biuletyn informacyjny instytutu techniki cieplnej

BIULETYN INFORMACYJNY
INSTYTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ
POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ
W A R S Z A W A
Nr 2/K.T.M.C.2
TEL. 215021
w.
32 i 48
NOWOWIEJSKA 25
październik 1965
Mgr i n ż . Stanisław C h r ó ś c i e l
Katedra T e o r i i Maszyn Cieplnych
NIEUSTALONE POLE TEMPERATURY W CIENKIM PRĘCIE UMIESZCZONYM
W OŚRODKU 0 ZMIENNEJ TEMPERATURZE, PRZY ZMIENNYM WSPÓŁCZYNNIKU
PRZEJMOWANIA CIEPŁA I PRZY OBECNOŚCI PROMIENIOWANIA
Przy pomiarach t u r b u l e n c j i prędkości oraz przy pomiarach
szybkozmiennych temperatur s t o s u j e s i ę druty oporowe, lub t e r moelementy r o z p i ę t e pomiędzy sztywnymi podstawkami. W bardziej
ogólnym przypadku wymiana c i e p ł a pomiędzy takim przetwornikiem
a badanym ośrodkiem odbywa s i ę przy zmiennym współczynniku
przejmowania c i e p ł a i przy zmiennej temperaturze ośrodka.
W dostępnej l i t e r a t u r z e nie ma rozwiązania równania
nieu-
s t a l o n e g o przewodnictwa cieplnego przy zmiennym a i zmiennej
temperaturze ośrodka.
W niniejszym artykule podano rozwiązanie tego problemu dla
przetwornika o dużej smukłości, t z n . o dużym stosunku d ł u g o ś c i do wymiaru poprzecznego, co p o z w o l i ł o na p r z y j ę c i e braku
gradientu temperatury na przekroju poprzecznym. P r z y j ę t o t a k że s t a ł o ś ć w ł a s n o ś c i f i z y c z n y c h materiału przetwornika.
Zagadnienie rozwiązane p o n i ż e j można w i ę c sformułować n a stępująco:
Cienki, jednorodny pręt o d ł u g o ś c i 2 1, stałym przekroju
s i obwodzie p, znajduje s i ę w ograniczonym ścianami ośrodku
gazowym o zmiennej w c z a s i e temperaturze T f ( t ) . Wymiana c i e p ł a
na powierzchni b o c z n e j pręta odbywa s i ę przez konwekcję i p r o -
- 2 mieniowanie. Współczynnik przejmowania c i e p ł a drogą konwekcji
« ( t ) j e s t funkcją czasu. Końce pręta mają s t a ł e temperatury
T , początkowy rozkład temperatury w p r ę c i e j e s t f ( x ) . Gęstość
materiału pręta ę , jego c i e p ł o właściwe e oraz współczynnik
przewodnictwa cieplnego ^ są znane i s t a ł e .
Zakładając początek o s i współrzędnych x, pokrywającej się
z osią pręta, na połowie długości pręta, można zestawić bilans
cieplny w jednostce czasu dla elementu pręta o długości dx.
Ciepło wymienione przez konwekcję
q = poc(t) [ T f ( t ) - T p ( x , t ) dx],
(i)
- T ( x , t ) - temperatura pręta.
Ciepło przewodzone wzdłuż o s i pręta
q = s*
32T ( x , t )
.
dx .
.
(2)
Ciepło wymieniane przez promieniowanie
%
gdziet
<5
Af
T^
£0p[(i^f)r
w 4 +
£fTf(t}4-Tp(x,t)4],
(3)
-
emisyjność powierzchni pręta,
s t a ł a Stefana-Boizmana,
współczynnik a b s o r p c j i promieniowania dla gazu,
temperatura ścian przy z a ł o ż e n i u , że są one doskonale czarne,
£ f - emisyjność gazu.
Ciepło idące na zmianę e n e r g i i wewnętrznej elementu pręta
3T_(x,t)
q = s <? c —
°
8t
W zależnościach ( 1 ) ,
(2),
(3),
i
dx .
( 4 ) użyto od razu pochodne
cząstkowe, zakładając a p r i o r i T p = T p ( x , t ) .
Zgodnie z przyjętymi powyżej znakami strumieni cieplnych
b i l a n s dla elementu pręta przedstawia s i ę następująoo
<łu =
qa +
qr
'
i5)
- 3 J e ż e l i założy s i ę , że [ T f ( t ) - T p ( x , t ) ] / T f ( t ) « 1 i uwzględn i a j ą c ( i ) , ( 2 ) , ( 3 ) , ( 4 ) i ( 5 ) otrzymuje s i ę równanie
3T p (x,t)
t)
a
at
f^-
gdzie
f. (t) =
i
'
f2(t)»Tf(t)+
Ł
+
+ t ± ( t ) f 2 ( t ) - Tp(x,t)]f
p<*(t) + 4 £ 5 p T - ( t ) 3
Ł
sec
£,©SV(t) 4
—
rMt) + 4 £ C T f ( t ) J
(1_Af)[T~TtT
(6)
(7)
-d-£f)
(8)
Wprowadzając nową zmienną
T ( x , t ) = T p ( x , t ) - Tq
(9)
można doprowadzić równanie ( 6 ) do p o s t a c i
t2(t) -
T0-T(x,t)
(io)
przy warunkach brzegowych
T ( l , t ) = T (— 1, t ) = 0
(ii)
i warunku początkowym
Hx,0) = f(x) - T
(12)
Wprowadzając nową zmienną
t
U{x,t) - T(x,t) e x p [ / f 1 ( e ) d e]
o
oraz przyjmując
(13)
t
Ut) - f1(t)[f2(t) - fjexp[jf1(e)dfl]
(14)
otrzymuje s i ę równanie
(15)
U(l,t) - U(-l,t) ^ o
(16)
U ( x , 0 ) - f ( x ) - T0 .
(17)
oraz
.W c e l u rozwiązania zagadnienia brzegowego (15) można oprzeć
s i ę na następującym t w i e r d z e n i u : Rozwiązanie równania n i e j e d norodnego (15) z warunkami (16) i (17) j e s t sumą rozwiązania
równania niejednorodnego ( 1 5 ) , przy zerowych warunkach i r o z wiązania równania jednorodnego, przy warunkach (16) i ( 1 7 ) .
W związku z tym rozpatrzone z o s t a j e równanie
J f i Ł * 1 . ą 32W(*,t) + g ( t )
at
3x
(18)
z warunkami
W ( l , t ) = W ( - l , t ) » W(x,0) »
0 .
(19)
S t o s u j ą c do ( 1 8 ) p r z e k s z t a ł c e n i e L a p l a c e ' a , wg którego o r y g i n a ł f u n k c j i przedstawia s i ę jako
e*t o«
f(|) - j J T /
p ( s )
exPs|d|
»
(20)
3-i<*>
a transformata
eo
P ( s ) - L [ f ( | )] - J
f ( | ) exp(-s|)d| ,
(21)
o
otrzymuje s i ę
U"(x,s) --|[0(x,s)
0 ,
(22)
tutaj
K(s\ = * • [ * ( * ) ] .
a
-
Po uwzględnieniu warunków brzegowych
U(x,s)
L[o(x,t)]
(19)
c o s hV
^ fa x
c o s h y -g ł
(23
)
- 5 S t o s u j ą c twierdzenie o s p l o c i e f u n k c j i , t z n .
jeżeli
P1(s) F2(s) ,
F(s) -
L ~ 1 [ f 1 ( s ) ] = Ę» 1 (t')
L-1[f2(s)]= v2{t)
to
,
i
L - ^ P i s ) ] « L ~ 1 [ p 1 ( « ) p 2 ( 8 ) ] - y ' f ł 1 ( t - 8)f2{B)&£>
(24)
0
można dla wyrażenia
K ( s ) cosh Y | x
s cosh
Yl
1
znaleźć o r y g i n a ł , posługując s i ę oryginałami wyrażeń K ( s )
c o s h x / s cosh y^g l'. J e ż e l i
cosh V ® x
a "
s cosh
-
^
'Vf t f .
t o można oprzeć s i ę tu na znanym twierdzeniu
*
L"1
gdzie
sQ
V
n=l
L v (s)J
r*(snh
Równanie
s = 0
o r a z
sn
u
~ "'n
2 _a_
x2
przy czym
<"
n
rozkładu
y ( s ) = O.
rzp
s coshy-j 1 - O '
ma p i e r w i a s t k i
(»)
expsnt ,
j e s t pierwiastkiem prostym
=(2n-i)f.
» ,
i
(26)
Uwzględniając ponadto, że
^
L-i^K|s)j =
J
X
(
(21)
B ) d 6
otrzymuje s i ę
oo
U(x,t) =
a
V
rt~1 *n
) n + 1 e o s ^ n f - / 31(8 )exp \ - < u n 2 Ą ( t - fl )1dfl .
V
L
1
J
0
(28)
Zagadnienie brzegowe
9V(x. t )
St
=
a
d2V(xft)
dx
(29)
przy warunkach brzegowyeh
V(l,t) = V(-l,t) - 0
(30)
oraz warunku początkowym
V ( x , 0 ) = f ( x ) - T0
ma rozwiązanie
(3i)
[s]
i
OO
jl
V(x,t) = L c o s ^ n f
j j [ f ( x ) ~ T 0 ]coa^ n ^ax.(32)
o
Rczwiązanie więc zagadnienia brzegowego (15) przy warun8
kach (16) i (17) ma p o s t a ć
«
i
XS(x,t)
- £
eos^n f
exp(^
)exp(^-|-)da+
n 2
+ J ,f [ f ( x ) - T 0 ] 008
JK
n 1 dx
(33)
Uwzględniając z a l e ż n o ś c i (13) i (14) oraz ( 9 ) otrzymuje
s i ę równanie pola n i e u s t a l o n e j temperatury d l a pręta w warunkach sformułowanych na wstępie
2 _at_
n ,2
TpU,t)-T0
2
<"n
o
"
*
/
+f/[
o
-
f ( x )
T
o ]
0 0 8 d x
J e ż e l i początkowy rozkład temperatury w p r ę c i e
-
T of
f(x,o)
t0
co
6
a
exp
f2(S)-T0
• A
J * i(t')dt'^
2
n 2
a6 d® .
(35)
średnia temperatura prętą w ostatnim przypadku wyrazi s i ę
następująco
i
r
exp[-Ji1(0)d9
f p ( t ) - T0
e)
iW l
f2(ay
- f
,
0
B
exp J f 1 ( t ' ) dt' * M ^ ^ J j d S .
W ogólnie dostępnej l i t e r a t u r z e np. [3], [4] podawane są
rozwiązania równania (15) przy różnych postaciach a?(t).
Uwzględniając f a k t , że w omawianym przypadku
f 2 ( t ) - TQ exp j f^(6>)d®
o
łatwo zauważyć, że rozwiązanie analityczne dla z a l e ż n o ś c i (34)
i (35) j e s t możliwe t y l k o przy pewnych, odpowiednio prostych
postaciach f ^ t ) , f g ( t ) i ae(t). Dla przykładu p o s t a c i 3t(t),
ac(t) = f 4 ( t )
d l a których i s t n i e j ą względnie p r o s t e rozwiązania a n a l i t y c z n e
są n a s t ę p i j ą c e [ 3 ] ,
W .
X ( t ) = const,
fn
ae(t) » w0t'i (n « -i, o, i, 2 . . . ) ,
a?(t) = W Q e x p ( - k t ) .
Z a l e ż n o ś c i (34) i ( 3 5 ) , poza n i e l i c z n y m i jak widać p o s t a ciami t ± ( t ) i f g ( t ) , mogą być stosowane t y l k o do o b l i c z e ń numerycznych przy użyciu maszyn cyfrowych.
Zaznaczyć n a l e ż y , że f u n k c j e f j U ) , f g ( t ) o r a z
3e(t) mają
pewne o g r a n i c z e n i a ; dyskusja i c h p o s t a c i wykracza poza zakres
n i n i e j s z e j pracy.
BIBLIOGRAFIA
iS
1 . Smirnow W . J . : Matematyka wyższa. Tom I I ; Tom IV c z ę ś ć 2 .
P.W.N. Warszawa 1962.
2 . Tichonow A . N . , Saraarski A . A . : Równania f i z y k i matematyczn e j . P.W.N., Warszawa 1963.
3 . Łyków A.W.t T i e o r i j a t i e p ł o p r o w o d n o s t i .
Gasudarstwiennoje
I z d a t i e l s t w o T i e c h n i k o - T i e o r e t l c z e s k o J L i t e r a t u r y . Moskwa
1952.
4 . Carslaw H . S . , Jaeger J . C . : Conduction of Heat i n S o l i d s .
Oxford, 1962.
Wyk. ZG Pf, z. 653, n. 100+20.
•