Wielomiany Legendre`a

Wielomiany Legendre’a
grudzień 2013
Wielomiany Legendre’a
Wielomiany Legendre’a
grudzień 2013
Wielomiany Legendre’a
Funkcja tworząca
(4.1)
g(x, t) = √
∞
X
1
=
Pn (x)tn ,
1 − 2xt + t2
n=0
albo pamiętając, że x = cos θ
(4.2)
g(cos θ, t) = √
∞
X
1
=
Pn (cos θ)tn .
1 − 2 cos θ t + t2
n=0
jeżeli rozpatrzyć pole wytwarzane przez punktowy ładunek q
umieszczony na osi 0z w punkcie a (a 6= 0) – por. rysunek 1(a) – to
potencjał pola w punkcie P jest równy
(4.3)
φP =
1 q
,
4π0 rP
Wielomiany Legendre’a
potencjał dipola
z
6
P
r
+q r+a
θ
p0
(a)
rP
z
6
P
r +q r+a
θ
0
−q r−a
(b)
rP
z
6
P
r +q r+a
θ
s0
−2q +q r−a
rP
(c)
Rysunek: Proste konfiguracje ładunków, których potencjały wyrażają się
przez wielomiany Legendre’a
Wielomiany Legendre’a
ładunek poza początkiem układu
z
6 rP P
r
q
+q+a
θ
p
0
(a)
(4.4)
z
z
6 rP 6 rP P
P
r
r
q
q
+q+a +q+a θ θ −2qr
0
0
q
q
−q−a
+q−a
(b)
(c)
a2
a
rP2 = r2 + a2 − 2ar cos θ = r2 1 − 2 cos θ + 2 .
r
r
Oznaczając a/r przez t możemy przekształcić wzór (4.3) w
(4.5)
φP =
1 q
1
√
,
4π0 r 1 − 2 cos θ t + t2
a/r = t
Wielomiany Legendre’a
pod warunkiem że |t| < 1, a więc r > a,
(4.6)
φP =
1 q
1
√
.
4π0 r 1 − 2 cos θ t + t2
dla r < a. Zmienna t w tym przypadku będzie równa: t = r/a, a wzór
(4.4) to
r2
r
rP2 = r2 + a2 − 2ar cos θ = a2 1 − 2 cos θ + 2 .
a
a
Zapis, uwzględniający oba przypadki, uzyskamy wprowadzając
oznaczenia:
(4.7)
(4.8)
r>
= max(|r| , |a|)
r<
= min(|r| , |a|)
n
∞
1 q X
r<
φP =
Pn (cos θ)
.
4π0 r> n=0
r>
Wielomiany Legendre’a
Dipol
Jeżeli na osi 0z w punkcie o współrzędnej z = −a umieścić dodatkowy
ładunek elektryczny −q
(4.9)
n
∞
∞
1 −q X
−a
1 −q X
Pn (cos θ) tn =
Pn (cos θ)
,
φP =
4π0 r n=0
4π0 r n=0
r
Wielomiany Legendre’a
całkowity potencjał dipola
φ
=
=
n ∞ a n
1 qX
−a
Pn (cos θ)
− Pn (cos θ)
r
r
a→0;q→∞ 4π0 r
n=0
a·q=constans
a 3
a
1 q
2 P1 (cos θ) +
P3 (cos θ) + . . .
lim
r
r
a→0;q→∞ 4π0 r
φdipol =
lim
a·q=constans
=
2aq P1 (cos θ)
Md cos θ
=
.
4π0
r2
4π0 r2
(4.10)
Wielomiany Legendre’a
Kwadrupol
φkwadrupol =
lim
n
∞ a n
1 qX
−a
Pn (cos θ)
+ Pn (cos θ)
−2
4π0 r n=0
r
r
lim
a 4
a 2
1 q
2
P2 (cos θ) +
P4 (cos θ) + . . .
4π0 r
r
r
a →0;q→∞
a2 ·q=constans
=
a→0;q→∞
a ·q=constans
2
(4.11)
=
2a2 q P2 (cos θ)
Mkw 3 cos2 θ − 1
=
.
3
4π0
r
4π0
4r3
gdzie przez Mkw oznaczyliśmy iloczyn 4qa2 – moment kwadrupolowy.
Wielomiany Legendre’a
Funkcja tworząca i relacje rekurencyjne
∂g
+ (t − x)g = 0.
∂t
P∞
g(x, t) = n=0 Pn (x)tn (ze względu na jednostajną zbieżność można
różniczkować wyraz po wyrazie)
(4.12)
(4.13)
(1 − 2xt + t2 )
2
(1 − 2tx + t )
∞
X
n−1
nPn (x)t
n=0
+ (t − x)
∞
X
Pn (x)tn = 0.
n=0
Przyrównanie do zera współczynnika przy tn prowadzi do
(4.14) (n+1)Pn+1 (x)−(2n+1)xPn (x)+nPn−1 (x) = 0;
n = 1, 2 . . .
różniczkowanie funkcji tworzącej względem jej drugiej zmiennej
∂g
− t g = 0.
∂x
a podstawienie za g(x, t) szeregu (4.1) i przyrównanie do zera
współczynnika przy tn+1 daje związek rekurencyjny
(4.15)
(4.16)
(1 − 2xt + t2 )
0
0
Pn+1
(x) − 2xPn0 (x) + Pn−1
(x) − Pn (x) = 0;
Wielomiany Legendre’a
n = 1, 2, . . .
Kolejne związki rekurencyjne
różniczkując (4.14) względem x i eliminując z tak uzyskanej
0
0
tożsamości oraz z równania (4.16) raz Pn−1
(x) a raz Pn+1
(x):
(4.17)
0
Pn+1
(x) − xPn0 (x)
=
(4.18)
xPn0 (x)
= nPn (x).
−
0
Pn−1
(x)
(n + 1)Pn (x),
n = 0, 1, . . .
n = 1, 2, . . .
Dodając stronami (4.17) i (4.18) otrzymujemy związek
(4.19)
0
0
Pn+1
(x) − Pn−1
(x) = (2n + 1)Pn (x),
zmieniając w (4.17) wskaźnik z n na n − 1 i eliminując z tak
0
uzyskanego związku i związku (4.18) Pn−1
(x) otrzymamy
(4.20)
(1 − x2 )Pn0 (x) = nPn−1 (x) − nxPn (x).
n = 1, 2 . . .
0
Różniczkując raz jeszcze wzór (4.20) i podstawiając za Pn−1
(x)
z relacji (4.18) dostajemy równanie Legendre’a:
(4.21)
[(1 − x2 )Pn0 (x)]0 + n(n + 1)Pn (x) = 0.
n = 0, 1, . . .
Wielomiany Legendre’a
Inne pożytki . . .
. . . z funkcji tworzącej:
(4.22)
Pn (1)
=
1,
(4.23)
Pn (−1)
=
(−1)n ,
(4.24)
P2n+1 (0)
=
(4.25)
(−1)n P2n (0)
=
0,
1 · 3 · . . . · (2n − 1)
(2n − 1)!!
=
,
2 · 4 · . . . · (2n)
2n n!
n = 0, 1, 2, . . . .
nie zapominajmy. . .
Pn (−x) = (−1)n Pn (x).
(4.26)
Można też użyć funkcji tworzącej do wyliczenia normy wielomianów
Legendre’a, tzn. do wyliczenia całki
Z +1
Pm (x)Pn (x)dx = 0 dla n 6= m
−1
Wielomiany Legendre’a
(4.27)
∞
∞
X
X
1
n
=
Pn (x)t
Pm (x)tm .
1 − 2xt + t2
n=0
m=0
Całkując obie strony względem x w granicach od −1 do +1
Z +1
∞ Z 1
X
dx
def
2
(4.28)
I =
=
Pn (x)dx t2n dx.
2
−1 1 − 2xt + t
−1
n=0
Aby policzyć całkę po lewej stronie podstawiamy: u = 1 − 2xt + t2 .
2
Z
1
1 (1+t) du
== [ln(1 + t) − ln(1 − t)]
I =
2t (1−t)2 u
t
1
t2
t3
t2
t3
= . . . |t| < 1 . . . =
(t − + − . . .) − (−t − − − . . .)
t
2
3
2
3
∞
∞
2n+1
X 2
1 X 2t
=
=
t2n .
t n=0 2n + 1 n=0 2n + 1
Pozostaje już tylko porównanie współczynników potęg t2n ,
Z 1
2
(4.29)
Pn2 (x)dx =
.
2n
+1
−1
Wielomiany Legendre’a
Rozwijanie funkcji w szereg wielomianów Legendre’a
Potencjał elektrostatyczny układu dwu półkul.
(4.41)
V = V (r, θ) =
∞
X
αl rl Pl (cos θ),
l=0
def
Wprowadźmy zamiast nich współczynniki al = αl Rl /V0 . Wówczas
nasz potencjał (4.41) przybierze postać
(4.42)
V (r, θ) = V0
∞
X
l=0
al
r l
R
Pl (cos θ),
która dla r = R redukuje się do
(4.43)
V (R, θ) = V0
∞
X
l=0
al Pl (cos θ) =
V0
−V0
0 ¬ θ < π/2
π/2 < θ ¬ π,
Wielomiany Legendre’a
(z dokładnością do stałego czynnika) reprezentuje nic innego jak
rozwinięcie funkcji f (x) (przy x = cos θ):
1
0<x¬1
(4.44)
f (x) =
−1 −1 ¬ x < 0
w szereg wielomianów Legendre’a. współczynniki al
R1
Z
f (x)Pl (x)dx
2l + 1 1
=
(4.45)
al = −1
f (x)Pl (x)dx.
R1 2
2
P (x)dx
−1
−1
l
W naszym przypadku
al
(4.46)
Z 0
Z 1
2l + 1
(−1)Pl (x)dx +
(+1)Pl (x)dx
=
2
0
−1

0
l = 2k

Z 1
=
 (2l + 1)
Pl (x)dx l = 2k + 1.
0
Wielomiany Legendre’a
skorzystajmy z związku (4.19), który prowadzi do
1
Z
(4.47)
(2l + 1)
0
x=1
x=1
Pl (x)dx = Pl+1 (x)
− Pl−1 (x)
.
x=0
x=0
Wzory (4.22) i (4.25) prowadzą do
(4.48)
al=2k+1 = P2k (0) − P2k+2 (0) =
4k + 3
P2k (0)
2k + 2
i nasz potencjał (4.42), w obszarze pozostającym wewnątrz półkul to
V (r, θ)
(4.49)
= V0
= V0
∞
X
4k + 3
k=0
∞
X
2k + 2
(−1)k
k=0
P2k (0)
r 2k+1
R
P2k+1 (cos θ)
(4k + 3)(2k − 1)!! r 2k+1
P2k+1 (cos θ)
2k+1 (k + 1)!
R
r ¬ R, 0 ¬ θ ¬ π.
Gdyby interesowała nas sytuacja na zewnątrz półkul ?
Wielomiany Legendre’a
Drugie rozwiązanie równania Legendre’a
(4.62)
d
2 dy(x)
(1 − x )
+ l(l + 1)y(x) = 0
dx
dx
dla pierwszej, równej zeru, wartości własnej. Kładąc l = 0
d
2 dy(x)
(4.63)
(1 − x )
= 0.
dx
dx
Rozwiązaniem jest oczywiście y1 (x) = P0 (x) = 1 ale także– y2 (x) ,
spełniające:
(1 − x2 )y20 (x) = C ≡ 1
Z x
1
(4.64)
y2 (x) =
ds.
2
0 1−s
Wykonując całkowanie otrzymujemy
1 1 + x def
(4.65)
y2 (x; l = 0) = ln
= Q0 (x),
2 1−x
funkcję, dla której punkty x = ±1 stanowią punkty osobliwe, a która
stanowi funkcję Legendre’a drugiego rodzaju odpowiadającą wartości
własnej l = 0.
Wielomiany Legendre’a
Q1 (x)
(4.66)
Z x
ds
= y2 (x; l = 1) = P1 (x)
(1 − s2 )P12 (s)
Z x
ds
1 1+x 1
= x
=x
ln
−
.
s2 (1 − s2 )
2 1−x x
Kolejne Qn (x), dla n = 2, 3, . . . możemy wyliczyć z relacji
rekurencyjnej (4.14)
1 1
1+x
1
[3xQ1 (x) − Q0 (x)] =
(3x2 − 1) ln
− 3x
Q2 (x) =
2
2 2
1−x
1
1+x 3
(4.67)
=
P2 (x) ln
− P1 (x).
2
1−x 2
Kolejne iteracje prowadzą do ogólnego wyrażenia (|x| < 1)
1
1 + x 2n − 1
Qn (x) =
Pn (x) ln
−
Pn−1 (x)
2
1−x
1·n
2n − 5
2n − 9
−
(4.68)
Pn−3 (x) −
Pn−5 (x) . . . ,
3(n − 1)
5(n − 2)
gdzie suma kończy się na wyrazie zP0 (x) (dla n nieparzystych) lub
P1 (x) (dla n parzystych). funkcje Qn (x) mają określoną parzystość:
Qn (−x) = (−1)n+1 Qn (x).
Wielomiany Legendre’a
Wrońskian równania Legendre’a jest równy
1/(1 − x2 ). A zatem
(4.69)
W [Pn (x), Qn (x)] = Pn (x)Q0n (x) − Pn0 (x)Qn (x) =
1
.
1 − x2
Używając relacji (4.20) do wyeliminowania pochodnych Pn0 (x) i Q0n (x)
otrzymujemy prosty związek
(4.70)
Pn (x)Qn−1 (x) − Qn (x)Pn−1 (x) =
1
n
wiążący ze sobą dwie „sąsiednie” pary rozwiązań równania Legendre’a
stowarzyszone funkcje Legendre’a drugiego rodzaju, to
(4.71)
2 m/2
Qm
n (x) = (1 − x )
dm
Qn (x).
dxm
Stowarzyszone funkcje Legendre’a, zarówno Pnm jak i Qm
n mogą
wystąpić we wspomnianych wyżej problemach pola elektrostatycznego
w układzie współrzędnych elipsoidalnych, a wielomiany stowarzyszone
mogą być pomocne w konstrukcji potencjałów multipoli
magnetycznych.
Wielomiany Legendre’a