Matematyczne modele przepływu stosowane w interpretacji

Matematyczne modele przepływu
stosowane w interpretacji badań
znacznikowych
3.1
Wprowadzenie
Właściwości dynamiczne dowolnego systemu fizycznego charakteryzuje sposób,
w jaki przekształca on funkcję Cin (t) będącą oddziaływaniem zewnętrznym na
system w funkcję Cout (t) będącą reakcją systemu na to oddziaływanie. System ma
własności transformujące, dzięki czemu następuje przekształcenie funkcji wejścia
w funkcję wyjścia.
Interpretacja danych znacznikowych dla systemów podziemnych zasilanych opadami oparta jest na założeniu istnienia stałego przepływu wody. A. Zuber wykazał
[6], że jeżeli zmiany wydatku przepływu zachodzą w krótszych czasach niż średni
czas przepływu wody (wiek) to założenie stanu ustalonego daje dobre wyniki nawet
dla systemów o znacznej zmienności wydatku przepływu i objętości.
3.2
Podstawowe modele i ich parametry
Pomimo daleko idących uproszczeń, proste modele matematyczne pozwalają
często otrzymywać dobre rezultaty, potwierdzone w przypadkach w których czasy przepływu wody można porównać z czasami przepływów uzyskanymi innymi
metodami. Do opisu dynamiki przepływu wód podziemnych najczęściej stosowane
1
Modele EM, PFM, DM
Parametry:
Cout(t)
Cin(t)
EM t t
PFM t t
DM tt , Pe
Model EPM
Cin(t)
EM(PFM)
EPM tt , η
PFM(EM)
Cout(t)
Rysunek 3.1: Typy modeli stosowane w interpretacji badań znacznikowych.
są następujące modele matematyczne: model eksponencjalny (EM), model kombinowany (EPM) będący połączeniem modelu eksponencjalnego i tłokowego, model
tłokowy (PFM) i model dyspersyjny (DM).
Funkcje rozkładu czasu przebywania dla wszystkich tych modeli zawierają parametr będący średnim czasem przepływu znacznika tt , zwany także wiekiem.
1
Model tłokowy - Piston Flow Model (PFM)
W modelu tłokowym przyjmujemy, że wszystkie linie przepływu wody mają
taką samą prędkość i długość, czyli czasy przebywania w układzie wszystkich jego
elementów są takie same. Zakładamy, że hydrodynamiczna dyspersja i molekularna
dyfuzja wskaźnika są do pominięcia. Funkcja wagowa dla tego modelu dana jest
jako delta Diraca.
g(t ) = δ(t − tt )
(3.1)
Po podstawieniu do równania (1.9) otrzymujemy funkcję wyjściową
C(t) = Cin (t − tt ) exp(−λtt )
(3.2)
Z równania tego wynika, że znacznik, który został zainjekowany w czasie t − tt ,
opuszcza system w momencie t z koncentracją pomniejszoną przez rozpad radioaktywny w okresie tt . Średni czas przepływu wskaźnika tt równy średniemu czasowi
Rysunek 3.2: Schemat układu z przepływem tłokowym PFM [1].
przepływu wody, jest jedynym parametrem tego modelu. Model przepływu tłokowego opisuje z dobrym przybliżeniem przepływy płynów przez makroskopowo
jednorodne ośrodki porowate.
2
Model eksponencjalny - Exponential Model (EM)
W modelu eksponencjalnym rozkład prędkości strug opisany jest funkcją wy-
kładniczą. Oznacza to, że teoretycznie istnieją strugi wody o czasach przepływu od
zera do nieskończoności. W praktyce czasy takich przepływów mogą być krótsze
od 1 roku (jednostka czasu) ale mogą też wynosić kilkaset lat. Funkcja wagowa dla
Rysunek 3.3: Schemat układu z przepływem eksponencjalnym EM [1].
tego modelu jest funkcją eksponencjalną
g(t ) = t−1
t exp(−t /tt ).
(3.3)
0,35
tt = 3 lata
tt = 6 lat
tt = 12 lat
-1
g( t / tt ) [rok ]
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0
1
2
3
znormalizowany czas przepływu t / tt
4
Rysunek 3.4: Funkcje rozkładu czasu przebywania dla modelu EM.
Po podstawieniu do równania 1.9 otrzymujemy funkcję wyjściową
C(t) = t−1
t
∞
0
Cin (t − t ) exp(−t /tt ) exp(−λt )dt .
(3.4)
Średni czas przepływu wskaźnika tt równy średniemu czasowi przepływu wody jest
jedynym parametrem tego modelu.
3
Model dyspersyjny - Dispersion Model (DM)
Model dyspersyjny charakteryzuje funkcja rozkładu czasów przepływu opisana
rozwiązaniem jednowymiarowego równania dyspersji.
D
∂C
∂C
∂2C
=
−v
2
∂x
∂x
∂t
(3.5)
C - stężenie substancji, D -wsp. dyspersji całkowitej, v - wektor średniej prędkości
przepływu, t - czas. Funkcja wagowa dla tego systemu ma postać:
g(t ) = (4Πt /P ett )1/2 exp[−(1 − t /tt )2 tt P e/t ].
(3.6)
W modelu tym występuje pozorny parametr dyspersyjny oznaczony jako P e−1 =
D/vx, obszerna dyskusja dotycząca fizycznej interpretacji tego parametru przeprowadzona jest w [10]. Dyspersją hydrodynamiczną określamy wypadkowy efekt
różnych procesów fizycznych zachodzących w przepływających płynach. Zjawisko
dyspersji hydrodynamicznej polega ogólnie na tym, że każdy sztucznie wywołany
gradient stężenia jakiegokolwiek składnika zanika z biegiem czasu. W ogólności
0,6
tt = 3 lata, D/Vx = 0.5
tt = 6 lat, D/Vx = 1.0
tt = 12 lat, D/Vx = 0.1
0,5
-1
g( t / tt ) [rok ]
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0
1
2
3
4
znormalizowany czas przepływu t / tt
Rysunek 3.5: Funkcje rozkładu czasu przebywania dla modelu DM.
dyspersja hydrodynamiczna może zachodzić w różnych kierunkach, zawsze jednak
głównie w kierunku przepływu.
Rysunek 3.6: Schemat układu z przepływem dyspersyjnym DM i kombinowanym
EPM [1].
4
Modele kombinowane
Wszystkie z wymienionych wyżej prostych modeli możemy łączyć szeregowo, w
dowolnej kolejności, uzyskując tzw. modele kombinowane. W pracy rozpatrzyłem
tylko jeden z takich możliwych modeli - model (EPM), będący połączeniem modelu eksponencjalnego (EM) i tłokowego (PM). Część tłokowa modelu odpowiada
przepływowi przez strefę o napiętym zwierciadle wody. W modelu tym występuje
dodatkowy parametr oznaczony jako:
η=
Vw
Vw,EM
.
(3.7)
Jest to stosunek całkowitej objętości wody w systemie (Vw ) do objętości opisanej
modelem eksponencjalnym (Vw,EM ).
Funkcja wagowa dla tego modelu ma postać:
0,4
-1
g( t / tt ) [rok ]
tt = 3 lata, η = 1.25
tt = 6 lat, η = 1.5
tt = 12 lat, η = 1.15
0,3
0,2
0,1
−1
1-η
0,0
0
1
2
3
znormalizowany czas przepływu t / tt
4
Rysunek 3.7: Funkcje rozkładu czasu przebywania dla modelu EPM.
g(t ) =


(tt /η)−1 exp(−ηt /tt + η − 1) dla t tt (1 − η −1 )

0
dla t < tt (1 − η −1 )
Istnienie dodatkowego parametru rozszerza możliwości interpretacyjne, ale często
utrudnia jednoznaczną interpretację, gdyż przy zwiększonej liczbie parametrów
można równie dobrze dopasować różne ich wartości.
3.3
Model mieszany - mEM
W modelu tym zakładamy, że na całkowity przepływ w rzece składają się: stosunkowo wolny przepływ podziemny oraz szybki przepływ powierzchniowy. Przekładając to na koncentracje wskaźnika w rzece możemy napisać, że
Co = mCr + nCg
(3.8)
gdzie Co to koncentracja wskaźnika w rzece, Cr jest jego koncentracją w wodzie
opadowej na przestrzeni ostatniego roku, Cg jest koncentracją związaną z tzw. przepływem podstawowym w rzece (baseflow ), a n i m to udziały każdej ze składowych
Wejście
Cin
Przepyw powierzchniowy m
Cr
Cout
=
m. Cr
+
Przepyw podziemny
Cg
n
n . Cg
Wyjście
Cout
Rysunek 3.8: Model mieszany mEM
w całkowitej koncentracji Cout w rzece, stąd:
n + m = 1.
(3.9)
W przedstawionym modelu długoterminowa koncentracja Cg wyznaczana była
z modelu eksponencjalnego EM o długich średnich czasach przebywania od 7 do
11 lat.