Przykład 10.1.

Przykład 10.1. Obliczenie momentu plastycznego przy zginaniu
Obliczyć momenty plastyczne przy zginaniu dla nast˛epujacych
˛
przekrojów i wartości granicy
plastyczności:
2a
c
r
a) σpl
= 2σpl
= 2σpl
C
6a
M
3a
2a
3a
r
c
= σpl
= σpl
b) σpl
6a
C
2a
M
2a
1
Rozwiazanie
˛
2a
c
r
a) σpl
= 2σpl
= 2σpl
C
6a
M
2a
3a
3a
Rozwiazywanie
˛
zadania zaczać
˛ należy od określenia położenia osi oboj˛etnej w stanie pełnego
uplastycznienia przekroju. Szukane położenie osi można znaleźć z równania równowagi sił
normalnych w przekroju. W dalszych obliczeniach założono, że szukana oś oboj˛etna przechodzi
przez środnik przekroju.
r
σ pl
Ar
x
M pl
d
Mpl
Ac
c
σ pl
y
r
c
σpl
Ar = σpl
Ac
=⇒
σpl Ar = 2σpl Ac
=⇒
Ar = 2Ac
gdzie
Ar
Ac
−
−
pole rozciaganej
˛
cz˛eści przekroju
pole ściskanej cz˛eści przekroju
2
Ponieważ
Ar + A c = A
gdzie
A = 2a · 8a + 6a · 2a = 28a2
−
pole przekroju poprzecznego
to
2Ac + Ac = A
1
Ac = A
3
=⇒
=⇒
Ac =
28 2
a
3
Stad
˛
Ac = 2a · d =
28 2
a
3
=⇒
d=
14
a
3
a < 6a, wi˛ec założenie dotyczace
˛ położenia osi oboj˛etnej jest poprawne.
Ponieważ d = 14
3
Równanie sumy momentów zginajacych
˛
w przekroju pozwala obliczyć szukana˛ wartość momentu plastycznego.
r
c
Mpl − σpl
|Sxr | + σpl
|Sxc | = 0
Mpl = σpl (|Sxr | + 2 |Sxc |)
=⇒
Sxr i Sxc oznaczaja˛ odpowiednio moment statyczny rozciaganej
˛
i ściskanej cz˛eści przekroju.
14
a − 6a
14
14
r
a − 6a − a + 2a · 6a − a · 3
=
Sx = 2a · 8a ·
3
3
2
7
4 2
4
112 3 16 3
336 + 16 3
352 3
2
= 16a · − a + a · − a = −
a − a =−
a =−
a
3
3
3
3
9
9
9
14
a
14
196 3
Sxc = 2a · a · 3 =
a
3
2
9
Tak wi˛ec
Mpl = σpl
196 3
352 3
a +2·
a
9
9
=
248 3
a σpl ≈ 82,667a3 · σpl
3
r
c
),
6= σpl
Z uwagi na nierówność wartości granicy plastyczności przy ściskaniu i rozciaganiu
˛
(σpl
a także z powodu niesymetryczności przekroju wzgl˛edem osi oboj˛etnej przekroju w stanie pełnego uplastycznienia, moment plastyczny przy zmienionym znaku b˛edzie miał inna˛ wartość.
Ten przypadek przedstawiony został na rysunku na nast˛epnej stronie. Tym razem założono, że
oś oboj˛etna przechodzi przez półk˛e przekroju.
3
f
Ac
Mpl
x
c
σ pl
M pl
Ar
r
σ pl
y
Wartości Ac i Ar oczywiście nie zmieniaja˛ si˛e, czyli
Ac = 8a · f =
28 2
a
3
7
f= a
6
=⇒
˛ położenia osi oboj˛etnej w stanie pełnego
Ponieważ f = 76 a < 2a wi˛ec założenie dotyczace
uplastycznienia było poprawne.
Stad
˛
2a − 76 a
7
1
7
r
Sx = 2a · 6a · 2a − a + · 6a + 2a − a · 8a ·
=
6
2
6
2
23
20
5
25
414 + 25 3 439 3
= 12a2 · a + a2 · a = 46a3 + a3 =
a =
a
6
3
12
9
9
9
49
7 − 76 a
c
= − a3
Sx = 8a · a ·
6
2
9
Tak wi˛ec
Mpl = σpl
439 3
49
a + 2 · a3
9
9
=
537 3
179 3
a σpl =
a σpl ≈ 59,667a3 · σpl
9
3
Podsumowujac
˛ można stwierdzić, że jeżeli moment zginajacy
˛ ma taki zwrot, że rozciagane
˛
sa˛ włókna górne przekroju, to uplastycznienie całego przekroju poprzecznego nastapi
˛ przy
wartości Mpl ≈ 82,667a3 · σpl , jeśli zaś moment zginajacy
˛ ma znak przeciwny, tj. rozcia˛
gane sa˛ włókna dolne, to uplastycznienie całego przekroju poprzecznego nastapi
˛ przy wartości
3
Mpl ≈ 59,667a · σpl .
4
c
r
b) σpl
= σpl
= σpl
6a
C
2a
M
2a
W tym przypadku ze wzgl˛edu na równość dopuszczalnych napr˛eżeń ściskajacych
˛
i rozciagaj
˛ a˛
cych położenie osi oboj˛etnej określone jest równaniami
r
σ pl
d
Ar
x
Mgr
Mgr
Ac
c
σ pl
y
s

1
· 4a · 6a
A
12

2

A
=
A
=
=
= a2 = 6a2
 c
r
2
2
2

1
(6a − d)2
d

 Ar = · 4a · 1 −
· (6a − d) =
2
6a
3
=⇒
(6a − d)2 = 18a2
=⇒
d2 − 12ad + 18a2 = 0
Stad
˛ wartość d wynosi
√
√
√
√
√
∆ = 144a2 − 4 · 18a2 = 144a2 − 72a2 = 72a = 6 2a
√
√ 12a − 6 2a
d=
= 3 2 − 2 a ≈ 1,757a
2
Wymiar s jest natomiast równy
√
√ i
2h
2
s = (6a − d) =
6a − 3 2 − 2 a = 2 2a ≈ 2,828a
3
3
5
=⇒
Momenty statyczne rozciaganej
˛
i ściskanej cz˛eści przekroju wynosza˛ odpowiednio:
√
√ √ 3
r
Sx = 2 2a · 3 2 − 2 a · − 2 − 2 a +
2
√
√ √ 1 4a − 2 2a 2 +2· ·
·3 2− 2 a· − ·3 2− 2 a =
2
2
3
√ √ 2 3
√ 3 3
= −9 2 2 − 2 a − 6 2 − 2 a =
√ 3
√ 2 √ 3
√ 2 √
9 2 + 12 − 6 2 a = − 2 − 2
12 + 3 2 a =
=− 2− 2
√ 3
√
√
√
= − 4 − 4 2 + 2 12 + 3 2 a = − 72 + 18 2 − 48 2 − 24 a3 =
√ √ = − 48 − 30 2 a3 = −6 8 − 5 2 a3 ≈ −5,574a3
√
√
1 √
1 √
Sxc = · 2 2a · 3 2a · · 3 2a = 6 2a3 ≈ 8,485a3
2
3
Wyznaczenie wartości momentów statycznych pozwala nam policzyć moment plastyczny.
h √ i
√ √ Mpl = (|Sxr | + |Sxc |) σpl = 6 8 − 5 2 a3 + 6 2a3 σpl = 48 − 24 2 a3 σpl =
√ = 24 2 − 2 a3 σpl ≈ 14,059a3 · σpl
6