ω
∆k
ck1 ck 2
−
n
n2
n ck − n ck
= 1
= 2 1 1 2
k1 − k 2
n1n2 ( k1 − k 2 )
ω2
Etot ( x, t ) = Re{E0 exp i(kave x + ∆kx − ωavet − ∆ωt ) + E0 exp i(kave x − ∆kx − ωavet + ∆ωt )}
= Re{E0 exp i(kave x − ωavet ) [ exp i(∆kx − ∆ωt ) + exp[−i(∆kx − ∆ωt )]]}
Jeśli:
n1 = n2 = n,
vg =
= Re{2E0 exp i(kave x − ωavet )cos(∆kx − ∆ωt )}
Jeśli:
= 2E0 cos(kave x − ωavet )cos(∆kx − ∆ωt )
szybko-zmienny
vg ≡ dω /dk
Prędkość grupowa i prędkość fazowa róŜnią
się w ośrodkach z dyspersją (n(ω)).
wynik dodawania fal elektromagnetycznych o róŜnych częstotliwościach
Etot ( x, t ) = Re{E0 exp i(k1 x − ω1t ) + E0 exp i(k2 x − ω2t )}
vp = ωave / kave
n1 ≠ n2 ,
nck1 − nck 2 c
= = vp
nn( k1 − k 2 ) n
(prędkość fazowa)
vg ≠ v p
wolno-zmienny
5
6
Prędkość grupowa jest prędkością
impulsu świetlnego
Dudnienia światła: prędkość grupowa
vg ≡ dω /dk
E~ (t ) = E0 ( x − v g t ) exp[ik ( x − v p t )]
PoniewaŜ wyprowadziliśmy prędkość grupową uŜywając dwóch
częstości, myślmy o niej jako o prędkości dotyczącej pewnej (danej)
częstości (częstość nośna) z obwiednią, której centrum przesuwa się
z prędkością fazową (prędkością impulsu)
~
Obwiednia rozchodzi się z prędkością grupową.
Kiedy vg = vφ, impuls przemieszcza się z tą samą prędkością co fala
nośna (czyli tak, jak fronty falowe):
Fala nośna rozchodzi się z prędkością fazową
r
1
I =|< S >|= cε 0
2
z
vp = ω / k
[W/m2]
Zdarza się to rzadko.
Dudnienia światła: prędkość grupowa
Dudnienia światła: prędkość grupowa
vg ≡ dω /dk
vg ≡ dω /dk
E~ (t ) = E0 ( x − v g t ) exp[ik ( x − v p t )]
Dla dwóch fal o róŜnych częstościach:
~
Etot(x,t) = 2E0 cos(kavex–ωavet) cos(∆kx–∆ωt)
Obwiednia rozchodzi się z prędkością grupową.
Fala nośna rozchodzi się z prędkością fazową
vp = ω / k
Inaczej:
E (t ) ∝
I ( z − v g t ) exp[ik ( z − vφ t )]
υvgg
υvpp
Zazwyczaj, energia
propaguje się z
prędkością grupową
A co z prędkością rozchodzenia się energii?
7
8
Dudnienia światła: prędkość grupowa
W ośrodku dyspersyjnym:
fale harmoniczne o róŜnych częstościach rozchodzą się z róŜnymi
prędkościami.
Fala będąca paczką fal zawierających częstości z pewnego przedziału będzie więc zmieniać
swój kształt.
KaŜda ze składowych harmonicznych
Poszczególne fale:
rozchodzi się ze zwykłą prędkością fazową
(falową):
vp = ω / k,
Suma:
natomiast paczka fal jako całość przesuwa
się z prędkością vg
Obwiednia:
≠ vp.
Falę taką opisać moŜemy jako
falę harmoniczną o zmieniającej się
(modulowanej) amplitudzie;
prędkość rozchodzenia się grzbietów
modulacji to prędkość grupowa:
NatęŜenie
(irradiancja):
vg = dω/dk .
17
19
Prędkość grupowa
a dyspersja ośrodka: n(ω)
Podsumowanie
vg ≡ dω /dk
Częstość fali harmonicznej ω jest taka sama w rozwaŜanym ośrodku, jak i
poza nim, ale k = k0 n,
Tak więc wygodnie jest pomyśleć o ω jako o zmiennej niezaleŜnej:
(przypomnienie)
PoniewaŜ:
k = ω n(ω) / c0,
pochodna k:
dk /dω = ( n + ω dn/dω ) / c0
vg ≡ [ dk / dω]
−1
vg = c0 / ( n + ω dn/dω) = (c0 /n) / (1 + ω /n dn/dω )
v φ = ω / k = c0 /n,
Ostatecznie:
 ω dn 
vg = c0 / (n + ω dn/dω)
v g = vφ / 1 +
 n dω 
Tak więc prędkość grupowa równa jest prędkości fazowej, tylko wtedy, gdy
dn/dω = 0,
(brak dyspersji, tak jak np. w próŜni).
9
10
Dielektryki liniowe:
Dyspersja prędkości grupowej a
impulsy światła
funkcja dielektryczna w modelu Lorentza
Gdy ośrodek posiada wiele częstości rezonansowych ω0j:
Impuls światła zawiera wiele częstości. Prędkość
grupowa będzie róŜna dla róŜnych długości światła.
j
fj
(ω − ω 2 − iγ jω )
2
0j
przejścia
elektronowe
n
Prawie
wszędzie:
dn/dω > 0,
tam teŜ:
vg ≤ vp = c0/n
podczerień
Dyspersja powoduje zmianę kształtu impulsu!
21
widzialne
UV
X
czestotliwość (Hz)
Dyspersja:
Prędkość grupowa
a dyspersja ośrodka
funkcja dielektryczna i współczynnik załamania
w modelu Lorentza
A co się dzieje w obszarze anomalnej dyspersji?
n~ (ω ) = ε (ω )
vg = c0 / (n + ω dn/dω)
n(ω ) = Re n~ (ω )
κ (ω ) = Im n~ (ω )
dn/dω jest ujemne. Tak więc vg moŜe przewyŜszyć c0 dla tych częstości!
Współczynnik załamania n
Ne
1
ε r (ω ) = 1 +
ε 0 me (ω02 − ω 2 − iγω )
= ε 1 + iε 2
∑
Rezonanse:
oscylacyjne
i rotacyjne
czasowy
koniec
impulsu
vgr(Ŝółta) < vgr(czerwona)
2
Ne 2
ε 0 me
κ
czasowy
początek
impulsu
ε r (ω ) = 1 +
współczynnik załamania
i
współczynnik ekstynkcji
(absorpcji)
Obszary dyspersji anomalnej
vg < c0
vg < c0
Dyspersja
normalna
Dyspersja
normalna
vg < c0
Dyspersja
normalna
Prędkość grupowa moŜe przekroczyć c w ośrodku w obszarze
anomalnej dyspersji
11
12
Prędkość grupowa
a dyspersja ośrodka
Prędkość grupowa
a dyspersja ośrodka
A co się dzieje w obszarze anomalnej dyspersji?
A co się dzieje w obszarze anomalnej dyspersji?
vg = c0 / (n + ω dn/dω)
vg = c0 / (n + ω dn/dω)
dn/dω jest ujemne. Tak więc vg moŜe przewyŜszyć c0 dla tych częstości!
przejścia
elektronowe
n
Obszary dyspersji
anomalnej są:
• spektralnie wąskie
• stowarzyszone z
rezonansową
absorpcją
κ
Ale:
Rezonanse:
oscylacyjne
i rotacyjne
podczerień
widzialne
UV
?
X
Prędkość grupowa moŜe przekroczyć c w ośrodku w obszarze
25
czestotliwość (Hz)
anomalnej dyspersji
27
Prędkość grupowa
a dyspersja ośrodka
Czy moŜna:
A co się dzieje w obszarze anomalnej dyspersji?
vg = c0 / (n + ω dn/dω)
dn/dω jest ujemne. Tak więc vg moŜe przewyŜszyć c0 dla tych częstości!
przejścia
elektronowe
n
podczerień
widzialne
UV
zatrzymać światło?
światło?
przyspieszyć światło?!?
światło?!?
Obszary dyspersji
anomalnej są:
• spektralnie wąskie
• stowarzyszone z
rezonansową
absorpcją
κ
Ale:
Rezonanse:
oscylacyjne
i rotacyjne
X
A moŜe prędkość grupowa nie ma sensu w obszarze
26
czestotliwość (Hz)
anomalnej dyspersji?
13
14
Propagacja impulsu w ośrodku dyspersyjnym,
Szybciej niŜ światło
c ≅ 300 000 km s-1 - prędkość światła w próŜni (w
kosmosie) jest jedną z najpowszechniej znanych
stałych fizycznych
ośrodek
dyspersyjny
Wyniki obserwacji doświadczalnych:
"slow-light” medium
"fast-light” medium
8
6
Delayed
Vacuum
4
2
0
-200
0
200
Time (ns)
400
12
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
tadv=27.4 ns
10
power (µW)
10
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Power (µW)
Power (µW)
tdel= 67.5 ns
8
6
advanced
vacuum
4
2
0
-300
-200
-100
0
100
200
power (µW)
12
Obiekty posiadające masę wymagają nieskończenie
duŜej energii by ją osiągnąć,
Cząsteczki bezmasowe takie jak foton w próŜni
przenoszą (swoją) energię dokładnie z prędkością c,
Relatywistyczne pojęcie jednoczesności prowadzi do
wniosku, Ŝe informacja nie moŜe wędrować szybciej
niŜ światło (jeśli nie chcemy zrezygnować z
systemu pojęć i logiki, którymi się dotąd
posługiwaliśmy).
Niemniej jednak prędkości większe niŜ c są
obserwowane!
300
time (ns)
Szybciej niŜ światło
Zatrzymać światło
W obszarze anomalnej dyspersji, jeśli:
impuls jest dostatecznie wąski spektralnie
obszar, przez który wędruje jest dostatecznie krótki,
gładki front falowy impulsu jest modyfikowany przez ośrodek
Komputery optyczne?
i:
Złapanie światła w kryształach silikonowych umoŜliwiłoby
konstrukcje komputerów na nowych zasadach
Podziurkowana warstwa silikonu: spowalniający światło „światłowód”
skonstruowany z myślą o uŜyciu do buforowania sygnałów optycznych
jako element komputera optycznego (fotonicznego) lub routera
sieciowego.
moŜliwa jest obserwacja propagacji prędkości grupowej
impulsu z prędkością większą niŜ c (~(300 x c)),
ale prędkość transmitowanej energii impulsu o
zmodyfikowanym kształcie wiąŜe się nie z prędkością
grupową impulsu,
impulsu, ale dotyczy prędkości, z jaką porusza
się wiodąca krawędź (front) impulsu w ośrodku.
Prędkość ta nie przekracza prędkości c.
Wniosek:
trzeba przemyśleć definicję prędkości przenoszenia energii i
określić ją na nowo!
15
16
Manipulacja światłem
Jak przekazywana jest
informacja?
Nowe narzędzia
Z jaką prędkością się ona
porusza?
Brak dobrej odpowiedzi !!!
Szybciej niŜ światło
Ujemny współczynnik załamania
(metamateriały)
Anomalna dyspersja ze zminimalizowaną
absorpcją (pompowanie optyczne,
kryształy fotoniczne)
…
…
Zadanie domowe:
Sellmeier wyprowadził następujące wyraŜenie na zaleŜność
współczynnika załamania od długości fali:
Wniosek:
trzeba przemyśleć definicję prędkości przenoszenia energii i
informacji określić ją na nowo!
nowo!
n2 = 1 + ∑
Ani prędkość grupowa, ani prędkość fazowa nie są dobrymi
pojęciami, by opisać prędkość przenoszenia informacji
impulsu w warunkach wykonanych doświadczeń.
Jest nią „prędkość sygnału” , zdefiniowana jako prędkość
wędrówki frontu falowego impulsu.
Zgodnie z Teorią Względności, prędkość ta nigdy nie moŜe
przekroczyć prędkości światła w próŜni, poniewaŜ, gdyby
tak się stało, oznaczałoby to sygnał cofający się w czasie
(sprzeczność z zasadą przyczynowości).
j
A j λ2
(λ2 − λ j )
2
PokaŜ, Ŝe wyraŜenie to odpowiada wyraŜeniu:
ε r (ω ) = 1 +
Ne 2
ε 0 me
∑ (ω
j
fj
2
0j
− ω 2 − iγ j ω )
w obszarach przezroczystości z dala od linni absorpcyjnych.
Określ wynikające wartości Aj i λj.
17
18