17. nieliniowe zachowanie się konstrukcji wykonanych z materiału

Część 4
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
17.
1
Í Ï Î
WYBRANE PROBLEMY NIELINIOWE I NIESPRĘŻYSTE
WPROWADZENIE
Mechanika nieliniowa zajmuje się problemami, w których zależności między naprężeniami lub siłami
a wielkościami kinematycznymi są nieliniowe. Rozróżniamy dwa zasadnicze rodzaje nieliniowości: kinematyczną (tj. geometryczną) i fizyczną.
Nieliniowość kinematyczna pojawia się wtedy, gdy rozważany obiekt wykazuje duże odkształcenia albo duże przemieszczenia, albo duże odkształcenia i duże przemieszczenia jednocześnie (np. konstrukcje
cięgnowe, pneumatyczne).
Nieliniowość fizyczna wynika z fizycznych własności materiału lub konstrukcji i objawia się wówczas,
gdy związki konstytutywne są nieliniowe. Są to np. materiały nieliniowo-sprężyste lub plastyczne.
Szczególnego typu nieliniowość fizyczną w zakresie małych przemieszczeń wykazują również konstrukcje wykonane z materiału liniowo-sprężystego, ale nie spełniające postulatów Clapeyrona. Mamy tu na
myśli tzw. konstrukcje luzowe, czyli konstrukcje wykazujące niewielkie luzy w połączeniach elementów.
W skali makro (na poziomie całej konstrukcji) obecność luzów jest przyczyną „zakleszczania się” (ang.
locking), tzn. wzrostu sztywności w miarę wzrostu obciążenia. Zakleszczanie się oprócz sprężystości i
plastyczności, można uważać za kolejny prototyp nieliniowego prawa fizycznego.
Jest oczywiste, że występują również przypadki bardziej złożone, w których rozważany obiekt wykazuje zarówno nieliniowość kinematyczną jak i fizyczną. Dla wszystkich zadań nieliniowych charakterystyczne jest to, że nie obowiązuje zasada superpozycji skutków.
Do konstrukcji niesprężystych zaliczamy takie, których materiał poza cechami sprężystymi wykazuje
inne cechy, np. lepkość. Należą do nich konstrukcje (materiały) lepko-sprężyste. Gdy zależność pomiędzy naprężeniem a prędkością odkształceń jest liniowa, to obowiązuje zasada superpozycji względem
cykli naprężeń i odkształceń jako funkcji czasu. W odróżnieniu od procesów sprężystych są to jednak
procesy, w których obserwujemy dyssypację energii.
W kolejnych rozdziałach tej części podręcznika przedstawimy specyfikę zadań nieliniowych i niesprężystych. Na początku omówimy konstrukcje prętowe wykonane z materiału liniowo-sprężystego wykazujące jednak cechy nieliniowe (w tym konstrukcję luzową). Dalej przedstawimy problematykę prętów
wykonanych z materiałów fizycznie nieliniowych lub materiałów wykazujących cechy niesprężyste. Na
koniec omówimy problemy stateczności.
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
Część 4
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
2
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI WYKONANYCH Z MATERIAŁU
LINIOWO-SPRĘŻYSTEGO
17.1. RAMA Z LUZAMI KĄTOWYMI NA PODPORACH
Omówimy efekty zastosowania podpory przegubowej z ograniczeniem kąta obrotu. Jest to tzw. podpora luzowa. Model takiej podpory ilustruje rysunek 17.1a.
Rys. 17.1
Jeśli kąt obrotu pręta jest zawarty w przedziale ( − Φ − ,Φ + ), to mamy do czynienia ze zwykłą podporą
przegubową. Dla wartości granicznych Φ = Φ + lub Φ = −Φ − podpora przybiera cechy utwierdzenia*).
Charakterystykę fizyczną takiej podpory przedstawiają rysunek 17.1b oraz zależności (17.1):
M = 0, − Φ − < Φ < Φ + ,


M ≥ 0, Φ = Φ + ,


−
M ≤ 0, Φ = −Φ .

(17.1)
Zachowanie omawianej podpory jest wobec tego nieliniowe. Zastosowanie podpór luzowych zilustrujemy na przykładzie ramy portalowej wykonanej z materiału liniowo-sprężystego. Całość rozważań odniesiemy do zakresu małych przemieszczeń. Obciążenie ramy stanowią dwie siły: Px = pxP0 oraz Py = py P0,
przy czym px oraz py są bezwymiarowymi intensywnościami obciążeń, a P0 oznacza pewną stałą o wymiarze siły. Zadanie objaśnia rys. 17.2a.
*)
Problem ten należy do mechaniki układów z więzami jednostronnymi.
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
Część 4
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
3
Rys. 17.2
Wszystkie możliwe warianty schematów statycznych ramy luzowej przedstawiają rys. 17.2c, d, e, f,
przy czym dodatnie zwroty momentów podporowych zaznaczono na rys. 17.2b.
Przyjęcie podpór nieliniowych sprawia, że schemat statyczny ramy zmienia się
wskutek narastania obciążeń. Jest to zatem konstrukcja, która nie spełnia postulatów Clapeyrona; wykresy obciążenie - przemieszczenie są liniami łamanymi, tzn. są nieliniowe. Racjonalne obranie wartości
kątów Φ + i Φ − daje efekt „dostosowania” się schematu statycznego do intensywności i charakteru obciążenia. Wymienione cechy konstrukcji nie są bez znaczenia dla praktyki projektowej oraz analizy
wpływu luzów podporowych na zachowanie się konstrukcji.
Do obliczenia ramy zastosowano metodę sił. Przy wyznaczaniu przemieszczeń uwzględniono jedynie
wpływ zmiany krzywizn osi prętów. Przyjęto, że układ podstawowy jest ramą trójprzegubową
(rys. 17.3a), a wszystkie pomocnicze wykresy momentów zginających obrazują kolejne rysunku 17.3.
Punktem wyjścia są równania kanoniczne metody sił:
(a)
 X1∆11 + X 2 ∆12 + X 3∆13 = − ∆1 p ,

 X1∆21 + X 2 ∆22 + X 3∆23 = − ∆2 p ,

 X1∆31 + X 2 ∆32 + X 3∆33 = − ∆3 p ,
gdzie
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
Część 4
(b)
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
4
2
1

EJ∆12 = EJ∆13 = ln,
 EA∆11 = 3 l ( 3 + n),
6

1
1
 EJ∆ = EJ∆ = l (1 + 4n), EJ∆ = − l (1 + 2n),
22
33
23

6
6

1 2
 EJ∆1 p = − P0l (3 + 2n) p y ,
6


1
h

2
 EJ∆2 p = − P0l n p y − (2 + 3n) px  ,
12
l




1
h

2
 EJ∆3 p = − P0l n p y + (2 + 3n) px  ,
12
l




h J1
, ∆ik = ∆ki .
n =
l Jh

Rys. 17.3
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
Część 4
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
5
Kąty obrotu na podporach określają zależności
(c)
Φ A = − ( ∆2 p + X 1∆21 + X 2 ∆22 + X 3∆23 ),

Φ B = − ( ∆3 p + X 1∆31 + X 2 ∆32 + X 3∆33 ).
O sztywności ramy decydują wartości przemieszczeń ∆x i ∆y. Przemieszczenia te obliczymy ze wzorów:
(d)
∆x = ∆x 0 + X 1∆x1 + X 2 ∆x 2 + X 3∆x 3 ,
∆ = ∆ + X ∆ + X ∆ + X ∆ , ,
y0
1 y1
2 y2
3 y3
 y
gdzie
∆x 0 =
∫
s
∆xi =
∫
s
M x M0
ds,
EJ
M x Mi
ds,
EJ
∆y0 =
∫
M y M0
s
∆ yi =
∫
s
M y Mi
EJ
EJ
ds,
ds; i = 1, 2, 3.
Momenty M0 w układzie podstawowym statycznie wyznaczalnym pochodzą od obciążenia zewnętrznego, a Mx i My są wywołane odpowiednio siłami Px = 1 (rys. 17.3c) i Py = 1 (rys. 17.3d). Po wykonaniu
całkowania otrzymujemy:
(e)
2

1
1
 h
 h
EJ∆x0 = P0l 3(1 + n)  px ; EJ∆x1 = 0; EJ∆x2 = − EJ∆x3 = l 2 (2 + 3n)  ;

 l
 l
6
12

1 3
1 2
1 2

EJ∆y0 = 6 P0l (1 + n) py ; EJ∆y1 = − 6 P0l (3 + 2n); EJ∆y2 = EJ∆y3 = − 12 l n.
Wzory (c) i (d) są słuszne dla każdego z czterech schematów statycznych przedstawionych na rysunkach 17.2c, d, e, f, pod warunkiem podstawienia odpowiednich wartości momentów nadliczbowych X1,
X2, X3. Równania kanoniczne (a) po podstawieniu zależności (b) można doprowadzić do postaci:
(f)

4(3 + n) X 1 + nX 2 + nX 3 = P0l (3 + 2n) p y ,

1

nX 1 + (1 + 4n) X 2 − (1 + 2n) X 3 = P0l np y − ( 2 + 3n)(h / l ) px ,
2

1

nX 1 − (1 + 2n) X 2 + (1 + 4n) X 3 = 2 P0l np y + (2 + 3n)(h / l ) p y .
[
[
]
]
Dla poszczególnych schematów statycznych otrzymujemy następujące rozwiązania tego układu równań:
(g)
schemat I
 X = P lb ⋅ p , X = 0, X = 0,
0 1 y
2
3
 1
schemat II

 X1 = P0l ( − a2 ⋅ px + b2 ⋅ p y ), X 2 = 0, X 3 = P0l (c2 ⋅ px + d 2 ⋅ p y ),

schemat III
 X1 = P0l ( a2 ⋅ px + b2 ⋅ p y ), X 2 = P0l ( − c2 ⋅ px + d 2 ⋅ p y ), X 3 = 0,

schemat IV
 X = P lb ⋅ p , X = P l ( − c ⋅ p + d ⋅ p ), X = P l (c ⋅ p + d ⋅ p ).
3 y
0 3 y
2
0
3 x
3 y
3
0 3 x
 1
gdzie
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
Część 4
(h)
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
6

3 + 2n
6 + 28n + 15n 2
n(2 + 3n)
 h
, a2 =
,
,
=
b
⋅


b1 =
2
4( 3 + n)
2(12 + 52n + 15n 2 )  l 
2(12 + 52n + 15n 2 )


2( 3 + n)(2 + 3n)  h 
3n
,
,
⋅
d2 =
c2 =
2  l 
12 + 52n + 15n
12 + 52n + 15n 2


(2 + 3n)  h 
1
2+n
, c3 =
⋅ ,
d3 =
.
b3 =
2( 4 + n)
2 ( 4 + n)
4(1 + 3n)  l 

Po uwzględnieniu powyższych zależności w równaniach (c) otrzymujemy wzory na kąty obrotu na podporach w schematach I÷III:
schemat I
ϕ = −α ⋅ p + β ⋅ p , ϕ = α ⋅ p + β ⋅ p ,
1 x
1 y
B
1 x
1 y
 A
schemat II
(i)
ϕ = −α ⋅ p + β ⋅ p , ϕ = 0,
2
x
2
y
B
 A
schemat III

ϕ A = 0, ϕ B = α 2 ⋅ px + β2 ⋅ p y .
gdzie:
EJ
EJ

, ϕ B = ΦB ⋅ 2 ,
ϕ A = Φ A ⋅
2
P0l
P0l


2 + 3n  h 
n
(j)
,
⋅   , β1 =
α1 =


12
8(3 + n)
l


n(4 + n)(2 + 3n)  h 
n( j + 3n)
⋅   , β2 =
.
α 2 =
2

2(12 + 52n + 15n )  l 
12 + 52n + 15n 2
P l3
P l3
Według równań (d) obliczono przemieszczenia ∆x = δ x ⋅ 0 oraz ∆ y = δ y ⋅ 0 :
EJ
EJ
schemat

schemat
(k)

schemat
schemat

przy czym
(l)

 A1 =



 A2 =


A =
 4
δ y = D1 ⋅ p y ,
I: δ x = A1 ⋅ px ;
II: δ x = A2 ⋅ px − B2 ⋅ p y ; δ y = − B2 ⋅ px + D2 ⋅ p y ,
III: δ x = A2 ⋅ px + B2 ⋅ p y ; δ y = B2 ⋅ px + D2 ⋅ p y ,
IV: δ x = A4 ⋅ px ;
δ y = D4 ⋅ p y ,
2
3 + 4n
j + n  h
,
⋅   , D1 =


6
24(3 + n)
l
n(12 + 14n + 3n 2
2
n(2 + 3n)
 h
 h
, B2 =
,
⋅
⋅
2  l 
2  l 
3(12 + 52n + 15n 0
4(12 + 52n + 15n )
2
1+ n
3 + 16n + 15n 2
n( 4 + 3n)  h 
, D4 =
⋅   , D2 =
.
2
6(4 + n)
24(1 + 3n)  l 
6(12 + 52n + 15n )
Ustalimy teraz warunki, w których realizują się poszczególne schematy statyczne.
Schemat I, stosownie do rys. 17.2c, realizuje się wówczas, gdy są spełnione nierówności:
− γ ⋅ ϕ0 < ϕ A < ϕ0 ,
− γ ⋅ ϕ0 < ϕ B < ϕ0 ,
(m)
gdzie
EJ
EJ
ϕ0 = Φ + ⋅ 2 ,
γ ⋅ ϕ0 = Φ − ⋅ 2 .
P0l
P0l
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
Część 4
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
7
W nierównościach tych wyrazimy kąty ϕA i ϕB przez parametry obciążeń px i py. Ostatecznie otrzymujemy cztery nierówności:
(n)
py
 px
+
< 1,

  − ϕ 0   ϕ 0 
  α1   β1 

py
 px +
< 1,
 ϕ  
ϕ0 
0
γ
 −γ

β1 
  α1  
py
px
+
< 1,
 ϕ0   ϕ0 
   
 α1   β1 
py
px
+
< 1.

ϕ0  
ϕ0 
−γ
 −γ

α1  
β1 

Granica obszaru wyznaczonego tymi nierównościami jest równoległobokiem zaznaczonym na rys. 17.4,
gdzie przyjęto, że γ > 1.
Rys. 17.4
Dla schematu II obowiązują nierówności:
(o)
ϕ A < ϕ 0 ; ϕ A > −γ ⋅ ϕ 0 ,

przy czym
 ϕ = ϕ , gdy M ≥ 0, lub ϕ = −γ ⋅ ϕ , gdy
0
B
B
0
 B
M B ≤ 0.
Rozważymy najpierw przypadek taki, że ϕ A < ϕ 0 , ϕ B = ϕ 0 . Kąt ϕA jest sumą dwóch wartości ϕA1 i
∆ϕA. Wartość ϕA1 jest kątem obrotu lewej podpory w chwili, gdy kąt ϕB osiąga wartość ϕ0. Obciążenia px
i py przyjmują wówczas wartość px1 i py1 oraz odpowiadają pewnemu punktowi leżącemu na granicy obszaru, w którym realizuje się schemat I (por. rys. 17.4). Wynika stąd, że
ϕ A1 = −α1 ⋅ px1 + β1 ⋅ p y1 ,
ϕ B = ϕ 0 = α1 ⋅ px1 + β1 ⋅ p y1.
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
Część 4
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
8
Kąt ∆ϕA realizuje się już w schemacie II. Wobec tego
ϕ A = ϕ A1 + ∆ϕ A = −α1 px1 + β1 p y1 − α 2 ( px − px1 ) + β2 ( p y − p y1 ) < ϕ 0 ,
skąd
− α 2 ⋅ px + β2 ⋅ p y < ϕ 0 + px1 (α1 − α 2 ) − p y1 ( β1 − β2 ).
Ponieważ ϕ B = ϕ 0 , więc
− α 2 ⋅ p x + β2 ⋅ p y <
2α1 − α 2
α1


α1β2
⋅  α1 p x1 +
⋅ p y1 .
2α1 − α 2


Uwzględniwszy wzory (j) stwierdzamy, że
α1 ⋅ β2
= β1 ,
2α1 − α 2
(p)
co prowadzi do nierówności:
− α 2 ⋅ p x + β2 ⋅ p y <
2α1 − α 2
⋅ ϕ0
α1
lub po przekształceniu
py
px
+
< 1.
 2α1 − α 2
  ϕ0 
⋅ ϕ0   
−
 α1 ⋅ α 2
  β1 
(r)
W analogiczny sposób analizujemy drugi przypadek: ϕ A > −γϕ 0 oraz ϕ B > ϕ 0 . Otrzymujemy wtedy
nierówność:
ϕ A = ϕ A1 + ∆ϕA = −α1 ⋅ px1 + β1 ⋅ p y1 − α 2 ( px − px1 ) + β2 ( p y − p y1 ) > −γϕ 0 ,
którą można przedstawić w postaci:
− α 2 ⋅ px + β2 ⋅ p y > −γ ⋅ ϕ 0 + px1 (α1 − α 2 ) − p y1 ( β1 − β2 ).
Ponieważ β1 ⋅ p y1 = ϕ o − α1 ⋅ p x1, więc
− α 2 ⋅ px + β2 ⋅ p y > −γ ⋅ ϕ 0 − ϕ 0 +
2α1 − α 2
⋅ (α1 ⋅ px1 + β1 ⋅ p y1 ),
α1
skąd

α  
α 
− α 2 ⋅ px + β2 ⋅ p y > −ϕ 0  − γ − 1 + 2 2  =  1 − γ − 2  ϕ 0 .
α1  
α1 

Ostatecznie dla γ > 1 − α 2 α1 otrzymujemy:
(s)
py
px
< 1.
+


α2 
α2 
 ⋅ ϕ 0 / β2
1 − γ −
 ⋅ ϕ0 / α 2 − 1 − γ −
α1 
α1 


Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
Część 4
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
9
Nierówności (r) i (s) wyznaczają obszar, w którym realizuje się schemat II. Obszar ten oraz wyniki analizy pozostałych przypadków zobrazowano na rys. 17.4.
Efekty ilościowe oraz dalsze efekty jakościowe pokażemy na przykładzie ramy przedstawionej na
rys. 17.5.
Rys. 17.5
Pręty ramy są wykonane ze stalowych dwuteowników równoległościennych IPE 200
( E = 2 ⋅ 108 kN / m2 , J = 2770 ⋅ 10−8 m4 ) . Obciążenia Px i Py zmieniają się w granicach:
− 4 kN ≤ Px ≤ 4 kN , 4 kN ≤ Py ≤ 24 kN .
Siła Py = 4 kN symbolizuje obciążenia stałe pochodzące od ciężaru własnego konstrukcji. Jeżeli przyjmiemy, że P0 = 4 kN, to na płaszczyźnie obciążeń px i py punkt A o współrzędnych px = 0 i py = 1 odpowiada obciążeniu ciężarem własnym. Dla obciążeń zmiennych mamy:
− 1 ≤ px ≤ 1,
1 ≤ p y ≤ 6.
Własności podpór charakteryzują wartości γ = 0 oraz ϕ0 = 0,075 rad. Oznacza to, że kąt Φ − = 0, a kąt
P l2
4 ⋅ 42
Φ + = ϕ 0 ⋅ 0 = 0,075 ⋅
= 8,6664 ⋅ 10− 4 rad.
EJ
2 ⋅ 2770
Z wymiarów geometrycznych prętów ramy wynika, że n = h/l = 0,75. Na podstawie wzorów (h), (j) i
(l) obliczono:
b1 = 0,300,
a2 = 0,2011,
b2 = 0,2981,
b3 = 0,289,
c3 = 0,2452,
d 3 = 0,1053,
c2 = 0,4022, d2 = 0,03788,
α1 = 0,2656, β1 = 0,0250, α 2 = 0,09552, β2 = 0,04101,
A1 = 0,1641, A2 = 0,05722, A4 = 0,0338,
D1 = 0,6667, B2 = 0,1006, D2 = 0,06572, D4 = 0,0614.
Na rysunku 17.6 przedstawiono obszar obciążeń zewnętrznych oraz obszary poszczególnych schematów statycznych. Rama wykazuje cechy konstrukcji fizycznie nieliniowej i wzmacnia się w miarę wzrostu
obciążenia.
Każdemu punktowi przestrzeni obciążeń px, py można przypisać odpowiednie bezwymiarowe przemieszczenia δ x i δ y . Obliczymy przykładowo przemieszczenia stowarzyszone z punktami A, K, L i G:
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
Część 4
− punkt A
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
( p x = 0,
10
p y = 1):
δ x = 0, δ y = 0,0667 ⋅ 1 = 0,0667.
− punkt K
( p x = 0,1279,
p y = 1,6394):
δ x = 0 + 0,1279 ⋅ 0,1641 = 0,02099,
δ y = 0,0667 + (1,6394 − 1) ⋅ 0,06667 = 0,1093.
− punkt L
( p x = 0,7488,
p y = 4,7439):
δ x = 0,02099 + (0,7488 − 0,1279) ⋅ 0,05722 − (4,7439 − 1,6394) ⋅ 0,01006 = 0,02529,
δ y = 0,1093 − (0,7488 − 0,1279) ⋅ 0,01006 + (4.7439 − 1,6394) ⋅ 0,06572 = 0,3070.
− punkt G
( p x = 1,
p y = 6):
δ x = 0,02529 + (1 − 0,7488) ⋅ 0,0338 = 0,0338,
δ y = 0,3070 + ( 6 − 4,7439) ⋅ 0,0614 = 0,3842.
Rys. 17.6
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
Część 4
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
11
Rezultaty dla pozostałych punktów zestawiono niżej:
B (0,0941; 1): δ x = 0,01544, δ y = 0,0667,
C (0,3557; 1): δ x = 0,03041, δ y = 0,0693,
E (1; 3,5):
δ x = 0,05219, δ y = 0,0693,
δ x = 0,05219, δ y = 0,2228,
F (1; 5,329):
δ x = 0,03380, δ y = 0,3430,
G (1; 6):
H ( 0; 6):
δ x = 0,03380, δ y = 0,3842,
δ y = 0,3842,
δ x = 0,
I ( 0; 3):
δ x = 0,
D(1; 1):
δ y = 0,2000.
Widzimy zatem, że między punktami przestrzeni obciążeń a punktami przestrzeni przemieszczeń istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie. Własność ta pozwala na graficzne przedstawienie
poszczególnych dróg obciążenia i schematów statycznych w przestrzeni przemieszczeń δ x i δ y . W rozważanym zadaniu ilustruje to rys. 17.7. Prostokątnemu obszarowi obciążeń odpowiada wielobok
ABCDEFGH w przestrzeni przemieszczeń. Dla porównania zaznaczono prostokąty A'D'G'H' i A''D''G''H'',
które otrzymujemy odpowiednio dla schematu I i schematu IV.
Na zakończenie omówimy jeszcze zmiany energii sprężystej występujące w zamkniętym cyklu obciążenia na drodze ABCDEFGHIA. Energię te obliczymy z zależności:
Lc = Lx + Ly =
∫(
P 2l 3
P 2l 3
Px ⋅ d∆x + Py ⋅ d∆ y = 0
( px dδ x + p y dδ y ) = 0 ⋅ (lx + l y ).
EJ
EJ
)
∫
Rys. 17.7
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
Część 4
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
12
Aktualna wartość energii sprężystej Lc jest zatem sumą pól zawartych pod wykresami
Px ( ∆x ) i Py ( ∆ y ). Wykresy te podano na rys. 17.8. Jak widać, linie obciążeń i odciążeń na obu wykresach nie pokrywają się. Dla rozważanego cyklu obciążenia w płaszczyźnie Px , ∆x obserwujemy „produkcję” energii, a na płaszczyźnie Py , ∆ y − „dyssypację” energii. Ponieważ jednak rozważany proces
jest sprężysty, suma „produkcji” i „dyssypacji” energii jest równa zeru. Łatwo to sprawdzić rachunkowo.
Dla poszczególnych punktów obliczono:
A:
lx =
0,
ly = 0,0333,
lc = 0,0333,
B:
lx =
0,0007 ,
ly = 0,0333,
lc = 0,0340,
C:
lx =
0,0041,
ly = 0,0353,
lc = 0,0394 ,
D:
lx =
0,0189 ,
ly = 0,0353,
lc = 0,0542 ,
E:
lx =
0,0189 ,
ly = 0,3818,
lc = 0,4007 ,
F:
lx =
0,0005,
ly = 0,9118,
lc = 0,9123,
G:
lx =
0,0005,
ly = 11441
,
,
lc = 11446,
,
H:
lx = − 0,0164 ,
ly = 11441
,
,
lc = 1,277 ,
I:
lx = − 0,0164,
ly = 0,3164 ,
lc = 0,300,
A:
lx = − 0,0164 ,
ly = 0,0164 ,
lc = 0.
Rys. 17.8
,
). Gdyby założyć, że w całym zakreNajwiększa energia sprężysta występuje w punkcie G (lc = 11446
sie obciążeń realizuje się schemat I, to energia ta lc = 1,282, a gdy realizuje się tylko schemat IV, to lc =
1,122. Widzimy zatem, że energia sprężysta może być pewną miarą podatności konstrukcji. Im większa
energia sprężysta, tym większa podatność. Fakt ten wykorzystuje się czasem do oszacowania globalnej
sztywności konstrukcji.
W podsumowaniu warto zwrócić uwagę na to, że problemy nieliniowe są z reguły bardzo skomplikowane i wymagają do żmudnych rachunków. Przekonywującym potwierdzeniem tego wniosku jest przedstawiony wyżej problem ramy na nieliniowych podporach.
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
Część 4
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
13
17.2. KRATOWNICA MISESA
17.2.1. Wprowadzenie
Nazwa „kratownica Misesa” odnosi się do kratownicy dwuprętowej, przedstawiona na rys. 17.9. Zbadamy zachowanie się układu pod wpływem symetrycznego obciążenia pionowego siłą P zaczepioną w
węźle środkowym.
Rys. 17.9
Jeżeli wyniosłość kratownicy mierzona stosunkiem H0/L0 jest mała, to prawidłowy opis deformacji
kratownicy wymaga odstąpienia od zasady zesztywnienia. Innymi słowy, równania równowagi trzeba
układać dla konfiguracji aktualnej (po odkształceniu). Otrzymujemy zatem problem kinematycznie (geometrycznie) nieliniowy. W celu zilustrowania powyższych stwierdzeń zadanie rozwiążemy w dwóch
wariantach: liniowym (przy akceptacji zasady zesztywnienia) i nieliniowym.
Geometrię odkształcenia opiszemy pionowym przemieszczeniem v punktu przyłożenia obciążenia,
przy założeniu, że deformacja konstrukcji jest symetryczna. Przyjmiemy nadto, że odkształcenia liniowe
prętów są małe, a materiał prętów kratownicy jest liniowo-sprężysty.
Zależność między siłą P a przemieszczeniem v ustalimy na podstawie twierdzenia o minimum energii
potencjalnej (por. p. 14.9.2). Pokażemy, że równowaga układu ma miejsce dla takiej wartości v, która
ekstremalizuje energię potencjalną Π (v ), określoną wzorem (14.11). Wzór ten w naszym zadaniu przybiera postać:
(a)
Π=
1
∫ 2 ⋅ EAλ
2
⋅ ds − P ⋅ v,
s
gdzie λ = ∆L / L i oznacza wydłużenie względne osi prętów, a L = L0 / (sin α 0 ).
17.2.2. Zadanie kinematycznie liniowe
W zakresie małych przemieszczeń zależność między zmianą długości prętów ∆L i przemieszczeniem
v jest liniowa (por. rys. 17.10b):
(b)
∆L = − v ⋅ cosα 0 .
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
Część 4
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
14
Rys. 17.10
Wobec tego
λ = −v ⋅
(c)
cosα 0
⋅ sin α 0 ,
L0
a energia potencjalna
l
(d)
Π (v ) = 2 ⋅
1 2
 EA

∫ 2 λ EA ⋅ dx − P ⋅ v = EAλ L − Pv = L0 cos α0 ⋅ sin α0 ⋅ v
2
2
2
− P ⋅ v.
0
Ekstremum funkcji Π ( v ) zachodzi, jeżeli ∂ Π ∂ v = 0 :
(e)

∂ Π  2 EA
=
cos2 α 0 ⋅ sin α 0  ⋅ v − P = 0.
∂ v  L0

Łatwo zauważyć, że druga pochodna energii potencjalnej względem przemieszczenia v jest zawsze większa od zera: ∂ 2 Π ∂ v 2 > 0 , więc stan równowagi określony zależnością (e) odpowiada minimum energii
potencjalnej. Zależność (e) można uzyskać także z równania równowagi zapisanego w konfiguracji pierwotnej. Z rysunku 17.10c wynika bowiem następujące równanie równowagi:
P = −2 N cos α 0 .
Ponieważ jednak
N = EAλ = EA ⋅

∆L  EA
= −
⋅ cos α 0 ⋅ sin α 0  ⋅ v ,
L  L0

więc
(f)
 2 EA

P=
⋅ cos2 α 0 ⋅ sin α 0  ⋅ v.
 L0

Wzór (f) pokrywa się z zależnością (e), uzyskaną metodą energetycznej.
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
Część 4
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
15
17.2.3. Zadanie kinematycznie nieliniowe
Gdy uwzględnimy zmiany geometrii układu, wówczas zależność ∆L(v ) jest bardziej złożona. Ze wzoru Pitagorasa otrzymujemy (rys. 17.9):
L=
L20 + H02 = L0 / sin α 0 ,
L + ∆L =
L20 + ( H0 − v ) 2 ,
skąd
λ=
(g)
∆L
=
L
L20 + ( H0 − v ) 2 − L20 + H02
⋅ sin α 0 .
L0
Wobec powyższego energia potencjalna układu
L
(h)
Π (v ) = 2
1
EA 
∫ 2 EAλ dx − Pv = L0 
0
2
L20 + ( H0 − v ) 2 − L20 + H02  sin α 0 − Pv .

Warunek ekstremum funkcji Π(v) prowadzi do zależności:
L2 + ( H0 − v ) 2 − L20 + H02
∂Π
EA
⋅ ( H0 − v ) − P = 0,
=−
⋅ sin α 0 ⋅ 0
L0
∂v
L20 + ( H0 − v ) 2
skąd
(i)







v 
1
P ( v ) = 2 EA ctgα 0 −
− sin α 0 .
 ⋅
2
L0  




 1 +  ctgα 0 − v 

L0 



Identyczny wynik otrzymujemy z równania równowagi sił w konfiguracji aktualnej (ryz. 17.11).
Rys. 17.11
Zależność P(v) może odpowiadać równowadze statecznej ( ∂ P ∂ v = P ,v > 0 ) lub niestatecznej
( P,v < 0). Z budowy zależności (i) wnioskujemy, że pochodna P,v jest równa drugiej pochodnej energii
potencjalnej. Równowaga stateczna występuje zatem wówczas, gdy energia potencjalna osiąga minimum,
tzn. gdy ∂ Π ∂ v = 0, ∂ 2 Π ∂ v 2 > 0 , natomiast równowaga jest niestateczna, gdy energia potencjalna
osiąga maksimum: ∂ Π ∂ v = 0, ∂ 2 Π ∂ v 2 < 0 . Problem stateczności równowagi zilustrujemy również
w przykładzie liczbowym.
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
Część 4
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
16
17.2.4. Przykład liczbowy*)
Obliczenia wykonano dla następujących danych:
L0 = 1,0 m, E = 2,1 ⋅ 108 kN / m2 ,
A = 10−3 m2 , ctgα 0 = 0,1 , P = 40 kN.
W zadaniu liniowym stosownie do wzoru (d), otrzymano:
Π (v ) = 2069 ⋅ v 2 − P ⋅ v
Warunek równowagi ∂ Π ∂ v = 0 prowadzi do zależności:
P( v ) = 4138 ⋅ v.
Gdy P = 40 kN Przemieszczenie pionowe wynosi v = v* = 0,00967 m.
Dla zadania nieliniowego obliczono (wzór (h)):
Π (v ) = 208958 ⋅  1 + (0,1 − v ) 2 − 1,01 − Pv .


Równowaga występuje, gdy ∂ Π ∂ v = 0 :

∂Π
1
= −417916 ⋅ 1 −
∂v
1 + (0,1 − v ) 2


 ⋅ (0,1 − v ) − P = 0 .

Po podstawieniu P = 40 kN otrzymujemy v = v* = 0,01159 m. Zależność P (v ) odpowiadająca równowadze przybiera postać:

1,01
P( v ) = −417916 ⋅ 1 −
1 + ( 0,1 − v )2


 ⋅ ( 0,1 − v ).

O stateczności równowagi mówi znak drugiej pochodnej energii potencjalnej:



1,01 ⋅ ( 0,1 − v ) 2 
1,01
dP ∂ 2 Π
=
= 417916 ⋅ 1 −
+
.
/ 
dv ∂ v 2
2 3 2
1 + (0,1 − v ) 2

1 + (0,1 − v )


[
*)
]
Obliczenia do tego przykładu wykonał W. Czarnecki.
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
Część 4
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
17
Rys. 17.12
Wykresy funkcji Π(v) dla zadania liniowego i zadania nieliniowego zestawiono na rys. 17.12a. Dla
siły P = 40 kN minimum funkcji Π(v) odpowiada równowadze statecznej. Odpowiednie wykresy funkcji
P( v ) dla umiarkowanych wartości przemieszczeń podano na rys. 17.12b. Wyraźne różnice jakościowe
uwidaczniają się dopiero przy większych wartościach przemieszczeń. Ilustruje to rys. 17.13. W zadaniu
nieliniowym siła P rośnie do punktu A, kiedy dP ∂v = ∂ 2 Π ∂ v 2 ≥ 0 . W punkcie tym, zwanym punktem
granicznym, funkcja P( v ) osiąga lokalne maksimum: dP ∂v = ∂ 2 Π ∂ v 2 = 0 . Przy dalszym powiększaniu siły P obserwujemy zjawisko tzw. przeskoku (ang. snap-through) i ustalenie się nowego położenia
równowagi. Na wykresie P( v ) odpowiada to przeskokowi z punktu A do punktu C. Opisane zjawisko
umyka uwadze, jeżeli stosujemy podejście liniowe. Przeskok obserwujemy tylko wówczas, gdy czynnikiem sterującym jest obciążenie P. Jeżeli będziemy powiększać przemieszczenie v (sterowanie przemieszczeniem), to zaobserwujemy zmniejszenie reakcji pionowej węzła środkowego zgodnie z przebiegiem krzywej AB: dP ∂v = ∂ 2 Π ∂ v 2 < 0 . Począwszy od punktu B dalszemu wzrostowi przemieszczenia v towarzyszy wzrost reakcji węzła środkowego (krzywa B − C − D: dP ∂v = ∂ 2 Π ∂ v 2 > 0 ).
Rys. 17.13
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
Część 4
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
18
Zjawisko przeskoku ma bardzo duże znaczenie w praktyce inżynierskiej. Najczęściej problem ten
pojawia się w konstrukcjach powłokowych. Przykład kratownicy Misesa dowodzi, że opis niektórych
zjawisk występujących w mechanice wymaga odejścia od zasady zesztywnienia.
17.3. CIĘGNO OBCIĄŻONE SIŁĄ SKUPIONĄ
Cięgno jest prętem mającym jedynie sztywność rozciągania. Cechy cięgna wykazują np. cienkie druty
i liny. Zależność między siłą normalną a odkształceniem osi cięgna charakteryzuje rys. 17.14. Dla ujemnych odkształceń liniowych (tzn. skróceń) siła normalna jest równa zeru*). Podczas rozciągania cięgno
może zachowywać się nieliniowo (rys. 17.14a) lub liniowo (rys. 17.14b). W obu przypadkach mamy
jednak do czynienia z fizyczną nieliniowością, gdyż funkcję odcinkowo liniową z rys. 17.14b też zaliczamy do zależności nieliniowych. Wykresy podane na rys. 17.14 nawiązują do odkształcenia zdefiniowanego jako stosunek wydłużenia cięgna do jego pierwotnej długości L0 , λ = ∆L / L0 . Sposób definiowania odkształcenia jest istotny, jeżeli wydłużenia cięgna są bardzo duże.
Rys. 17.14
W dalszym ciągu rozważania ograniczymy do cięgien o liniowej charakterystyce podczas rozciągania.
Związek fizyczny, stosownie do rys. 17.14b, można zapisać następująco:
kλ , λ ≥ 0,
N =
0, λ < 0,
(17.2)
gdzie k oznacza sztywność rozciągania cięgna.
Materiałowi cięgna przypisuje się zazwyczaj cechy sprężystości liniowej, co pozwala przyjąć, że k =
EA = const. Dla bardzo dużych odkształceń cięgna oznaczałoby to, że moduł sprężystości musi wzrastać,
bo przekrój cięgna ulega zmniejszeniu. W zadaniach praktycznych wartości odkształceń są na tyle małe,
że założenie stałej sztywności cięgna jest usprawiedliwione.
Przyjęciu obciążeń przez układ cięgnowy towarzyszą na ogół duże przemieszczenia. Z tego powodu
problemy mechaniki cięgien są z natury rzeczy również geometrycznie nieliniowe.
Zasadniczym mankamentem konstrukcji cięgnowych jest ich mała sztywność. Dlatego przed przyłożeniem obciążenia zewnętrznego poszczególne cięgna są poddawane wstępnemu naciągowi. Wpływ naciągu na sztywność układu cięgnowego objaśnimy na przykładzie. Rozważymy nieważkie cięgno o długości swobodnej 2 L0 . Zamocujemy je na nieprzesuwnych podporach A i B, usytuowanych w odległościach 2 L > 2 L0 (rys. 17.15a).
*)
Cięgno jest układem z więzami jednostronnymi.
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
Część 4
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
19
Rys. 17.15
Zamocowanie wymaga wstępnego wydłużenia o wartość ∆L0 = 2 L − 2 L0 , co odpowiada odkształceniu
wstępnemu λ0 = ( L / L0 ) − 1 i wstępnemu naciągowi N 0 = k ⋅ λ0 (rys. 17.15b). Po zamocowaniu cięgna
na podporach przyłożymy zewnętrzną siłę skupioną P w połowie rozpiętości. W miarę wzrostu obciążenia cięgno wydłuża się, a gdy siła P osiągnie swą wartość końcową, układ przyjmie konfigurację aktualną
przedstawioną na rys. 17.15c. Zadaniem naszym jest ustalenie zależności P( ∆ ) , przy czym ∆ jest pionowym przemieszczeniem punktu przyłożenia siły. Do dyspozycji mamy:
− równanie równowagi
P = 2 N sin α = 0, sin α =
(a)
∆
,
L + ∆L
− równanie geometryczne
( L + ∆L) 2 = ∆2 + L2
(b)
− równanie fizyczne
(c)
N = k ⋅ ( λ0 + λ ), λ =
∆L
.
L0
Z równania (b) otrzymujemy związek:




2
2
 ∆
 ∆
0 


∆L = L ⋅ 1 +   − 1 = L0 ⋅ (1 + λ ) ⋅ 1 +   − 1 ,


 L
 L






z którego, po wykorzystaniu równań (a) i (c), wynikają zależności:
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
Część 4
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
P = 2N ⋅
(d)
( ∆L ) ,
2
1 + ( ∆L )
20


2
 ∆
N = k ⋅ (1 + λ0 ) ⋅ 1 +   − 1
 L




oraz poszukiwany funkcję P( ∆ ):
()
()
0
∆ 2 −1
1
1
+
⋅
+
(
)
λ
∆
L
 
P( ∆ ) = 2 k ⋅   ⋅
.
 L
2
∆
1+ L
(e)
Wzory (d) i (e) można zapisać w postaci bezwymiarowej:
n = (1 + λ0 ) ⋅ 1 + δ 2 − 1



(1 + λ0 ) ⋅  1 + δ 2 − 1

,
 p = 2δ ⋅

1+ δ 2

(f)
gdzie n = N / k ,
p = P / k , δ = ∆ / L.
Jeżeli wartość δ 2 jest mała w porównaniu z jednością, to poprzestając tylko na dwóch wyrazach rozwinięcia w szereg potęgowy, otrzymujemy w przybliżeniu:
1
1+ δ 2 ≈ 1+ δ 2,
2
1
1+ δ
2
1
≈ 1− δ 2.
2
Wówczas wzory (f) upraszczają się do postaci:
(g)

0 1 2
0
0 1 2
n ≈ λ + 2 δ ⋅ (1 + λ ) ≈ λ + 2 δ ,

 p ≈ 2δ ( λ0 + 1 δ 2 ) 1 − 1 δ 2  ≈ 2δ  λ0 + 1 δ 2  .

 2 

2
2 
Miarą sztywności konstrukcji jest pochodna dp / dδ .
(h)
dp
= 2λ0 + 3δ 2 .
dδ
Widzimy zatem, że wstępny naciąg, mierzony wartością odkształcenia λ0 , w istotny sposób powiększa
początkową sztywność układu cięgnowego. Dla obliczeń numerycznych bardzo korzystne jest również to,
że sztywność ta jest różna od zera na początku procesu obciążenia, gdy p = 0. Zależność między bezwymiarowymi wartościami siły normalnej n i obciążenia p a ugięciem δ ilustruje rys. 17.16. W celu poAndrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
Część 4
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
21
równania załączono wykresy dla λ0 = 0,001 i dla λ0 = 0. Z rysunku 17.16 widać wyraźnie, że w układach cięgnowych nie obowiązuje zasada superpozycji, gdyż wykresy n(δ ) i p(δ ) są nieliniowe.
Rys. 17.16
W obliczeniach konstrukcji cięgnowych, wykazujących umiarkowane odkształcenia wstępne
( λ << 1) , stosuje się uproszczenie polegające na tym, że odkształcenia względne odnosi się na ogół nie
do długości swobodnej L0, lecz do aktualnej długości cięgna wydłużonego. Oznacza to, że stosujemy
przybliżenie:
0
∆L
∆L
≈
.
L0 L0 (1 + λ0 )
(17.3)
Zilustrujemy teraz wpływ nieliniowości fizycznej układu cięgnowego na zachowanie się układu w
procesie odciążenia cięgna. Rozważymy układ złożony z trzech wstępnie napiętych cięgien (rys. 17.17a).
Między siłami wstępnego naciągu występuje zależność wynikająca z równania równowagi węzła C:
2 N10 sin α 0 = N 20 .
Jeżeli przyjmiemy, że sztywności cięgien AC i CB są równe i wynoszą k1, a sztywność cięgna CD wynosi
k2, to podany wyżej warunek równowagi prowadzi do zależności:
k
(i)
λ02 = 2 1 λ10 ⋅ f ,
k2
gdzie λ10 oraz λ02 oznaczają odpowiednio wstępne wydłużenie względne cięgien AC i CB oraz CD, zaś
f = F / L1.
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
Część 4
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
22
Rys. 17.17
Jak widać, wstępne wydłużenia cięgien nie mogą być zupełnie dowolne, co sprawia, że ustalenie konfiguracji wstępnej w bardziej rozbudowanych układach stanowi problem sam dla siebie. Uwaga ta nabiera
ostrości, jeśli się zważyć że w praktyce wymagamy dodatkowo spełnienia warunku naprężeniowego
(σ ≤ σ dop ).
Rozważany układ obciążymy pionową siłą skupioną (rys. 17.17b). Z symetrii obciążenia wnioskujemy, że punkt C ulegnie tylko przemieszczeniu pionowemu ∆. Konfigurację aktualną można wyznaczyć
tak samo jak w zadaniu poprzednim. Tym razem zastosujemy twierdzenie o minimum energii potencjalnej. Jeśli przyjmiemy przybliżenie (17.3), to wartość całkowita energia potencjalna układu
(j)
1
1
Π ( ∆ ) = Π 0 + 2 N10λ1 L1 + N 20λ2 L2 + 2 ⋅ k1 L1λ12 + k 2 L2 λ22 − P ⋅ ∆
2
2
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
Część 4
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
23
gdzie Π 0 oznacza energię potencjalną wstępnego naciągu, a λ1 oraz λ2 − wydłużenia cięgien AC i CB
oraz CD. Pochodzenie składników Ni0λi Li + ki Li λi0 / 2 wynika
Rys. 17.18
wprost z rys. 17.18. Składniki te wyrażają zmianę energii zmagazynowanej w cięgnach w czasie przejścia
z konfiguracji pierwotnej do konfiguracji aktualnej. Zmiana ta jest równa polu zakreskowanego trapezu
(zbudowanego z trójkąta i prostokąta) na wykresie Ni ( ∆Li ).
Warunkiem ekstremum energii Π jako funkcji przemieszczenia jest znikanie pierwszej pochodnej, tzn.
2
∂ Π ∂∆ = 0 :
2 N10 L1
(k)
∂ λ2
∂λ
∂ λ1
∂ λ2
+ N 20 L2
+ 2k1L1λ1 ⋅ 1 + k2 L2λ2 ⋅
− P = 0.
∂∆
∂∆
∂∆
∂∆
Równanie (k) ma sens równania równowagi (sumy rzutów sił na kierunek przemieszczenia ∆) i jest poszukiwaną zależnością P(∆). Jeśli uwzględnimy, że siły wstępnego naciągu N i0 = ki λ0i , to równanie (k)
można przedstawić następująco:
∂ λ2
∂λ
P = 2 L1k1( λ10 + λ1 ) ⋅ 1 + L2 k2 ( λ02 + λ2 ) ⋅
.
(l)
∂∆
∂∆
Z rysunku 17.17b wynikają zależności geometryczne:
L12 (1 + λ1 )2 = B 2 + ( F + ∆ )2 ;
λ2 = −
∆
,
L2
skąd po uwzględnieniu, że L12 = B 2 + F 2 , dostajemy:
1 2

2
λ1 = 1 + 2 fδ + δ − 1 ≈ fδ + 2 δ ,

L
λ2 = −δ ⋅ 1 ,

L2
(m)
gdzie δ = ∆ / L1,
f = F / L1. Po podstawieniu tych zależności do równania (l) otrzymujemy ostatecznie:
 0
1 2
2( λ1 + fδ + δ )( f + δ ) −
2

P (δ ) = 
2( λ0 + fδ + 1 δ 2 )( f + δ ),
 1
2
(n)
k2  0
 λ2 − δ
k1 
L0 
0
 , λ2 − δ
L2 
L1
>0
L2
L
λ02 − δ 1 ≤ 0,
L2
gdzie p = P / k1.
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
Część 4
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
24
Funkcja P(δ ) jest opisana dwoma wzorami. Pierwszy dotyczy przypadku, gdy cięgno CD jest jeszcze
napięte, tzn. gdy λ02 + λ2 ≥ 0. Drugi odpowiada sytuacji, gdy cięgno napinające CD jest już luźne. „Wyłączenie się” cięgna CD powoduje bardzo wyraźne zmniejszenie sztywności układu. Zjawisko to ilustruje
rys. 17.19, na którym zamieszczono wykres p(δ ) opisany zależnością (n). Na uwagę zasługuje fakt, że
przemieszczenia badanej konstrukcji cięgnowej są tak małe, iż wpływ zmian geometrii jest prawie niezauważalny.
Rys. 17.19
Omówione wyżej zadania pod względem rachunkowym są elementarne. Obliczenia komplikują się,
gdy węzły układu mają większą liczbę stopni swobody. Wystarcza na przykład, by obciążenie węzła C
było niesymetryczne. Pojawiają się wówczas niewiadome przemieszczenia ∆1 i ∆2, które trzeba obliczyć
z układu równań nieliniowych. Przypadek taki przedstawiono na rys. 17.17c. Wyrażenie na energię potencjalną układu przybiera wtedy postać:
Π ( ∆1 , ∆2 ) = Π 0 + N 10 λ1 L1 + N 20 λ2 L2 + N 30 λ3 L3 +
1
1
1
+ k1λ12 L1 + k 2 λ22 L2 + k1λ23 L1 − P1∆1 − P2 ∆2 .
2
2
2
Z warunków ekstremum funkcji Π ( ∆1 , ∆2 ) otrzymujemy
(c)
∂Π
∂∆ = 0;
 1

 ∂Π = 0;
∂∆2
∂ λ1
∂λ
∂λ
+ k2 L2 (λ02 + λ2 ) 2 + k1L1(λ10 + λ3) 3 − P1 = 0,
∂ ∆1
∂ ∆1
∂ ∆1
∂λ
∂λ
∂λ
k1L1(λ10 + λ1) 1 + k2 L2 (λ02 + λ2 ) 2 + k1L1(λ10 + λ3) 3 − P2 = 0.
∂ ∆2
∂ ∆2
∂ ∆2
k1L1(λ10 + λ1)
Związki geometryczne wynikają z rys. 17.17c:
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
Część 4
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
25
( L1 + ∆L1 ) 2 = ( B + ∆1 ) 2 + ( F + ∆2 ) 2 ,
( L2 + ∆L2 ) 2 = ∆12 + ( L2 − ∆2 ) 2 ,
( L1 + ∆L3 ) 2 = ( B − ∆1 ) 2 + ( F + ∆2 ) 2 ,
skąd
(p)

λ1 (δ1 , δ 2 ) =



λ2 (δ1 , δ 2 ) =


λ 3 (δ1 , δ 2 ) =

gdzie η = L1L2 , b = B / L1,
1 + 2bδ1 + 2 fδ 2 + δ12 + δ 22 − 1 = bδ1 + fδ 2 +
2
2
(
(
)
1 2
δ1 + δ 22 ,
2
)
1
+ (δ
2

 ∆1 
1 2 2
∆ 
2
  +  1 − 2  − 1 ≈ −ηδ 2 + η δ1 + δ 2 ,
L2 
2
 L2 

1 − 2bδ1 + 2 fδ 2 + δ12 + δ 22 − 1 ≈ −bδ1 + fδ 2
2
1
)
+ δ 22 ,
f = F / L1, δ1 = ∆1L1, δ 2 = ∆2 L1.
Po uwzględnieniu zależności (p) w równaniach (o) uzyskujemy poszukiwany układ dwóch nieliniowych równań algebraicznych ze względu na bezwymiarowe przemieszczenia δ1 i δ 2 :
(r)
  0
1 2 2
2
2
2 k2  0
2 
δ1 2λ1 + 2b + 2 fδ2 + δ1 + δ2 + ηλ2 − ηδ2 + η (δ1 + δ2 ) − p1 = 0,
2
k2 

 

0
2
2
( f + δ2 )(2λ1 + 2 fδ2 + δ1 + δ2 ) +

1
k



+ 2 ⋅ (−1 + ηδ2 ) ⋅ λ02 − ηδ2 + η(δ12 + δ22 ) − p2 = 0.
2
k1




Budowa tego układu zniechęca do poszukiwania rozwiązania ścisłego. W praktyce liczba stopni swobody
jest na ogół duża i dlatego stosuje się metody przybliżone ukierunkowane na wykorzystanie komputera.
Najczęściej stosuje się wówczas metodę Newtona-Raphsona, opisaną w dodatku. „Ręczne” rozwiązanie
układu tą metodą pozostawimy najbardziej wytrwałym Czytelnikom. W trakcie obliczeń należy zwrócić
uwagę, że wyłączenie danego cięgna występuje w momencie, gdy całkowite wydłużenie cięgna jest równe zeru. Powoduje to odpowiednią modyfikację układu równań (r).
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater