Formy kwadratowe

Formy kwadratowe
Definicja 1. Funkcję F : R n −→ R określoną wzorem
(∗)
F (x1 , x2 , . . . , xn ) =
n
X
aij xi xj ,
i,j=1
gdzie nie wszystkie współczynniki aij ∈ R (i, j = 1, 2, . . . , n) są równe zeru nazywamy formą kwadratową (w zapisie wielomianowym).
W szczególności w przestrzeni R 2 forma kwadratowa ma postać
F (x1 , x2 ) = a11 x21 + (a12 + a21 ) x1 x2 + a22 x22 ,
a w przestrzeni R3 postać
F (x1 , x2 , x3 ) = a11 x21 + (a12 + a21 ) x1 x2 + (a13 + a31 ) x1 x3 + a22 x22 + (a23 + a32 ) x2 x3 + a33 x23 .
W przypadku przestrzeni R 2 , R 3 można również używać odpowienio zmiennych (x, y), (x, y, z) w
miejsce (x1 , x2 ), (x1 , x2 , x3 ). Przykładem form kwadratowych w przestrzeni R2 i R3 są odpowidnio
np. funkcje
F (x, y) = x2 + y 2 ,
F (x, y, z) = x2 + xy − 3xz + 2yz − y 2 + z 3 .
Współczynniki aij formy F tworzą macierz A stopnia n, którą nazywamy macierzą formy kwadratowej.
Bez zmniejszania ogólności można założyć, że macierz A jest macierzą symetryczną. Rzeczywiście,
podstawiając bij = (1/2) (aij + aji ) (i, j = 1, 2, . . . , n) mamy bij + bji = aij + aji . Zatem
n
X
aij xi xj =
i,j=1
n
X
bij xi xj
i,j=1
przy czym macierz B o współczynnikach bij jest symetryczna. W dalszym ciągu będziemy zakładali,
że macierz formy kwadratowej jest macierzą symetryczną.
Przykład 1. Wyznaczyć macierz formy kwadratowej w postaci symetrycznej:
F (x1 , x2 , x3 ) = x21 − 2x1 x2 + 3x1 x3 − x23 .
Mamy b11 = 1, b12 = b21 = (1/2) · (−2) = −1, b13 = b31 = (1/2) · 3 = 3/2, b33 = −1, pozostałe
współczynniki są równe 0. Zatem


1 −1 32


B =  −1 0 0  .
3
0 −1
2
Niech BS będzie bazą standardową przestrzeni Rn . Wtedy współrzędne
wektora x = (x1 , x2 , . . . , xn )


x1


 x2 

w bazie BS są równe [x1 , x2 , . . . , xn ]BS . Przyjmując zapis x =  . 
 formę kwadratową (∗) możemy
 .. 
xn
przedstawić wzorem
F (x) = xT Ax,
1
gdzie A jest macierzą formy kwadratowej w bazie standardowej
Niech teraz F będzie formą kwadratową w przestrzeni R n i niech B będzie bazą tej przestrzeni różną
od bazy standardowej. Niech P będzie macierzą przejścia z bazy standardowej BS do bazy B. Wtedy
x = P y, gdzie y to współrzędne wektora x w bazie B. Zatem
F (x) = xT Ax = (P y)T A (P y) = y T P T AP y = y T By = G (y) .
Macierz B = P T AP nazywamy macierzą formy kwadratowej F w bazie B. Macierz B jest symetryczna.
Rzeczywiście, korzystając z własności transpozycji macierzy oraz symetryczności macierzy A mamy
B T = P T AP
T
= P T AT P T
T
= P T AP = B.
Przykład 2. Wyznaczyć macierz formy kwadratowej
F (x1 , x2 , x3 ) = x21 + 2x1 x2 + x2 x3
w bazie B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} i podać jej wielomianową postać.
Macierz symetryczna formy F w bazie standardowej ma postać

1 1

przejścia P z bazy standardowej do bazy B ma postać P =  1 1
0 0
bazie B ma postać






1 1 0


A =  1 0 12  . Z kolei macierz
0 12 0

1

0  . Tak więc macierz formy F w
0


1 1 1
4 7 2
1 1 1
1 1 0
  7 2



T
1 
P AP =  1 1 0   1 0 2   1 1 0  =  2 3 2  .
1
1 0 0
0 2 0
2 2 1
0 0 0
Zatem forma F w zapisie wielomianowym w bazie B ma postać
G (y) = 4y12 + 3y22 + y32 + 7y1 y2 + 4y1 y3 + 4y2 y3 .
Definicja 2. Forma kwadratowa F ma w bazie B postać kanoniczną, jeżeli jej macierz w tej bazie jest
macierzą diagonalną. Bazę B nazywamy bazą kanoniczną formy F . Formę F można wtedy zapisać w
tej bazie w postaci
n
X
bk yk2 .
k=1
Niech A bedzie symetryczną macierzą (rzeczywistą) formy kwadratowej F (x) = xT Ax. Ponieważ
macierz symetryczna jest ortogonalnie diagonalizowalna (patrz rozdział 4.7 Algebra liniowa. Definicje,
twierdzenia, wzory), więc istnieje macierz nieosobliwa P taka, że
P −1 AP = P T AP = D = diag (λ1 , λ2 , . . . , λn ) ,
gdzie λ1 , λ2 , . . . , λn są wartościami własnymi macierzy A niekoniecznie różnymi, a P = [v1 v 2 . . . , v n ]
gdzie v1 , v 2 , . . . , v n wektorami własnymi odpowiadającymi wartościom własnym λ1 , λ2 , . . . , λn , przy
czym ||v i || = 1, gdzie 1 ¬ i ¬ n. Wtedy w bazie B = {v 1 , v 2 , . . . , vn } mamy x = P y, gdzie y jest
wektorem współrzędnych x w bazie B. Zatem
F (x) = F (P y) = G (y) = (P y)T A (P y) = y T P T AP y = y T Dy =
n
X
i=1
Tym samym udowodniliśmy twierdzenie
2
λi yi2 .
Twierdzenie 1. Każda forma kwadratowa F (x) = xT Ax w przestrzeni R n ma bazę kanoniczną.
Baza kanoniczną może być złożona z wektorów własnych macierzy A.
Przykład 3. Korzystając z bazy wektorów własnych macierzy formy kwadratowej
F (x) = x21 + 6x1 x2 − 2x22 − 2x2 x3 + x23
sprowadzić F do postaci kanonicznej.


1 3 0


Macierz symetryczna A formy F ma postać A =  3 −2 −1  . Wartości własne macierzy A wyzna0 −1 1
czymy rozwiązując równanie det (A − λI) = 0. Mamy


1−λ
3
0


det (A − λI) =  3 −2 − λ −1  = (1 − λ) λ2 + λ − 12 = (1 − λ)(λ − 3)(λ + 4) = 0.
0
−1 1 − λ
Tak więc macierz A ma trzy różne wartości własne
λ1 = −4 ∨ λ2 = 1 ∨ λ3 = 3.
Wektor własny ui odpowiadający wartości własnej λi macierzy A wyznaczymy z równości
(A − λi I) ui = 0,
czyli rozwiązując układ równań





1 − λi
3
0
0
ui1


 

−2 − λi −1   ui2  =  0  .
 3
0
ui3
0
−1
1 − λi
Mamy kolejno


−3


u1 =  5  ,
1


1


u2 =  0  ,
3


−3


u3 =  −2  .
1


−3 1 −3


Zatem macierz przejścia z bazy standardowej do bazy B = {u1 , u2 , u3 } ma postać P =  5 0 −2  .
1 3 1
W konsekwencji macierz formy F w bazie kanonicznej ma postać






−3 5 1
1 3 0
−3 1 −3
−140 0 0



 

T
0 10 0  ,
P AP =  1 0 3   3 −2 −1   5 0 −2  = 
−3 2 1
0 −1 4
1 3 1
0 0 42
co w zapisie wielomianowym daje
G (y) = −140y12 + 10y22 + 42y32 .
Definicja 3. Mówimy, że forma kwadratowa F (x) = xT Ax jest
1. dodatnio określona, gdy F (x) > 0 dla każdego x ∈ Rn \ {0};
2. dodatnio półokreślona (nieujemnie określona) gdy F (x) ­ 0 dla każdego x ∈ Rn ;
3. ujemnie określona, gdy F (x) < 0 dla każdego x ∈ Rn \ {0};
4. ujemnie półokreślona (niedodatnio określona) gdy F (x) ­ 0 dla każdego x ∈ Rn ;
5. nieokreślona, gdy F (x) F (y) < 0 dla pewnych x, y ∈ Rn .
3
Definicja 4. Niech A będzie rzeczywistą macierzą symetryczną stopnia A. Mówimy, że macierz A jest
dodatnio określona, jeżeli forma kwadratowa F (x) = xT Ax jest dodatnio określona. Analogicznie definiujemy macierze dodatnio półokreślone, ujemnie określone, ujemnie półokreslone oraz nieokreślone.
Uwaga. Łatwo jest rozpoznać typ określoności formy (macierzy), gdy forma ta zapisana jest w postaci
kanonicznej. Przykładowo mamy:
(a) F (x1 , x2 ) = x21 + 2x22 – forma dodatnio określona;
(b) F (x1 , x2 ) = 3x22 – forma dodatnio półokreślona;
(c) F (x1 , x2 ) = −x21 − x22 – forma ujemnie określona;
(d) F (x1 , x2 ) = −x21 – forma ujemnie półokreślona;
(e) F (x1 , x2 ) = x21 − 2x22 – forma nieokreślona.
Warunki konieczne i dostateczne podaje następujące kryterium Sylvestera, w którym wykorzystujemy
minory główne wiodące macierzy formy kwadratowej tj.
D1 = a11 ,
D2 = det
"
#
a11 a12
a21 a22



, . . . , Dn = det 


a11
a21
..
.
an1
a12 . . . a1n
a22 . . . a2n
..
..
..
.
.
.
an2 . . . ann
Twierdzenie 2. (kryterium Sylvestera)
Forma kwadratowa F (x) = xT Ax, gdzie A jest macierzą symetryczną jest:






1. dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy
D1 > 0,
D2 > 0,
...,
Dn > 0.
2. ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy
D1 < 0,
D2 > 0,
...,
(−1)n Dn > 0.
Przykład 4. Zbadać określoność form kwadratowych:
(a) F (x1 , x2 , x3 ) = x21 + 3x22 + 7x23 + 2x1 x2 + 4x1 x3 ;
(b) F (x1 , x2 , x3 ) = −x21 − 2x22 − 3x23 + 2 (x1 x2 − x1 x3 + x2 x3 ).


1 1 2


(a) Macierz symetryczna formy F ma postać A =  1 3 0  . Mamy zatem
2 0 7
D1 = 1 > 0,
D2 = det
"
1 1
1 3
#
= 2 > 0,


1 1 2


D3 = det  1 3 0  = 2 > 0,
2 0 7
co wobec kryterium Sylvestera oznacza, że forma F jest dodatnio określona.


−1 1 −1


(b) W tym przykładzie macierz symetryczna formy F ma postać A =  1 −2 1  . Tak więc
−1 1 −3
D1 = −1 < 0,
D2 = det
"
−1 1
1 −2
#
= 1 > 0,

co wobec kryterium Sylvestera oznacza, że forma F jest ujemnie określona.
4

−1 1 −1


D3 = det  1 −2 1  = −2 < 0,
−1 1 −3