obliczanie przemieszczeń

Obliczanie przemieszczeń - Twierdzenia redukcyjne
1/5
Obliczanie przemieszczeń (układy statycznie niewyznaczalne)
Przemieszczenie w układach statycznie niewyznaczalnych wyraża się
wzorem:
χ ⋅ Q N ⋅ QPN
M N ⋅ M PN
N N ⋅ N PN
∆ ip = ∑ ∫
ds + ∑ ∫
ds + ∑ ∫
ds
EJ
EF
GF
u
u
u
(1)
gdzie:
M N , N N ,QN
to siły przekrojowe w układzie statycznie niewyznaczalnym od obciążeń
jednostkowych („w punkcie i na kierunku szukanego przemieszczenia”),
M PN , N PN , QPN
to siły przekrojowe w układzie statycznie niewyznaczalnym od obciążeń
zewnętrznych
To samo przemieszczenie możemy policzyć wykorzystując twierdzenia o
redukcji:
I Twierdzenie o redukcji
M N ⋅ M PW
N N ⋅ N PW
χ ⋅ Q N ⋅ QPW
ds + ∑ ∫
ds + ∑ ∫
∆ ip = ∑ ∫
ds
EJ
EF
GF
u
u
u
(2)
w którym:
M PW , N PW , QPW
to siły przekrojowe w układzie statycznie wyznaczalnym od obciążeń
zewnętrznych.
II Twierdzenie o redukcji
M W ⋅ M PN
N W ⋅ N PN
χ ⋅ QW ⋅ QPN
ds + ∑ ∫
ds + ∑ ∫
∆ ip = ∑ ∫
ds
EJ
EF
GF
u
u
u
(3)
w którym:
M W , N W , QW
to siły przekrojowe w układzie statycznie wyznaczalnym od obciążeń
jednostkowych („w punkcie i na kierunku szukanego przemieszczenia”).
Opracowanie P.K.
Obliczanie przemieszczeń - Twierdzenia redukcyjne
2/5
Przykład
Obliczyć przemieszczenie poziome punktu C podanej ramy (Rys. 1).
Rys. 1
Aby wyznaczyć przemieszczenie poziome punktu C, musimy policzyć
momenty zginające powstałe z obciążenia konstrukcji siłami zewnętrznymi
(Rys. 1) oraz powstałe z przyłożenia uogólnionej bezwymiarowej siły
jednostkowej w punkcie i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia
(por. Rys. 2).
Rys. 2
Rys. 3
Opracowanie P.K.
Obliczanie przemieszczeń - Twierdzenia redukcyjne
3/5
Przyjmujemy układ podstawowy metody sił (UPMS) jak na Rys. 3.
Znajdujemy wykresy momentów od obciążenia jednostkowego (Rys. 4),
obciążeń zewnętrznych (Rys. 5) oraz od obciążenia jednostkowego „w
punkcie i na kierunku” (Rys. 6).
Rys. 4
Rys. 5
Rys. 6
Obliczamy współczynniki:
1
EJ
5
δ 11 =
EJ
δ 11 =
1

⋅  ⋅ 3 ⋅ 1 ⋅ 1 + 4 ⋅ 1 ⋅ 1

3
(4)
Dla obciążeń zewnętrznych:
1 1
1

⋅  ⋅ 3 ⋅ 1 ⋅ 10 + ⋅ 3 ⋅ 1 ⋅ 16,875 
EJ  3
3

26,875
=
EJ
∆1 P =
∆1 P
(5)
Dla obciążenia jednostkowego („w punkcie i na kierunku”):
1
EJ
12
=
EJ
∆1 P =
∆1 P
1
1

⋅  ⋅ 3 ⋅1 ⋅ 4 + ⋅ 4 ⋅1 ⋅ 4 
2
3

Opracowanie P.K.
(6)
Obliczanie przemieszczeń - Twierdzenia redukcyjne
4/5
Rozwiązując równania:
δ 11 ⋅ X 1 + ∆1P = 0
δ 11 ⋅ X 1 + ∆1P = 0
5
26,875
⋅ X1 +
=0
EJ
EJ
5
12
⋅ X1 +
=0
EJ
EJ
X 1 = −5,375
X 1 = −2,4
(6)
wyznaczamy poszukiwane wykresy momentów:
Rys. 7
Rys. 8
0
Teraz policzymy przemieszczenie poziome punktu C, na trzy sposoby
•
z definicji (wzór 1)
M N ⋅ M PN
ds
∆ xc = ∑ ∫
EJ
u
1
1
1
1 1
⋅ ( ⋅ 3 ⋅ 1,6 ⋅ 4,625 + ⋅ 3 ⋅ 1,6 ⋅ 16,875 − ⋅ 4 ⋅ 1,6 ⋅ 5,375 + ⋅ 4 ⋅ 2,4 ⋅ 5,375)
EJ 3
2
2
3
43
∆ xc =
EJ
∆ xc =
Opracowanie P.K.
Obliczanie przemieszczeń - Twierdzenia redukcyjne
•
5/5
wykorzystując I twierdzenie o redukcji (wzór 2)
∆ xc
M N ⋅ M PW
= ∑∫
ds
EJ
u
1 1
1
⋅ ( ⋅ 3 ⋅1,6 ⋅10 + ⋅ 3 ⋅1,6 ⋅16,875)
EJ 3
3
43
=
EJ
∆ xc =
∆ xc
•
wykorzystując II twierdzenie o redukcji (wzór 3)
∆ xc = ∑ ∫
u
M W ⋅ M PN
ds
EJ
1
1
1
1
⋅ (− ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 5,375 + ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 4,625 + ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅16,875)
EJ
2
3
3
43
=
EJ
∆ xc =
∆ xc
Przykładowo przyjmując przekrój słupów i rygla jako IPE 100
(EJ=350,55kNm2) otrzymamy następującą wartość przemieszczenia
poziomego punktu C:
∆XC = 12,27 [cm]
Deformacja konstrukcji
Opracowanie P.K.