3. FALA

3. FALA
„Akustyka w budownictwie. …”
3.
FALA
3.1. MATEMATYCZNE SFORMUŁOWANIE PROBLEMU
PROPAGACJI FALI AKUSTYCZNEJ W OŚRODKU
PŁYNNYM BEZ UWZGLĘDNIENIA STRAT
Ośrodkiem propagacji fali akustycznej1 może być każdy ze
znanych ośrodków sprężystych – niezależnie od stanu skupienia. Mając jednak na uwadze sformułowanie, które przedstawię w Rozdz.4,
zasadniczym ośrodkiem propagacji fali dźwiękowej, w dalszej części
tej pracy jest ośrodek płynny, a w szczególności powietrze. Powietrze
jest gazem, składa się więc z atomów i cząsteczek, które nieustannie
się ze sobą zderzają. Średnia odległość pomiędzy miejscami takich
kolejnych zderzeń, nazywana jest średnią drogą swobodną, która dla
powietrza charakteryzuje się następującymi wielkościami [20]:
„...W atmosferze ziemskiej na poziomie morza (760 mmHg ) średnia
droga swobodna cząsteczki powietrza wynosi około 10-5 cm . Na wysokości 100 km nad Ziemią (10-3 mmHg ) średnia droga swobodna jest
równa 1 m . Na wysokości 300 km (10-6 mmHg ) wynosi ona 10 km ,
a jeszcze jest w tym obszarze 108cząsteczek/m3…”. Istota informacji zamieszczonych powyżej, kryje się w fakcie, iż przytoczone liczby, potwierdzają zasadność traktowania powietrza, w dalszych wyprowadzeniach, nie jako ośrodka dyskretnego, ale ośrodka ciągłego. Sto
milionów cząsteczek na jeden centymetr sześcienny, na wysokości
ok. 300 km n. p.m. , gdzie ciśnienie atmosferyczne jest setki milionów razy w mniejsze niż przy powierzchni ziemi, w pełni potwierdzają zasadność założenia ciągłości ośrodka. Wyrazem tego mogą być również
słowa [17]: „...Rozchodząca się fala nie dostrzega,..., ziarnistej struktury ośrodka (powietrza)2...”.
1
fala akustyczna (fala dźwiękowa), to fala sprężysta. Klasyfikacje fal akustycznych, najczęściej przeprowadzamy wg kryterium częstotliwości oscylacji fali. I tak mamy [21]:
−
−
−
2
infradźwięki – fala dźwiękowa o częstotliwości poniżej 16 Hz
dźwięki – fala dźwiękowa słyszalna o częstotliwości z zakresu od 16Hz do 20 kHz
ultradźwięki – fala dźwiękowa o częstotliwości powyżej 20 kHz.
przyp. autora
13
3. FALA
„Akustyka w budownictwie. …”
Stan ośrodka płynnego, w sytuacji gdy nie występują
w nim zaburzenia równowagi mechanicznej i termicznej, w pełni określają trzy wielkości skalarne:
[
]
P0 - ciśnienie Pa = N ⋅ m −2 ,
T0 - temperatura [°C ],
ρ 0 - gęstość [kg ⋅ m −3 ] 3.
Ciśnieniem akustycznym p nazywamy różnicę pomiędzy ciśnieniem w chwili przejścia zaburzenia P ( x , y , z , t ) i ciśnienia P0 w stanie spoczynku
p ( x, y , z , t ) = P( x, y , z , t ) − P0 .
(3.1)
Elementem ośrodka4 lub cząstką akustyczną Rys. 3.4
nazywamy wyodrębniony zbiór cząstek materii (powietrza), który może się poruszać w stosunku do układu odniesienia, np. do ośrodka pozostającego w spoczynku.
Rys. 3.4. Elementarna cząstka akustyczna o bokach dx , dy , dz
3
indeks zero każdorazowo oznaczać będzie w dalszej części tej pracy, iż mówimy o stanie równowagi
statycznej płynu
4
w odróżnieniu od elementu obszaru, a zatem elementu, który pozostaje nieruchomy w stosunku do
przyjętego układu odniesienia – element obszaru nie zmienia swoich wymiarów przy przejściu zaburzenia. Fala „przepływa” przez element obszaru.
14
3. FALA
„Akustyka w budownictwie. …”
Przy ruchach ośrodka następują jego lokalne rozrzedzenia i zagęszczenia, oraz tym samym występują różnice ciśnień i temperatur – mówimy, że w ośrodku propaguje fala akustyczna. Dla
uproszczenia rozważmy ruch elementu ośrodka wyłącznie po kierunku
osi x . Równowagę powstałych w wyniku ruchu cząstki sił przedstawia
Rys. 3.5 .
Rys. 3.5. Siły działające na element ośrodka
Z sumy rzutów wszystkich sił na kierunek osi x uzyskujemy następująca równość
∂v

∂p( x , t ) 

p( x , t )dydz + P0 −   p( x , t ) +
dx dydz + P0  − ρ x dxdydz = 0 ,
∂x
∂t



∂p ( x , t )
∂v
dxdydz = − ρ x dxdydz ,
∂x
∂t
(3.2a)
(3.2b)
skąd ostatecznie otrzymujemy
∂p ( x , t )
∂v
= −ρ x ,
∂x
∂t
(3.3a)
oraz analogicznie dla pozostałych składowych
∂v y
∂p ( y , t )
= −ρ
,
∂y
∂t
(3.3b)
∂p( z , t )
∂v
= −ρ z .
∂z
∂t
(3.3c)
15
3. FALA
„Akustyka w budownictwie. …”
Równania (3.3) dają dla założonego rozkładu ciśnień ścisłe określenie
prędkości akustycznej. Należy zwrócić uwagę na fakt, iż gęstość
ρ zawarta w równościach (3.3) wyraża się wzorem
ρ = ρ 0 + ρ (t ) ,
(3.4)
gdzie funkcję ρ (t ) nazywamy gęstością akustyczną.
Zmiany ciśnienia atmosferycznego P(t ) towarzyszące powstałym dźwiękom słyszalnym są bardzo małe w porównaniu z ciśnieniem atmosferycznym P0 5. Odpowiednio małe, są zatem również
przemieszczenia i zmiany gęstości ρ (t ) . Zakładając więc – z minimalnym błędem – że ρ = ρ 0 , oraz sumując geometrycznie zależności
(3.3) otrzymujemy następującą równość
 ∂v r ∂v y r ∂v z
∂p r ∂p r ∂p r
i+
j + k = − ρ 0  x i +
j+
∂t
∂t
∂x
∂y
∂z
 ∂t
r
k  ,

(3.5)
r r r
gdzie i , j , k , są w podanej kolejności, wersorami (wektorami jednostkowymi) osi x , y , z . Korzystając ze znanego skrótowego zapisu
gradientu pola skalarnego, przepisujemy wzór (3.5) w postaci
grad p = − ρ 0
∂v
.
∂t
(3.6)
Jest to równanie dynamiczne równowagi sił w ośrodku, zwane także
równaniem Eulera6.
W kolejnym etapie wyprowadzenia równania falowego należy określić jak zmieniają się właściwości płynu wypełniającego element obszaru (jego gęstość) w momencie przejścia fali.
Na Rys. 3.6 przedstawiono element obszaru wraz z „przepływającą” przez niego falą zagęszczeń i rozrzedzeń – falą dźwiękową. W stanie równowagi materia „zgromadzona” w elemencie obszaru
opisana jest przez dwa parametry: objętość V0 = dx dy dz , oraz gęstość
ρ 0 . Pod wpływem zaburzenia w przekroju x nastąpiło przesunięcie
warstwy o u x ( x ) , natomiast w przekroju ( x + dx ) nastąpiło przesuniecie
o u x ( x + dx ) . Powstałą w ten sposób zmianę początkowej „grubości”
( dx ) materii w elemencie obszaru obliczymy z zależności
5
ciśnienie atmosferyczne w pobliżu ziemi wynosi średnio 1000 hPa = 10
go, kształtuje się natomiast od ok. (granica słyszalności) 0 dB → 2 ⋅ 10
120 dB → 2 ⋅ 10 Pa
5
−5
Pa . Czułość ucha ludzkiePa do ok. (granica bólu)
. Porównując podane wielkości z ciśnieniem atmosferycznym, w pierwszym przy-
padku mówimy o różnicy 10, a w drugim 5 rzędów wielkości (!).
6
[16] „…Równanie zostało podane przez L. Eulera w nieco innej postaci w 1756r. …”
16
3. FALA
„Akustyka w budownictwie. …”
Rys. 3.6. „Przepływ” fali przez element obszaru
dx ' = dx − u x ( x ) + u x ( x + dx ) ,
(3.7)
∂u x
dx ,
∂x
(3.8)
skąd uwzględniając, iż
u x ( x + dx ) = u x ( x ) +
otrzymujemy
dx ' = dx +
∂u x
dx .
∂x
(3.9)
Całkowitą wielkość rozrzedzenia (zagęszczenia) zapisujemy jako
∆x = dx − dx ' = −
∂u x
dx .
∂x
(3.10)
Uwzględniając analogiczne zmiany po kierunkach osi y i z , możemy
określić „nową” objętość zajmowaną przez tę samą pierwotną ilość
płynu
V ' = dx' dy ' dz ' .
(3.11)
Zmianie uległa zatem objętość ( V0 ⇒ V ' ) oraz gęstość płynu ( ρ 0 ⇒ ρ ). Ilość materii, mierzonej masą, pozostała jednak taka
sama ( m0 = m' ). Zmiany ilościowe materii G , uzyskamy dopiero wów-
17
3. FALA
„Akustyka w budownictwie. …”
czas, gdy odniesiemy gęstości ρ 0 i ρ do jednakowej objętości. Niech
tą objętością będzie V0 , stąd
G = ρdxdydz − ρ 0 dxdydz = (ρ − ρ 0 )dxdydz .
(3.12)
Zauważmy jeszcze, że wielkość G możemy obliczyć jako superpozycję wpływów zmian gęstości po kierunkach x , y , z
G = ρ∆xdydz + ρ∆ydxdz + ρ∆zdxdy ,
(3.13a)
co po podstawieniu zależności (3.10) możemy zapisać jako7
−G = ρ
∂u y
∂u x
∂u
dxdydz + ρ
dxdydz + ρ z dxdydz .
∂x
∂y
∂z
(3.13b)
Porównując ze sobą prawe strony wzorów (3.12) oraz (3.13b) i wprowadzając wielkość zagęszczenia względnego δ ośrodka (kondensacji
ośrodka)
δ=
ρ − ρ0 ρ − ρ0
≈
,
ρ
ρ0
(3.14)
otrzymujemy
∂u x ∂u y ∂u z
+
+
= −δ ,
∂x
∂y
∂z
(3.15)
lub w pisowni wektorowej
δ = − div u .
(3.16)
Należy w tym miejscu zauważyć, iż wyrażenie div u jest
względną zmianą objętości cząstki akustycznej ϑ , którą nazywamy
deformacją objętościową
ϑ=
dV
.
V
(3.17)
7
wielkość G można również interpretować, analogicznie jak dla hydrodynamicznych pól prędkości [11],
jako różnicę pomiędzy ilością materii która wpłynęła i wypłynęła z elementu obszaru. Dla kierunku osi
x możemy napisać:


ρdydz u x − ρdydz  u x +
∂u x 
∂u
dx  = − ρ x dxdydz
∂x
∂x

18
3. FALA
„Akustyka w budownictwie. …”
Zmiana objętości powstała w wyniku przebiegu fali jest
charakterystyczna dla danego ośrodka. Wprowadza się zatem pojęcie,
współczynnika sztywności (sprężystości) objętościowej ośrodka
K (zwanego również modułem Helmholtza), określającego proporcjonalność pomiędzy ciśnieniem akustycznym, które powoduje zmianę
objętości, do tej zmiany8
K=
−p
ϑ
,
(3.18a)
co przy uwzględnieniu (3.16) i (3.17) daje
K =−
−p
δ
=
p
δ
.
(3.18b)
Finalizując wyprowadzenie równania fali, sprężystość objętościową K , korzystając z zależności (3.16) i (3.18b) wyrażamy
przez p i div u
p
,
div u
(3.19a)
− K div u = p .
(3.19b)
K =−
zatem
Różniczkując równanie (3.19b) dwukrotnie względem czasu otrzymujemy
− K div
∂v ∂ 2 p
,
=
∂t ∂t 2
(3.20)
co po uwzględnieniu zależności (3.6) daje nam końcowe równanie fali
K div grad p = ρ 0
∂2 p
.
∂t 2
(3.21)
W formie rozwiniętej, dla fali o dowolnej geometrii otrzymujemy następujący układ trzech równań
∂ 2 p ρ0 ∂ 2 p
=
,
∂x 2
K ∂t 2
∂ 2 p ρ0 ∂ 2 p
=
,
∂y 2 K ∂t 2
∂ 2 p ρ0 ∂ 2 p
=
.
∂z 2
K ∂t 2
(3.22)
Analogiczne równania obowiązują dla v i ρ .
8
mowa tu o prawie Hooke’a
19
3. FALA
„Akustyka w budownictwie. …”
Poszukując dalszych zależności, rozważmy najprostszy
przypadek fali akustycznej, a zatem fali płaskiej propagującej się
w kierunku osi x . Z licznych doświadczeń wynika, iż prędkość propagacji fali akustycznej w ośrodku bez strat jest stała i niezależna od
częstotliwości – nazwijmy tę prędkość „prędkością dźwięku” i
oznaczmy ją literą c .
Powyższe stwierdzenie, pozwalaja przypuszczać, iż zmiana ciśnienia w dowolnym punkcie obserwacji, oddalonym o x od źródła, będzie wyrażać się funkcją w postaci
p = p (ct − x ) .
(3.23)
Zależność (3.23) winna zatem spełniać pierwsze z równań (3.22),stąd
otrzymujemy
p′′(ct − x ) = c 2 &p&(ct − x ) .
(3.24)
Porównując (3.24) z (3.22) otrzymujemy, równość wiążącą prędkość
fali z właściwościami ośrodka9
c2 =
K
ρ0
=
∂p
.
∂ρ
(3.25)
Analogiczną zależność dla prędkości fali akustycznej w gazach otrzymamy, zakładając, iż w trakcie propagacji fali zmiana ciśnienia przy zmianie gęstości odbywa się bez przepływu ciepła –
przemiana adiabatyczna10. Prawdziwe jest więc równanie
pV κ = const ,
(3.26)
a ponieważ ρ zmienia się jak 1 / V , stąd mamy
p = const ⋅ ρ κ ,
(3.27)
zatem
ρ κ κ ⋅ p κP0
∂p
=κ
=
≅
,
∂ρ
ρ
ρ
ρ0
(3.28)
gdzie, κ = C p / Cv ( C p - ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu, Cv - ciepło
właściwe przy stałej objętości).
9
równość ta prawdziwa jest dla cieczy
10
jako pierwszy podejście takie zaproponował Laplace, co poprawiło zgodność obliczeń prędkości dźwięku z doświadczeniem. Wcześniej bowiem zgodnie z założeniem poczynionym przez Newtona przemianę
tę traktowano jako izotermiczną.
20
3. FALA
„Akustyka w budownictwie. …”
Dla gazów otrzymujemy więc
c=
κP0
ρ0
,
(3.29)
przy czym dla powietrza κ = 1,4 .
3.2. MATEMATYCZNE SFORMUŁOWANIE PROBLEMU
PROPAGACJI FALI AKUSTYCZNEJ W RZECZYWISTYM
OŚRODKU PŁYNNYM
Wcześniejsze rozważania dotyczyły rozchodzenia się fal
akustycznych w ośrodku płynnym o idealnych, uproszczonych właściwościach. Zakładaliśmy, że ośrodek jest doskonale ciągły, jednorodny
i nielepki oraz że posiada idealną sprężystość przy braku wewnętrznej
bezwładności i przewodności cieplnej. Według klasycznej teorii ośrodka ciągłego, założona izotropia pozwala nam zapisać tensor naprężenia w postaci [7]11
σ ij = 2µε ij + λε kkδ ij ,
(3.30)
gdzie:
σ ij - jest tensorem naprężeń [N ⋅ m −2 ] ,
ε ij - jest tensorem odkształceń [−] ,
1 i = j
- jest deltą Kroneckera,
0 i ≠ j
δ ij = 
µ , λ - to stałe Lamégo [N ⋅ m −2 ] .
W ośrodku płynnym nie występują oczywiście statyczne naprężenia
poprzeczne ( µ = 0 ), co przy przyjęciu, iż λ = K pozwala nam zapisać
σ ij = Kε kkδ ij
.
(3.31)
Porównując (3.31) z (3.19b) oraz mając na uwadze, że rozpatrujemy
równowagę statyczną płynu, tensor naprężenia w reprezentacji macierzowej możemy zapisać jako
11
równanie to napisane jest dla przypadku równowagi statycznej, przy pominięciu wpływów temperatury
21
3. FALA
„Akustyka w budownictwie. …”
P0 0 0 
σ = σ ij =  0 P0 0  .
 0 0 P0 
[ ]
(3.32)
Powracając do głównej tematyki tego rozdziału, rozpatrzmy jakie czynniki wpływają na dyssypację energii fali akustycznej –
na zmianę wartości składowych tensora (3.31).
Tarcie wewnętrzne [17]. Jeżeli sąsiednie warstwy gazu
I i II (Rys. 3.7) przesuwają się równolegle z prędkościami v1 i v2 , to
poruszające się bezładnie molekuły o prędkości ruchu postępowego
w2 , zależnej od v2 , wpadają do warstwy I i odwrotnie do warstwy
II dostają się molekuły pochodzące z warstwy I i mające prędkość w1 .
Inaczej mówiąc na prędkość ruchów cieplnych nakładają się prędkości
akustyczne v1 lub v2 , które powodują różnicę poziomów energetycznych molekuł w obu warstwach. Różnice te mają oczywiście tendencje
wyrównywania się, następuje więc wzajemne oddziaływanie obu
warstw, objawiające się wystąpieniem sił stycznych do ruchu warstw
ośrodka12. Widać zatem, iż w momencie propagacji fali akustycznej,
obok sztywności objętościowej wystąpi na skutek tarcia sztywność
postaciowa, analogiczna do tej, jaką posiadają ciała stałe.
Rys. 3.7. Przesuwanie się równoległe warstw I i II
Wielkość tarcia będzie oczywiście proporcjonalna do gradientu prędkości na granicy warstw, co możemy zapisać w postaci
następującej zależności
σ xy = − µ '
∂vx
,
∂y
(3.33)
gdzie parametr µ ' - to dynamiczny współczynnik tarcia wewnętrznego
lepkości N ⋅ s ⋅ m2 13.
[
]
12
analogiczne tarcie wystąpi również dla płaskiej fali podłużnej
13
wielkość ta nazywana jest również „poise”
22
3. FALA
„Akustyka w budownictwie. …”
Uzyskanie kompletnej postaci tensora naprężeń, uwzględniającego wpływ tarcia wewnętrznego wymaga jeszcze kilku uwag.
Tensor małych odkształceń Cauchye’go możemy zapisać
jako [7]
1  ∂u
∂u 
ε ij =  i + j  ,
2  ∂x j ∂xi 
(3.34)
a zatem zmiany odkształceń w czasie, otrzymamy różniczkując zależność (3.34) po czasie
1  ∂v ∂v 
=  i + j .
2  ∂x j ∂xi 
∂t
∂ε ij
(3.35)
Chcąc zadośćuczynić założeniu (3.33) spodziewamy się, że tensor
strat naprężeń wywołany tarciem wewnętrznym będzie proporcjonalny do tensora (3.35), a współczynnik proporcjonalności wyniesie − 2µ ' . Musimy jednak zauważyć, że tensor ów, jako iż powstaje
w wyniku czystego ścinania, nie powinien zawierać członu uwzględniającego zmiany ciśnienia (naprężenia) powstałego w wyniku napływu bądź odpływu materii z elementu obszaru w czasie, które mierzymy zależnością
div v =
∂vx ∂v y ∂vz
.
+
+
∂z
∂x
∂y
(3.36)
Składowe tensora naprężenia uwzględniającego efekt tarcia wewnętrznego lepkości zapisujemy zatem jako

∂v

2
σ ii = Kε kk +  − 2 µ ' i + µ ' div v  ,
∂xi 3


 ∂vi
σ ij = − µ ' 
 ∂x j
+
∂v j 
; i ≠ j .
∂xi 
(3.37a)
(3.37b)
Końcową postać tensora naprężeń z uwzględnieniem efektów lepkości
płynu uzyskamy wliczając do tensora (3.37) odpowiednik oporu wiskotycznego dla oscylatora prostego, czyli oporu na zmianę objętości. Tensor naprężenia dla rzeczywistego ośrodka płynnego przyjmie
zatem postać

∂v
2


σ ii = Kε kk +  − 2µ ' i +  µ '−η ' div v  ,
∂xi  3



(3.38a)
23
3. FALA
„Akustyka w budownictwie. …”
 ∂vi
σ ij = − µ ' 
 ∂x j
+
∂v j 
;i ≠ j ,
∂xi 
(3.38b)
[
]
gdzie η ' - współczynnik lepkości objętościowej N ⋅ s ⋅ m −2 .
Naprężenie powstałe w płynie w momencie przejścia fali
akustycznej, równe jest (ze znakiem przeciwnym) ciśnieniu akustycznemu. Prawdziwa jest zatem równość
p* = −σ ij ,
[
(3.39)
]
gdzie p* - ciśnienie akustyczne N ⋅ m −2 .
Równanie fali akustycznej, z uwzględnieniem rzeczywistych właściwości ośrodka propagacji fali dźwiękowej, otrzymamy podstawiając zależność (3.39) do (3.6)
ρ0
ρ0
∂v
= − grad p* ,
∂t
∂v
4 

= − grad p + η '+ µ '  grad (div v ) − µ ' rot (rot v ) ,
∂t
3 

(3.40a)
(3.40b)
skąd przy uwzględnieniu faktu, iż fala akustyczna jest falą podłużną,
a zatem interesuje nas wyłącznie składowa prędkości równoległa do
toru fali ( vl )
ρ0
∂v l
4 

= − grad p + η '+ µ '  grad (div v l ) ,
∂t
3 

ρ0
∂v l
4 

= − grad p + η '+ µ ' ∇ 2 v l ,
∂t
3 

(3.41a)
(3.41b)
gdzie ∇ 2 - operator Laplace’a.
24