Instrukcja nr.3 - www.kms.pollub.pl

✐
✐
Document: ‘‘Exercise-03-manual’’ --- 2014/12/10 --- 8:54 --- page 1 of 8
✐
✐
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ
Wydział Mechaniczny
POLITECHNIKA LUBELSKA
lsk
a
INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3
Wybrane zagadnienia z optymalizacji elementów konstrukcji
TEMAT
Optymalizacja wielowarstwowych płyt laminowanych
1. CEL ĆWICZENIA
Lu
be
PRZEDMIOT
ch
ni
ka
Podstawowym celem ćwiczenia jest wyznaczenie optymalnego ułożenia włókien wzmacniających w ściskanej dwukierunkowo płycie prostokątnej wykonanej z laminatu wielowarstwowego. W toku ćwiczenia studenci zapoznają
się także z podstawowymi pojęciami klasycznej teorii kompozytów, a także
z metodami obliczeniowymi mechaniki materiałów kompozytowych.
2. PODSTAWY TEORETYCZNE
Po
l
ite
Jedną z istotniejszych zalet materiałów kompozytowych są ich bardzo dobre
względne parametry wytrzymałościowe tzn. wytrzymałość oraz sztywność
odniesione do gęstości materiału. Dzięki temu doskonale nadają się do budowy lekkich konstrukcji powłokowych np. przemysłu lotniczego, motoryzacyjnego itp. Są wykorzystywane także w budowie smukłych, wirujących
części maszyn, co do których oczekiwana jest niewielka bezwładność — np.
łopaty wirników turbin wiatrowych. Dodatkową zaletą laminatów wielowarstwowych jest możliwość zmiany wynikowych własności mechanicznych materiału (moduł Younga, moduł Kirchhoffa i współczynnik Poissona) poprzez
zmianę kąta ułożenia włókien wzmacniających względem kierunków obciążeń. A zatem orientacja włókien kompozytu, podobnie jak np. grubość elementu, może być parametrem projektowym w zadaniach konstrukcyjnych.
Można zatem mówić o swego rodzaju „projektowaniu materiału”.
— strona 1 z 8—
✐
✐
✐
✐
✐
✐
Document: ‘‘Exercise-03-manual’’ --- 2014/12/10 --- 8:54 --- page 2 of 8
✐
✐
lsk
a
Rozważmy cienką płytę wykonaną z symetrycznego, zrównoważonego laminatu wielowarstwowego o wymiarach a × b i grubości całkowitej h. Płyta
jest ściskana w kierunku osi Ox oraz Oy odpowiednio siłami λNx i λNy , gdzie
λ jest skalą (mnożnikiem) obciążenia. Zakładamy, że laminat składa się z N
lamin o jednakowej grubości t. Przyjmujemy ponadto, że kąty θk ułożenia
włókien wzmacniających poszczególnych warstw laminatu są ograniczone do
czterech wartości — tj.: 0◦ , 90◦ , +45◦ i −45◦ , przy czym kąt ten mierzony
jest od osi Ox globalnego układu współrzędnych — patrz Rysunek 1.
l Nx
y
Lu
be
z
l Ny
lNy
y
warstwa k
l Nx
x
1
z
2
zk
...
qk
...
b
ch
ni
ka
N/2
t=tk
k
2
1
x
a
płaszczyzna symetrii
Rysunek 1. Przykład płyty wykonanej z symetrycznego laminatu wielowarstwowego
Po
l
ite
W wyniku działania sił ściskających płyta ulega wyboczeniu, jeśli wartość obciążeń określonych przez współczynnik amplitudy λ osiągnie wartość
graniczną:
λ ¬ λkr = π 2
D11 (m/a)4 + 2(D12 + 2D66 )(m/a)2 (n/b)2 + D22 (n/b)4
,
(m/a)2 Nx + (n/b)2 Ny
(1)
gdzie m i n są liczbami naturalnymi odpowiadającymi liczbie pół-fal postaci
wyboczenia w kierunku odpowiednio osi x i y (patrz Rysunek 2) minimalizujących λkr .1
1
To znaczy jest to ta kombinacja par liczb m i n spośród wszystkich możliwych, dla
której wartość λkr jest najmniejsza.
— strona 2 z 8—
✐
✐
✐
✐
✐
✐
Document: ‘‘Exercise-03-manual’’ --- 2014/12/10 --- 8:54 --- page 3 of 8
✐
lsk
a
✐
Rysunek 2. Poglądowe postacie wyboczenia płyty ściskanej dwukierunkowo: (a) m = 1, n = 1; (b) m = 1, n = 2; (c) m = 2, n = 2
D11 = U1 V0 + U2 V1 + U3 V3 ,
D22 = U1 V0 − U2 V1 + U3 V3 ,
Lu
be
Występujące we wzorze (1) wielkości Dij są nazywane sztywnościami
płytowymi:
D12 = U4 V0 − U3 V3 ,
D66 = U5 V0 − U3 V3
(2)
ch
ni
ka
i są wyrażane za pomocą trzech wyrażeń całkowych V0D , V1D , i V3D oraz
pięciu niezmienników materiałowych Ui , i = 1 . . . 5.
Zmienne V zawierają informację o ustawieniu włókien θk w poszczególnych laminach względem osi płyty. Obliczane są na podstawie zależności:
h
Z2
V0D = z 2 dz =
− h2
N/2
N 2 X 3
1X
3
3
zk − zk−1
,
zk3 − zk−1
=
3 k=1
3 k=1
h
N/2
ite
Z2
V1D = z 2 cos 2θ dz =
Po
l
− h2
2 X 3
3
zk − zk−1
cos 2θk ,
3 k=1
(3)
h
Z2
N/2
V3D = z 2 cos 4θ dz =
− h2
2 X 3
3
zk − zk−1
cos 4θk ,
3 k=1
gdzie h = N · t jest grubością laminatu, zk odległością warstwy k od płaszczyzny symetrii płyty — patrz Rysunek 1.
Występujące w równaniach (2) niezmienniki Ui są funkcjami jedynie danych wytrzymałościowych materiału kompozytowego. Dane są zależnościa— strona 3 z 8—
✐
✐
✐
✐
✐
✐
Document: ‘‘Exercise-03-manual’’ --- 2014/12/10 --- 8:54 --- page 4 of 8
✐
✐
mi:
1
U2 = (Q11 −Q22 ),
2
1
U1 = (3Q11 +3Q22 +2Q12 +4Q66 ),
8
lsk
a
1
U3 = (Q11 +Q22 −2Q12 −4Q66 ),
8
(4)
1
U4 = (Q11 +Q22 +6Q12 −4Q66 ),
8
Lu
be
1
U5 = (Q11 +Q22 −2Q12 +4Q66 ),
8
gdzie występujące wyrażenia Qij są zredukowanymi sztywnościami płaskiego stanu naprężeń w lokalnym układzie współrzędnych 102 (patrz także
Rysunek 3):
 
σ1 



 
σ2
τ12



0
=
Q12 Q22
0

0
0
ch
ni
ka



Q11 Q12

Q66


ε1 






 ε2






(5)
γ12
gdzie występujący po lewej stronie wektor reprezentuje tensor stanu naprężenia, zaś wektor po prawej stronie reprezentuje tensor stanu odkształcenia.
E1
,
1 − ν12 ν21
E2
=
,
1 − ν12 ν21
ν12 E2
ν21 E1
=
,
1 − ν12 ν21
1 − ν12 ν21
Q12 =
Q22
Q66 = G12
ν21 = ν12 E2 /E1 .
(6)
ite
Q11 =
Po
l
W powyższych zależnościach E1 , E2 , ν12 , ν21 i G12 oznaczają odpowiednio
moduły Younga w kierunku ułożenia włókien wzmacniających (1) i w kierunku poprzecznym (2) (patrz rysunek 1), moduły Poissona i moduł Kirchhoffa.
Rozważmy zadanie optymalizacyjne polegające na znalezieniu takiego
ułożenia kolejnych N warstw laminatu, które odpowiada maksymalnej stateczności analizowanej płyty — tzn. maksymalnej wartości współczynnika
amplitudy λ.
Z uwagi na fakt, że kąty ustawienia włókien w poszczególnych warstwach
są ograniczone jedynie do czterech wartości (patrz str. 2) można wprowadzić
— strona 4 z 8—
✐
✐
✐
✐
✐
✐
Document: ‘‘Exercise-03-manual’’ --- 2014/12/10 --- 8:54 --- page 5 of 8
σ2
l0
γ12
τ21
τ12
2
σ1
✐
1
τ12
τ21
σ1
lsk
a
✐
σ2
l0
Lu
be
l2
l1
ch
ni
ka
Rysunek 3. Płaski stan naprężeń; odkształcenia ε1 = (l1 − l0 )/l0 ,
ε2 = (l2 − l0 )/l0 ; naprężenia styczne τ12 = τ21
Po
l
ite
zmienne całkowitoliczbowe xk przyjmujące wartość 0, 1, 2, lub 3 w zależności
od kąta ustawienia włókien θk w danej warstwie. W dalszych rozważaniach,
oraz w dołączonym oprogramowaniu komputerowym, przyjmuje się wartość
zmiennej xk równa 0 odpowiada kątowi θk = 0, oraz θk = 90◦ → xk = 1,
θk = 45◦ → xk = 2 i θk = −45◦ → xk = 3. Zaletą takiego zdefiniowania
zagadnienia jest istotne uproszczenie charakteru zadania optymalizacyjnego. Zmienne V0D , V1D i V3D — równanie (3) — mogą być bowiem wyrażone poprzez liniowe funkcje zmiennych opisujących kąty ułożenia włókien
w poszczególnych warstwach laminatu. Tym samym, w sposób liniowy od
tych zmiennych zależą sztywności płytowe Dij — patrz (2) i poszukiwana
zmienna stanu λ będąca miarą dopuszczalnego obciążenia płyty. Ostatecznie
zatem przedstawione zadanie poszukiwania ułożenia włókien w poszczególnych warstwach laminatu maksymalizującego jej stateczność jest zadaniem
programowania liniowego i może być wyznaczone jedną z dostępnych metod
rozwiązań.
Reasumując, sformułowane zadanie optymalizacyjne można zapisać następująco:
— strona 5 z 8—
✐
✐
✐
✐
✐
✐
Document: ‘‘Exercise-03-manual’’ --- 2014/12/10 --- 8:54 --- page 6 of 8
✐
✐
• wyznaczyć wektor zmiennych decyzyjnych
x = θ = {θ1 , θ2 , . . . , θk }T
k ∈ (1 . . . N/2)
(7)
• taki, aby
x
• wobec
θk ∈ (0◦ , 90◦ , 45◦ , −45◦ )
N/2
where k = 1, . . . , N/2,
N/2
(θk = 45◦ ) =
k=1
X
(θk = −45◦ )
k=1
(9)
(10)
Lu
be
X
(8)
lsk
a
max λ(m, n, x)
ch
ni
ka
Ograniczenie (9) narzuca poszczególnym zmiennym θ jedynie dozwolone
wartości kąta ułożenia włókien, zaś ograniczenie (10) odpowiada warunkowi
zrównoważenia laminatu (liczba warstw, w których kąt wynosi 45◦ musi
odpowiadać liczbie warstw, w których kąt wynosi −45◦ ).2 Występujące w (8)
parametry (m, n) odpowiadają możliwym postaciom wyboczenia płyty —
przed rozwiązaniem zadania postać deformacji nie jest bowiem znana. Z
uwagi na fakt, że wyższe postacie (np. m, n = 3, 4 itd. występują bardzo
rzadko, w praktyce wystarczy sprawdzić stateczność dla dowolnej kombinacji
liczba 1 i 2.
3. PRZEBIEG ĆWICZENIA
Po
l
ite
Prowadzący zajęcia przydzieli każdemu zespołowi laboratoryjnemu parametry geometryczne płyty kompozytowej i stałe wytrzymałościowe materiału
kompozytowego. Na podstawie otrzymanych danych studenci obliczają wartości niezmienników materiałowych Ui (patrz (4)) oraz zmiennych Vi (patrz
(3)) dla dopuszczalnych kątów θ. Otrzymane wyniki obliczeń skonsultować
z prowadzącym.
Następnie należy, korzystając z dowolnego edytora tekstu, utworzyć plik
ASCI ”dane.txt” z danymi do obliczeń optymalizacyjnych; wydruk wzorcowego plik z danymi zamieszczono na rysunku 4. Plik z utworzonymi danymi zapisać w przydzielonym folderze. Uruchomić program optymalizacyjny
2
Zrównoważenie laminatu powoduje, że działanie naprężeń normalnych nie powoduje
deformacji postaciowej γ12 próbki; również odwrotnie — działanie naprężeń stycznych nie
powoduje zmiany wymiarów liniowych — patrz rysunek 3
— strona 6 z 8—
✐
✐
✐
✐
✐
✐
Document: ‘‘Exercise-03-manual’’ --- 2014/12/10 --- 8:54 --- page 7 of 8
✐
a - wymiar płyty [ mm ]
ba - s t o s u n e k b / a [ -]
Nx - o b c i ą ż e n i e wzdłuż x ( na jedn . d ł u g o ś c i [ N / m ])
NyNx - s t o s u n e k o b c i ą ż e ń [ -]
t - g r u b o ś ć jednej w a r s t w y l a m i n a t u [ mm ]
E1 - m . s z t w y n o ś c i wzdłuż osi OX [ MPa ]
E2 - m . s z t w y n o ś c i wzdłuż osi OY [ MPa ]
G12 - m . s z t w y n o ś c i p o s t a c i o w e j [ MPa ]
v12 - wsp . P o i s s o n a
m_max - max liczba a n a l i z o w a n y c h p o s t a c i w y b o c z e n i a
n_max - max liczba a n a l i z o w a n y c h p o s t a c i w y b o c z e n i a
Lu
be
lsk
a
300
0.7
100
0.2
0.13
145500
900
6000
0.28
2
2
✐
Rysunek 4. Wydruk przykładowego pliku z danymi do obliczeń
ch
ni
ka
”kompozyt.exe”. Wyniki obliczeń (wartość współczynnika amplitudy obciążeń λ) odczytać z pliku ”wyniki.txt”, zaś z pliku ”konfiguracje.txt” odczytać
kolejność ułożenia warstw w rozwiązaniu optymalnym.
Powtórzyć obliczenia optymalizacyjne dla różnych proporcji obciążeń
ściskających (Ny /Nx ) w zakresie podanym przez prowadzącego. Wykonać
kilkanaście symulacji.
4. OPRACOWANIE WYNIKÓW
ite
Dane geometryczne i stałe materiałowe otrzymane od prowadzącego zestawić w Tabeli 1. W tabeli zamieścić ponadto wyniki obliczeń niezmienników
materiałowych Ui .
Wyniki obliczeń optymalizacyjnych zamieścić w Tabeli 2
Po
l
5. SPRAWOZDANIE
Sprawozdanie z realizacji ćwiczenia powinno zawierać:
1.
2.
3.
4.
Tabelkę identyfikacyjną.
Cel ćwiczenia.
Sformułowanie zadania optymalizacji wg. (7)-(10)
Zestawienie danych geometrycznych płyty i stałych materiałowych — Tabela 1
— strona 7 z 8—
✐
✐
✐
✐
✐
✐
Document: ‘‘Exercise-03-manual’’ --- 2014/12/10 --- 8:54 --- page 8 of 8
✐
✐
Tabela 1. Zestawienie danych do obliczeń
E2 =
G12 =
a=
b=
t=
Nx =
mmax
nmax
U2 =
U3 =
U4 =
U5 =
Lu
be
U1 =
ν12 =
lsk
a
E1 =
Tabela 2. Zestawienie obliczeń optymalizacji wielowarstwowej płyty
kompozytowej
...
λ
Ny
Nx
Liczba rozwiązań
ch
ni
ka
Ny /Nx
Rozwiązanie
Ułożenie warstw
...
Po
l
ite
5. Obliczenia niezmienników U1 . . . U5 i zmiennych V0 , V1 , V3 dla rozwiązania
optymalnego jednego z analizowanych przypadków (dowolnie wybrany o
różnym układzie warstw).
6. Tabelę 2 w wynikami obliczeń optymalizacyjnych.
7. Wnioski.
— strona 8 z 8—
✐
✐
✐
✐