Model pajêczyny

Dorota Pawlicka
Model pajęczyny:
Model jest modelem dynamicznym z czasem dyskretnym t=0,1,2…
Rozważmy rynek pewnego pojedynczego dobra. Celem modelu jest ustalenie takiej ścieżki
cenowej {
} na dobro aby dla każdego okresu popyt był zrównoważony przez podaż.
Popyt – ilość dobra jaką nabywcy są skłonni kupić w danym czasie po określonej cenie
Podaż – ilość dobra jaką sprzedawcy są gotowi zaoferować przy różnym poziomie cen
Oznaczenia:
• t=0,1,2.. –kolejny numer okresu
• Qs(t) -podaż na dobro w okresie t (liczba jednostek dobra dostarczona przez
producenta na rynek w okresie t)
• Qd(t) –popyt na dobro w okresie t (liczna jednostek dobra poszukiwana na rynku w
okresie t)
• P(t) –cena za jednostkę dobra
Założenia:
1. wielkość popytu Qd(t) zależy liniowo od ceny P(t) dla tego samego okresu. Zależność
ta jest funkcją malejącą. Zakładamy, że Qd(t)≥ 0
2. wielkość podaży Qs(t) zależy liniowo od ceny P(t-1) dla okresu poprzedniego.
Zakładamy, że zależność jest funkcją rosnącą Qs(t)≥0
3. Liniowy charakter popytu i podaży jest identyczny dla każdego okresu
4. w każdym okresie popyt równoważy podaż
Równania modelu:
Qd(t)=α-βP(t)
Qs(t)=-γ+δP(t-1)
Qd(t)= Qs(t)
t=0,1,2…. α,β,γ,δ>0
Uwagi:
Aby równania przedstawiały ekonomiczny sens muszą być spełnione warunki nieujemności
popytu i podaży. Warunki te prowadzą do zastrzeżenia, że ścieżka cenowa {
}
musi
spełniać warunek
≤P(t)≤ dla t=0,1,2….
w szczególności
≤
lub równoważnie
βγ-αδ≤0
Interpretacja parametrów:
• α –maksymalna wielkość popytu(przy zerowej cenie)
• -β –krańcowa wartość popytu (wrażliwość konsumentów na zmianę ceny)
•
•
-γ –współczynnik zawierający dodatniość podaży począwszy od pewnej ceny
minimalnej P(t)≥ 0
δ –końcowa wartość podaży, wrażliwość producentów na zmianę ceny
Przykłady
Dla podanych modeli pajęczyny funkcji popytu i podaży wyznaczyć ścieżkę cenową, zbadać
jej charakter i narysować diagram pajęczyny
Niech
a)Qd(t)=18-3P(t), Qs(t)=-3+4P(t-1), P(0)=4
b) Qd(t)=22-3P(t), Qs(t)=-2+P(t-1), P(0)=2
c) Qd(t)=19-6P(t), Qs(t)=-5+6P(t-1), P(0)=3
a) Qd(P)=18-3P
Qs(P)=-3+4P(P)
18-3P=-3+4P
P=3
Qd(t)=18-3P(t)
Qs(t)=-3+4P(t-1)
Qd(t)=Qs(t)
18-3P(t)=-3+4P(t-1)
−1 +7
P(t)=−
4
=−
3
Wszystkie rozwiązania równania:
P(t)=−
−1 +7
są postaci:
∗
t=0,1,2….. aєR
P(t)= −
Szczególnego rozwiązania równania P(t)=−
funkcji stałych P(t)=c, tєR
− +7=
−
=7
=3
Wszystkie rozwiązania równania są postaci:
P(t)=−
∗ +3
P(0)=4
−
∗ +3=4
a=1
Zatem ścieżka cenowa jest postaci
P(t)= −
+3
Jest to ścieżka rozbieżna oscylująca wokół wartości 3.
− 1 + 7 poszukujemy wśród
b) Qd(P)=22-3P
Qs(P)=-2+P
22-3P=-2+P
P=6
Qd(t)=22-3P(t)
Qs(t)=-2+P(t-1)
Qd(t)=Qs(t)
22-3P(t)=-2+P(t-1)
P(t)=−
−1 +8
1
=−
3
Wszystkie rozwiązania równania:
P(t)=−
−1 +8
są postaci:
P(t)= −
∗
t=0,1,2….. aєR
Szczególnego rozwiązania równania P(t)=−
funkcji stałych P(t)=c, tєR
− +8=
−
= −8
=6
Wszystkie rozwiązania równania są postaci:
P(t)= −
∗ +6
− 1 + 8 poszukujemy wśród
P(0)=7
−
∗ +6=7
a=1
Zatem ścieżka cenowa jest postaci
P(t)= −
+6
Jest to ścieżka rozbieżna oscylująca wokół wartości 6.
c) Qd(P)=19-6P
Qs(P)=-5+6P(P)
19-6P=-5+6P
P=2
Qd(t)=19-6P(t)
Qs(t)=-5+6P(t-1)
Qd(t)=Qs(t)
19-6P(t)=-5+6P(t-1)
P(t)=−
−1 +4
Szczególnego rozwiązania równania P(t)=−
stałych P(t)=c, tєR
−1 + 4 =
2 =4
=2
Wszystkie rozwiązania równania są postaci:
P(t)=− 1 ∗ + 2
P(0)=3
−
∗ +2=3
− 1 + 4 poszukujemy wśród funkcji
a=1
Zatem ścieżka cenowa jest postaci
P(t)=− 1 + 3
Rozwiązanie modelu:
Poszukujmy, ścieżki cenowej {
}
Qd(t)=α-βP(t)
Qs(t)=-γ+δP(t-1)
Qd(t)= Qs(t)
i mamy:
α-βP(t)=-γ+δP(t-1),
stąd wobec faktu, że β>0
P(t)=−
−1 +
czyli ciągu spełniającego układ
Xn+1=Axn +B
Jest to równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzędu. Aby znaleźć wszystkie rozwiązania
równanie P(t)=−
−1 +
należy znaleźć ogół rozwiązań równania jednorodnego
P(t)=- P(t-1) oraz szczególne (dowolnie wybrane) rozwiązania równania
P(t)=−
P0(t)=c(- )t ,
−1 +
. Ogół rozwiązań równania jednorodnego jest postaci
t=0,1,2,… cϵR
Szczególnego rozwiązania równania niejednorodnego poszukujemy wśród ciągów stałych.
Załóżmy zatem że
PS(t)=k, t=0,1,2…
k=- +
k(1+ )=
k=
,
stąd PS(t)=
/*
Ostatecznie ogół rozwiązań P(t)=−
P(t)= P0(t)+ PS(t)= c(- )t+
−1 +
jest postaci
, t=0,1,2,… cϵR
Jeśli znamy P(0)=P0 to
P0=c+
=> c=P0ostatecznie ścieżka cenowa będąca rozwiązaniem modelu
Qd(t)=α-βP(t)
Qs(t)=-γ+δP(t-1)
Qd(t)= Qs(t)
spełniająca warunek początkowy P(0)=P0 ma postać
) (- )t+
P(t)=(P0Uwaga
Aby rozwiązanie miało sens ekonomiczny należy założyć że
spełnia warunek ≤P(t)≤
w szczególności że ≤P0≤
Dalsza analiza modelu – własności ścieżki cenowej
Jeśli P0=
to ścieżka cenowa
jest ciągiem skończonym postaci
P(t)=
t=0,1,2,…
Zauważmy że z warunku (βγ-δα≤0) wynika że ≤P(t)≤
Załóżmy że P0≠
t=0,1,2,…
. Rozważmy przypadki
a) > 1 wtedy ścieżka cenowa jest ciągiem rozbieżnym i nieograniczonym, model
począwszy od pewnego t traci sens (oscylacje dynamiczne)
b) = 1 wówczas ścieżka cenowa oscyluje wokół wartości P0 ma bowiem postać
− % &'() *
$2
− − +,*% &'() *
c) ) . 0,1 wtedy ścieżka cenowa
jest ciągiem zbieżnym do wartości