Laboratorium optycznego przetwarzania informacji i holografii

Laboratorium optycznego
przetwarzania informacji
i holografii
Ćwiczenie 4. Badanie optycznej transformaty
Fouriera
Katedra Optoelektroniki
i Systemów
Elektronicznych, WETI,
Politechnika Gdańska
Gdańsk 2006
Ćwiczenie 4. Badanie optycznej transformaty Fouriera
1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z właściwościami optycznej transformaty Fouriera,
sprawdzenie twierdzeń dotyczących przekształcenia Fouriera a zwłaszcza twierdzenia o próbkowaniu
funkcji dwuwymiarowej.
2. Optyczna transformata Fouriera
Optyczną transformatę Fouriera realizuje soczewka SF w układzie optycznym
z rys. 1.
Rys. 1. Realizacja optycznej transformaty Fouriera. Obiekt przed soczewką SF.
Aby w płaszczyźnie tylnej ogniskowej powstała optyczna transformata Fouriera muszą
być spełnione następujące warunki:
•
obiekt musi być oświetlony monochromatyczną falą płaską,
•
obiekt musi być umieszczony w przedniej płaszczyźnie ogniskowej soczewki SF realizującej
transformatę Fouriera,
•
ekran, na którym obserwujemy transformatę musi być umieszczony w tylnej płaszczyźnie
ogniskowej soczewki SF.
Przy spełnieniu powyŜszych warunków mamy pewność, Ŝe obraz dyfrakcyjny obiektu
obserwowany na ekranie w układzie z rys. 1. jest kwadratem optycznej transformaty Fouriera,
uśrednionym w czasie.
Laboratorium optycznego przetwarzania informacji i holografii
Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych, WETI, Politechnika Gdańska
Strona | 2
Ćwiczenie 4. Badanie optycznej transformaty Fouriera
Konfiguracja układu optycznego z rys. 1 nie jest jedyną konfiguracją, w której w
płaszczyźnie tylnej ogniskowej soczewki SF otrzymujemy transformatę Fouriera obiektu. Optyczna
transformata Fouriera powstanie w płaszczyźnie tylnej ogniskowej soczewki SF równieŜ wtedy, gdy
obiekt umieścimy za soczewką SF, jak na rys. 2.
Rys. 2. Realizacja optycznej transformaty Fouriera. Obiekt za soczewką SF.
RóŜnica między optyczną transformatą Fouriera obiektu uzyskaną w układzie za
soczewką (rys. 2) a w układzie przed soczewką (rys. 1) polega tylko na zmianie skali transformaty.
Częstotliwości przestrzenne w płaszczyźnie transformaty w układzie przed soczewką
rys. 1, określone są następująco:
νx =
x
y
,νy =
λf F
λf F
(1)
Natomiast dla układu za soczewką rys. 2, mamy
νx =
x
y
,νy =
λd 1
λd1
(2)
gdzie x i y są współrzędnymi częstotliwości w płaszczyźnie transformaty.
Tak więc układ optyczny z rys. 2 jest układem realizującym transformatę Fouriera o
zmiennej skali transformaty. Zmianę skali uzyskuje się poprzez zmianę odległości d1.
W układzie optycznym realizującym transformatę Fouriera łatwo sprawdzić twierdzenia
dotyczące przekształcenia Fouriera, takie jak twierdzenie o przesunięciu funkcji, sumie funkcji,
Laboratorium optycznego przetwarzania informacji i holografii
Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych, WETI, Politechnika Gdańska
Strona | 3
Ćwiczenie 4. Badanie optycznej transformaty Fouriera
iloczynie funkcji, itd. Na szczególną uwagę zasługuje twierdzenie o próbkowaniu funkcji, gdyŜ ma ono
znaczenie podczas zamiany funkcji analogowej na postać cyfrową tej funkcji.
Twierdzenie o próbkowaniu funkcji analogowej o ograniczonym widmie mówi, Ŝe
moŜliwe jest dokładne odtworzenie funkcji z jej próbek pod warunkiem, Ŝe częstotliwość próbkowania
jest nie mniejsza niŜ dwukrotna najwyŜsza częstotliwość zawarta w widmie częstotliwościowym funkcji
próbkowanej. PoniewaŜ podczas procesu próbkowania funkcji następuje powielenie widma funkcji na
osi częstotliwości, to spełnienie warunku częstości próbkowania zapewnia nie nakładanie się na siebie
poszczególnych widm składowych. JeŜeli widma funkcji nie nakładają się na siebie, to łatwo jest ze
wszystkich widm wydzielić pojedyncze widmo funkcji i na tej podstawie odtworzyć dokładnie funkcję
próbkowaną.
Twierdzenie o próbkowaniu funkcji łatwo sprawdzić w optycznym układzie realizującym
transformatę Fouriera. PoniewaŜ optyczna transformata Fouriera jest dwuwymiarowa więc funkcję –
czyli nasz obiekt, moŜemy próbkować w jednym kierunku osi współrzędnych, np. za pomocą
przeźrocza układu równoległych linii, lub teŜ w obu kierunkach osi współrzędnych za pomocą układu
skrzyŜowanych siatek. Odtworzenie oryginalnej funkcji obiektu będzie polegało na zablokowaniu
wszystkich powielonych widm obiektu w płaszczyźnie transformaty Fouriera i przepuszczeniu tylko
pojedynczego widma obiektu, inaczej będziemy obserwowali na ekranie nie funkcję obiektu lecz próbki
funkcji obiektu.
Optyczny układ realizujący transformatę Fouriera daje znacznie większe moŜliwości
eksperymentowania niŜ układy elektroniczne. MoŜemy stwierdzić, Ŝe wszystkie twierdzenia dotyczące
przekształcenia Fouriera są odwracalne, w tym równieŜ twierdzenie o próbkowaniu funkcji. Skoro
podczas próbkowania funkcji następuje powielenie jej widma, to powinno być słuszne twierdzenie
odwrotne, Ŝe przy próbkowaniu widma funkcji następuje powielenie funkcji. W laboratorium będzie
moŜna przekonać się doświadczalnie o słuszności tego rozumowania.
3. Zadania do wykonania
3.1. Elementy potrzebne do wykonania ćwiczenia.
•
przeźrocza nr 2, 3, 5, 6, 8, 11, 12, 14, 15, 16, 26.
Laboratorium optycznego przetwarzania informacji i holografii
Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych, WETI, Politechnika Gdańska
Strona | 4
Ćwiczenie 4. Badanie optycznej transformaty Fouriera
3.2. Optyczna transformata Fouriera
W układzie optycznym z rys. 3 zaobserwować i naszkicować transformaty Fouriera następujących
funkcji:
•
Apertury kwadratowej
przeźrocze nr 2,
•
Apertury kołowej
przeźrocze nr 3,
•
Szczeliny
przeźrocze nr 15,
•
Siatki równoległych linii
przeźrocze nr 5,
•
Siatki kwadratowej
przeźrocze nr 11,
•
Siatki linii koncentrycznych przeźrocze nr 8,
•
Siatki linii radialnych
przeźrocze nr 14.
Odpowiedzieć na pytanie: Które z obserwowanych transformat są funkcją ciągłą, a które dyskretną?
Określić wzorem częstotliwości przestrzenne, charakterystyczne dla danej struktury.
3.3. Przebadać transformatę Fouriera i obraz obiektu z przeźrocza nr 26.
Zidentyfikować części transformaty Fouriera naleŜące do odpowiednich części obiektu.
Rys. 3. Układ optyczny 4f.
3.4. Transformata Fouriera w układzie za soczewką.
Uzyskać transformatę Fouriera w układzie za soczewką jak z rys. 2. Jako obiekt wykorzystać przeźrocze
nr 11 i nr 26.
Określić kierunek zmian skali transformaty w zaleŜności od wielkości
Laboratorium optycznego przetwarzania informacji i holografii
Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych, WETI, Politechnika Gdańska
Strona | 5
Ćwiczenie 4. Badanie optycznej transformaty Fouriera
3.5. Twierdzenie o próbkowaniu funkcji.
W układzie z rys. 3. zrealizować próbkowanie i odtworzenie funkcji z próbek,
Jako obiekt – funkcję próbkowaną wykorzystać przeźrocza nr 2, 3 lub 15,
Jako próbki wykorzystać:
•
próbkowanie w jednym kierunku: przeźrocza nr 5 i 6,
•
próbkowanie w dwu kierunkach: przeźrocze nr 11, 12.
Zaobserwować powielone widmo funkcji próbkowanej,
Odtworzyć oryginalną funkcję wybierając w płaszczyźnie transformaty tylko jedno widmo, blokując
pozostałe widma,
Odpowiedzieć na pytanie: które z przeźroczy nr 5, 6, 11 i 12 realizują prawidłowo próbkowanie funkcji?
3.5. Twierdzenie o próbkowaniu widma funkcji.
W układzie z rys. 3. zrealizować twierdzenie o próbkowaniu widma funkcji. Jako obiekt wykorzystać
przeźrocza nr 2, 3 lub 15. Jako próbki wykorzystać przeźrocza nr 5, 6 i 11, 12. Odpowiedzieć na
pytanie: dlaczego podczas próbkowania transformaty Fouriera niektórymi z przeźroczy nr 5, 6, 11, 12,
obrazy obiektu nakładają się na siebie ? Spróbować próbkowanie widma innych przeźroczy, np. 26. Czy
próba powielenia obrazu obiektu nr 26 jest udana czy nie ? JeŜeli nie jest udana, jaka jest tego
przyczyna ?
3.6. Właściwości transformaty Fouriera.
Sprawdzić doświadczalnie twierdzenia dotyczące przekształcenia Fouriera.
Oznaczenia elementów optycznych na rysunkach:
FP – filtr przestrzenny,
Sk – soczewka kolimująca,
E – ekran,
O – obiekt (przeźrocze),
SF– soczewka realizująca transformatę Fouriera,
So – soczewka realizująca obraz obiektu,
Sp – soczewka powiększająca obserwowany obraz.
Laboratorium optycznego przetwarzania informacji i holografii
Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych, WETI, Politechnika Gdańska
Strona | 6