wych procesu kompresji. Kompresja fraktalna dotyczy zasadniczo

Transkrypt

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Kompresja
fraktalna dotyczy zasadniczo obrazów i jest w pewnym stopniu przeniesieniem
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12.1. Wprowadzenie
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udoskonalanej w pracach Barnsleya, Jacquina i Beaumonta [3][4][5].
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Opiera
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iteracyjnego systemu
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przestrzeni kompresowanego
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Technika FC, jakkolwiek stworzona na podbudowie innej teorii, w zasadach
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& . ! . / # + ! " * ) / % # 2 ) . 1 / # / $ + % 2 7 & ) 3 ! " 8 , # +
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243
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12.2. Matematyczne podstawy kompresji fraktalnej
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Niech (X,d
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Z V X b Y Z V X h i \ Y j Z Xk X _ X W X l Y m W ` b ] V d m Z Y X ` l ` X ^ b Y X
c a V n `c Z [
Oznaczmy przez
H(X
f g
g
g
^ W m a d j p q X _ X W X l Y j d Y Xk Z V X b Y Z V X l ` Z j d l ` X r l m _ X r [ a c Z V X b Y Z V X l `
przestrzeni X. o
g
g
H(X).
X l ` Y V d e W X Y Z[ \ s t m ^ b a c Z u u m d b c b j n l m bY s ^ k ] p [ v
Zdefiniujemy w tej przestrz
g
g
e w [ Zm r X l `X
Definicja 12.1
{
z
y
z y
y
( x , ) = max{ ( x , ), ( , x )}
(12.1)
jest nazywane | } ~
d \ Y j Z Xk d Z c d m a V c l c W X Y Z [ \ s
p V [ _` Z V X bY Z V X h
Z V X bY Z V X l `] u Z m \ Y m _` k X bY
H(X),
h
H(X),h).
g
g
X b Y Z V X h W X Y Z [ p V l m V ^ X l m i a c \ Y j Z Xk l m _ X r ] u Z m \ Y m _ X ` l m \ Y j Z Xk W c ] a V ` m m
Jest
to
prz
g
Z j r l X c Y[ ^ c X Z m Y c Z[ ` c a d V c Z c d m l ` m X l X Z^ k ] p X bY Z^ \ Y^ Z[ uZ m \ Y m _l X e
g
g
n [ _ X ` Xk V Z c V ^ W ` X h ` a X s Y [ p q c a d V c Z c d m h d Z c d m a V c l X V c bY m l ] c k s p ` m ^ l \ Y^
g
g
g
g
bY m X c Z V X \ bV Y m p X l ` m ` c a d V c Z c d m l ` m V d s r mk ] p X c i n [ d Z X b V p ` X b u c Z W ^ c d m Yd ` X Z a V X l ` X c
g
c a d V c Z c d m l `m p q V d s r mk ] p [ p q e
n s a V `X
ZV X \ bV Ymp X l `X W l m
Z V X bY Z V X l `
X. Punkt ∈
Definicja 12.2. Niech : →
g
g
Y m \ `i r X

( )=
nazywamy ~ } | ~ | } ~ } w.
ZV X \ bV Ym p X l `X

: → na przestrzeni metrycznej (X,d) zwane jest
¡ ¢£ ¤ ¥ ¦ § ¨ © ª ¤ « ¬ ® ¯ ° ° ±² ³ ° ¬ ±² ´ µ ´
0 ≤ ¶ <1 ²´· ´ « ¸
¼ ¾ » ¾ º
¼
( ( ), ( )) ≤ ½ ⋅ ( » , º ), ∀» , º ∈ ¹
(12.2)
Definicja 12.3.
¿ ° À Á Â ³ Ã ® Ä ² ´ ³ ´ Å Æ Â ´ ³ ´ ¬ ± ² Â ´ À Ç ³ · ° È É ° Ê ± Ë Ì °² Å ´ « ´ ±² ´ µ ´
s - ±² ´ µ Í É ° Ê ± Ë Ì °² Å ´ ¯Ç Î ° ³ ´ Ë Å ¬
Â ±Ê Á µ Ë Å Æ ³ ³ °· ° È Å Â Ï ¸ ´ ³ °´ Ð ´ ³ Ñ Ã Ã Ð Â Å Ã À Ã Â ´ ³ °´ Ò
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Niech ¾ : ¹ → ¹ Î Ï Ð Å ° Ã Ð Â Å Ã À Ã Â ´ ³ ° È Å Â Ï ¸ ´ ¬ Í Ë Æ È ³ ´ Ê À Å ± ² À Å ³ ° È ² À Æ Ë Å ³ ¬ Å Ç Ê µ ³ ¬
(X,d). Wtedy w Ê Ã ± ° ´ Ð ´ Ð Ã · µ ´ Ð ³ ° ¬ Ð ³ Ê Ç ³ · ² ± ² ´ µ Æ » Ù ∈ ¹ Ú Û Ü Ý Þ Û ß à Ý ß á Û â Û ã ß ä å Ý Ü æ Þ â à æ
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ç
è
∈ é ê ë å {è ì } à Û â ê Ú ã ä è 1 = è , è ô +1 = õ ( è ô ), = í ð ñ ð ò ò ò ð ï î í Ú ö ÷ ê ä å Û ß Ý Ü æ Þ â à æ ø à Û ù ä å Ý Ú é ö ú á ê
û
ü
üÙ
lim
, ∀ü ∈
ì { ì}=
(12.3)
→∞
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þ ÿ
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obiekt przestrzeni X
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þ
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þ
244
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ÿ ÿ
ÿ
ÿ
ÿ
# þ
ÿ þ
" ÿ
Generacja fraktali przy pomocy iteracyjnego systemu funkcji
$ þ
þ
þ ÿ
þ & ÿ ÿ ÿ %
%
ÿ
Definicja 12.4. '
þ X,d
þ
1
jako { ;
0
1
ÿ
,
0
ÿ
,...,
2
3 ÿ
þ ÿ
þ
þ
}
þ
%
Twierdzenie 12 4 5 4
6
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þ
ÿ
þ
þ
H
I J K L MN
þ
ÿ þ
%
ÿ
ÿ
O P Q R K N S
d
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þ
ÿ
2
þ
ÿ
ÿ
þ
þ
→
ÿ
ÿ *
:
þ
ÿ
+ ,
($ )
ÿ
/
dla = 1,2,..., .
= max{2 1 , 2 2 ,..., 2 , } .
- ,
ÿ
þ
:
($ )
ÿ
9 @ 8 A? B
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þ
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Niech { ; G 1 , G 2 ,..., G F }
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T N K Y ^ UL N P ]L T R Q Z N X MN
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L N
W ]^ _ Q Z L Y X X MP MN S
( c ) zdefiniowane jako
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(l )
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n
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m
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n
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W
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∈
m
u
w v p qr w v p y z
w x r x z

H(X),h)
n
( ( ),

n
( )) ≤ ⋅ ( , )
(12.5)
(l ) .

s y zp u x }
v u | } xo ~ {
s. Zatem
w u y {

(12.4)
(i )
h
=1
s t u v s ws u x y zp {

dla wszystkich
j
o p qr
v u | } xo ~ p
v x p } y s z~
(l )
t x
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r w o p qr o p t y {

t s u s y p s
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( )

0
∈
m
o p qr v zp } y
(l )
t s
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w x y z
-
w u y x y zx

Punkt
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245
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
1  Ø

ã
  0.5 0    0

  =  0 0.5 Ø  + 0 ,
 
   
 ã

2  Ø

ã
  0.5 0  

  =  0 0.5 Ø
 

 100
+  0 ,
  
 ã

3  Ø

ã
  0.5 0  

  =  0 0.5 Ø
 

  20
 + 74 .
  
© ± ¯ ¾ ± ·ª¨ § µ ¬ ±
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½° « ³
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° ¯ ¬ · ª « ½· ± ¾
gdzie k - kontrast, a j ì ³¯ £ « ³¬ ¨
½µ « ª ¯ ²§ £ ¤ ¥ µ ±
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(12.6)
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Σ( s ) = a n s n + .... + a1 s + a 0
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12.4. Algorytmy praktyczne
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250
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