pobierz plik

Zebranie KB PAN
Kraków, 16.11.2015
Wymiarowanie konstrukcji z profili
giętych na zimno.
Wybrane zagadnienia:
teoria, badania, praktyka
Leopold Sokół
Dr inż., Prof. CHEM Paris
SOKOL Consultants
1
PODSTAWOWE POJECIE
TEORII PRZEKROJÓW CIENKOŚCIENNYCH:
SZEROKOŚC EFEKTYWNA ŚCISKANEJ ŚCIANKI PŁASKIEJ
2
TEORIA
Równanie powierzchni wyboczenia cienkościennej płyty
prostokątnej
2w
2w
2w 
1 

2 2 2  4 
Nx
 2 N xy
 Ny
4
2
2
D 
xy
x
x y
y
x
y 
4w
4w
4w
D
Et 3

12 1 2

3
Dla płyty z podparciem swobodnym na brzegach "a" z silą Nx
przyłożoną na brzegu "b", powierzchnia odkształcenia może
być przedstawiona w postaci podwójnego szeregu:

w
m 1
mx
ny 

a
sin
sin


mn 
a
b 

n 1

dla którego minimum energii
potencjalnej otrzymuje się
dla:
N 
x cr
2a 2D  m2 n 2 
 2  2 

2
m a
b 
2
Najmniejsza wartość tego wyrażenia jest otrzymana gdy n=1
(=> jedna pół-fala w kierunku poprzecznym) i gdy a = m*b
(=> całkowita ilość półfal o długości b w kierunku a).
Warunek ten jest spełniony oczywiście dla płyty nieskończenie
długiej, który dotyczy ścianek profili giętych.
W tych warunkach wzór dla naprężenia krytycznego
przyjmuje postać:
cr

N 

x cr
t
2E kt 2

* 2
2
12 1 b
 
(a)
gdzie k jest współczynnikiem zależącym od warunków
podparcia na brzegach a. Na przykład, dla podparcia
swobodnego k=4.
W rzeczywistości naprężenie ściskające nie jest równomiernie
rozłożone:
Można tutaj zauważyć, że im bardziej wzrasta ściskanie tym
bardziej zmniejsza się naprężenie wewnątrz ścianki.
Równanie w postaci (a) ma małą przydatność praktyczną, von
Kàrmàn zaproponował więc następującą interpretację tego
równania (1932) :
Rzeczywisty nierównomierny rozkład naprężeń na szerokości
"b" zastąpiony jest stałym naprężeniem fy, działającym na
zredukowanej szerokości be/2 na obu skrajach ścianki:
a
be/2
fya
b
be/2
Stan równowagi (a) można więc zapisać w postaci:
fy 
2 E

12 1  
2

*
kt 2
b e2
(b)
Dzieląc stronami (a) i (b), otrzymujemy po przekształceniach
wzór von Kàrmàna na szerokość efektywna (zwaną również
szerokością współpracującą):
be  b
 cr
E
 Ct
fy
fy
gdzie:
C


31 
2

 1.90
W praktycznych zastosowaniach szerokość efektywna jest
najczęściej przedstawiana w postaci ilorazu  = be/b. Wzór
von Kàrmàna przyjmuje wtedy postać:
be
 cr


b
fy
Na tej postaci wzoru na szerokość efektywną kończy się ujęcie
czysto teoretyczne, które dla praktycznych zastosowań
wymaga korekty empirycznej.
PRAKTYKA
Główne powody dla których doświadczalna korekta wzoru
teoretycznego von Kàrmàna jest niezbędna:
1. Umocnienie plastyczne i przewężenie na zagięciach:
2. Imperfekcje geometryczne: płaskie ścianki nie są doskonale
płaskie (sfalowania)
3. Naprężenia wewnętrzne po procesie gięcia
Różne postacie wzorów na szerokość efektywną:
be
 cr  1  cr 

2
1
b
fy  2 fy 


Winter:
Kod kanadyjski:


t
kE
kE


be 0.95t
10.208

b f y 
fy 
ENV EC3-1-3:
be
 cr 
 cr 


1  0.22
b
fy 
fy 


EN 1993-1-3:
dla com,Ed = fy/M:

 p  0,055 3   

2
p
 1,0
dla com,Ed < fy/M:

1  0,0553    /  p,red
 p,red
p 
fy
 cr

b/t
28,4  k 
   
 0,18
  0,6
p
p,red
p

 p,red   p
235
f y N / mm 2

 com,Ed
f y /  M0

WYTRZYMAŁOŚĆ BLACH FAŁDOWYCH
W UKŁADZIE CIĄGŁYM
11
Zasady obliczeń teoretycznych
- Układ pracuje w zakresie sprężystym
- Stan Graniczny Użytkowalności (pod obciążeniem
charakterystycznym) jest określony dopuszczalnym ugięciem
- Stan Graniczny Nośności (pod obciążeniem obliczeniowym) jest
określony osiągnieciem wytrzymałości w jakimkolwiek przekroju
q
PS
P
M
PP
Kryteria wytrzymałości:
- "PS" Podpora Skrajna: zmiażdżenie środników
- "P" Przęsło: moment zginający
- "PP" Podpora Pośrednia: moment, reakcja, interakcja
Kryterium odkształcenia:
- Strzałki ugięcia w połowie przęseł
Szczególną uwagę należy zwrócić na wytrzymałość przekroju nad
podpora pośrednia, z jednoczesnym działaniem momentu i reakcji.
Chodzi tu ogólnie o wytrzymałość przekroju na który działa
jednocześnie moment i poprzeczna skupiona siła liniowa.
Wytrzymałość ta określona jest równaniami:
Mi,Ed
ME d + FE d  1,25
1.25Mi,Rd
Mc,Rd R w,Rd
MEd / Mc,Rd
 1
FEd / Rw,Rd
 1
Mi,Rd
0.25Mi,Rd
Ri,Ed
0.00
0.25Ri,Rd
Ri,Rd
1.25Ri,Rd
W układach wieloprzęsłowych: interakcja moment-reakcja jest
najczęstszym kryterium wymiarującym.
Zasady obliczeń opartych na badaniach:
- Stan Graniczny Użytkowalności (pod obciążeniem
charakterystycznym) jest określony:
. dopuszczalną strzałką ugięcia,
. osiągnięciem 90% wytrzymałości na podporze pośredniej PP
Wytrzymałość "PP" jest określona doświadczalnie
Układ pracuje w zakresie sprężystym
Badanie wytrzymałości i
zależności M- na podporze
pośredniej
M
Wytrzymałość M-R na
podporze pośredniej
M0=M*Mc,Rd,max
Mc,Rd,max
Mc,Rd,min
R
Rw,Rd,min
ME / Mc,R,max  1
FE / Rw,R,max  1
M E FE

1
M0
R0
Rw,Rd,max
R0= αR*Rw,Rd,max
moment (kN*m/m) *
- Stan Graniczny Nośności (pod obciążeniem obliczeniowym)
określony jest:
. wytrzymałością na podporze skrajnej "PS",
. wytrzymałością na moment zginający w przęśle "P",
. obrotem  na podporze pośredniej
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.0005
* 1 kN = 4.45 kips
1 m = 0.305 feet
0.001
0.0015
0.002
0.0025
0.003
M/R=19.50 cm (7.86 in.)
M/R=19.50 cm (7.86 in.)
M/R=19.50 cm (7.86 in.)
M/R=25.75 cm (10.38 in.)
M/R=25.75 cm (10.38 in.)
M/R=25.75 cm (10.38 in.)
M/R=32.00 cm (12.90 in.)
M/R=32.00 cm (12.90 in.)
M/R=38.25 cm (15.42 in.)
M/R=38.25 cm (15.42 in.)
M/R=44.50 cm (17.94 in.)
M/R=44.50 cm (17.94 in.)
rotation (rad)
Zależność "M-" oraz wytrzymałości "PS" i "P" są określone
doświadczalnie
zespolonego o dużej rozpiętosci (6 m)
Widok stanowiska
badawczego w
początkowej fazie
obciążenia
Fala wyboczenia górnej półki
w końcowej fazie obciążenia
18
Układ ciągły po uplastycznieniu przekroju na jednej lub wielu podporach
ma zachowanie nieliniowe, z przegubami plastycznymi o zmiennej
sztywności na podporach w zależności od obrotu 
K 
M

K()
K()
L1
L2
L3
1
=1+2
2
PRZYPADEK SZCZEGÓLNY:
Belki z ciągłym bocznym podparciem górnej półki
Chodzi tu ogólnie o płatwie lub rygle ścienne o przekrojach Z, C lub , z
jedną półką podpartą przez połać dachową lub obudowę ścienną z blachy
fałdowej.
Przyjmując, że dzięki pracy przeponowej blachy górna półka przejmuje
tylko składową obciążenia prostopadłą do dachu, płatew jest zginana
wokół osi y równoległej do dachu, niezależnie od położenia osi
głównych. Dodatkowo występuje wyboczenie oraz boczne zginanie pasa
dolnego, które również należy uwzględnić w obliczeniach.
Na tych założeniach oparty jest zaproponowany w końcu lat 70. i
przyjęty w Eurokodzie 3-1-3 model obliczeniowy ([1]) który będzie
przedstawiony w skrócie.
Na końcu prezentacji podane są publikacje źródłowe, które będą
pomocne dla pełniejszego zapoznania się z tym tematem.
20
Stateczność pasa dolnego należy sprawdzić w strefach
momentu ujemnego (=> ściskanie pasa dolnego)
Lt
Lt
Lt
Lt
Lt
Lt
Lt
Przyjęty model pracy przekroju:
==>

Problem do rozwiazania: obliczenie długości wyboczeniowej
pasa dolnego traktowanego jak ściskana belka na podłożu
sprężystym
Schemat statyczny układu dla którego obliczana jest
siła krytyczna
ql
qo
y
Odkształcenie
EI
Ei  f
2
|
L
  y"
0
2
dx
anti-sag bar
normal force diagram
anti-sag bar
L=L t /(n+1)
Obc. poprzeczne
L L

1 
2
E q     q x dx   y ' dx
2 0x

|
Obc. normalne
L
1
2
E P  P P   y ' dx
2
0
P
x
n = number of
anti-sag bars
| Podłoże sprężyste

E e   y 2dx
20
L
24
Energia całkowita układu:
E t  Ei  E e  E q  E P 
2
2


l q l 
x2
L
1
2
 EIf (y '') y

2




1


x

1


(y
')


P
y
'

 
  dx
P 

0  2
2
2 
2L
2
2




L
Równanie to przedstawia funkcjonał typu: Jy  F(x, y, y")dx
który osiąga minimum gdy jego pierwsza wariacja jest = 0,
co jest wyrażone równaniem Eulera-Poissona:
d
d2
Fy  Fy'  2 Fy"  0
dx
dx
Fy 
F
y
Fy' 
F
y'
Fy" 
F
y"
skąd otrzymujemy równanie
 d4 y

d2 y
dy
4
2
2



  Ky        1   2        1
 22    1     0
l 
P l
l
 d2
 d4

d


w którym parametr  określa siłę krytyczną
25
Dla znalezienia wartości tego parametru założono rozwiązanie
w postaci szeregu:
n
y   ai sin i
i 1
Poszukując minimum błędu przy pomocy metody Galerkina
otrzymano układ równan liniowych, którego najmniejsza
wartość własna określa siłę krytyczną:
cr 
Ne
Ncr
która z kolei określa długość wyboczeniową Lf / L   cr
26
Drogą poszukiwań znaleziono, że funkcja określająca długość
wyboczenia w zależności od sztywności podłoża sprężystego
 przedstawionej parametrem
L4
K
4 EI f
może być przedstawiona z bardzo dobrą dokładnością w
postaci funkcji FK   1 (1  2  K  ) 
3
4
posiadającej następujacy kształt
Lf/ L
(Lf/L)num
(Lf/L)anal
K
27
Na tej bazie, metodą najmniejszych kwadratów, przy pomocy specjalnego
programu komputerowego otrzymano szereg rozwiązań ktore posłużyły do
opracowania tabel wartości współczynników  dla różnych praktycznych
przypadków ([5,6]):
Simple
Multi-span
Load
Anti-sag
bars
0
span
Up-lift
1 2 3
Curve
1
2
5
5
End span
4
5
Enveloping
curve
1
2
3
4
5
6
7
8
0
Up-lift
1 2 3
4
7
2
5
2
1
0,6938
0,8000
0,3059
0,4139
0,9021
0,5956
0,5144
0,6574
5
0
Down
1 2 3
4
0
Intermediate span
Up-lift
Down
1 2 3 4 0 1 2 3
4
7
1
3
7
2
5,4463
6,7481
0,2323
1,7218
8,5456
2,3250
1,2545
8,1695
6
1
3
1,2733
1,4843
0,7424
1,1073
2,1783
1,1484
0,8679
2,2210
2
2
2
8
6
6
1
4
-0,1680
-0,1545
-0,2790
-0,1782
-0,1108
-0,1920
-0,2415
-0,1071
Powyższe dane zostały wykorzystane w Tab. 10 Eurokodu 3-1-3
28
4
1
W celu uzyskania większej dokładności obliczeń, w publikacjach [7,8]
zaproponowano wzięcie pod uwage dodatkowego czynnika związanego
z energią odksztaścenia skrętnego wobec wymuszonej osi obrotu R:
a)
b)
R
yR
zo
yo
R
yR
zR
r
G
r zo
F
G
yo
ud
u
zR
ur
ud
F
ur
u
Składa się on z dwóch członów: jeden związany z naprężeniami
normalnymi spowodowanymi skręcaniem nieswobodnym i drugi z
naprężeniami ścinającymi spowodowanymi skręcaniem swobodnym
E ir 
2 L 2 2
EI R R r
d u
 2  dx 
2
2z R 0  dx 

L
GI s R 2r  du  2
 dx
2 

2z R 0 dx 
Uwzględnienie tego czynnika w obliczeniach numerycznych zostało
przyjęte w klauzuli 10.1.2(5) Eurokodu 3-1-3.
29
Dla uzupełnienia wracamy jeszcze do wspomnianego na początku
bocznego zginania wolnej półki.
Dla swobodnie zginanych belek:
- gdy środek ścinania nie pokrywa się z punktem przyłożenia obciążenia,
zachodzi skręcanie przekroju
- gdy kierunek obciążenia nie pokrywa się z główna osią bezwładności,
zachodzi ukośne zginanie przekroju.
Jeśli jedna z półek zginanego przekroju jest podparta i środek obrotu jest
wymuszony warunkami zewnętrznymi, to następuje zwichrzenie
przekroju na skutek bocznego ugięcia wolnej półki, wynikającego z
niezrównoważonego przepływu naprężeń ścinających na styku miedzy
wolna półką i środnikiem.
Zjawisko to jest uwidocznione na następujących zdjęciach z badań:
30
Badane przekroje
Badanie przekroju Z
31
Badanie przekroju 
32
Badanie przekroju 
Ujęcie teoretyczne: uogólniony schemat
analizowanego przekroju ([9])


Z
K
K

rp
R
t
G
q
G
S
Y
G
S
S
34
Zależności geometryczne związane z uogólnionym
przemieszczeniem przekroju
Z

R''

R
G''
S''
Y

S
G
35
Równania równowagi
EI z y SIV  rp cos   q sin   0
EI y zSIV  rp sin   q cos   0ó
EI  IV  GId ''  q z Sy  q y Sz  rpzSy  rpySz  K  t  0
36
 Równanie różniczkowe niejednorodne:
m
  2     
EI R
IV
GI d
2
 
2EI R
K
 
EI R
4
2 ''
4
I R  I   S2
m  qS
I y I z sin 2 (S  )
I y cos 2   I z sin 2 
I y cos  cos  S  I z sin  sin  S
I y cos   I z sin 
2
2
37
t
Postać rozwiązania tego równania ([9]) okazuje się jednak zbyt
skomplikowana dla zastowania normatywnego.
Toteż, ponieważ jego wpływ choć niepomijalny jest stosunkowo
niewielki, więc w EN 1993-1-3 jest on uwzględniony z uproszczeniem w
postaci fikcyjnego obciążenia bocznego qh ([3]) zależącego od
odległości między środkiem ścinania i punktem przyłożenia siły oraz od
kąta obrotu osi głównych.
38
Powyżej opisana metoda obliczeń płatwi została od początku lat 90
powszechnie zastosowana jako "méthode Sokol" i następnie
wprowadzona do Eurokodu 3-1-3
Należy tutaj zwrócić uwagę na to, że wartości tabelaryczne
współczynników  zostały określone dla stałych przęseł i dla
obciążenia równomiernie rozłożonego ([5,6]).
Jeśli zachodzi jeden z poniższych przypadków:
- nierówne przęsła,
- obciazenie poprzeczne nierówno rozłożone
- obciążenie poprzeczne skupione
- obecność obciążenia normalnego
- ciągłość na podporach uzyskana przy pomocy nakładek lub
zakładów
wartości tabelaryczne współczynników  nie są dokładne i układ
należy obliczyć przy zastosowaniu przyjętego modelu, ale na podstawie
rzeczywistego rozkładu momentów.
Aby uwzględnić obroty przekrojów na podporach z ciągłością uzyskana
przy pomocy nakładek lub zakładów, należy wykonać badania typu
"M-" (moment-obrót).
39
Badanie wytrzymałości i zależności M- na podporze
40
Faza zaawansowana obciążenia
41
Styki profili sąsiednich przęseł po obrocie na podporze
42
Diagr. Moment-Rotation
200
180
Wykres M-
160
140
moment (kN*m)
120
100
80
60
40
20
0
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
rotation (rad)
43
Badanie sztywności utwierdzenia w blasze
44
Modelowanie układu dla obliczeń numerycznych
ev. reinforcing
member, C- section
Uciąglenie
przy pomocy
zakładow
F1v
F1h
a1
a3
a2
a3
M s1
Mf1
Ms2
Mf2
Uciąglenie
przy pomocy
nakładek
45
Publikacje źródlowe dla metody obliczeń płatwi przyjętej w EC3-1-3
[1] Sokol L. - Calcul des pannes en section Z. Construction Métallique N° 1-1979.
[2] Sokol L. - Calcul de la longueur de flambement de la semelle comprimée des
pannes en Z. Construction Métallique N° 2-1980.
[3] Sokol L. - Flexion latérale de la semelle libre inférieure des pannes Z et C.
Construction Métallique N° 1-1988.
[4] Sokol L., Specific Aspects of Design of Purlins in Z-sections. Der Metallbau im
Konstructiven-Ingenieurbau. Karlsruhe, Februar 1988
[5] Sokol L. - Stabilité des pannes formées à froid, maintenues par bac acier.
Construction Métallique N° 2-1995.
[6] Sokol L. - Lateral Stabilization by Steel Sheeting of Structural Members Thin
Walled Structures, Vol 25, No 3, pp.207-217, 1996
[7] Sokol L. - Flambement des barres par torsion autour d'un axe de rotation imposé.
Construction Métallique N° 1-2000.
[8] Sokol L. - Lateral Buckling of Prismatic Members About an Imposed Axis of
Rotation. Fifteenth International Specialty Conference on Cold-Formed Steel
Structures. St. Louis, Missouri U.S.A, October 19-20, 2000
[9] Sokol L. - Combined Bending and Torsion of Laterally Restrained Thin Walled
Steel Beams, 4th European Conference on Steel and Composite Structures
June 8-10, 2005 – Maastricht - Eurosteel 2005
46
Dziękuję za uwagę
47