Matematyka, studia I stopnia (licencjackie)

Zestaw problemów na egzamin licencjacki
I. Analiza matematyczna
Kresy podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych.
2. Ci¡gi liczbowe; wyznaczanie granic oraz granic ekstremalnych (górnej i
dolnej), liczba e, warunek Cauchy'ego.
3. Ograniczono±¢, monotoniczno±¢ i zbie»no±¢ ci¡gu liczb rzeczywistych wzajemne zale»no±ci.
4. Szeregi liczbowe; badanie zbie»no±ci (kryterium porównawcze, Cauchy'ego,
d'Alemberta, Leibniza).
5. Poj¦cie funkcji; funkcja odwrotna, zªo»enie funkcji, funkcje elementarne.
6. Granica funkcji; wyznaczanie granic , asymptoty.
7. Ci¡gªo±¢ funkcji, jednostajna ci¡gªo±¢, warunek Lipschitza.
8. Podstawowe twierdzenia dotycz¡ce funkcji ci¡gªych.
9. Denicja pochodnej funkcji, obliczanie pochodnych.
10. Klasyczne twierdzenia rachunku ró»niczkowego: Rolle'a, Lagrange'a,
Cauchy'ego, Taylora, de l'Hospitala.
11. Najwa»niejsze zastosowania pochodnych: ekstrema lokalne i przedziaªy
monotoniczno±ci, przedziaªy wkl¦sªo±ci i wypukªo±ci, punkty przegi¦cia, warto±¢ najwi¦ksza i najmniejsza funkcji rzeczywistych okre±lonych na przedziaªach, nierówno±ci funkcyjne, styczne i k¡ty przeci¦cia krzywych.
12. Caªka nieoznaczona; podstawowe metody caªkowania: caªkowanie przez
cz¦±ci i podstawienie, caªkowanie funkcji wymiernych, trygonometrycznych i
niektórych wyra»e« niewymiernych.
13. Caªka Riemanna; denicja i podstawowe wªasno±ci.
14. Warunki konieczne caªkowalno±ci w sensie Riemanna, warunki dostateczne caªkowalno±ci w sensie Riemanna.
15. Najwa»niejsze zastosowania geometryczne caªki Riemanna: pole obszaru, dªugo±¢ krzywej, obj¦to±¢ i pole powierzchni bryªy obrotowej.
16. Caªki niewªa±ciwe; podstawowe kryteria zbie»no±ci, kryterium caªkowe
zbie»no±ci szeregów.
17. Ci¡gi i szeregi funkcyjne; zbie»no±¢ punktowa i jednostajna.
18. Twierdzenia o ci¡gªo±ci, caªkowalno±ci i ró»niczkowalno±ci ci¡gów i szeregów funkcyjnych; wyznaczanie sum wybranych szeregów funkcyjnych i liczbowych.
19. Szeregi pot¦gowe; rozwini¦cia wybranych funkcji elementarnych.
1.
Metryka i przestrze« metryczna; podstawowe poj¦cia topologiczne, przykªady.
21 Dziedzina, granice, ci¡gªo±¢ funkcji rzeczywistej wielu zmiennych.
22. Pochodne cz¡stkowe, ró»niczkowalno±¢, pochodne kierunkowe funkcji
wielu zmiennych; wzajemne zale»no±ci mi¦dzy tymi pochodnymi, twierdzenie
Schwarza.
23. Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych; warunek konieczny istnienia
ekstremum, warunki dostateczne istnienia ekstremum.
24. Ekstrema globalne funkcji wielu zmiennych na zadanym zbiorze zwartym.
25. Funkcja uwikªana; ekstrema lokalne.
26. Ekstrema warunkowe funkcji; zasada mno»ników Lagrange'a.
27. Caªki wielokrotne Riemanna; caªka podwójna w obszarze normalnym i
regularnym, caªki iterowane, twierdzenie Fubiniego.
28. Zamiana zmiennych w caªce podwójnej; wspóªrz¦dne biegunowe.
29. Caªka potrójna; zamiana zmiennych, wspóªrz¦dne walcowe i sferyczne.
30. Zastosowania geometryczne i zyczne caªki podwójnej i potrójnej; pole
obszaru, obj¦to±¢ bryªy, masa bryªy, wspóªrz¦dne ±rodka ci¦»ko±ci.
20.
II. Algebra liniowa i geometria analityczna
Dodawanie, odejmowanie, mno»enie macierzy.
2. Odwracanie macierzy.
3. Obliczanie wyznacznika macierzy.
4. Obliczanie rz¦du macierzy.
5. Rozwi¡zywanie ukªadów równa« liniowych.
6. Dodawanie, odejmowanie, mno»enie liczb zespolonych.
7. Rozwi¡zywanie równa« o wspóªczynnikach zespolonych.
8. Wyznaczanie postaci trygonometrycznej liczby zespolonej.
9. Pot¦gowanie liczb zespolonych z u»yciem wzoru de'Moivre'a.
10. Pierwiastkowanie liczb zespolonych.
11. Sprawdzanie, czy dana struktura algebraiczna jest przestrzeni¡ liniow¡
(wektorow¡).
12. Sprawdzanie, czy dany podzbiór przestrzeni liniowej jest jej podprzestrzeni¡ liniow¡.
13. Badanie liniowej niezale»no±ci wektorów.
14. Badanie czy ukªad wektorów jest baz¡ przestrzeni liniowej.
1.
Wyznaczanie wymiarów podprzestrzeni U , V , U + V , U ∩ V .
16. Sprawdzanie czy funkcja mi¦dzy przestrzeniami liniowymi jest przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem) przestrzeni liniowych.
17. Wyznaczanie macierzy przeksztaªcenia liniowego w danych bazach.
18. Wyznaczanie bazy i wymiaru przestrzeni Kerf i Imf , przy danym odwzorowaniu liniowym f .
19. Wyznaczanie równania pªaszczyzny w przestrzeni.
20. Wyznaczanie równania prostej w przestrzeni.
21. Wyznaczanie rzutu punktu na prost¡.
22. Wyznaczanie rzutu punktu na pªaszczyzn¦.
23. Wyznaczanie iloczynu wektorowego. Wªasno±ci zastosowania iloczynu
wektorowego.
24. Wyznaczanie iloczynu skalarnego. Zastosowania iloczynu skalarnego.
25. Wyznaczanie iloczynu mieszanego. Obliczanie obj¦to±ci równolegªo±cianu i czworo±cianu zbudowanego na wektorach.
15.
III. Algebra
Sprawdzanie, czy dana struktura algebraiczna jest grup¡.
2. Sprawdzanie, czy podzbiór grupy jest podgrup¡.
3. Znajdowanie wszystkich podgrup danej grupy.
4. Badanie czy podgrupa jest normalna.
5. Wyznaczanie warstw wzgl¦dem podgrupy.
6. Wyznaczanie rz¦du elementu grupy.
7. Konstrukcja grupy ilorazowej.
8. Rozkªadanie permutacji na iloczyn transpozycji.
9. Rozkªadanie permutacji na iloczyn cykli rozª¡cznych.
10. Rozwi¡zywanie równania permutacyjnego.
11. Badanie czy zadana funkcja jest homomorzmem (izomorzmem) grup.
Wyznaczanie j¡dra i obrazu.
12. Sprawdzanie, czy dana struktura algebraiczna jest pier±cieniem.
13. Badanie, czy zadany podzbiór pier±cienia jest jego podpier±cieniem lub
ideaªem.
14. Wyznaczanie pier±cienia ilorazowego.
15. Badanie czy zadana funkcja jest homomorzmem (izomorzmem) pier±cieni. Wyznaczanie j¡dra i obrazu homomorzmu pier±cieni.
1.
Wyznaczanie ideaªów pier±cieni.
17. Wyznaczanie elementów odwracalnych, dzielników zera i elementów nilpotentnych pier±cieni.
18. Rozwi¡zywanie równa« liniowych w pier±cieniu Zn (w tym wyznaczanie
elementów odwrotnych).
19. Wyznaczanie NWD i NWW w wybranych pier±cieniach z u»yciem algorytmu Euklidesa i rozwi¡zywanie równa« diofantycznych.
20. Sprawdzanie, czy dana struktura algebraiczna jest ciaªem.
16.
IV. Rachunek prawdopodobie«stwa
Obliczy¢ prawdopodobie«stwo zdarzenia opisanego prostym zadaniem
tekstowym (w tym mo»liwe wykorzystanie podstawowych poj¦¢ kombinatorycznych: (permutacja, wariacja, kombinacja).
2. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo pewnego zdarzenia, znaj¡c prawdopodobie«stwo sumy lub iloczynu tego zdarzenia z innym zdarzeniem lub wiedz¡c
o niezale»no±ci tych zdarze«.
3. Zwerykowa¢, czy podane przykªady zdarze« s¡ niezale»ne.
4. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo zdarzenia znaj¡c prawdopodobie«stwa warunkowe zaj±cia tego zdarzenia (stosuj¡c wzór na prawdopodobie«stwo caªkowite).
5. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo zdarzenia stosuj¡c twierdzenie Bayesa.
6. Wyznaczy¢ prawdopodobie«stwo zdarzenia w schemacie Bernoulliego.
7. Wyznaczy¢ najbardziej prawdopodobn¡ liczb¦ sukcesów w schemacie Bernoulliego.
8. Sprawdza¢, czy funkcja okre±lona na przestrzeni probabilistycznej jest
zmienn¡ losow¡.
9. Maj¡c dany rozkªad wektora losowego (X, Y ) sprawdzi¢ czy zmienne X i
Y s¡ niezale»ne.
10. Przy danej zmiennej losowej X o rozkªadzie dyskretnym i funkcji Φ :
R → R znale¹¢ rozkªad zmiennej losowej Φ(X).
11. Przy danej zmiennej losowej X o rozkªadzie absolutnie ci¡gªym i funkcji
Φ : R → R znale¹¢ rozkªad zmiennej losowej Φ(X).
12. Przy danej zmiennej losowej X o rozkªadzie absolutnie ci¡gªej i funkcji
Φ : R → R znale¹¢ dystrybuant¦ rozkªadu zmiennej losowej Φ(X).
13. Maj¡c dany rozkªad dyskretny wektora losowego (X, Y ) i funkcj¦ Φ :
R → R znale¹¢ rozkªad zmiennej losowej Φ(X, Y ).
14. Maj¡c dan¡ g¦sto±¢ rozkªadu pewnej zmiennej losowej ξ wyznaczy¢
1.
warto±¢ oczekiwan¡ tej zmiennej (lub jej wariancj¦, dystrybuant¦, okre±li¢
prawdopodobie«stwo zdarzenia {ω : a ≤ ξ(ω) ≤ b}, wyznaczy¢ kwantyl
podanego rz¦du).
15. Maj¡c dan¡ dystrybuant¦ rozkªadu pewnej zmiennej losowej ξ wyznaczy¢ warto±¢ oczekiwan¡ tej zmiennej (lub jej wariancj¦, okre±li¢ prawdopodobie«stwo zdarze« postaci {ω : a ≤ ξ(ω) ≤ b}, {ω : a < ξ(ω) ≤ b},
{ω : a ≤ ξ(ω) < b}, {ω : a < ξ(ω) < b}, wyznaczy¢ kwantyl podanego
rz¦du).
V. Statystyka
Obliczanie i interpretacja miar opisowych próby losowej (zbiorowo±ci statystycznej): dominanta, kwantyle, wspóªczynnik zmienno±ci, wspóªczynnik
asymetrii, kurtoza.
2.
Sprawdzanie wªasno±ci estymatorów: nieobci¡»ono±¢, zgodno±¢, efektywno±¢. Porównywanie estymatorów nieobci¡»onych (bª¡d ±redniokwadratowy).
3. Wyznaczanie estymatorów za pomoc¡ metody najwi¦kszej wiarygodno±ci
i metody momentów.
4. Umiej¦tno±¢ wyznaczania przedziaªów ufno±ci dla ±redniej i odchylenia
standardowego w przypadku du»ej próby (zbiorowo±ci).
5. Znajomo±¢ poj¦cia testu statystycznego i jego integralnych elementów.
Obliczanie prawdopodobie«stw bª¦dów pierwszego i drugiego rodzaju oraz
mocy testu.
6. Wykorzystywanie podstawowych testów istotno±ci dla jednej ±redniej i
jednej wariancji.
7. Wyznaczanie dystrybuanty empirycznej próby losowej.
8. Werykacja hipotez za pomoc¡ podstawowych nieparametrycznych testów
zgodno±ci rozkªadu: chi-kwadrat Pearsona, Koªmogorowa.
9. Obliczanie wspóªczynnik korelacji liniowej Pearsona i jego interpretacja
(dane niezgrupowane i tablica korelacyjna).
10. Wyznaczanie prostej regresji jednej cechy wzgl¦dem innej. Ocena dopasowania prostej regresji do danych empirycznych.
11. Umiej¦tno±¢ wykorzystania w praktyce metody najmniejszych kwadratów do wyznaczenia nieliniowej funkcji regresji.
12. Umiej¦tno±¢ oszacowania siªy zwi¡zku korelacyjnego cech niemierzalnych.
1.
VI. Matematyka dyskretna
Obliczy¢ warto±¢ funkcji zadanej rekurencyjnie.
2. Sprawdzi¢, czy dany obiekt jest elementem zbioru zadanego rekurencyjnie.
3. Wyznaczy¢ jawny wzór funkcji zadanej rekurencyjnie.
4. Narysowa¢ diagram Hasse'go danego zbioru cz¦±ciowo uporz¡dkowanego.
5. Wyznaczy¢ 0,1, uzupeªnienia elementów oraz tabelki dziaªa« dla danej
kraty.
6. Wyznaczy¢ atomy i co-atomy danej algebry Boole'a.
7. Zapisa¢ element algebry Boole'a za pomoc¡ sumy atomów oraz iloczynu
co-atomów tej algebry.
8. Maj¡c dan¡ funkcj¦ boolowsk¡ w jednej postaci, zapisa¢ j¡ w innej (tabelka, wielomian w CNF/DNF, indeksy atomów/co-atomów).
9. Zminimalizowa¢ funkcj¦ boolowsk¡ 3-argumentow¡ i narysowa¢ sie¢ logiczn¡, która j¡ realizuje.
10. Zapisa¢ jawnie sum¦ postaci σP (k) ak , czyli sum¦ w notacji Σ uogólnionej.
11. Rozwi¡za¢ proste zadanie wykorzystuj¡ce podstawowe prawa kombinatoryki (prawo sumy/iloczynu, kombinacje/wariacje/permutacje z powtórzeniami i bez).
12. Narysowa¢ graf relacji.
13. Wyznaczy¢ macierze s¡siedztwa i incydencji grafu.
14. Maj¡c macierz s¡siedztwa/incydencji narysowa¢ graf.
15. Wyznaczy¢ liczb¦ kraw¦dzi, liczb¦ i stopnie wierzchoªków danego grafu,
np. Kn , Cn , Vn , Km,n .
1.
VII. Wst¦p do logiki i teorii mnogo±ci
Zdania i spójniki logiczne.
2. Funkcje zdaniowe i kwantykatory; tautologie.
3. Surjekcja, iniekcja i bijekcja - denicje, wªasno±ci i przykªady.
4. Zªo»enie funkcji.
5. Funkcje odwracalne, wyznaczanie funkcji odwrotnej.
6. Dziaªania na zbiorach i ich wªasno±ci; sumy i iloczyny uogólnione.
7. Relacje równowa»no±ci i ich klasy abstrakcji.
8. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne.
9. Zbiory równoliczne.
10. Indukcja matematyczna.
1.
VIII. Matematyka obliczeniowa
Metody wyznaczania przybli»onych rozwi¡za« równa« i ukªadów równa«
nieliniowych. Metoda siecznych, metoda bisekcji, metoda Newtona.
2. Interpolacja wielomianowa, interpolacja Lagrange'a.
3. Interpolacja Newtona.
4. Aproksymacja ±redniokwadratowa.
5. Caªkowanie numeryczne.
1.