Jakub SZABELSKI, Georgij TARANENKO, Wiktor TARANENKO

Jakub SZABELSKI∗, Georgij TARANENKO∗*,Wiktor TARANENKO∗**
ZAGADNIENIA MODELOWANIA WŁAŚCIWOŚCI
DYNAMICZNYCH PROCESÓW OBRÓBKI
WAŁÓW O MAŁEJ SZTYWNOŚCI
Streszczenie
Artykuł prezentuje ogólne zagadnienia z tematyki matematycznego modelowania
układów skupiając się na układach dynamicznych obróbki skrawaniem. Przedstawiono model układu obróbki wałów o małej sztywności jak równieŜ poziomy
hierarchiczne oraz typowe struktury MM UD kształtowania wałów o małej
sztywności w stanie spręŜyście – odkształcalnym.
Wstęp
Opracowanie modelu matematycznego (ММ) obiektu sterowania (OS)
w dynamice, adekwatnego do obiektu – oryginału, jest konieczną przesłanką
uzasadnionego podejścia do rozwiązania problemu analizy stabilności układów
sterowania automatycznego (UAS) lub adaptacyjnego (AC) i syntezy członów
korygujących, zgodnie z wymaganymi wskaźnikami jakości sterowania procesem przejściowym. Przy tym w podobnych układach wskaźniki jakości sterowania współrzędną wyjściową – odkształceniami spręŜystymi UT w dynamice
bezpośrednio charakteryzują błędy kształtu części, uwarunkowane oddziaływaniem szybko zmieniających zakłóceń typu zmiana naddatku na obróbkę, zmienność właściwości fizyko-chemicznych obrabianego materiału.
∗
mgr inŜ., Politechnika Lubelska, Wydział Mechaniczny, Instytut Technologicznych
Systemów Informacyjnych, 20-618 Lublin, ul. Nadbystrzycka 36, [email protected]
∗∗
doc. dr inŜ., Sewastopolski Narodowy Uniwersytet Techniczny, 99053 Sewastopol, ul.
Uniwersytecka 33, [email protected]
∗∗∗
prof. dr hab. inŜ., Politechnika Lubelska, Wydział Mechaniczny, Instytut Technologicznych Systemów Informacyjnych, 20-618 Lublin, ul. Nadbystrzycka 36,
[email protected]
254
Jakub Szabelski, Georgij Taranenko, Wiktor Taranenko
1. Modele matematyczne układów dynamicznych
obróbki skrawaniem
Przedstawiony schemat budowy MM pokazuje, Ŝe podstawowy zakres badań
przy opracowaniu MM opiera się na głębokiej analizie teoretycznej powiązań
między zmiennymi parametrami i ujawnieniu zaleŜności, opisujących procesy
zachodzące w obiekcie. MoŜliwość linearyzacji równań ruchu poszczególnych
elementów UD wynika takŜe z powszechnie uznawanego poglądu, Ŝe zapewnienie wysokich wymagań odnośnie dokładności regulacji sprowadza się do realizacji układów regulacji, działających przy „małych” odchyleniach zmiennych.
Struktura OS zawiera obwody sprzęŜeń zwrotnych przez układ spręŜysty spowodowanych oddziaływaniami siłowymi, które pojawiają się podczas realizacji
procesu technologicznego. W pracach [4, 5, 6] przedstawiono układy równań
i uogólniony schemat strukturalny MM układu dynamicznego toczenia wałów.
Proces formowania przekroju WS uwzględnia zjawisko skrawania „po śladzie”,
które przejawia się tym, Ŝe składowe warstwy skrawanego materiału w chwili
bieŜącej określone są przez chwilowe połoŜenie krawędzi ostrza jak i równieŜ
jego współrzędne w chwili poprzedniego obrotu półfabrykatu, tzn. W chwili
opóźnionej o czas jednego obrotu. Jednocześnie uwzględniony jest wpływ odkształceń spręŜystych dla współrzędnej z na głębokość skrawania [7]. MM rozpatrywanego obiektu sterowania–UD ze sterowaniem stanem spręŜyście- odkształcalnym części o małej sztywności [9] zbudowano w oparciu o ogólne zasady budowy MM UD [4, 8] obróbki mechanicznej, przy tym specyfika procesu
obróbki części o małej sztywności uwzględniana jest poprzez wprowadzenie
odpowiednich równań więzów [5, 10, 11], odzwierciedlających wzajemne powiązania dodatkowych odkształceń spręŜystych ∆g ξ , do jednego z równań zawierających siłowe oddziaływania sterujące układu równań. Ekwiwalentne odkształcenia spręŜyste UD przy obróbce części o małej sztywności moŜna przedstawić w postaci dwóch składowych:
g ζ = gζobr . + g ζcz. .
(1)
Przyjmując, Ŝe rzeczywista prędkość posuwu wzdłuŜnego i prędkość zmiany
współrzędnej x są względnie niewielkie, przy analizie procesów przejściowych
moŜna nie uwzględniać zmiany współrzędnej x w funkcji czasu. Więc zaleŜność na odkształcenia spręŜyste UT w postaci operatorowej moŜna zapisać jako:
g y ( s ) = K xy ⋅ F f ( s ) + K yy ⋅ Fp ( s ) + K zy ⋅ Fc ( s ) + K Fx1 ⋅ Fx1 ( s ) +
+ K e ⋅ e( s ) + K Fdod .i ⋅ Fdod .i ( s ) + K M i ⋅ M i ( s ) + K M skr ⋅ M skr ( s )
,
(2)
gdzie: podwójne indeksy przy współczynnikach K oznaczają, Ŝe współczynniki K xy , K zy pokazują wpływ przyrostu składowych F f , Fc na przyrost odkształceń spręŜystych po współrzędnej y ; K e = K e' ⋅ Fx10 . Współczynniki wzmocnienia
Zagadnienia modelowania właściwości dynamicznych procesów… 255
równań liniowych określane są jako pochodne cząstkowe funkcji odkształceń
według odpowiedniej zmiennej. W pracach [5, 13] rozpatrzono moŜliwość zamiany otrzymanych zaleŜności transmitancji operatorowych (TO) przybliŜonymi, których zastosowanie istotnie upraszcza obliczenia charakterystyk MM UD.
Analiza została wykonana według kryterium dokładności odtworzenia przybliŜonymi zaleŜnościami rzeczywistych charakterystyk MM w płaszczyznach czasowej i częstotliwościowej. W przypadku sterowania stanem spręŜyście - odkształcalnym części o małej sztywności poprzez przyłoŜenie siły rozciągającej
Fx1 struktura OS została opracowana w [5]. Na podstawie schematu [5]
po przekształceniu zaleŜność dla TO układu dynamicznego, w przypadku, kiedy
jako współrzędna wyjściowa przyjmowany jest przyrost odkształceń spręŜystych
g y w kierunku promieniowym sprowadza się do postaci:
GFx1 ( s ) =
gdzie:
K 0 = K Fx1 ⋅
g y (s)
Fx1 ( s )
= K0 ⋅
1 + A′ ⋅ (1 − e − sτ )
,
1 + B′ ⋅ (1 − e − sτ )
(3)
1
,
1 + K yy ⋅ n y + K xy ⋅ nx + K bz ⋅ K z ⋅ nz
(4)
A′ = m x ⋅ K x + K κ r ⋅ m y ⋅ K y ,
B′ =
[
(5)
].
mx ⋅ K x + Kκr ⋅ my ⋅ K yy 2 + K yy ⋅ ny + Kbz ⋅ nz + K xy ⋅ mx /(K yy ⋅ my ) + Kbz ⋅ K z ⋅ mz /(K yy ⋅ my )
1 + K yy ⋅ ny + K xy ⋅ nx + Kbz ⋅ K z ⋅ nz
(6)
2. Poziomy hierarchiczne oraz typowe struktury MM UD
kształtowania wałów o małej sztywności
w stanie spręŜyście – odkształcalnym
Do kategorii systemowych zalicza się obiekty i procesy [14, 15] składające
się z oddzielnych części, elementów i obiektów, charakteryzujących się moŜliwością funkcjonowania całościowego (pełnego). Przy tym dowolny układ technologiczny wyróŜnia się pewnym zestawem charakterystyk: 1. Więziami układu
z otoczeniem (w rozpatrywanym przypadku to więzi z zakłóceniami i początkowym błędem półfabrykatu); 2. realizowanymi przez układ funkcjami, to znaczy
zagwarantowanie określonych w procesie technologicznym parametrów dokładności obróbki; 3. strukturą układu; 4. całością właściwości funkcjonalnych
i układu, które określane są charakterem transmitancji. Wymieniony zestaw
charakterystyk w pełni odpowiada układom technologicznym obróbki wałów
spręŜyście – odkształcalnych o małej sztywności i ich ММ, uwzględniających
właściwości układu sterowania w warunkach ustalonych i dynamicznych. Przy
rozpatrywaniu ММ układów dynamicznych obróbki części spręŜyście – odkształcalnych jako obiektów systemowych, uwzględniających pryncypialnie
Jakub Szabelski, Georgij Taranenko, Wiktor Taranenko
256
waŜne i jednocześnie róŜne cechy specyficzne funkcjonowania obiektu sterowania, celowe jest podejście informacyjne. Тakie podejście pokazuje, Ŝe uogólniony model matematyczny UD toczenia wzdłuŜnego jest najbardziej pełny, posiada duŜą informacyjność w hierarchii struktur i ММ układu dynamicznego,
umiejscowiony jest na І – najwyŜszym poziomie hierarchicznym (rys. 1).
GT(s)
I Model uogólniony
GT(s)
GT(s)
II Aproksymacja funkcji e-sτ
III Geometria skrawania
procesu obróbki
IV
GT1(s)
V
VI
B3
mXKx«1
KbzKz«1
Kκr=0
κr=90o
GT(s)
G’T1(s)
GT2(s)
Kκr=0
Kbz=0
Gsc(s)
GT(s)
A2≥0,078
GT2(s)
B1 '
A2'«0,077
A1 '
G’T1(s) G’T1(s)
B2 '
GT1(s)
GT2(s)
GT2(s)
GT2(s)
GT2(s)
Toczenie
Gsc (s)
Kκr≠0
κr≠90o
G’sc(s)
GT3(s)
G’sc(s)
GT3(s)
GT3(s)
GT 3(s)
GT 3(s)
Kκr=0
Kbz=0
GT 3(s)
Gsc (s)
Kκr=0
mXKx=0
Kxy=0
Gsc(s)
G’sc(s)
B2
B4
B3
Gsc (s)
B4
B9
Gsc1(s)
B2
B3
Gsc (s)
Szlifowanie wzdłuŜne
G’sc(s)
A1=0
B9
G’T1(s)
B3
G’sc(s)
A1 , B1
Gsc(s)
B1
A1=0
B2
GT2(s)
Kκr=0
κr=90o
A1 , B1
A2’=0
B4 '
GT2(s)
Gsc (s)
1. człon szeregu Pade
Kκr=0
mXKx=0
Kxy=0
G’T1(s)
GT2(s)
B4
Kxy«1
A1 , B1 A1 , B1
A2'≥0,078
G’T2(s)
B3 '
GT1(s)
VII
Kκr≠0
κr≠90o
A2«0,077
A1 , B1
A1 , B2
mXKx«1
2. człon szeregu Pade
B4
GT3(s)
GT3(s)
GT3(s)
GT3(s) Gsc(s) Gsc1(s) Gsc1 (s)
B2
Gsc (s)
B3
G’sc(s)
Szlifowanie
wgłębne
Toczenie
B10
B10
Szlifowanie Szlifowanie
wzdłuŜne
wgłębne
Rys. 1. Poziomy hierarchiczne MM układu dynamicznego obróbki wałów o małej
sztywności w stanie spręŜyście - odkształcalnym
Uogólniony model matematyczny GT (s) , znajdujący się na І poziomie hierarchicznym, odpowiada układowi równań i schematowi strukturalnemu [5]. Na
ІІ poziomie hierarchicznym uogólniony ММ według stopnia dokładności aproksymacji funkcji e − sτ przy jej rozkładzie w szereg Pade moŜna podzielić na dwa,
pierwszy z nich odpowiada zaleŜności (6) i uwzględnia dwa pierwsze człony
rozkładu funkcji e − sτ . Na ІІІ poziomie hierarchicznym ММ układu dynamicznego wzdłuŜnego toczenia wałów spręŜyście-odkształcalnych o małej sztywności
rozdziela się na dwa modele, dla pierwszego współczynnik Kκr ≠ 0 , κ r ≠ 90o ,
a dla drugiego Kκr = 0 , κ r = 90o , a transmitancje odpowiednio GT ( s), GT 3 ( s)
i współczynniki A1 , A1′ i B1 , B1′ , do których wchodzi Kκ r [16]. Na tym poziomie
znajdują się równieŜ ММ układu dynamicznego procesów szlifowania oscylacyjnego Gsc ( s ) i zewnętrznego wgłębnego Gsc′ ( s ) , które moŜna rozpatrywać jako
przypadki szczególne ММ UD obróbki tokarskiej, biorąc pod uwagę, Ŝe dla szlifowania oscylacyjnego Kκ r = 0 , Kbz = 0 i Kκ r = 0 , mx K x = 0 , K xy = 0 odpowiednio dla zewnętrznego szlifowania wgłębnego [16]. Na IV poziomie hierarchicznym znajdują się ММ układu dynamicznego obróbki tokarskiej
GT ( s ), GT′ 1 ( s ), GT 2 ( s ), GT′ 2 ( s ), GT 3 ( s ) , róŜniące się wartościami współczynników
A1 , A2 , A1′ i A2′ , dla UD szlifowania oscylacyjnego Gsc ( s ) i zewnętrznego wgłęb-
Zagadnienia modelowania właściwości dynamicznych procesów… 257
nego Gsc′ (s ) [16]. Na V poziomie hierarchicznym umiejscowione są ММ układu
dynamicznego, otrzymane bez uwzględnienia wpływu na dynamikę więzi pokazanej na rys. linią kreskowaną [16], jest to wpływ zamkniętego konturu sprzęŜenia zwrotnego przez współczynnik mx K x << 1 i transmitancję (1 − e − sτ ) na przyrost grubości warstwy skrawanej. Na VI poziomie hierarchicznym znajdują się
cząstkowe ММ układu dynamicznego bez uwzględniania jednego konturu wewnętrznego sprzęŜenia zwrotnego mx K x << 1 i bez uwzględniania wpływu odkształceń spręŜystych po współrzędnej Z na zmianę głębokości skrawania
K bz K z nz << 1 [16]. Na VII – najniŜszym poziomie hierarchicznym rozmieszczone
są cząstkowe ММ układu dynamicznego obróbki skrawaniem, uwzględniające
wpływ tylko odkształceń spręŜystych po współrzędnej Y na przyrost grubości
warstwy skrawanej ( K xy << 1) przy toczeniu [5], przy szlifowaniu zewnętrznym
wgłębnym i dwa róŜnorodne modele cząstkowe przy szlifowaniu oscylacyjnym
[16].
Fx1 ( s)
K Fx
GT ( s ), Gsc ( s), G 'sc ( s )
1
g y (s)
Fx1 ( s)
K Fx
e(s )
Fx1 ( s)
K Fx
GT (s)
1
e1 ( s)
Fx 2 ( s )
K e1
GT ( s ), Gsc ( s), G 'sc ( s )
1
g y (s)
Ke
g y (s)
Fx1 ( s)
K Fx
GT (s)
1
g y (s)
K Fx
2
e2 ( s)
Fdod ( s)
M sk (s)
K e2
K Fdod
GT (s)
g y (s )
Fdod 1 ( s )
K Fdod
1
Fdod i (s)
K Fdod
GT (s)
1
Fdod 2 ( s)
Fdod 1 ( s )
K M sk
GT ( s)
g y ( s)
M i (s)
K Fdod
K Fdod
KMi
g y ( s)
2
GT ( s ), Gsc ( s), G 'sc ( s )
g y (s)
i
M 1 ( s)
M 2 ( s)
K M1
GT ( s ), Gsc ( s), G 'sc ( s )
g y (s)
KM 2
Rys. 2. Struktury typowe MM układu dynamicznego obróbki wałów o małej sztywności
w stanie spręŜyście - odkształcalnym
Na rys. 2 przedstawiono typowe struktury UD kształtowania wałów spręŜyście-odkształcalnych o małej sztywności dla róŜnych siłowych oddziaływań
regulacyjnych, dla których typowe transmitancji OS przestawiono w [5, 16],
a współczynniki wzmocnienia według oddziaływań określane są zgodnie
z zaleŜnościami przytoczonymi w [5]. Dla UD toczenia wzdłuŜnego
z uwzględnieniem odpowiednich oddziaływań regulacyjnych mogą być wykorzystane wszystkie przedstawione struktury, dla szlifowania oscylacyjnego –
258
Jakub Szabelski, Georgij Taranenko, Wiktor Taranenko
struktury (rys. 2 a, b, h, i), dla zewnętrznego szlifowania wgłębnego – struktury
(rys. 2 h, i).
3. Wnioski
Jak wynika z przeprowadzonych badań, struktury dynamiczne ММ układów
technologicznych wałów o małej sztywności przy sterowaniu ich stanem spręŜyście - odkształcalnym zawierają obok członów inercyjnych charakterystycznych
dla ММ sterowania według posuwu, równieŜ człony przeciąŜeniowe. Występowanie członów przeciąŜeniowych w transmitancjach ММ zmniejsza inercyjność
OS według kanałów sterowania dodatkowymi oddziaływaniami siłowymi. NaleŜy podkreślić, Ŝe rozpatrzony opis matematyczny OS został wykonany przy
nieuwzględnieniu „małych” stałych czasowych, charakteryzujących właściwości
dynamiczne procesu skrawania i ekwiwalentnego układu spręŜystego. Takie
podejście jest uzasadnione, poniewaŜ w obwód UAS lub AC razem z obiektem
wchodzą takŜe automatyczne urządzenie sterujące i inne człony z „duŜymi”
stałymi czasowymi, których właściwości dynamiczne są bardzo istotne przy
rozwiązaniu zadania analizy stabilności i syntezy członów korygujących. Porównanie ММ obiektu dla róŜnorodnych oddziaływań sterujących umoŜliwia
stwierdzenie, Ŝe przy zastosowaniu dodatkowych oddziaływań siłowych obiekt
ma znacznie mniejszą inercyjność w porównaniu z przypadkiem sterowania
według kanału posuwu. Dzięki temu w UAS i AC stanu spręŜyście - odkształcalnego części zasadniczo moŜna uzyskać wyŜsze wskaźniki jakości sterowania
w dynamice i efektywnie przeciwdziałać zakłóceniom, wywołanym zmianą naddatku i twardości obrabianych półfabrykatów, zmieniając ich sztywność po długości obróbki.
Abstract
The paper presents general problem of systems mathematical modelling (MM)
focusing on dynamic system (DS) of machining. The model of low rigidity shafts
machining system as well as hierarchic levels and typical structures of MM DS
of machining low rigidity shafts in the elastic-deformable state were introduced.
Bibliografia:
[1] Adaptivnoje upravlenie stankami (in Russian) Pod red. B. S. Balakshina. –
М., Mashinostroenie, 1973. – 688 s.
[2] Solomencev J. M., Mitrofanov V. G., Taranenko V. A., Adaptivne riadenie
obrabacich strojov. Bratislava: ALFA, 1983. – 231 s.
Zagadnienia modelowania właściwości dynamicznych procesów… 259
[3] Besekerskij V. А., Popov Е. P., Teoria sistem avtomatitscheskogo regulirovanja (in Russian). – М.: Nauka, 1975. – 768 s.
[4] Abakumow A., Taranenko W., Zubrzycki J., Moduły programowe dla badania charakterystyk układu dynamicznego procesu skrawania. Zeszyty Naukowe Politechniki Rzeszowskiej NR 230 MECHANIKA, z. 67 - Modułowe Technologie i Konstrukcje w Budowie Maszyn, Rzeszów 2006. – s. 99 –
109.
[5] Taranenko W., Szabelski J., Taranenko G., Podstawy identyfikacji układu
dynamicznego toczenia wałów o małej sztywności. Pomiary. Automatyka.
Robotyka. Miesięcznik naukowo – techniczny, nr 2/2008, Warszawa 2008.
[6] Abakumov A., Taranenko V., Zubrzycki J., Modeling of characteristics of
dynamic system of turning process for axialsymetric shafts. V-th INTERNATIONAL CONGRESS “MECHANICAL ENGINEERING TECHNOLOGIES, 06” (MT-06) , September 20 -23. 2006, Varna, Bulgaria.
PROCEDINGS. Section III. s. 76 – 78.
[7] Kudinov V. A., Dynamika stankov. – М,: Mashinostroenie, 1967. – 267 s.
[8] Abakumov A., Taranenko V., Zubrzycki J. Wolos D., Controlling the dynamical system of machine tools by elastic-deformable shafts machining.
PROGRESSIVNEJE TECHNOLOGII i SISTEMI MASHINOSTROYENNIA: Mezdynarodnyj zbornik nautschnyh trudov. – Doneck: DonNTY,
2006. Vypusk. 32. – s. 272 -278.
[9] Taranenko W., Świć A., Technologia kształtowania części maszyn o małej
sztywności. Wydawnictwo Politechniki Lubelskiej, Lublin 2005.- 282 s.
[10] Abakumov A. M., Taranenko V. А., Dinamitscheskije svojstva uprugoj
sistemy pri upravlieni uprugodeformirovannym sostojanjem detalej maloj
zostkosti // Dynamika stanotchnych sistem i gibkih avtomatizirovanych proizvodstv (in Russian): Tezisy dokl. З-ey Vsesojuznoj nautsch.-techn.konf. –
Togliatti, 1988. - s. 334-335.
[11] Abakumov A. M., Taranenko V. А., Matematitscheskaya model procesja
totchenya detalej maloy zostkosti (in Russian) // Identyfikacja
i avtomatizacya technologitscheskich procesov w maschinostroyenii:
Sb.nautsch.tr.. – Kujbytschev, 1988. – s. 67-69.
[12] Abakumov A. M., Voronin P. А., Denkevic V. А. i dr., Matematitscheskaya
model procesja totchenya pri upravlienii prodolnoy podatchej i skorostju
schpindelya (in Russian) // NIImash. – Dep. V VINITI, 1978, № 2.
[13] Abakumov A. M., Voronin P. А., Denkevic V. А. i dr., Identifikcya processa prodolnego totschenya (in Russian) / Algoritmizacya i avtomatizacya
technologitscheskich procesov i promyschlennych ustanovok: Mezvuz. sb.
nautsch.tr. – Kujbytschev, 1974. –Vyp. 5. – s. 28 – 34.
[14] Taranenko V. A., Chub O. P., Sistemnyj podchod k sintezu GAL mechanoobrabotki (in Russian): Avtomatizacya procesov i upravlienie, Vestnik
SevGTU, Sevastopol: вып.7, 1997.
260
Jakub Szabelski, Georgij Taranenko, Wiktor Taranenko
[15] Cvetkov V. D., Sistemno-strukturnoye modelirowanye i avtomatizacya
technologitscheskich procesov (in Russian). – Minsk: Nauka i technika,
1979. – 261 s.
[16] Taranenko G., Taranenko V., Szabelski J., Świć A., Systemic analysis of
models of dynamic systems of shaft machinning in elastic deformable condition. Applied Computer Science Vol. 3, No 2, 2007, University of Zilina,
s. 115-138.
Recenzent: prof. Miron Czerniec