odwrócenie biegunów

Transmitancje małosygnałowe przetwornicy
●
∣
∣
G vg s =
v s 
v g s  d =0
G vd s =
v s 
d s  v g=0
Cel analizy


uzyskanie wiedzy
o zachowaniu układu
pobudzanego przebiegami
zmiennymi w czasie
(zarówno łagodnie, jak
i skokowo – w porównaniu
z okresem przełączania)
projektowanie sprzężenia
zwrotnego w sposób
poprawiający dynamikę
układu
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
9
Decybel
●
Jednostka wielkości względnych
(zwykle stosunku dwu wartości)
∣G ∣dB=20log10∣G ∣
●
Używany w odniesieniu do
wielkości bezwzględnych –
wymaga podania wartości
odniesienia
●
Wartości wyrażone w decybelach
są logarytmami, w związku z tym
stosują się do nich prawa działań
na logarytmach
log ab =log alog b
log a n =n log a
∣Z ∣
R base
5 Ω ⇔14 dBΩ
∣Z ∣dB=20 log 10
∣V ∣
V base
60 dBµV ⇔1000 µV=1 mV
∣V ∣dB=20 log10
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
10
Wielkości wyrażone w decybelach
w funkcji częstotliwości
●
●
●
Wykres funkcji potęgowej y = xn
w skali logarytmicznej jest prostą
o nachyleniu n
Decybel powstał przez
logarytmowanie, a więc skala osi
G w dB ma charakter
logarytmiczny
Jeżeli więc oś f będzie
logarytmiczna, to wykres
wyrażenia
n
∣G ∣dB=20 log10
 
 
f
f
=20 n log10
f0
f0
n
 
f
∣G ∣=
f0
będzie linią prostą
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
11
Pojedynczy biegun rzeczywisty – przykład
●
Transmitancja – z dzielnika
impedancyjnego
1
v 2 s 
ZC
sC
G s  =
=
=
=
v 1 s  Z CZ R 1
R
sC
1
=
1sRC
●
Znormalizowana postać
transmitancji pojedynczego
bieguna
G s =
1
1
s
ω0
1
ω0
1
ω 0=
RC
RC =
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
12
Graficzne przedstawienia transmitancji
●
Ponieważ s i G są liczbami zespolonymi, nie można narysować G = f(s)


●
Każde wymuszenie można rozłożyć na skończoną lub nieskończoną liczbę
składowych sinusoidalnych o różnych pulsacjach ω = 2πf


●
transmitancja widmowa pozwala analizować odpowiedź układu dla każdej
składowej z osobna
znając widmo wymuszenia, można przewidzieć odpowiedź układu liniowego
Tracimy σ – informację o tendencji do tłumienia/wzbudzania


●
transmitancję widmową łatwiej przedstawić graficznie, gdyż jest funkcją
tylko jednej zmiennej – pulsacji ω
podstawiając s = jω, z transmitancji operatorowej uzyskujemy widmową
musimy więc założyć, że wymuszenia mają amplitudę niezmienną w czasie
na pytanie, czy układ dojdzie do stanu opisanego transmitancją widmową,
musimy odpowiedzieć inaczej; są znane metody, które to umożliwiają
Transmitancja widmowa pozostaje jednak funkcją zespoloną

wymaga więc dwóch wykresów → wykresy Bodego (Bode plots)
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
13
Przedstawienia liczb zespolonych
●
Podstawowe
z =Re {z }+Im {z }
●
Współrzędne biegunowe
z =∣z∣ e j Arg {z }≡∣z∣ e j∢z
przy czym
∣z∣= √ [Re{z }]2+[Im {z }]2
Im{z }
Arg {z }≡∢ z =arctg
Re {z }
●
Pojedynczy biegun w lewej półpłaszczyźnie (left half-plane)
G (s )=
1
s
1+
ω0
⇒ s p =−ω 0 ⇒ LHP dla ω 0>0
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
14
Transmitancja widmowa bieguna
●
Podstawienie s = jω
1
G (s )=
1+
●
1
⇒ G ( j ω )=
s
ω0
1+ j
ω
ω0
Dla uproszczenia będziemy oznaczać
G ( f )≡G ( j 2 π f )=G ( j ω)
Wyodrębnienie części rzeczywistej i urojonej
1− j
G  j ω =
ω
ω0
1− j
2
 
2
1
−j ω
ω0
=
ω
ω0
Re {G  j ω }=
ω 2
ω0
 
1
1
Im {G  j ω }=−
●
ω
ω0
1

ω 2
ω0
 
1
Arg {G  j ω }=−arctg
ω 2
ω0
 
1
Moduł i faza transmitancji
∣G  j ω ∣=
ω 2
ω0
 
1
 
ω
ω0
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
15
Asymptoty charakterystyki amplitudowej
transmitancji bieguna
●
Dla ω ≪ ω0
ω
≪1 ⇒ ∣G  j ω ∣≈1 ⇒ 0 dB
ω0
●
Dla ω ≫ ω0
ω0
∣G  j ω ∣=
−1
 
ω
1
f
≫1 ⇒ ∣G  j ω ∣≈ ω =
ω0
f0
⇒ −20 dB/dec
1

ω 2
ω0
 
1
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
16
Dokładny przebieg w otoczeniu pulsacji
charakterystycznej
●
Dla f = f0
∣G  j ω 0∣=
●
1

1
=
⇒ −3 dB
2 2

1
ω0
ω0
∣G  j ω ∣=
1

ω 2
ω0
 
1
Dla f = 2f0 i f = f0/2

1 dB poniżej asymptot
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
17
Charakterystyka fazowa transmitancji bieguna
Arg {G  j ω }=−arctg
 
ω
ω0
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
18
Dokładne asymptoty charakterystyki fazowej
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
19
Uproszczone asymptoty charakterystyki fazowej
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
20
Biegun rzeczywisty – podsumowanie
G s =
1
1
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
s
ω0
21
Zero
●
Zero – tj. miejsce zerowe licznika
G s =1
s
ω0
s z =−ω 0

ω 2
ω0
 
Arg {G  jω }=arctg
 
∣G  j ω ∣= 1
ω
ω0
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
22
Zero w prawej półpłaszczyźnie
G s =1−
s
ω0
s z =ω 0
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
23
Odwrócony biegun
G s =
1
ω0
1
s
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
24
Odwrócone zero
G s =1
ω0
s
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
25
Iloczyn transmitancji
G 3 ω =G 1 ω ⋅G 2 ω 
●
W postaci biegunowej
G 1 ω =R 1 ω ⋅e
G 2 ω =R 2 ω ⋅e
G 3 ω =R 3 ω ⋅e
●
j θ 1 ω 
j θ 2 ω 
j θ 3 ω 
Iloczyn
G 3 ω  = R 1 ω ⋅e
j θ 1 ω 
j θ ω 
⋅R 2 ω ⋅e 2 =
j [θ 1 ω θ 2 ω ]
= [ R 1 ω ⋅R 2 ω  ] e
R 3 ω =R 1 ω ⋅R 2 ω 
∣R 3 ω ∣dB=∣R 1 ω ∣dB∣R 2 ω ∣dB
gdyż log ab =log alog b
θ 3 ω =θ 1 ω θ 2 ω 
●
Zarówno charakterystyki fazowe, jak i amplitudowe wielkości
wyrażonych w decybelach, sumują się
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
26
Wykres transmitancji złożonej
G s =
G0
1
1
=G 0⋅
⋅
s
s
s
1
1
1
ω1
ω2
ω2
  
1
s
ω1
G0 = 40 ↔ 32 dB
f1 = ω1/2π = 100 Hz
f2 = ω2/2π = 2 kHz
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
27
Biegun podwójny – układ RLC
G s =
v 2 s 
v 1 s 
1
=
1s
L
s 2 L C
R
1
1a 1 s a 2 s 2
L
gdzie a 1= , a 2=LC
R
G s =
●
Dla 4a2 ≤ a12 pierwiastki
mianownika s1 i s2 są rzeczywiste

●
W przeciwnym razie są zespolone,
co wymaga innego podejścia
można transmitancję przedstawić
jako złożenie transmitancji
dwóch biegunów
1
G s =
s
s
1−
1−
s1
s2
  
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
28
Uogólniona transmitancja podwójnego bieguna
G (s )=
1
s
s2
1+
+
Q ω0 ω2
lub
0
●
●
●
1
2ζ s s 2
1+
+
ω0 ω 2
przy czym
Q=
1
2ζ
0
Jeżeli współczynniki przy s są rzeczywiste i dodatnie, to parametry ω, Q, ζ
są również rzeczywiste i dodatnie
ω0 – pulsacja graniczna

odpowiada pewnej częstotliwości granicznej f0

może być interpretowana jako pulsacja rezonansowa (drgań własnych)
Q – dobroć


●
G (s )=
pierwiastki są zespolone gdy Q > 0,5
wpływa na przebieg charakterystyki częstotliwościowej w okolicy f0
ζ – współczynnik tłumienia


pierwiastki są zespolone gdy ζ < 1
wpływa na przebieg charakterystyki częstotliwościowej w okolicy f0
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
29
Parametry transmitancji obwodu RLC
G s =
1
1
G s =
s
s2
1
 2
Q ω0 ω
1s
0
f 0=
ω0
2π
=
1
2 π  LC
Q =R

L
s 2 L C
R
C
L
∣G  j ω ∣=
1
[   ]
ω
1−
ω0
2 2
2
 
1 ω
 2
Q ω0
ω ≪ω 0 ⇒ ∣G  j ω ∣≈1
ω ≫ω 0
−2

f
⇒ ∣G  j ω ∣≈
f0
ω =ω 0 ⇒ ∣G  j ω ∣=Q
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
30
Wpływ dobroci na przebieg charakterystyk
w pobliżu częstotliwości granicznej
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
31
Aproksymacja biegunów rzeczywistych
przy małej dobroci
G s =
1
Q < 0,5
s
s2
1

Q ω0 ω2
G s =
1s
L
s 2 L C
R
1
  
1
0
1
G s =
s
s
1
ω1
ω2
L /R ∓ L /R 2−4 L C ω 0 1∓  1−4Q 2
⇒ ω 1 , ω 2=
=
2L C
Q
2
Dla małych wartości Q ≪0,5
ω 1=
ω 0 1−  1−4Q 2
ω0
=Q
≈Q ω 0
Q
2
F Q 
ω 0 1  1−4Q 2 ω 0
ω0
ω 2=
= ⋅F Q ≈
Q
2
Q
Q
gdzie
FQ = 12  1  1−4Q 2
Dla Q < 0,3, F(Q) = 1 z dokładnością co najmniej 10%
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
32
Charakterystyki podwójnego bieguna
dla biegunów rzeczywistych
●
Każdy z biegunów powoduje
zmianę nachylenia o −20 dB/dec
ω 1≈Q ω 0
ω0
ω 2≈
Q
●
Dla obwodu RLC
ω 0=
1
 LC

Q =R

C
L
1
R
=
L C L
1
1
1
ω 2≈
=
L C
C RC
R
L
ω 1≈R
C
L

Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
33
Transmitancje przetwornicy odwracającej
●
●
Model obwodowy dla składowej przemiennej (wyprowadzenie w dalszej
części wykładu)
Transmitancje pozwalają obliczyć zmianę wyjścia dla danych zmian wejść
v s =G vd s  d s G vg s  v g s 
●
Przy czym
G vg s =
∣
v s 
v g s  d =0
G vd s =
∣
v s 
d s  v g=0
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
34
Wyprowadzenie transmitancji
wyjścia względem wejścia mocy (1)
D
D
1
D
V gV
M D  = −
j s  =
sLI
=
D
DD 
V
sDL
= − 2 1− 2
D
D R
= C
e s  =
−

∣
v s 
G vg s =
v g s  d =0
●
Ce
Le =

L
D 2
Modyfikacje:



interesują nas składowe
przemienne
z definicji d = 0
źródło przenosimy na stronę
wtórną
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
35
Wyprowadzenie transmitancji
wyjścia względem wejścia mocy (2)
R
Z RC
v s 
D
D
1sRC
G vg s  =
=
=− 
=− 
=
v g s  d =0 Z LZ RC
D sL
D sL
R
1

 R∥
 2 1sRC
2
sC
D
D
D
R
D
1
− 
=− 
D
L
RLC
D
L
LC
R s  2 s 2 2
1s 2 s 2 2
D
D
D R
D
R∥
∣
●
1
sC


Jest to transmitancja postaci
podwójnego bieguna
G vg s =G g0
1
s
s2
1

Q ω 0 ω2
0

z przyrównania współczynników
D
G g0 =− 
D
D
ω 0=
 LC
Q =D  R

C
L
Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12
36