w.2 - Koszalin

Zespół Dydaktyki Fizyki ITiE Politechniki Koszalińskiej
Ćw. nr 31. Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań w.2
1. Cel ćwiczenia
1. Pomiar okresu wahań wahadła z wykorzystaniem bramki optycznej sterującej czasomierz elektroniczny.
2. Określenie wielkości fizycznych określających wahadło fizyczne: moment bezwładności, środek masy, masa wahadła.
Obliczenie okresu wahań dla małych wychyleń i porównanie z wartością zmierzoną.
3. Eksperymentalne zbadanie wpływu kąta wychylenia wahadła na okres wahań.
4. Zbadanie zależności okresu wahań wahadła od kąta odchylenia płaszczyzny wahań od pionu.
2. Zagadnienia teoretyczne
1. Pojęcia podstawowe:
a. ruch harmoniczny (równanie i jego rozwiązanie), okres drgań , częstotliwość , amplituda, wykres ruchu harmonicznego,
b. środek masy,
c. moment bezwładności,
d. moment siły.
2. Wahadło matematyczne:
a. definicja (wyjaśnienie).
3. Wahadło fizyczne:
a. definicja (wyjaśnienie)
b. wyprowadzenie wzoru na okres wahań (rysunek, rozkład sił na składowe itd).
3. Wprowadzenie
3.1. Wahadło fizyczne
Rys. 31.1. Schematyczne przedstawienie wahadła fizycznego użytego w
ćwiczeniu. Składa się ono z pręta (w rzeczywistości z cienkościennej rurki) o
masie
, na którym zamocowany jest ciężarek o masie
w postaci
pierścienia. Oś obrotu przechodzi przez górny koniec pręta.
Na rysunku przedstawione są wielkości: – długość pręta, – położenie środka
masy ciężarka względem osi obrotu, – położenie środka masy wahadła
względem osi obrotu (jako bryły sztywnej). Wahadło pozwala na zmianę kąta
między płaszczyzną wahań a pionem.
W ćwiczeniu wykonywane są dwa rodzaje pomiarów:
a)
– rysunek należy interpretować następująco: wahadło jest
odchylone o kąt a płaszczyzna wahań jest prostopadła do płaszczyzny rysunku
i przechodzi przez oś pręta.
b)
– płaszczyzna wahań jest „normalna” tj. pionowa, pomiary
zależności okresu od kąta odchylenia wahadła. Rysunek należy interpretować
następująco: płaszczyzna wahań jest płaszczyzną rysunku, wahadło jest odchylone
o kąt , tego kąta nie możemy zmierzyć bezpośrednio (zestaw pomiarowy na to
nie pozwala), mierzymy zatem odchylenie końca pionu dla położenia
początkowego co pozwala na obliczenie kąta.
Na rys 31.1 przedstawiono schematycznie wahadło fizyczne użyte w ćwiczeniu.
Wahadło fizyczne jest to bryła sztywna o masie
mogąca obracać się względem osi odległej o od jej środka masy i mająca moment
bezwładności względem tej osi.
Wzór na okres wahań wahadła fizycznego (jest przybliżony, więcej na ten temat w dalszej części kliknij) ma postać
1z6
gdzie:
– moment bezwładności względem osi obrotu,
– masa wahadła,
– przyśpieszenie ziemskie,
– odległość środka masy od osi obrotu.
Zwróć uwagę na wyrażenie
we wzorze 31.1 mające wymiar długości. Oznacza to, że sama masa nie ma wpływu na okres wahadła
fizycznego, natomiast to jak jest ona rozłożona względem osi obrotu (to się przejawia w momencie bezwładności) ma wpływ.
Uwaga: w dalszej części instrukcji rozpatrujemy okres wahań w zależności od kąta odchylenia wahadła, jest wtedy oznaczany jako
odchylenia płaszczyzny wahań od pionu o kąt , oznaczamy go wtedy jako
. Zachodzi równość (dot. wzoru 31.1)
, oraz
3.2. Wzory dla zastosowanego wahadła fizycznego
Schemat wahadła z oznaczeniami danych go dotyczących przedstawia rys. 31.1.
Masa wahadła
jest sumą mas elementów składowych, czyli pręta i ciężarka (wprawne oko dostrzeże tuleję, do której przymocowany
jest pręt – pomijamy ją nie popełniając większego błędu, gdyż jej masa jest mała i skupiona bardzo blisko osi obrotu, zatem jej masa i
moment bezwładności są bardzo małe w stosunku do masy i momentu bezwładności całego wahadła):
Odległość środka masy wahadła od osi obrotu:
wzór na położenie środka masy układu dwu punktów materialnych względem punktu A (w naszym przypadku osi obrotu) ma postać:
gdzie
Dla pręta
– odległości mas
i
od p. A (osi obrotu).
, dla ciężarka , zatem wzór ma postać:
Moment bezwładności:
Moment bezwładności określamy względem osi obrotu. Jest on sumą momentów bezwładności elementów składowych wahadła, czyli:
gdzie:
– moment bezwładności pręta
momenty bezwładności brył),
– moment bezwładności ciężarka
punkcie odległym od osi obrotu o ).
Zatem
(dla osi obrotu przechodzącej przez początek pręta, wzór wzięty z tabeli wzorów na
(z definicji momentu bezwładności, przy założeniu, że cała masa jest skupiona w
3.3. Płaszczyzna wahań odchylona od pionu o kąt
Wahadło zastosowane w ćwiczeniu może mieć zmienianą płaszczyznę wahań, tzn. można zmieniać kąt
pionem. Dla „normalnego” wahadła
.
By uzyskać wzór na okres
wahadła odchylonego od pionu o kąt
musimy w wzorze 31.1 zastąpić
2z6
pomiędzy tą płaszczyzną a
wartością rzutu wektora
przyśpieszenia ziemskiego na płaszczyznę wahań, czyli wyrażeniem
. Ilustruje to rys. 31.1.
Odpowiedni wzór ma więc postać
gdzie
jest okresem „normalnego” wahadła (tj. wykonującego wahania w płaszczyźnie pionowej,
).
W ćwiczeniu wykonujemy pomiary
w funkcji kąta i sporządzamy odpowiedni wykres. Wyniki pomiarów możemy wykorzystać też do
sprawdzenia zgodności wzoru 31.5 z doświadczeniem. W tym celu zwróćmy uwagę, że ze wzoru 32.5 wynika
Wykresem zależności
równym wartości .
winna więc być linia prosta równoległa do osi
i przecinająca oś
w punkcie
3.4. Wzór na okres wahań jest przybliżony -- znaczenie kąta odchylenia
Wzór 31.1 na okres wahań wahadła fizycznego jest przybliżony, gdyż w wyprowadzeniu zastosowane zostało przybliżenia
bliskich zera ( w radianach).
Dla małych kątów (
) niedokładność jest bardzo mała, rośnie jednak ze wzrostem .
dla
Nie ma prostego wzoru na okres wahań uwzględniającego kąt odchylenia wahadła (dotyczy to również wahadła matematycznego).
W ćwiczeniu, jako że mamy możliwość pomiaru okresu dla różnych kątów odchyleń z dużą dokładnością (do
s), możemy więc to
zbadać doświadczalnie. Wykonujemy pomiary okresu
w funkcji odchylenia końca pręta od pionu, które przeliczamy na kąt odchylenia
(p. rys. 31.1). Obliczamy o ile różni się on bezwzględnie od
(co niewiele nam mówi) i procentowo (co jest dla nas zrozumiałe).
Następnie przedstawiamy te zależności na wykresie.
3.5. Niepewności pomiarowe
Wzór 31.1: przyjmujemy
Wzór 31.6: przyjmujemy
oraz
oraz
,
,
3z6
4. Pomiary
Uwaga: przed rozpoczęciem pomiarów prowadzący wyjaśni zasady obsługi stanowiska i wykonywania pomiarów.
Pomiary elementów wahadła:
1. Zanotuj następujące dane (nie można ich zmierzyć, gdyż w czasie zajęć wahadło nie jest rozbieralne):
masa pręta:
g,
masa ciężarka
g,
przyjmujemy niepewność pomiaru
g,
2. przy pomocy linijki zmierz następujące długości (licząc od osi obrotu) zapisując je w formacie jw. (tj. z niepewnościami
pomiarowymi):
długość pręta
położenia środka masy ciężarka
,
przyjmujemy niepewność pomiaru
mm,
Zależność
:
1. wykonaj pomiary zależności okresu wahań od wielkości odchylenia końca pręta wahadła wg tab. 31.1
Zależność
:
1. wykonaj pomiary zależności okresu wahań od kąta odchylenia
od 0 do 80 stopni) wg tab. 31.2
płaszczyzny wahań od pionu (małe wychylenia ok. 2-3 cm, kąty
Tabele pomiarowo-obliczeniowe:
Tab. 31.1. Pomiar zależności okresu wahań od wielkości wychylenia wahadła. Obliczenia kąta wychylenia, zmiany bezwzględnej i
względnej (procentowej) okresu dla różnych kątów względem
. Uwagi:
* – wstawić wyznaczoną z wykresu wartość ekstrapolowaną do
cm,
** – kąty
wyznaczyć ze wzoru
.
Pomiary
L.p.
Obliczenia
Odchylenie
[cm]
1
2
0
0
1
2,5
2
5
3
10
4
15
5
20
6
25
7
—
[s]
[°]**
%
[s]
3
*
4
5
6
0
0
0
90
4z6
Tab. 31.2. Pomiar zależności okresu wahań
Pomiary
od kąta odchylenia płaszczyzny wahań
od pionu.
Obliczenia
L.p.
1
2
1
0
2
10
3
20
4
30
5
40
6
50
7
60
8
70
9
80
3
4
5
6
7
8
9
5. Opracowanie wyników
5.1. Zależność okresu wahań od kąta odchylenia wahadła (tab. 31.1)
W tej części ćwiczenia nie obliczamy niepewności pomiarowych. Jest to spowodowane niewielką dokładnością pomiarów odchylenia
wahadła (co nie znaczy, że nie mają one wartości). Zamiast obliczeń niepewności przyjmujemy (co jest tego odpowiednikiem), że wielkości
i
wyznaczamy z dokładnością do dwu cyfr znaczących.
1. Wyznacz kąty odchylenia wahadła (wskazówka: zwróć uwagę, że odchylenie wahadła i jego długość, p. rys. 31.2, są bokami trójkąta
prostokątnego). Kąt odchylenia wyznaczamy ze wzoru
2.
3.
4.
5.
6.
(wystarczy dokładność do ), wyniki zapisz w tab. 31.1,
sporządź wykres zależności
,
wyznacz z wykresu wartość
jako ekstrapolowaną wartość dla
,
oblicz wielkości
i
i wpisz do tabeli 31.1,
dla jednego z pomiarów (o numerach 1-6) podaj szczegółowe przykłady wszystkich obliczeń,
sporządź wykres
.
5.2. Obliczenie okresu
wahadła fizycznego
Uwaga: wszystkie dane do obliczeń muszą wyrażone w jednostkach podstawowych układu SI.
1. Obliczenie masy wahadła
2. Obliczenie położenia środka masy
(zwróć uwagę na czynnik
w liczniku, środek masy pręta znajduje się bowiem w połowie jego
długości):
3. Obliczenie momentu bezwładności:
a. Pręt:
b. Ciężarek:
c. Moment bezwładności wahadła:
4. Obliczenie okresu wg wzoru 31.1, przyjąć
.
5. Na podstawie wzoru 31.1 i następnych wyprowadź wzory na niepewność maksymalną
zupełnej lub mieszaną), porównaj z podanymi w p.3.5.
6. Oblicz wartość
, dokonaj zaokrąglenia.
5z6
(metodą różniczki logarytmicznej,
7. Zaokrąglij obliczoną wcześniej wartość
.
5.3. Zależność okresu od kąta odchylenia płaszczyzny wahań
od pionu
1. Ze wzoru 31.6 wyprowadź wzór na
, porównaj ze wzorem 31.6' w p. 3.5,
2. Wykonaj obliczenia dla kolumn 7-9 tab. 3.2 i wpisz wyniki, skorzystaj ze wzoru
3. Dla jednego z wierszy tabeli podaj szczegółowe przykłady wszystkich obliczeń.
4. Wykonaj wykresy
i
.
srob/jm/cw31-upr-bez-w-mat.txt · ostatnio zmienione: 2014/04/16 22:26 przez jm
6z6