model magnetohydrodynamicznego przepływu cieczy smarującej o

model magnetohydrodynamicznego przepływu cieczy smarującej o

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
32, s. 247-254, Gliwice 2006
ISNN 1896-771X
MODEL MAGNETOHYDRODYNAMICZNEGO PRZEPŁYWU CIECZY
SMARUJĄCEJ O WŁAŚCIWOŚCIACH NIENEWTONOWSKICH
W SZCZELINIE STOŻKOWEGO ŁOŻYSKA ŚLIZGOWEGO
W POLU MAGNETYCZNYM
MARIUSZ KOPROWSKI
Katedra Podstaw Techniki, Akademia Morska w Gdyni
Streszczenie. W artykule omówiony został model matematyczny przepływu
cieczy nienewtonowskiej o właściwościach lepkosprężystych, magnetycznych w
szczelinie stożkowego łożyska ślizgowego. W modelu zakłada się, że przepływ
cieczy smarującej jest stacjonarny, osiowo niesymetryczny, izotermiczny i
odbywa się w obecności zewnętrznego stałego pola magnetycznego. Ferroolej jest
cieczą ściśliwą, a jej lepkości dynamiczna zależy od temperatury, ciśnienia i pola
magnetycznego.
1.
WSTĘP
W pracy przedstawiono i omówiono model matematyczny stożkowego łożyska
ślizgowego smarowanego ferroolejem.
Łożyska stożkowe są grupą łożysk zdolnych do przenoszenia obciążeń osiowych
i promieniowych [11]. Wartość przenoszonej siły osiowej przez stożkowe łożysko ślizgowe
zależy od kąta rozwarcia tworzącej stożka stanowiącego czop łożyska. Obecnie stożkowe
łożyska ślizgowe znajdują największe zastosowanie w mechanice precyzyjnej (np.
w napędach dysków HDD). Istnieje jednak wciąż wzrastająca tendencja do stosowania tego
typu łożysk w maszynach przemysłowych. Magnetyczne stożkowe łożyska ślizgowe firmy
SKF stosowane są między innymi w układach próżniowych (dmuchawach) instalacji
odzyskującej odnawialną formę energii z morza zbudowanej w ramach programu badawczego
prowadzonego przez Międzynarodowy Instytut Oceaniczny PICHTR na Hawajach [15].
Ponadto prowadzone są badania nad możliwością zastosowania stożkowych łożysk
ślizgowych (magnetycznych) w lotniczych turbinach gazowych [16].
Według autora istnieje wiele przesłanek przemawiających za możliwością zastosowania
stożkowych łożysk ślizgowych smarowanych ferroolejem, np. w powyżej przytoczonych
przykładach.
Łożyska ślizgowe smarowane ferroolejem mogą pracować w warunkach dużych
prędkości obrotowych i przy dużych obciążeniach, a także w próżni. Ponadto ferroolej
posiada duże zdolności do tłumienia drgań [2], [12], [14]. Cecha ta byłaby szczególnie
pożądana w przypadku potencjalnego zastosowania stożkowych łożysk ślizgowych
w łożyskowaniu wałów turbosprężarek.
248
M. KOPROWSKI
2. MODEL GEOMETRYCZNY STOŻKOWEGO ŁOŻYSKA ŚLIZGOWEGO
W niniejszej pracy rozpatrywane jest stożkowe łożysko ślizgowe samowzbudne z osiowoniesymetryczną szczeliną smarną. Model matematyczny hydrodynamicznego smarowania
(MHD) stożkowego łożyska ślizgowego rozpatrywany jest na podstawie danych przyjętych
zgodnie z rysunkiem 1. W celu najwłaściwszego opisu przepływu ferrooleju w szczelinie
stożkowego łożyska ślizgowego przepływ ten powinien być rozpatrywany w układzie
współrzędnych stożkowych ϕ , y, x (rys.1, c). Współczynniki Lamego dla cienkiej warstewki
smarującej (rys. 2 ) w stożkowym układzie współrzędnych przyjmują następującą postać:
h1 = R0 + x cos γ + y sin γ , h2 = h3 = 1.
γ1
υ+π/2−γ
π/2−γ
Rc
ϕ
001
1
ee
002 υ
0 2
γ
(2.1)
Rp
e+sinυ
φ 0p
0c
ϕ
w
β
x
y
ε=f(x,ϕ,υ,γ,γ1)
ε=f(x,ϕ,υ,γ,γ 1)
a)
b)
α 3=x
A
R
α2
π/2
n
e3
α1=ϕ
n
e1
A
ρr
r0
α2=y
ϕ
ρr
r0
x3
x2
k
π/2
j
x1
x1
ε(x,ϕ,υ,γ,γ1)
α1
x
R0
α3
e1
γ
0
π/2e 2
c)
0
x2
0
i
d)
Rys. 1. Model geometryczny stożkowego łożyska ślizgowego, a) przekrój poprzeczny,
b) przekrój poziomy, c) powierzchnia stożkowa – schemat geometryczny, d) układ
współrzędnych krzywoliniowych na powierzchni stożka. Rp, Rc – promień panewki, czopa;
0p,0c–środek panewki, czopa; ε (ϕ , x, ϑ , γ , γ 1 ) –wysokość szczeliny; γ , γ 1 –kąty rozwarcia
czopa, panewki; ϑ –kąt przekoszenia czopa; e– mimośród; ϕ , y, x –współrzędne stożkowe;
x,y,z– współrzędne prostokątne; e1, e2, e3 –jednostkowe wektory kierunkowe, n –wektor
MODEL MAGNETOHYDRODYNAMICZNEGO PRZEPŁYWU CIECZY SMARUJĄCEJ...
jednostkowy normalny zewnętrznie do powierzchni bocznej stożka,
wysokość szczeliny smarnej
249
ε (ϕ , x , υ , γ , γ 1 ) –
3. MODEL MATEMATYCZNY
W przyjętym modelu hydrodynamicznym zakłada się, że przepływ lepkosprężystego
ferrooleju w polu magnetycznym w szczelinie łożyska stożkowego jest stacjonarny, osiowo
niesymetryczny i izotermiczny. Dla tak przyjętego modelu hydrodynamicznego przepływu,
ferrooleju w szczelinie łożyska stożkowego równanie zachowania pędu (3.2)
i równanie ciągłości (3.3) przyjmują ogólną postać następujących równań [2], [5], [7], [8]:
dv
1
ρ
= Div ( S ) + µ0 ( N ⋅ ∇ ) H + µ0 ( N × H ) ,
1
4
2
4
3
14243
2 4244
dt
{
14
3
2
3
(3.2)
div ( ρ v ) = 0 ,
(3.3)
1
4
gdzie:
m
v – wektor prędkości ferrooleju o współrzędnych: vϕ , v y , vx [ ] ,
s
A
N – wektor namagnesowania ferrooleju o współrzędnych: Nϕ , N y , N x [ ] ,
m
A
H – wektor natężenia pola magnetycznego o współrzędnych: H ϕ , H y , H x [ ] ,
m
µ0 – współczynnik przenikalności magnetycznej w próżni,
∇ – operator Nabla,
ρ – gęstość ferrooleju [kg/m3].
Wektor naprężeń S określony jest zależnością Rivilina Ericksena o następującej postaci:
S = − pI + η A1 + α1A1A1 + β A 2 ,
(3.4)
A1 = L + LT ,
(3.5)
A 2 = grada + ( grada ) + 2L ⋅ LT ,
(3.6)
T
∂v
,
∂t
L = gradv ,
a = L⋅v +
(3.7)
(3.8)
gdzie:
A1, A2 –tensory prędkości deformacji [s-1],
L – tensor jako gradient z wektora prędkości [s-1],
a – wektor przyśpieszenia o współrzędnych aϕ , a y , ax [
m
],
s2
p – ciśnienie hydrodynamiczne [Pas],
η – współczynnik lepkości dynamicznej oleju [Pas],
I – tensor jednostkowy o współrzędnych bezwymiarowych,
α , β – współczynniki opisujące lepkosprężyste własności ferrooleju [Pas2].
250
M. KOPROWSKI
W równaniu zachowania pędu człon oznaczony cyfrą 1 opisuje wpływ sił bezwładności
oleju w jednostce objętości na przepływ ferrooleju w szczelinie łożyska. Człon nr 2 z prawej
strony równania (3.2) określa wpływ sił lepkości i ciśnienia hydrodynamicznego w jednostce
objętości na przepływ ferrooleju w łożysku. Człony 3 i 4 opisują wpływ sił magnetycznych na
jednostkę objętości pochodzących z zewnętrznego pola magnetycznego przy czym człon nr 3
określa siły magnetyczne powstające w ferrooleju od wektora namagnesowania N. Wektor ten
zależy od ilości cząsteczek magnetycznych zawartych w ferrooleju oraz od wartości
przyłożonego zewnętrznego pola magnetycznego. Natomiast człon nr 4 określa wpływ sił
magnetycznych na jednostkę objętości wywołanych momentem magnetycznym. Człon ten
równa się zeru, gdy wektory N i H są równoległe. Sytuacja taka ma miejsce, gdy wartość
natężenia zewnętrznego pola magnetycznego jest na tyle duża, że wszystkie wektory
namagnesowania cząsteczek magnetycznych w ferrooleju ustawione są zgodnie z kierunkiem
jego działania. Ferroolej osiąga wówczas stan nasycenia.
Analizę wpływu zewnętrznego pola magnetycznego na rozpatrywany przepływ ferrooleju
w szczelinie stożkowego łożyska ślizgowego przeprowadzono na podstawie równań Maxwella. Równania te dla stałego pola magnetycznego przyjmują następującą postać [4], [6]:
rotH=0,
(3.9)
divB=0.
Dla ferrooleju obowiązuje poniższy związek:
B = µo ( H + N ) ≡ µoH (1 + χ ) = Hµ ,
gdzie:
H– wektor natężenia pola magnetycznego [H/m],
B– wektor indukcji magnetycznej [H/m],
N– wektor namagnesowania ferrooleju [A/m],
µo – współczynnik magnetyczny w próżni [H/m],
µ – współczynnik przenikalności magnetycznej ferrooleju [H/m],
χ – współczynnik podatności magnetycznej ferrooleju.
(3.10)
(3.11)
Zapisując równania (3.2), (3.3), (3.9), (3.10) w układzie współrzędnych stożkowych oraz
biorąc pod uwagę współczynniki Lamego określone wzorem (3.1), otrzymujemy układ
równań opisujący przepływ ferrooleju w szczelinie stożkowego łożyska ślizgowego w polu
magnetycznym. Podstawiając odpowiednie liczby kryterialne oraz zależności łączące
wielkości wymiarowe i bezwymiarowe, otrzymujemy ogólną postać układu równań
podstawowych w formie bezwymiarowej (tj. równanie ciągłości i wektorowe równanie
zachowania pędu). Sprowadzenie równań podstawowych do postaci bezwymiarowej
umożliwia pominięcie z równań członów mało istotnych, np. tysiąc razy mniejszych od
członów rzędu 1 oraz zastosowanie prezentowanego w pracy modelu matematycznego do
różnych typoszeregów stożkowych łożysk ślizgowych.
Liczby kryterialne oraz zależności łączące wielkości bezwymiarowe z wymiarowymi
wykorzystano w modelu:
vϕ = Uv1, v y = Uψ v2 , v x =
L1 =
ω Ro2ηo
U
v3 , y = ε o y1, x = Lx1, ρ = ρo ρ1, po =
,
L1
ε o2
ε
L
,ψ = o , α = α oα1, β = β o β1,η = ηoη1, gdzie :η1 = η1Bη1 pη1T ,
R0
Ro
ε = ε oε1 ( x1, ϕ ) ,η1 p = eξ po p1 ,η1B = eδ Bo B1 ,η1T = e −δ ToT1 , Dα =
α oU
β U
, Dβ = o ,
ηo Ro
ηo Ro
MODEL MAGNETOHYDRODYNAMICZNEGO PRZEPŁYWU CIECZY SMARUJĄCEJ...
Re =
µ N H
U ε o ρo
, R f = o o o , U = ω ( Ro + L cos α ) , 2b = L sin α .
ηo
po
Dla pola magnetycznego:
Hϕ = H o H1, H y = H o H 2 , H x = H o H 3 , Nϕ = N o N1, N y = N o N 2 , N x = N o N 3 ,
gdzie:
ρ o – charakterystyczna wymiarowa wartość gęstości ferrooleju,
ηo – charakterystyczna wymiarowa wartość lepkości dynamicznej ferrooleju,
Dα, Dβ – liczby Deboraha,
η1p –bezwymiarowa wartość lepkości dynamicznej ferrooleju zależnej od ciśnienia,
251
(3.12)
(3.13)
η1T –bezwymiarowa wartość lepkości dynamicznej ferrooleju zależnej od temperatury,
η1B –bezwymiarowa wartość lepkości dynamicznej ferrooleju zależnej od indukcji
magnetycznej,
–1
ξ –bezwymiarowy współczynnik opisujący zmiany lepkości dynamicznej [Pa ],
δ –bezwymiarowy współczynnik opisujący zmiany lepkości dynamicznej od indukcji pola
magnetycznego [T–1],
Br –bezwymiarowa liczba Brinkmana,
H1, H2, H3 –bezwymiarowa wartość składowych wektora natężenia pola magnetycznego,
L, R –wielkości zgodne z rysunkiem 1,
L1 – bezwymiarowa długość łożyska,
N1, N2, N3 –bezwymiarowa wartość składowych wektora namagnesowania ferrooleju,
No –charakterystyczna wartość wektora namagnesowania ferrooleju,
po – charakterystyczna wymiarowa wartość ciśnienia hydrodynamicznego,
po –bezwymiarowa wartość ciśnienia hydrodynamicznego,
Re – liczba Reynoldsa określająca rodzaj przepływu,
Rf –bezwymiarowa wartość ciśnienia magnetycznego,
m
U –prędkość obwodowa   ,
s
v1 , v2 , v3 –bezwymiarowa wartość składowych wektora prędkości,
ε –wysokość szczeliny w stożkowym łożysku ślizgowym (rys. 3),
ε
ψ –bezwymiarowa wartość stosunku o ,
R0
–1
ω –prędkość kątowa czopa łożyska [s ],
α o , β o – charakterystyczne wymiarowe wartości współczynników lepkosprężystości
ferrooleju.
Równania Maxwella (3.9) i (3.10) po oszacowaniu tzn. pominięciu członów rzęduψ ≈ 10−3
przyjmują następującą postać:
∂H 2
∂N
= 0, 2 = 0,
(3.14)
∂y1
∂y1
∂H1
∂H
oraz
= 0, 3 = 0.
(3.15)
∂y1
∂y1
252
M. KOPROWSKI
Wektorowe równanie zachowania pędu po uwzględnieniu równań (3.12) i (3.13) oraz
pominięciu członów rzędu ψ ≈ 10−3 przyjmuje następującą postać:
na kierunku ϕ :


∂v
∂v v ∂v
1
Reψρ1  Λ1v1 1 + v2 1 + 3 1 + Λ1v1v3 cos γ  =
∂ϕ
∂y1 L12 ∂x1 L1


1444444442444444443
1

∂v
∂
∂  ∂v 
∂   ∂v   ∂ 
= Λ1
( − p1 ) + η1 1  + Dα  Λ1 α1  1   +  2α1 1 ⋅
∂ϕ244
∂y1  ∂y1 
∂ϕ   ∂y1   ∂y1 
∂y1

14
4
3 14
4244
3 14444444244444443


2
2
3
4
 ∂v


∂v
∂v3 1 ∂v1
1
1 ∂v3  1
⋅  2 + Λ1 1 + Λ1v3 cos γ  + α1
+
− v1Λ1 cos γ   +
 Λ1
L1 ∂y1  L1
∂ϕ L1
∂ϕ L1 ∂x1
 ∂y1

 3
14444444444444442444444444444444
4
 1

 ∂ 
∂v ∂v
1 ∂   1 ∂v3 ∂v1  
 2 β1 
+α1  2 Λ1 cos γ +
Λ1 3 3 +

  + Dβ 
 L2
L1 ∂x1   L1 ∂y1 ∂y1  
∂y1 ∂ϕ

 ∂y1 
 1
14444444
244444443 1444442444443
4
5
∂v
∂v1 ∂v1 1
∂v
1 ∂v3  ∂ 2   v3 ∂v1
+ v2 1 +
+ Λ1v3 cos γ 1 − v1Λ1 cos γ
 + 2  β1  2
L1 ∂y1  ∂y1   L1 ∂x1
∂y1
∂y1 ∂ϕ L1
∂y1

1444444444444444
424444444444444444
3
+Λ1
5
  

∂v1 1
∂H
+ v1v3 Λ1 cos γ   + R f  Λ1 N1 1 +
∂ϕ L1
∂ϕ
 42444
   144
3
1444442444443
+ v1Λ1
6
5

 1
N 3 ∂H 1
1 ∂
+
( N1H 2 − N 2 H1  − ( N 3 H1 − N1H 3 ) ,
L1 ∂x1 2ψ ∂y1

 2
14444444444
4244444444444
3
+
(3.16)
6
na kierunku y:
2
2
2 
2 


∂p1
∂   1  ∂v3   ∂v1   
∂   1  ∂v3   ∂v1   
= Dα
α1  
 β1  
 +
  + 2 Dβ
 +
 ,
∂y1
∂y1   L12  ∂y1   ∂y1   
∂y1   L12  ∂y1   ∂y1   
 
 


na kierunku x:
v
 1 ∂

v ∂v
∂v
∂v
1
Reψρ1  1 Λ1 3 + v2 3 + 33 3 − v12 Λ1 cos γ  = − 
+ Λ1 cos γ  p1 +

∂ϕ L1 ∂y1 L1 ∂x1
 L1
 L1 ∂x1

+
+
∂   1 ∂v3  
η1 
  + Dα
∂y1   L1 ∂y1  
 1 ∂v3 ∂v3
 ∂   ∂v1   1 ∂v3   ∂ 
α1 2 
+
 α1  Λ1

 +
 L3 ∂x1 ∂y1
 ∂ϕ   ∂y1   L1 ∂y1   ∂y1 
 1


∂v
∂v1  1
1 ∂v2 ∂v3 
1 ∂v1
1 ∂ 
⋅  Λ1 3 +
− Λ1v1 cos γ   + α1  Λ1 cos γ +
 +α1
⋅
L1 ∂y1 ∂y1 
∂y1  L1
∂ϕ L1 ∂x1
L
∂
x


1 1
(3.17)
MODEL MAGNETOHYDRODYNAMICZNEGO PRZEPŁYWU CIECZY SMARUJĄCEJ...
2
 1 ∂v3 
 ∂v1 
⋅
 − Λ1α1 ( cos γ ) 

 L1 ∂y1 
 ∂y1 
+
2

 + Dβ

 1 ∂v ∂v
 ∂ 
1 ∂v1 ∂v1  
 2 β1  3 3 3 +
+

 L ∂x1 ∂y1 L1 ∂x1 ∂y1  
 ∂y1 

 1
  
∂v v ∂v
∂v
∂2   1
1
 β1  v3 3 + 2 3 + Λ1v1 3 − v12 Λ1 cos γ    + R f
∂ϕ
∂y 2   L13 ∂x1 L1 ∂y1 L1
  
1
+ Λ1R f
2
253
 N1 ∂H 3
+

1 + x1L1a ∂ϕ
N3 ∂H 3 
+
L1 ∂x1 
 ∂

1 ∂ 
(1 + x1L1 cos γ ) ( N 2 H 3 − N3 H 2 )   .
 ( N3 H1 − N1H 3 ) −

ψ ∂y1 
 ∂ϕ

(3.18)
Równanie ciągłości:
Λ1
∂ ( ρ1v1 ) ∂ ( ρ1v2 ) 1
1 ∂ ( ρ1v3 )
+
+ Λ1v3 cos γ + 2
= 0.
∂ϕ
∂y1
L1
L1 ∂x1
(3.19)
4. WNIOSKI I UWAGI KOŃCOWE
Końcowa postać równania zachowania pędu (3.16-3.18) i ciągłości (3.19) w formie
bezwymiarowej umożliwia szerszą analizę tych równań bez konieczności ograniczania się do
jednego typoszeregu łożysk (np. o danych wymiarach Rc (Rp), Lc (Lp) i kątach γ i γ1 ).
Wprowadzanie odpowiednio zmodyfikowanych współczynników Lamego (2.1) do
prezentowanych w pracy równań daje możliwość przejścia z układu równań adekwatnych dla
stożkowego łożyska ślizgowego do układu równań odpowiednich dla walcowego łożyska
ślizgowego. Przejście takie pozwala na weryfikację układu równań podstawowych
opisującego przepływ oleju w szczelinie stożkowego łożyska ślizgowego z układem równań
podstawowych odpowiednich dla łożysk poprzecznych (walcowych). Ponadto transformacja
taka umożliwia nam dokładniejszą analizę wpływu kształtu czopa i panewki łożyska
stożkowego na przepływ oleju w tego typu łożysku. Przejście z układu równań
podstawowych właściwego dla łożyska stożkowego do układu równań podstawowych dla
łożyska walcowego (poprzecznego) następuje, gdy wartość kątów γ i γ1 wynosi 900.
Człony oznaczone numerem 1 w równaniu zachowania pędu na kierunku ϕ (po obwodzie)
mnożne przez wyrażenie Reψ ≈ ( 0,01 ÷ 0,8) określają wpływ sił bezwładności na przepływ
oleju w szczelinie łożyska. W przypadku przyjęcia w modelu, że v1 ≈ v3 , wpływu tych sił nie
powinno się zaniedbywać w dalszej analizie [12]. Występowanie członu oznaczonego
numerem 2 w równaniu (3.16) wynika z osiowo niesymetrycznego przepływu ferrooleju w
szczelinie łożyska ślizgowego. Lepkość dynamiczna ferrooleju jest iloczynem trzech
lepkości: η1T , η1 p , η1B opisanych wzorem (3.12) uwzględniających wpływ temperatury,
ciśnienia i pola magnetycznego na jej wartość. Człony 4 i 5 w równaniu (3.16) mnożone
przez liczby Dα i Dβ określają wpływ własności lekspkosprężystych ferrooleju na jego
przepływ w szczelinie. Wówczas, gdy
Dα i Dβ =0, otrzymujemy klasyczny przypadek
smarowania łożyska stożkowego ślizgowego cieczą newtonowską. Człon numer 5 mnożony
rzez liczbę magnetyczną Rf w równaniu (3.16) przedstawia wpływ sił magnetycznych na
przepływ ferrooleju w łożysku. Liczba Rf przy obecnych technicznych możliwościach
wytworzenia pola magnetycznego rzędu B=0,002 T -0,07 T wnosi od 0 do 0,1 [12]. W
przypadku dużych wartości zewnętrznego pola magnetycznego lub założeniu, że
współczynnik podatności magnetycznej χ ferrooleju jest wielkością skalarną, część członu
nr 5 pochodząca od rotacji wektorów H i N (wzór nr 1, człon nr 4) w równaniu (3.16) zanika.
Sytuacja taka występuje również wtedy, gdy brak jest zewnętrznego pola magnetycznego.
254
M. KOPROWSKI
Równanie (3.17) obrazuje fakt, że ciśnienie po wysokości szczeliny nie jest stałe, a jego
zmiany zależą od właściwości lepkosprężystych ferrooleju. Oczywiście, wielkości tych zmian
mogą być niewielkie i zależą od lepkosprężystych współczynników α i β. Analiza równania
(3.18) jest analogiczna do analizy przeprowadzonej dla równania (3.16).
LITERATURA
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
A. Ceber.: Ob unduliaconnoj nieustojcziwosti ferrosmiektikow, Magnitnaja
Gidrodinamika, Vol. 4 (1991), s. 20-24.
A. Ceber.: Physical properties and model of magnetic fluids. 1, Magnitnaja
Gidrodinamika, Vol. 4 (1991), p. 25-39.
A. Miszczak.: Podstawy niekonwencjonalnej hydrodynamicznej teorii smarowania
poprzecznych łożysk ślizgowych, Zeszyty naukowe Akademii Morskiej w Gdyni, zeszyt
nr 49 (2003), s. 17-64.
E. Kącki.: Równania różniczkowe cząstkowe w zagadnieniach fizyki i techniki,
Wydawnictwo Naukow-Techniczne, Warszawa 1992.
Gamal M. Abel-Rahman.: Flow of a non-Newtonian power law through a conical
Bearing In an applied magnetic field, Applied Mathematics and Computation, Vol. 2
(1995), p. 349-399.
J. Dudziewicz.: Podstawy elektromagnetyzmu, WNT, Warszawa 1972.
K. Wierzcholski, D. Wissussek, A. Miszczak.: Estimation of equation for hydrodynamic
flow of Rivlin Ericksen fluid in the thin gap, System modeling control, Vol. 2 (1995), p.
349-399.
K. Wierzcholski, R. Janiszewski.: Ferromagnetishe Gleitlager, Schmierungstechnik, Vol.
11 (1980), p. 366-371.
K. Wierzcholski, R. Janiszewski.: Wybrane zagadnienia z magnetosprężystości i
magnetohydrodynamiki, Wydawnictwo Uczelniane Politechniki Lubelskiej, Lublin 1983.
K. Wierzcholski.: Mathematical Metod In hydrodynamic theory of lubricating,
Wydawnictwo Uczelniane Politechniki Szczecińskiej, Szczecin 1993.
K. Wierzcholski.: Random changes of temperature in slide bearing gap, Proceeding of
The Sixth International Congress on Thermal Stresses, Vol.1 (Wiedeń 2005), p.449-452.
K. Wierzcholski.: Teoria niekonwencjonalnego smarowania łożysk ślizgowych,
Wydawnictwo Uczelniane Politechniki Śląskiej, Szczecin 1995.
K. Wierzcholski.: The method of Lorent’s forces and energetistic method for magnetic
bearing capacity determination, ZEM, zeszyt nr 3-4 (1994), p. 607-615.
R. E. Rosensweig.: Ferrodynamics, Dver Publications, New York, 1997.
www.grc.nasa.gov
www.skf.com
MAGNETOHYDRODYNAMIC FLOW OF NON-NEWTONIAN LUBRICATING
FLUID IN CONICAL BEARING GAP IN MAGNETIC FIELD
In this paper was showed and discussed the magnetohydrodynamic (MHD) model of
lubricating fluid with non-Newtonian (e.g. ferroliquid) properties in conical slide bearing gap.
Here is presented the consideration of influence of permanent magnetic field on the basic
parameters of the lubricant. The flow of non-Newtonian magnetohydrodynamic lubricant in
conical slide bearing gap in magnetic field is described by equations of momentum
conservation, continuity equation and Maxwell’s equations in this mathematical model. The
mentioned equations are considered in conical coordinates (ϕ , y, x ) .