Temat: Pochodna funkcji. Zastosowania

Transkrypt

Temat:
Pochodna funkcji.
Zastosowania
Anna Rajfura, Matematyka – semestr 1, WSZiM w Sochaczewie
1
Kody kolorów:
Ŝółty – nowe pojęcie
pomarańczowy – uwaga
2
Zagadnienia
1. Wprowadzenie pojęcia pochodnej.
2. Przedstawienie wzorów na pochodne
funkcji elementarnych i reguł
róŜniczkowania; przykłady.
3. Zastosowania pochodnej do badania
przebiegu zmienności funkcji.
3
Przypomnienie pojęć
• ciąg
• granica ciągu
4
Ciąg
Przykład. Wzór na ogólny wyraz ciągu:
an =
1
n
a1 = 1, a2 = , a3 = , a4 = , K
1
2
1
3
1
4
5
Ci ą g, granica ci ą gu
an =
1
n
a1 = 1, a2 = , a3 = , a4 = , K
1
2
1
3
1
4
an → ?
6
Ci ą g, granica ci ą gu cd.
an =
1
n
a1 = 1, a2 = , a3 = , a4 = , K
1
2
an → ?
1
3
1
4
1
n
→?
7
Ci ą g, granica ci ą gu cd.
an =
1
n
a1 = 1, a2 = , a3 = , a4 = , K
1
2
an → 0
1
3
1
4
1
n
→0
8
Granica ci ą gu cd.
an → 0
lim an = 0
n→ ∞
(czyt.: limes a n przy n dąŜącym do
nieskończoności równa się 0;
granica ciągu a n przy n dąŜącym do
nieskończoności wynosi 0)
9
→0
an → 0
1
n
lim an = 0
1
n→ ∞ n
n→ ∞
lim
=0
(czyt.: limes 1/n przy n dąŜącym do
nieskończoności równa się 0;
granica ciągu 1/n przy n dąŜącym do
nieskończoności wynosi 0)
10
an =
n
1
an
1
2
1
n
3
4
1/2 1/3 1/4
...
...
11
Wykres ci ą gu
an 2
an =
1
n
1
0
0
1
2
3
4
5
n
12
Wykres ci ą gu
an 2
an =
1
n
a11
0
0
1
2
3
4
5
n
13
Wykres ci ą gu
an 2
an =
1
n
a11
a2
0
0
1
2
3
4
5
n
14
Wykres ci ą gu
an 2
an =
1
n
a11
a2
0
0
1
2
3
4
5
n
15
Przypomnienie poj ęć cd.
• granica funkcji
16
Granica funkcji
y = f ( x)
Jaka jest granica ciągu wartości
yn → ?
f ( xn ) → ?
17
Granica funkcji w punkcie x 0
y = f (x )
Y
0
X
18
y = f (x )
Y
0
x0
X
19
y = f (x )
Y
0
x1
x0
X
20
y = f (x )
Y
0
x1
x2
x0
X
21
y = f (x )
Y
0
x1
x 2 x 3 ... x 0
X
22
y = f (x )
Y
y1
0
x 2 x 3 ... x 0
X
23
y = f (x )
Y
y1
0
x1
x 2 x 3 ... x 0
X
24
y = f (x )
Y
y3
y2
y1
0
x1
x 2 x 3 ... x 0
X
25
Ciąg argumentów x n :
xn → x0
Ciąg wartości:
yn = f (xn)
yn → ?
lim yn = ?
n→ ∞
26
granica ciągu wartości funkcji
to
granica funkcji
27
granica ciągu wartości funkcji
to
granica funkcji
granica ciągu y n =f (x n )
to
granica funkcji f(x)
28
Pochodna funkcji - idea
Niech
f : D → R,
x0 ∈ D ,
y = f ( x ),
Rozpatrujemy:
ciąg argumentów
x n → x0
oraz ...
29
Niech
f : D → R,
x0 ∈ D ,
y = f ( x ),
Rozpatrujemy:
ciąg argumentów
x n → x0
oraz
nie - ciąg wartości
f ( xn )
30
Niech
f : D → R,
x0 ∈ D ,
y = f ( x ),
Rozpatrujemy:
ciąg argumentów
x n → x0
oraz
( )
( )
f xn − f x0
ciąg ilorazów róŜnicowych
xn − x0
31
Granicę tego ciągu ilorazów
róŜnicowych nazywamy pochodną
funkcji w punkcie x 0 .
32
Pochodna funkcji
Definicja
Niech
f : D → R,
x0 ∈ D ,
(x n ) – taki ciąg, Ŝe x n ∈ D dla kaŜdego
n∈ N
+
oraz lim xn = x0
n→ ∞
33
Pochodna funkcji
JeŜeli istnieje skończona granica ciągu
ilorazów róŜnicowych niezaleŜna od
wyboru ciągu (x n ), to nazywamy ją
pochodną funkcji f w punkcie x 0
i piszemy
f ( x n ) − f ( x0 )
f ′( x 0 ) = lim
x n → x0
xn − x0
Koniec definicji
34
Pochodna funkcji - komentarz
Z tej definicji oraz twierdzeń
opisujących własności pochodnej
wyprowadza się wzory na pochodne
funkcji elementarnych podane dalej.
35
Pochodna funkcji jest równieŜ pewną
funkcją. NiŜej podano przykłady zapisu
pochodnej.
wzór funkcji
f ( x) = x + 1
2
36
Pochodna funkcji jest równieŜ pewną
funkcją. NiŜej podano przykłady zapisu
pochodnej.
wzór funkcji
f ( x) = x + 1
2
wzór pochodnej
f ′( x ) = 2 x
37
Pochodna funkcji - przykłady
wzór funkcji
g( x ) = e
wzór pochodnej
x
38
wzór funkcji
g( x ) = e
x
wzór pochodnej
x
′
g ( x) = e
39
wzór funkcji
g( x ) = e
x
wzór pochodnej
x
′
g ( x) = e
h( x ) = 5
40
wzór funkcji
g( x ) = e
h( x ) = 5
x
wzór pochodnej
x
′
g ( x) = e
h′( x ) = 0
41
Pochodna funkcji - terminologia
Wyznaczanie pochodnej funkcji f
nazywa się róŜniczkowaniem funkcji f.
RóŜniczkując daną funkcję będziemy
korzystać ze wzorów na pochodne
pewnych funkcji i reguł róŜniczkowania
pewnych wyraŜeń.
42
Wzory na pochodne funkcji
f (x) = c
Funkcja stała:
f ′( x ) = 0
Pochodna funkcji stałej:
Konwencja zapisu
( )' =
wzór funkcji
wzór pochodnej
funkcji
43
Pochodna funkcji stałej
′
(c )
=0
(1)
44
Przykład
′
(c )
Funkcja:
=0
(1)
f (x) = 3
Pochodna funkcji:
f ′( x ) = K
45
Przykład
′
(c )
Funkcja:
=0
(1)
f (x) = 3
Pochodna funkcji:
′
f ′( x ) = (3 ) = L
46
Przykład
′
(c )
Funkcja:
=0
(1)
f (x) = 3
Pochodna funkcji:
′
f ′( x ) = (3 ) = 0
47
Pochodna funkcji potęgowej
′
(x ) = α ⋅ x
α
α −1
(2)
α - stała, α ∈ R
48
Przykład
′
(x ) = α ⋅ x
α
α −1
(2)
Funkcja:
h( x ) = x
Pochodna funkcji:
3
, to
(α = 3)
h′( x ) = K
49
Przykład cd.
′
(x ) = α ⋅ x
α
α −1
(2)
Funkcja:
h( x ) = x
Pochodna funkcji:
3
(α = 3)
, to
′
( ) =K
h′( x ) = x
3
50
Przykład cd.
′
(x ) = α ⋅ x
α
Funkcja:
h( x ) = x
3
α −1
(2)
, to
(α = 3)
Pochodna funkcji:
′
( ) = 3x
h′( x ) = x
3
3−1
=K
51
Przykład cd.
′
(x ) = α ⋅ x
α
Funkcja:
h( x ) = x
3
α −1
(2)
, to
(α = 3)
Pochodna funkcji:
′
( ) = 3x
h′( x ) = x
3
3−1
= 3x
2
52
Pochodna funkcji wykładniczej
′
(a ) = a
x
a – stała, a
>
x
⋅ ln a
(3)
0
53
Przykład
′
(a ) = a
x
a – stała, a
Funkcja:
>
x
⋅ ln a
(3)
0
g( x ) = 2
x
, to
a = 2
Pochodna funkcji:
g ′( x ) = K
54
Przykład
′
(a ) = a
x
a – stała, a
Funkcja:
>
x
⋅ ln a
(3)
0
g( x ) = 2
x
, to
a = 2
Pochodna funkcji:
′
( )
g ′( x ) = 2
x
=K
55
Przykład
′
(a ) = a
x
a – stała, a
Funkcja:
>
x
⋅ ln a
(3)
0
g( x ) = 2
x
, to
a = 2
Pochodna funkcji:
′
( ) =2
g′( x ) = 2
x
x
⋅ ln 2
56
Pochodna funkcji logarytmicznej
′
1
(log a x ) =
x ⋅ ln a
(4)
a - stała, a > 0, a ≠ 1
57
Przykład
′
1
(log a x ) =
x ⋅ ln a
Funkcja: f ( x ) = log 2 x , to
(4)
a = 2
Pochodna funkcji:
′
f ′( x ) = (log 2 x ) = K
58
Przykład
′
1
(log a x ) =
x ⋅ ln a
Funkcja: f ( x ) = log 2 x , to
(4)
a = 2
Pochodna funkcji:
′
1
f ′( x ) = (log 2 x ) =
x ⋅ ln 2
59
Reguły ró Ŝ niczkowania
′
[a ⋅ f ( x )] = a ⋅ f ′( x )
a – stała,
a∈R
f (x) = 2 x
3
(5)
60
Przykład
′
[a ⋅ f ( x )] = a ⋅ f ′( x )
a – stała,
a∈R
f (x) = 2 x
3
′
( )
f ′( x ) = 2 x
3
(5)
′
( )
=2x
3
=K
61
Przykład
′
[a ⋅ f ( x )] = a ⋅ f ′( x )
a – stała,
a∈R
f (x) = 2 x
3
′
( )
f ′( x ) = 2 x
3
(5)
′
( )
=2x
3
= 2⋅ 3x = 6x
2
2
62
′
[ f ( x ) + g( x )] = f ′( x ) + g′( x )
(6.1)
Pochodna sumy równa jest sumie
pochodnych.
′
[ f ( x ) − g( x )] = f ′( x ) − g′( x )
(6.2)
Pochodna róŜnicy równa jest róŜnicy
pochodnych.
63
Przykład
′
[ f ( x ) + g( x )] = f ′( x ) + g′( x )
(6.1)
f (x) = 2 x + x
3
(
′
)
f ′( x ) = 2 x + x = K
3
64
Przykład
′
[ f ( x ) + g( x )] = f ′( x ) + g′( x )
(6.1)
f (x) = 2 x + x
3
(
′
′
) ( ) + (x)
f ′( x ) = 2 x + x = 2 x
3
3
′
=K
65
Przykład
′
[ f ( x ) + g( x )] = f ′( x ) + g′( x )
(6.1)
f (x) = 2 x + x
3
(
′
′
( ) + (x)
=2x
3
′
) ( ) + (x)
f ′( x ) = 2 x + x = 2 x
3
′
3
′
=
=K
66
Przykład
′
[ f ( x ) + g( x )] = f ′( x ) + g′( x )
(6.1)
f (x) = 2 x + x
3
(
′
′
′
( ) + (x )
=2x
3
′
) ( ) + (x)
f ′( x ) = 2 x + x = 2 x
3
1
3
= 2 ⋅ 3x + 1⋅ x
2
′
1−1
=
=K
67
Przykład
′
[ f ( x ) + g( x )] = f ′( x ) + g′( x )
(6.1)
f (x) = 2 x + x
3
(
′
′
′
( ) + (x )
=2x
3
′
) ( ) + (x)
f ′( x ) = 2 x + x = 2 x
3
1
3
= 2 ⋅ 3x + 1⋅ x
2
′
1−1
=
= 6x + 1
2
68
′
[ f ( x) ⋅ g ( x)] = f ′( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g′( x)
(7)
69
′
 f ( x) 
f ′( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g ′ ( x )
 g( x )  =
2
g (x)
(8)


70
Reguły ró Ŝ niczkowania *
{ g [ f ( x )] }
′
= g ′ [ f ( x )]⋅ f ′( x )
(9)
71
Zastosowania pochodnej
1. Badanie monotoniczności funkcji.
2. Wyznaczanie ekstremów lokalnych.
3. * Obliczanie granicy funkcji –
reguła de L’Hospitala.
4. Badanie przebiegu zmienności
funkcji.
72
Terminologia – uwaga 1.
f : ( a;b)→R
Dziedzina D f = (a ; b )
Zbiór wartości YW ⊂ R
Mówimy:
funkcja f określona na przedziale
(a ; b ), o wartościach rzeczywistych
73
Terminologia – uwaga 2.
JeŜeli f : ( a ; b ) → R i w kaŜdym
punkcie x∈
∈ ( a ; b ) istnieje pochodna
'
funkcji f (x), to mówimy:
funkcja f jest róŜniczkowalna na
przedziale (a ; b).
74
Badanie monotoniczno ś ci
Twierdzenie 1. Dana jest funkcja
f : ( a ; b ) → R róŜniczkowalna na
przedziale (a ; b).
Jeśli
∀x ∈ (a ; b)
f ′( x ) > 0, to
f ↑ na (a ; b)
∀x ∈ (a ; b)
f ′( x ) < 0, to
f ↓ na (a ; b)
∀x ∈ (a ; b)
f ′( x ) = 0, to
f
stala na (a ; b)
75
Diagram 1
a
b
76
Diagram 1
znak f
'
:
+
a
b
77
Diagram 1
'
znak f :
+
a
b
monotoniczność f :
78
Diagram 2
''
znak
znak ff : :
-
a
b
79
Diagram 3
znak f
'
:
0
b
a
funkcja stała
80
Ekstrema lokalne
Ekstrema lokalne: minimum, maksimum
Y
X
81
Minimum lokalne
Y
X
82
Minimum lokalne cd.
Y
x01
X
83
Maksimum lokalne
Y
X
84
Maksimum lokalne cd.
Y
x02
X
85
Ekstrema lokalne
Y
x01
x02
X
86
Wykrywanie ekstremów lokalnych
Twierdzenie 2. Niech funkcja
f : (a ; b ) → R
będzie róŜniczkowalna
na przedziale (a ; b). Jeśli f posiada
ekstremum lokalne w punkcie, x0 ∈ (a , b)
'
to wtedy f (x 0 ) = 0.
87
Wniosek z tw. 2
Warunek
f
'
(x 0 ) = 0
jest warunkiem koniecznym istnienia
ekstremum lokalnego w punkcie x 0 .
Nie jest jednak warunkiem
dostatecznym.
88
Wykrywanie maksimum lokalnego
Twierdzenie 3. Jeśli funkcja f : (a ; b ) → R
jest róŜniczkowalna na przedziale (a; b)
i dla pewnego x0 ∈ (a , b ) zachodzi f (x 0 ) = 0
'
oraz istnieje takie otoczenie U(x 0 ,r) ⊂ (a,
'
x
∈
(
x
−
r
,
x
)
0
0
b), Ŝe dla
f (x) > 0 , oraz dla
x ∈ ( x 0 , x 0 + r ) f ' (x) < 0, to funkcja f ma w
punkcie x 0 maksimum lokalne.
89
Diagram dla maksimum lok.
znaki f’:
monotoniczność f:
+
0
-
x0
maksimum
lokalne
90
Wykrywanie minimum lokalnego
Twierdzenie 4. Jeśli funkcja f : (a ; b ) → R
jest róŜniczkowalna na przedziale (a; b)
i dla pewnego x0 ∈ (a , b ) zachodzi f (x 0 ) = 0
'
oraz istnieje takie otoczenie U(x 0 ,r) ⊂ (a,
'
x
∈
(
x
−
r
,
x
)
0
0
b), Ŝe dla
f (x) < 0 , oraz dla
x ∈ ( x 0 , x 0 + r ) f ' (x) > 0, to funkcja f ma w
punkcie x 0 minimum lokalne.
91
Diagram dla minimum lok.
znaki f’:
monotoniczność f:
-
0
+
x0
minimum
lokalne
92
Przykład
f ( x) = x ⋅ e
(
−x
f ′( x ) = x ⋅ e
−x
′
)
=K
93
Przykład
(
f ′( x ) = x ⋅ e
−x
′
′  x
=  x  =K
e 
)
94
Przykład
(
f ′( x ) = x ⋅ e
−x
( )
′
′ x
x ′
′  x  (x) ⋅ e − x ⋅ e
= x =
=K
2
x
e 
e
)
( )
95
Przykład
(
f ′( x ) = x ⋅ e
(e )
x
′
−x
( )
′
′ x
x ′
′  x  (x) ⋅ e − x ⋅ e
= x =
=K
2
x
e 
e
)
( )
= e ⋅ ln e = K
x
96
Przykład
(
f ′( x ) = x ⋅ e
(e )
x
′
−x
)
= e ⋅ ln e = e
x
( )
′
′ x
x ′
′  x  (x) ⋅ e − x ⋅ e
= x =
=K
2
x
e 
e
( )
x
97
Przykład
(
f ′( x ) = x ⋅ e
=
1⋅ x
1−1
−x
)
′
(e )
x 2
′
( )
 x  (x) ⋅ e − x ⋅ e
= x =
2
x
e 
e
⋅e − x⋅e
x
′
x
( )
x
x
′
=
=K
98
Przykład
(
f ′( x ) = x ⋅ e
=
1⋅ x
1−1
−x
)
′
(e )
x 2
′
( )
 x  (x) ⋅ e − x ⋅ e
= x =
2
x
e 
e
⋅e − x⋅e
x
′
x
( )
x
=
1⋅ e − x ⋅ e
x
(e )
x 2
x
x
′
=
=K
99
Przykład
(
f ′( x ) = x ⋅ e
=
1⋅ x
1−1
−x
)
⋅e − x⋅e
x
(e )
x 2
( )
′
′ x
x ′
′  x  (x) ⋅ e − x ⋅ e
= x =
=
2
x
e 
e
( )
x
=
1⋅ e − x ⋅ e
x
(e )
x 2
x
(
1 − x) ⋅ e
=
(e )
x 2
x
=K
100
Przykład
(
f ′( x ) = x ⋅ e
=
1⋅ x
1−1
−x
)
⋅e − x⋅e
x
(e )
x 2
( )
′
′ x
x ′
′  x  (x) ⋅ e − x ⋅ e
= x =
=
2
x
e 
e
( )
x
=
1⋅ e − x ⋅ e
x
(e )
x 2
x
x
(
)
1− x ⋅e
=
(e )
x 2
=
1− x
= x
e
101
Przykład
1− x
f ′( x ) = x
e
102
Przykład
1− x
f ′( x ) = x
e
f ′( x ) > 0 ⇔ x < 1
f ′( x ) < 0 ⇔ x > 1
f ′( x ) = 0 ⇔ x = 1
103
Przykład cd.
+
znaki f’:
monotoniczność f:
F u n k c j a f (x) = x ⋅ e − x j e s t :
f ↑ dla x < 1
f ↓ dla x > 1
0
-
x0=1
maksimum
lokalne
d l a x = 1 p r z y j m u j e m a k s i m u m l o k a l n e o wa r t o ś c i
ymax = f (1) = 1 ⋅ e
−1
1
=
e
104
Reguła de L'Hospitala *
Tw 4. Jeśli granica ilorazu funkcji lim
x→ x
0
jest wyraŜeniem nieoznaczonym typu
lub
∞ 
∞ 
 
f ( x)
g( x )
0
0
 
oraz istnieje granica ilorazu
pochodnych tych funkcji lim
x→ x
0
lim
x → x0
f ′( x )
g ′( x ) ,
to
f ( x)
f ′( x )
= lim
g( x )
x → x 0 g ′( x )
105
Uwaga *
Tw. 4 jest prawdziwe dla x 0
skończonych oraz dla x0 = ±∞ , a takŜe
dla granic jednostronnych.
Przykład
lim
x⋅e
−x
=
x→+ ∞
= lim
x→+ ∞
lim
x→+ ∞
1
ex
x
ex
H
=
lim
x→+ ∞
′
)
(x)
′
(e )
x
=
=0
106
Badanie przebiegu zmienności funkcji
Dla funkcji danej wzorem y=f(x):
1. Dziedzina
2. Punkty wspólne z osiami układu
współrzędnych
3. Granice funkcji; asymptoty
4. Pochodna funkcji; monotoniczność,
ekstrema
5. Tabelka
6. Wykres
107
Przykład. Funkcja dana jest wzorem:
1
f ( x) =
2
1− x
1. Dziedzina: 1 − x ≠ 0
2
1− x = 0
2
⋅ (−1)
x −1 = 0
2
(x − 1) ⋅ (x + 1) = 0
x = 1 lub
x = −1
Dziedzina D = R-{ -1, 1 }
UWAGA. Badanie tylko dla argumentów dodatnich.
108
2. Punkty wspólne z osiami układu:
z osią OX:
1
f ( x0 ) = 0 ⇔
=0
2
1 − x0
x ∈∅
Wykres nie przecina osi OX, zatem
miejsca zerowe nie istnieją.
109
z osią OY: dla
1
x = 0 f (x ) = 0 ⇔
=1
2
1− 0
Punktem wspólnym z osią OY jest
A(0, 1).
110
3. Granice funkcji:
1
 1 
=
= 0,
lim
2

x → +∞ 1 − x
− ∞
1
 1 
=
= 0,
lim
2

− ∞
x → −∞ 1 − x
1
1
1
= lim
=  −  = − ∞,
lim
2
0 
x →1+ 1 − x
x →1+ (1 − x ) ⋅ (1 + x )
1
1
1
= lim
=  +  = + ∞,
lim
2
0 
x →1− 1 − x
x →1− (1 − x ) ⋅ (1 + x )
Komentarz, jakie granice obliczać.
111
Asymptoty
x = 1, asymptota pionowa obustronna,
y = 0, asymptota pozioma obustronna.
112
4. Pierwsza pochodna
′
2
2 ′
 1  1′ ⋅ 1 − x − 1 ⋅ 1 − x
f ′( x ) = 
=
=
2
2 
1− x 
1 − x2
(
=
(
)
0 ⋅ 1 − x 2 − 1 ⋅ (0 − 2 x )
(1 − x )
2 2
D la kaŜdego x ∈ D
) (
( )
=
)
2x
(1 − x )
mamy (1 − x )
2 2
2 2
> 0 , za tem
znak po chodnej za leŜy tylko od znak u
w yraŜenia 2x w lic zni ku pochodnej.
113
Znaki pochodnej:
f ′( x ) < 0 ⇔ 2 x < 0 ⇔ x < 0
f ′(x ) > 0 ⇔ 2 x > 0 ⇔ x > 0
f ′(x ) = 0 ⇔ 2 x = 0 ⇔ x = 0
znak f ':
monotoniczność f:
-
-1
0
+
+
0
1
min. lok.
114
Monotoniczność funkcji:
f ( x ) ↓ dla
x ∈ ( − ∞; − 1
f ( x ) ↑ dla
x ∈ ( 0; 1
f(x)
p osiada
)
)
oraz
oraz
mini mum
x ∈ ( − 1; 0 ),
x ∈ ( 1; + ∞ ),
l okalne
w
punkcie
x 0 = 0, pr zy c zym y m i n = f(0) = 1.
115
Tabela
x
0
(0 ; 1)
f '(x)
0
+
min.
f (x)
1
(1 ; + ∞ )
+
+∞
0
x = 1
lok.
as. pion.
y m i n =1
obustr.
- ∞
116
116
Wykres
Y
4
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
5
X
-2
-3
117

Temat: Pochodna funkcji. Zastosowania

Transkrypt

Podobne dokumenty

Powiatowy Urząd Pracy w Sochaczewie

Regulamin rekrutacji on-line na studia w Wyższej Szkole

Zarządzenieotwiera się w nowym oknie

Wzór strony tytułowej pracy zaliczeniowej „Tytuł pracy”

2.Uchwała nadanie nazwy dla ronda_Braci

Zaświadczenie od pracodawcy - Moduł II

formularz aplikacyjny

HARMONOGRAM ZJAZDÓW rok szkolny 2010/2011 Szkoły

Badanie fizykochemiczne i bakteriologiczne wody W Powiatowej