ELEKTROMAGNETYZM Notatki do wykładów z fizyki

Instytut Fizyki
ELEKTROMAGNETYZM
Notatki do wykładów z fizyki
Włodzimierz Salejda, Instytut Fizyki PWr.
Strona domowa: http:/www.if.pwr.wroc.pl/∼ssalejda
Notatki są opublikowane na mojej stronie domowej
w pliku postscriptowym elektr ps.zip
i pliku PDF elektr pdf.zip
Spis treści
1. Wprowadzenie
1.1. Proste oszacowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4
2. Elementy analizy wektorowej
5
3. Równania Maxwella
3.1. Równania Maxwella — postać różniczkowa . . .
3.2. Równania Maxwella — postać calkowa . . . . . .
3.3. Zasada zachowania ladunku elektrycznego . . . .
3.4. Pole elektromagnetyczne . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Elektrostatyka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Staly pra̧d elektryczny . . . . . . . . . . . . . . .
3.7. Magnetostatyka . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej Faraday’a
3.9. Fale elektromagnetyczne w próżni . . . . . . . . .
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
7
8
11
12
13
21
23
24
24
1.
Wprowadzenie
Zajmiemy siȩ obecnie zjawiskami i prawami fizycznymi zwia̧zanymi z tym, że w przyrodzie
wystȩpuja̧ ladunki elektryczne. Odpowiedni dzial fizyki nazywany jest elekromagnetyzmem.
Oddzialywania elektromagnetyczne sa̧ jednym z czterech typów oddzialywań fundamentalnych. Oddzialywania te opisujemy za pomoca̧ koncepcji pola, której sens podajemy poniżej.
Definicja pola wielkości fizycznej
Polem P danej wielkości fizycznej F nazywamy obszar przestrzeni,
w którym wielkość fizyczna F ma określona̧ wartość.
W przypadku oddzialywań grawitacyjnych1 pole grawitacyjne określamy podaja̧c albo
wartość natȩżenia pola grawitacyjnego2 Egr (r) w każdym punkcie tego pola (wypelniaja̧cego
przestrzeń) lub też określaja̧c wartość potencjalu3 V (r) także w każdym punkcie tego pola.
Dlaczego możemy tak posta̧pić? Znajomość wektora Egr (r) oraz wielkości ladunku – w tym konkretnym przypadku – masy ciala mc pozwala jednoznacznie wyznaczyć wartość sily dzialaja̧cej
na ladunek, tj. masȩ mc umieszczona̧ w punkcie r pola, która jest równa Fgr = mc Egr (r).
Natomiast znajomość potencjalu V (r) z uwagi na zależność Egr (r) = −∇V (r) = −grad V (r)
sprowadza siȩ do tego samego.
Pole elektromagnetyczne zadaja̧ w przestrzeni dwa wektory E(r) oraz B(r) zwane, odpowiednio, wektorem natȩżenia pola elektrycznego oraz wektorem indukcji magnetycznej. Znaja̧c
te wektory4 możemy wyznaczyć wartość sily Felm (r) dzialaja̧cej ze strony pola elektromagnetycznego na poruszaja̧cy siȩ w nim z prȩdkościa̧ v ladunek elektryczny Q, która jest równa
Felm (r, t) = Q(E(r, t) + v(t) × B(r, t)).
(1)
Zauważmy, że dane pole P(r, t) ma określona̧ wartość w danym punkcie przestrzeni r i chwili
czasu t bez wzglȩdu na to czy w tym punkcie znajduje siȩ ladunek lub go tam nie ma5 .
Pojȩcie pola jest bardzo wygodnym i stosunkowo prostym opisem oddzialywań
fundamentalnych6, które pozwala scharakteryzować ilościowo i jakościowo znane nam typy oddzialywań.
Co powinniśmy znać, jaka̧ wiedza̧ powinniśmy dysponować, aby efektywnie poslugiwać siȩ
koncepcja̧ pola? Mówia̧c najogólniej należy znać dwie, podane niżej, grupy regul:
1. Reguly (prawa) określaja̧ce w jaki sposób powstaje pole, co jest jego źródlem i ile wynosi
wartość wielkości fizycznej w każdym punkcie pola.
2. Regul definiuja̧cych w jaki sposób badane pole dziala na ladunek w nim umieszczony
(patrz wzór (1)).
W przypadku spoczywaja̧cych ladunków elektrycznych prawo Coulomba wydaje siȩ w
zupelności wystarczać do opisu oddzialywań elektromagnetycznych. Jednakże zagadnienie znaczie siȩ komplikuje, jeśli w ten sam sposób próbujemy badać oddzialywania elektromagnetyczne poruszaja̧cych siȩ ladunków elektrycznych. Przykladowo, bardzo elegancki i zwiȩzly
opis oddzialywania pomiȩdzy spoczywaja̧cym ladunkiem Q i poruszaja̧cymi siȩ w przewodniku
nośnikami pra̧du uzyskujemy tylko za pomoca̧ pojȩcia pola megnetycznego wytwarzanego przez
1
Jest to sluszne w przypadku slabych pól grawitacyjnych.
Natȩżenie pola grawitacyjnego jest wektorem.
3
Potencjal jest funkcja̧ skalarna̧.
4
Pod warunkiem, że ladunek Q nie zaklóci polożeń i ruchów źródel pola elektromagnetycznego. Tak jest, gdy
wartości ladunku Q lub prȩdkości ciala sa̧ dostacznie male.
5
W tym sensie pole jest pojȩciem abstrakcyjnym ponieważ uważamy, że istnieje ono w każdym punkcie
przestrzeni niezależnie od tego czy w tym punkcie umieszczony jest lub nie ladunek.
6
Pola sa̧ szczególnie przydatne do opisu oddzialywań miȩdzy cza̧stkami elementarnymi (pola kwarkowe, pole
sil ja̧drowych).
2
3
poruszaja̧ce siȩ ladunki. Próba opisu sil Coulomba dzialaja̧cych pomiȩdzy Q i poszczególnymi
ruchomymi ladunkami elektrycznymi jest bardzo skomplikowana i nieefektywna7.
Podobnie badaja̧c silȩ dzialaja̧ca̧ pomiȩdzy dwoma przewodnikami z pra̧dem, nie rozważamy
oddzialywań kulombowskich poszczególnych ladunków, lecz odwolujemy siȩ do pojȩcia
pola elektromagnetycznego, co znacznie ulatwia wyznaczanie wartości sily wzajemnego oddzialywania.
1.1.
Proste oszacowania
Poniżej przeprowadzimy kilka prostych rachunków w celu przybliżenia zjawisk, o których zamierzamy dalej mówić.
1. Sila odpychania kulombowskiego pomiȩdzy dwoma elektronami umieszczonymi w próżni
w danej od siebie odleglości d jest
4, 0 · 1042 razy wiȩksza od sily przycia̧gania grawitacyjnego
pomiȩdzy nimi.
Uzasadnienie. Stosunek sily Coulomba FC do sily przycia̧gania grawitacyjnego Fg wynosi
FC
k · e2
k
e
=
= ·
2
Fg
G · me
G
me
2
≃ 4, 0 · 1042 ,
gdzie k ≃ 9, 0 · 109 (Nm2)/C2 , G = 6, 67 · 10−11 Nm2/(kg2 ), e/me ≃ 1, 76 · 1011 C/kg8 .
Zadanie 1. Jak zmienia̧ siȩ wyniki liczbowe podane wyżej jeśli elektrony zasta̧pimy protonami?
2. Policzymy ile wynosilaby sila oddzialywania elektrycznego pomiȩdzy dwoma typowymi
osobami, jeśliby na ich cialach udalo siȩ zgromadzić o 1% wiȩcej elektronów niż jest ich
w stanie normalnym. Cialo statystycznego Polaka waży średnio ≃ 75 kg. W jego sklad
wchodzi glównie woda. Masa molowa wody 0, 012 kg. Oznacza to, że w ciele tym jest
≃ 4200 moli H2O. W cza̧steczce wody znajduje siȩ 10 elektronów i tyle samo protonów.
W ciele osobnika jest zatem przeciȩtnie 4200·6, 0·1023 ≃ 2, 52·1028 elektronów, Calkowity
ladunek ujemny zgromadzony w ciele czlowieka wynosi Q(e)
≃ 4200 · 6, 0 · 1023 · 1.6 ·
c
−19
9
10 C=≃ 4, 0 · 10 C. Jest to zaiste ladunek ogromny! Gdyby teraz dwóm osobnikm
stoja̧cym w odleglości d = 1m dodać ladunek ujemny równy 0, 01 · Q(e)
c , to sila ich
odpychania kulombowskiego bylaby równa
FC = 9, 0 · 109
0, 01 · 2, 52 · 1028 · 1, 6 · 10−19
≃ 1, 44 · 1025 N.
12
Kula ziemska waży 6, 00 · 1024 · 10 = 6, 00 · 1025 . Ziemia jest przycia̧gana przez Slońce sila
6, 00 · 1024 · 3, 00 · 1030
2
≃ 3, 00 · 1024 . Jak widzimy, sila od= 6, 67 · 10−11
GmZ MS /rS−Z
(1, 50 · 1011 )2
dzialywania Coulomba miȩdzy cialami dyskutowanych osobników jest ≃ 2 · 1022 razy
wiȩksza od ich ciȩżaru. Sila ta nadalaby każdemu z nich w chwili pocza̧tkowe przyspieszenie a0 ≃ 2, 0 · 1023 co oznacza, że dzialaja̧ce na nich przecia̧żenia bylyby rzȩdu
a0/g ≃ 2, 0 · 1022 .
Zadanie–zagadka 2. Jeśli wierzyć przeprowadzonym powyżej rachunkom, to dlaczego cialo
ludzkie nie jest rozrywane pod wplywem ogromnych sil kulombowskich dzialaja̧cych pomiȩdzy
jednoimiennymi ladunkami znajduja̧cymi siȩ w nim?
7
W fizyce bardzo czȩsto poslugujemy siȩ zasada̧ prostoty przy opisie danego zjawiska fizycznego. W rozpartywanym przypadku zasada ta niejako wymusza na nas poslugiwanie siȩ pojȩciem pola.
8
Patrz prawa tablica wisza̧ca w sali 322 A–1.
4
2.
Elementy analizy wektorowej
Poniżej podajemy wybrane operatory i twierdzenia analizy wektorowej, które bȩdziemy wykorzystywali w dalszych czȩściach wykladu9 .
Niechaj w wybranym obszarze przestrzeni trójwymiarowej bȩda̧ zdefinowane pole skalarne φ(r) (bȩda̧ce funkcja̧ trzech wspólrzȩdnych wektora r) lub pole wektorowe A(r) =
(Ax (r), Ay (r), Az (r)).
1. Gradientem ∇φ(r) pola skalarnego φ(r) nazywamy wektor równy
∇φ(r) =
!
∂φ(r) ∂φ(r) ∂φ(r)
.
,
,
∂x
∂y
∂z
(2)
Jak widzimy operacja obliczania gradientu generuje z funkcji skalarnej wektor o
wspólrzȩdnych zdefiniowanych wzorem (2).
Zadanie 3. Obliczyć gradient funkcji 1/r.
2. Dywergencja̧ ∇ · A(r) pola wektorowego A(r) = (Ax (r), Ay (r), Az (r)) nazywamy liczbȩ
(skalar) ∇ · A(r) równa̧
∂Ax(r) ∂Ay (r) ∂Az (r)
+
+
∂x
∂y
∂z
∇ · A(r) =
!
= divA.
(3)
Jak widzimy dywergencja generuje z funkcji wektorowej skalar o wartości określonej wzorem 3.
Zadanie 4. Obliczyć dywergencjȩ funkcji r.
3. Rotacja̧ ∇ × A(r) pola wektorowego A(r) = (Ax(r), Ay (r), Az (r)) nazywamy wektor
równy
∇ × A(r) =
x̂
ŷ
∂
∂
∂x ∂y
Ax Ay
ẑ
∂
∂z
Az
= rotA.
(4)
Jak widzimy rotacja generuje z funkcji wektorowej wektor o wspólrzȩdnych określonych
wzorem 4.
Zadanie 5. Obliczyć rotacjȩ funkcji r.
4. Twierdzenie Gaussa — strumień wektora A przez powierzchniȩ zamkniȩta̧ S jest równy
calce objȩtościowej z dywergencji tego wektora po objȩtości V zamkniȩtej powierzchnia̧
S
I
S
A · dS =
Z
(5)
divAdV.
V
Dodajmy w tym miejscu, że wielkość S A · dS nazywamy strumieniem wektora A przez
powierzchniȩ S; dS jest wektorem prostopadlym w każdym punkcie do powierzchni S, a
jego dlugość określa wartość dS; zwrot jest zgodny z kierunkiem obchodzenia powierzchni;
kropka (·) w wyrażeniu podcalkowym wskazuje na iloczyn skalarny wektorów; regula ta
obowia̧zuje także w przypadku twierdzenia Stokesa (patrz poniżej).
H
5. Twierdzenie Stokesa — cyrkulacja wektora A wzdluż krzywej zamkniȩtej L jest równa
calce powierzchniowej rotacji wektora A po dowolnej powierzchni S rozpiȩtej na krzywej
L
I
L
9
A · dl =
Z
S
rotA · dS =
Z
S
∇ × A · dS.
Nasze rozważania przeprowadzamy w prostoka̧tnym ukladzie wspólrzȩdnych.
5
(6)
6. Pokazuje siȩ, że zachodza̧ nastȩpuja̧ce relacje
rot × ∇f = rot(grad)f = 0,
(7)
∇ · rotA = div(rot)A = 0.
(8)
Zadanie 6. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem poprawność ostatnich dwóch relacji.
7. Jeżeli ∇×A = 0, to istnieje takie pole skalarne φ, że A = ∇φ = grad(φ). Przypomnijmy,
że pole A spelniaja̧ce relacjȩ ∇ × A = 0 nazywamy potencjalnym lub źródlowym.
8. Jeżeli ∇ · A = 0, to istnieje takie pole wektorowe C, że A = ∇ × C = rot(C). Przypomnijmy, że pole A spelniaja̧ce relacjȩ ∇ · A = 0 nazywamy solenoidalnym lub wirowym.
9. Operacja ∇ · (∇ f) = ∇2f jest równoważna nastȩpuja̧cemu dzialaniu
∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
∇2 f =
+
+
,
(9)
∂x2 ∂y 2
∂z 2
gdzie operator
∂2
∂2
∂2
∇2 =
+
+
(10)
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
jest nazywany operatorem Laplasa (laplasjanem).
3.
Równania Maxwella
Przytoczymy obecnie pelny uklad równań Maxwella pola elektromagnetycznego, który jest
podsumowaniem osia̧gniȩć i wieloletnich wysilków fizyków i inżynierów oraz stanowi podstawȩ
elektrodynamiki klasycznej (elektromagnetyzmu).
Poniżej podajemy dwie równoważne postacie równań Maxwella dla wektorów: E(r, t),
D(r, t), H(r, t) oraz B(r, t).
Należy dodać, że między wprowadzonymi wektorami zachodzą następujące związki:
— wektor indukcji elektrycznej D(r, t) jest zwia̧zany w próżni z wektorem natȩżenia pola
elektrycznego zależnościa̧
D(r, t) = ε0E(r, t);
(11)
— wektor natȩżenia pola magnetycznego H(r, t) jest zwia̧zany w próżni z wektorem indukcji
pola magnetycznego zależnościa̧
B(r, t) = µ0 H(r, t),
(12)
gdzie ε0 i µ0 sa̧, odpowiednio, przenikalnościa̧ (bezwzglȩdna̧) elektryczna̧ i przenikalnościa̧ (bezwzglȩdna̧) magnetyczna̧ próżni. Ich wartości sa̧ równe
— ε0 =
C2
107
−12
=
8,
854
187
·
10
,
4πc2
N · m2
1
=4 · π · 10−7 N·s2/C2 = 12, 566 370 610 · 10−7 N·s2/C2 .
ε · c2
1
= c2 , gdzie c = 2.997 924 580 · 108 m/s jest prȩdkościa̧ światla
Zadanie 7. Pokazać, że
ε0 · µ0
w próżni.
Korzystaja̧c z podanych powyżej zwia̧zków można uklad równań Maxwella formulować dla
różnych par wektorów, np. (D(r, t), H(r, t)), (D(r, t), B(r, t)) lub (E(r, t), H(r, t)). Zagadnienie
to pozostawiamy Czytelnikowi do samodzielnego rozwia̧zania.
Dodajmy, że wektory E oraz B można wyznaczyć w danym miejscu przestrzeni (pola elektromagnetycznego) mierza̧c wartość sily dzialaja̧cej w tym punkcie na ladunek próbny, która
jest równa
FE−M = q(E + v × B).
(13)
— µ0 =
6
3.1.
Równania Maxwella — postać różniczkowa
1. Prawo Gaussa dla pola elektrycznego — źródlem pola elektrycznego sa̧ ladunki elektryczne:
ρ(r, t)
,
(14)
ε0
2. Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya – pole elektryczne jest wirowe w danym
punkcie, jeśli pole elektryczne w tym punkcie zmienia siȩ w czasie:
div E(r, t) = ∇ · E(r, t) =
∂B(r, t)
,
(15)
∂t
3. Prawo Gaussa dla pola magnetycznego — pole magnetyczne jest bezźródlowe (w przyrodzie nie wystȩpuja̧ ladunki magnetyczne10):
rot E(r, t) = ∇ × E(r, t) = −
div B(r, t) = ∇ · B(r, t) = 0,
(16)
4. Prawo Ampera – pole magnetyczne jest wirowe:
rot B(r, t) = ∇ × B(r, t) =
1 ∂E(r, t)
j(r, t)
,
+ 2
2
c ε0
c
∂t
(17)
gdzie
C2
107
−12
=
8,
85
·
10
,
4πc2
N · m2
co oznacza, że
107
1
4πε0 ≃ 2 →
≃ 36π · 109 Nm2 /C 2 ,
c
ε0
ε0 =
(18)
(19)
dQ(r, t)
– objȩtościowa gȩstość
dV
ladunku elektrycznego, j(r, t) = v(r, t)ρ(r, t) – wektor gȩstości pra̧du elektrycznego.
Ostatni wyraz równania Ampera (17) nosi nazwȩ pra̧du przesuniȩcia. Zostal wprowadzony
przez Maxwella.
symbol c ≃ 3, 00· 108 m/s – prȩdkość światla w próżni, ρ(r, t) =
10
Istnieja̧ przypuszczenia, że ladunki magnetyczne zwane monopolami magnetycznymi mogly powstać w trakcie pocza̧tkowych etapów ekspansji Wszechświata
7
Tabela 1. Równania Maxwella — postać różniczkowa
div E(r, t) = ∇ · E(r, t)
=
ρ(r, t)
ε0
rot E(r, t) = ∇ × E(r, t) = −
div B(r, t) = ∇ · B(r, t)
∂B(r, t)
∂t
= 0
rot B(r, t) = ∇ × B(r, t) =
j(r, t)
1 ∂E(r, t)
+ 2
2
c ε0
c
∂t
Tabela 1A. Równania Maxwella — postać różniczkowa
div D(r, t) = ∇ · D(r, t)
rot E(r, t)
= ρ(r, t)
= ∇ × E(r, t) = −
div B(r, t) = ∇ · B(r, t)
∂B(r, t)
∂t
= 0
rot H(r, t) = ∇ × H(r, t) = j(r, t) +
3.2.
∂D(r, t)
∂t
Równania Maxwella — postać calkowa
Skorzystamy obecnie z podanych wcześniej twierdzeń Gaussa i Stokesa w celu znalezienia
calkowych postaci równań Maxwella.
1. Prawo Gaussa dla pola elektrycznego — strumień wektora natȩżenia E(r, t) pola elektrycznego przez powierzchniȩ zamkniȩta̧ S jest proporcjonalny do ladunku elektrycznego
R
Q(t) = V ρ(r, t)dV zgromadzonego wewna̧trz tej powierzchni
I
Q(t)
E(r, t) · dS =
,
(20)
ε0
S
H
2. Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya – cyrkulacja L E(r, t) · dL wektora
natȩżenia pola elektrycznego po drodze zamkniȩtej L określaja̧ca calkowita̧ wartość
spadku napiȩcia U w obwodzie zamkniȩtym wynosi
I
∂Φm(t) X
Ei (r, t),
(21)
+
E(r, t) · dL = −
∂t
L
i
gdzie Φm (t) = S B(r, t) · dS jest strumieniem magnetycznym indukcji pola B(r, t) przez
P
powierzchniȩ rozpiȩta̧ nad krzywa̧ L, a i Ei (r, t) jest suma̧ wszystkich stalych sil elek∂Φm(t)
tromotorycznych źródel podla̧czonych do obwodu L, wielkość −
określa wartość
∂t
R
8
sily elektromotorycznej indukowanej w obwodzie w wyniku zmiany w czasie strumienia
Φm (t) wektora B(r, t) indukcji pola magnetycznego obejmowanego danym obwodem,
3. Prawo Gaussa dla pola magnetycznego — strumień wektora B(r, t) pola magnetycznego
przez zamkniȩta̧ powierzchniȩ jest równy zeru; jest to konsekwencja bezźródlowości pola
magnetycznego
I
S
B(r, t) · dS = 0,
(22)
4. Prawo Ampera – cyrkulacja (wirowość) L B(r, t) · dL wektora B(r, t) indukcji pola magnetycznego po krzywej zamkniȩtej L określaja̧ca calkowita̧ sumȩ natȩżeń pra̧dów obejmowanych krzywa̧ zamkniȩta̧ L wynosi
P
I
Ii (r, t)
1 ∂Φe(t)
B(r, t) · dL = i 2
,
(23)
+ 2
c ε0
c ∂t
L
R
gdzie Φe (t) = S E(r, t) · dS jest strumieniem wektora natȩżenia pola elektrycznego przez
powierzchniȩ rozpiȩta̧ nad krzywa̧ zamkniȩta̧ L.
H
Tabela 2. Równania Maxwella — postać calkowa
Q(t)
ε0
I
E(r, t) · dS =
I
E(r, t) · dL = −
I
B(r, t) · dS = 0,
I
P
S
L
S
L
B(r, t) · dL =
∂Φm (t) X
+ Ei(r, t)
∂t
i
i Ii (r, t)
c2 ε0
+
1 ∂Φe (t)
c2 ∂t
Zadanie 8. Jaki jest wymiar nastȩpuja̧cych wektorów:
(a) B(r, t),
(b) H(r, t),
(c) E(r, t),
(d) D(r, t)?
Wskazówka. Przy rozwia̧zywaniu tego zadania skorzystać z podanych do tej pory praw
fizycznych i zwia̧zków.
Zauważmy, że przy wektorach odnosza̧cych siȩ do wektora indukcji B pola magnetycznego,
1
znajduje siȩ czynnik 2 . Oznacza to, że pole magnetyczne jest efektem relatywistycznym11.
c
Ponadto, efekty pola magnetycznego sa̧ o 16 rzȩdów mniejsze od efektów towarzysza̧cych wektorowi pola elektrycznego E. Można pokazać, że stosunek sil
FC
,
FM
gdzie FC i FM sa̧, odpowiednio, silami wywieranymi przez pole elektryczne E i pole magnetyczne
B na ladunek próbny, jest proporcjonalny do
c2
,
v1 · v2
11
Wskazuje na to wystȩpowanie we wzorze (17) prȩdkości światla c.
9
gdzie v1 – prȩdkość ladunku próbnego, v2 – prȩdkość ladunku elektrycznego wytwarzaja̧cego
pole magnetycznego.
Na zakończenie dodajmy jeszcze, że jeśli rozpatrujemy pole elektromagnetyczne w jednorodnym i izotropowym ośrodku o przenikalności dielektrycznej i magnetycznej równych, odpowiednio, ε i µ, to podany wyżej uklad równań Maxwella w danym ośrodku otrzymujemy
zasta̧puja̧c przenikalność dielektryczna̧ ε0 i magnetyczna̧ µ0 próżni wartościami przenikalności
dielektrycznej i magnetycznej ε = εr ε0 i µ = µr µ0 danego ośrodka, gdzie εr i µr są względnymi
(bezwymiarowymi) przenikalnościami dielektrycznymi i magnetycznymi ośrodka.
Tabela 3. Równania Maxwella w jednorodnym izotropowym ośrodku — postać różniczkowa
div E(r, t) = ∇ · E(r, t)
=
ρ(r)(r, t)
ε
rot E(r, t) = ∇ × E(r, t) = −
div B(r, t) = ∇ · B(r, t)
∂B(r, t)
∂t
= 0
rot B(r, t) = ∇ × B(r, t) =
1 ∂E(r, t)
j(r, t)
+
c2 ε
c2 ∂t
Tabela 3A. Równania Maxwella w jednorodnym izotrpowym ośrodku— postać różniczkowa
div D(r, t) = ∇ · D(r, t)
rot E(r, t)
= ρ(r, t)
= ∇ × E(r, t) = −
div B(r, t) = ∇ · B(r, t)
∂B(r, t)
∂t
= 0
rot H(r, t) = ∇ × H(r, t) = j(r, t) +
10
∂D(r, t)
∂t
Tabela 4. Równania Maxwella w jednorodnym izotropowym ośrodku — postać calkowa
E(r, t) · dS =
I
E(r, t) · dL = −
I
B(r, t) · dS = 0,
I
P
S
L
S
L
3.3.
Q(t)
ε
I
B(r, t) · dL =
∂Φm (t) X
+ Ei(r, t)
∂t
i
i Ii (r, t)
c2 ε
+
1 ∂Φe (t)
c2 ∂t
Zasada zachowania ladunku elektrycznego
Jednym z najważniejszych praw przyrody jest zasada zachowania ladunku elektrycznego, zgodnie z która̧
algebraiczna suma ladunków elektrycznych w odizolowanym elektrycznie
ukladzie jest wielkościa̧ stala̧.
W tym kontekście mówimy, że ladunek elektryczny jest niezniszczalny, tj. nie znika ani nie
powstaje samoistnie.
Zasada zachowania ladunku elektrycznego jest zawarta w równaniach Maxwella. Na mocy
(17) mamy
j(r, t)
∂E(r, t)
c2 · rot B(r, t) −
=
,
ε0
∂t
zaś z równania (14) otrzymujemy, kolejno,
!
∂
∂E(r, t)
1 ∂ρ(r, t)
1
j(r, t)
2
.
div E(r, t) = div
=
= div c · rot B(r, t) −
∂t
∂t
ε0 ∂t
ε0
ε0
Ponieważ jednak div rot B(r, t) = 0, wiȩc matemtyczna postać zasady zachowania ladunku
elektrycznego w punkcie12 przyjmuje postać
∂ρ(r, t)
+ div j(r, t) = 0.
(24)
∂t
Oznacza to, że ladunek elektryczny w danym punkcie przestrzeni może wzrosna̧ć (zmaleć)13
jedynie w wyniku naplyniȩcia do (wyplyniȩcia od) tego punktu ladunku elektrycznego14. Widać
to wyraźnie po wycalkowaniu ostatniego równania po niewielkiej objȩtości dV otaczaja̧cej dany
punkt r:
Z
Z
I
∂ρ(r, t)
dQV (t)
dV =
= − div j(r, t)dV = − j(r, t) · dS,
∂t
dt
S
co prowadzi do innej postaci zasady zachowania ladunku elektrycznego QV (t) znajduja̧cego siȩ
wewna̧trz objȩtości dV
I
dQV (t)
(25)
+ j(r, t) · dS = 0.
dt
S
12
Dokladniej, w nieskończenie malym otoczeniu dowolnego punktu r.
Co charakteryzuje pochodna cza̧stkowa gȩstości ladunku elektrycznego wzglȩdem czasu.
14
Co opisuje dywergencja wektora gȩstości pra̧du elektrycznego j(r,t).
13
11
Ostatni zwia̧zek czytamy w nastȩpuja̧cy sposób:
Zmiana w czasie ladunku elektrycznego w danej objȩtości V jest równa strumieniowi gȩstości pra̧du (−j(r, t)) elektrycznego przez powierzchniȩ otaczaja̧ca̧ tȩ
objȩtość15.
Dodajmy jeszcze, że ladunek elektryczny jest skwantowany, co oznacza, że istnieje najmniejsza i niepodzielna ilość (porcja) ladunku elektrycznego, która wynosi
e = (1, 602 189 ± 0, 000 013) · 10−19 C.
(26)
16
Wartość ladunku równa e nosi nazwȩ ladunku elementarnego .
3.4.
Pole elektromagnetyczne
Materiał tego rozdziału nie był omawiany na wykładach.
nie by W tym punkcie wskażemy na jedność pola elektromagnetycznego, tj. podkreślimy, że
wprawdzie pole elektromagnetyczne w wybranym ukladzie odniesienia (wspólrzȩdnych) może
być czysto elektryczne (lub czysto magnetyczne), to w innym — poruszaja̧cym siȩ ukladzie
odniesienia — pole to ma różne od zera skladowe wektorów elektrycznych i magnetycznych.
Zauważmy, że pole elektromagnetyczne charakteryzuja̧ wektory (E(r), B(r). Oznacza to, że z
każdym punktem pola zwia̧zanych jest sześć liczb (Ex , Ey , Ez , Bx , By , Bz ) bȩda̧cych skladowymi
wektorów (E(r), B(r).
W ukladzie odniesienia K, w którym ladunki spoczywaja̧, ich gȩstość ρ(r) 6= 0 i wektor
gȩstości pra̧du j = 0 z uwagi na to, że prȩdkość ladunków (w tak dobranym ukladzie odniesienia)
jest równa zeru.
Rozważmy teraz uklad K ′ poruszaja̧cy siȩ wg K z prȩdkościa̧ v, tak że osie tych ukladów
sa̧ równolegle do siebie i K ′ porusza siȩ wzdluż osi OX. Wtedy gȩstość ladunku
ρ(r)
ρ′ (r′) = q
(27)
1 − v 2/c2
i gȩstość pra̧du
j(r′ ) = ρ′ (r′ ) · v = q
ρ(r)v
1 − v 2/c2
.
(28)
Stajemy przed problemem: Jak transformuja̧ siȩ gȩstość ρ ladunku i gȩstość pra̧du j przy
zmianie inercjalnego ukladu odniesienia?
Okazuje siȩ, że tak samo jak zmienne (x, y, z, t), jeśli zamiast nich bȩdziemy używali czterowektora (jx , jy , jz , ρ) co przedstawiono w poniższej tabeli:
Transformacja Lorentza czterowektora (jx , jy , jz , ρ). W pierwszej kolumnie podano
standardowa̧ transformacjȩ Lorentza czterowektora (x, y, z, t).
jx − vρ
x − vt
jx′ = q
1 − v 2 /c2
1 − v 2 /c2
y′ = y
jy′ = jy
z′ = z
jz′ = jz
ρ − vjx′ /c2
t − vx/c2
ρ′ = q
t′ = q
1 − v 2 /c2
1 − v 2 /c2
x′ =
q
Można by spytać: Jak siȩ transformuja̧ w analogicznej sytuacji wektory (E(r), B(r) pola elektromagnetycznego? Odpowiedzia̧ sa̧ poniższe wzory, które podajemy bez uzasadnienia17 .
15
16
Zwracamy uwagȩ na znak minus stoja̧cy przed wektorem gȩstości pra̧du j.
Jest to ladunek elektryczny elektronu. Obecnie sa̧dzimy, że kwarki maja̧ ladunki elektryczne bȩda̧ce ulamkiem
17
Wykracza to poza ramy standardowego kursu Fizyki Ogólnej.
e.
12
Transformacja skladowych wektorów pola elektromagnetycznego (E, B).
Ex′ = Ex
Bx′ = Bx
Ey − vBz
By + vEz /c2
′
′
q
Ey =
By = q
2
2
1 − v /c
1 − v 2 /c2
Bz − vEy /c2
Ez + vBy
′
′
Bz = q
Ez = q
1 − v 2 /c2
1 − v 2 /c2
Jak widzimy, jeśli w jednym ukladzie pole elektromagnetyczne ma jedynie skladowe elektryczne,
tj. (E 6= 0, B = 0), to po przejściu do innego inercjalnego ukladu odniesienia pole elektromagnetyczne ma skladowe magnetycznego wektora B′ , które sa̧ różne od zera.
Dla v ≪ c mamy
Ex′ = Ex
Ey′ = Ey − vBz
Ez′ = Ez + vBy
Bx′ = Bx
By′ = By
Bz′ = Bz
Przykladowo, niechaj w ukladzie spoczywaja̧cym K pole elektromagnetyczne jest czysto
elektryczne (E = (Ex 6= 0, Ey 6= 0, Ez 6= 0, B = 0), którego źródlem sa̧ nieruchome ladunki
elektryczne. Te same ladunki w ukladzie odniesienia K ′ znajduja̧ siȩ w ruchu i pole elektromagnetyczne ma niezerowe skladowe wektorów elektrycznego i magnetycznego E′ = (Ex′ 6=
0, Ey′ 6= 0, Ez′ 6= 0) oraz B′ = (Bx 6= 0, By 6= 0, Bz 6= 0), gdzie wartości tych skladowych
określaja̧ wyrażenia podane w ostatniej tabeli. Otrzymane wyniki nie powinny być dla nas zaskoczeniem z uwagi na podane wcześniej wzory transformacyjne dla gȩstości ladunku i pra̧du
(patrz poprzednie przytoczone tabele).
3.5.
Elektrostatyka
Zastosujemy podany wyżej uklad równań Maxwella do analizy prostych sytuacji fizycznych.
Innymi slowy, bȩdziemy rozwia̧zywali uklad równań Maxwella w określonych przypadkach.
Rozpoczniemy od zbadania pól stacjonarnych (statycznych, tj. niezależnych od czasu) co
oznacza, że wszystkie ladunki elektryczne sa̧ na stale umiejscowione w przestrzeni18 (znajduja̧
siȩ w polożeniach równowagi) lub też poruszaja̧ siȩ w ten sposób, że wytwarzaja̧ staly pra̧d
elektryczny.
Ilościowo statyczność pola elektromagnetycznego oznacza, że
skalar ρ(r, t) — nie zależy od czasu, w każdym punkcie przestrzeni ,
wektor j(r, t) = j0 — nie zależy od czasu, w każdym punkcie przestrzeni .
Wtedy uklad równań Maxwella nie zawiera pochodnych wzglȩdem czasu i rozpada siȩ na
uklad dwóch niezależnych od siebie równań
æ(r)
∇ · E(r) = div E(r) =
,
(29)
”0
∇ × E(r) = rot E(r) = 0
(30)
oraz
∇ × B(r) = rot B(r) =
j(r)
,
ε 0 c2
(31)
∇ · B(r) = div B(r) = 0
(32)
18
W wybranym, także spoczywaja̧cym wg ladunków, inercjalnym ukladzie odniesienia. Znaja̧c pole elektromagnetyczne w tym ukladzie możemy je wyznaczyć w każdym innym ruchomym ukladzie inercjalnym korzystaja̧c
z podanych uprzednio wzorów transformacyjnych.
13
Pierwsza para (29, 30) równań opisuje elektrostatykȩ, a druga (31, 32) magnetostatykȩ. Jak
widzimy w przypadku pól stacjonarnych elektryczność i magnetyzm sa̧ niezależnymi polami dopóty, dopóki ladunki elektryczne oraz pra̧dy elektryczne sa̧ statyczne. Podkreślmy jeszcze raz, że jest tak tylko i wyla̧cznie w inercjalnym ukladzie odniesienia wzglȩdem,
którego ρ i j nie zależa̧ od czasu. W każdym innym ukladzie odniesienia (np. poruszaja̧cym siȩ ze
stalym lub zmiennym w czasie przyspieszeniem) już tak nie jest, tzn. pole elektromagnetyczne
nie separuje siȩ na dwa niezależne od siebie pola: elektryczne i magnetyczne.
Obecnie zajmiemy siȩ polem elektrostatycznym. Źrodlem pola elektrostatycznego sa̧ nieruchome ladunki elektryczne. Przy wyznaczaniu pola elektrycznego (magnetycznego także)
poslugujemy siȩ zasada̧ superpozycji, zgodnie z która̧:
Calkowite natȩżenie pola elektrostatyczego Ec (r) jest suma̧ wektorowa̧ natȩżeń
pól elektrostatycznych
Ec (r) =
N
X
Ei (r),
(33)
i=1
których źródlem sa̧ różne ladunki elektryczne Qi rozlożone w przestrzeni.
3.5.1.
Pole elektrostatyczne ladunku punktowego
Niechaj źródlem pola bȩdzie ladunek Q umieszczony w próżni. Zapytajmy o wartość natȩżenia
E(r) pola elektrostatycznego w punkcie odleglym o r od tego ladunku. W celu wyznaczenia
wartości natȩżenia pola zauważmy, że z uwagi na symetriȩ sferyczna̧ naszego zagadnienia wektor
E(r) powinien być równolegly do wektora r. Tylko taka konfiguracja geometryczna zapewnia, że
symetria pola elektrostatycznego bȩdzie sferyczna̧. Oznacza to, że dowolny obrót ukladu wokól
punktu, w którym znajduje siȩ ladunek elektryczny oraz pocza̧tek naszego ukladu odniesienia,
nie zmienia wartości wektora E(r). Policzmy strumień wektora E(r) przez powierzchniȩ S(r),
która jest sfera̧ o promieniu r i środku w miejscu polożenia ladunku Q. Z prawa Gaussa dla
pola elektrycznego otrzymujemy:
I
Q
ΦE (r) = E · dS = .
(34)
ε0
S
Ponieważ strumień wektora
natȩżenia pola jest równy
I
ΦE = E(r)
S(r)
dS = 4πr2 E,
wiȩc wartość natȩżenia pola elektrycznego w odleglości r wynosi
1 Q
E(r) =
,
(35)
4πε0 r2
co ostatecznie prowadzi do
Q·r
1 Q·r
=k 3 ,
(36)
E(r) =
3
4πε0 |r|
|r|
√
1
, a |r| = x2 + y 2 + z 2 jest dlugościa̧ wektora r; dalej dlugość wektora r
gdzie k =
4πε0
bȩdziemy oznaczali symbolem r.
Zauważmy, że dla dodatniego ladunku Q strumień jest dodatni, co oznacza, że E jest
równolegle do r, zaś dla ujemnego Q wektor E jest antyrównolegly do r.
Wartość dzialaja̧cej sily Coulomba FC (r) na ladunek q umieszczony w odleglości r od Q
jest równa
Qq · r
(37)
FC (r) = q E(r) = k 3 ,
r
która jest ujemna (przycia̧gaja̧ca) dla różnoimiennych i dodatnia (odpychaja̧ca) dla jednoimiennych ladunków elektrycznych Q i q.
Pole elektrostatyczne jest zachowawcze, co oznacza, że
rot E(r) = 0.
14
Zadanie 9. Pokazać bezpośrednim rachunkiem sluszność ostatniej równości.
Zatem istnieje taka funkcja skalarna φ(r), zwana potencjalem elektrostatycznym, że
E(r) = −∇ φ(r),
(38)
której wartość w danym punkcie pola jest z definicji równa
φ(r) = −
Z
r
r0
E(r) · dr.
(39)
Korzystaja̧c z wyprowadzonej postaci E możemy policzyć wartość potencjalu φ(r)
Z r
1 Q
E · dr =
φ(r) = −
.
(40)
4πε0 r
∞
Zadanie 10. Korzystaja̧c z (36) obliczyć calkȩ wystȩpuja̧ca̧ w ostatnim wzorze.
Dodajmy, że znajomość potencjalu pozwala teraz wyznaczyć wartość natȩżenia pola elektrostatycznego na podstawie wzoru (38).
Zadanie 11. Posluguja̧c siȩ (38) wyznaczyć natȩżenie pola elektrostatycznego (36).
Ponadto, w przypadku pola zachowawczego, poslugujemy siȩ także pojȩciem energii potencjalnej Ep (r) ladunku q umieszczonego w polu elektrostatycznym ladunku Q, która wynosi
Z r
1 Qq
.
(41)
FC (r) · dr = qφ(r) =
Ep (r) = −
4πε0 r
∞
Jeśli źródlem pola sa̧ ladunki elektryczne Q1, Q2, ..., Qn rozlożone w punktach r1, r2 , ..., rn,
to:
— na mocy zasady superpozycji, wypadkowe pole E w punkcie r0 jest równe
E(r0) =
n
X
i=1
gdzie
Ei (r0 − ri ),
(42)
Qi
1
· (r0 − ri ),
4πε0 (r0 − ri )3
— wypadkowy potencjal φ(r0 )
n
n
X
X
1
Qi
φi (r0 − ri ) =
φ(r0 ) =
;
i=1 4πε0 (r0 − ri )
i=1
— energia potencjalna
n X
1X
1 Qi Qj
Ep (r0 ) =
.
2 i=1 i6=j 4πε0 rij
Ei =
Jeśli rozklad ladunku w przestrzeni zadaje gȩstóść objȩtościowa ladunków ρ(r′ ), to w
objȩtości dV otaczaja̧cej punkt r′ zgromadzony jest ladunek
dQ = ρ(r′) · dV,
który w punkcie r wytwarza pole elektryczne
— o natȩżeniu
ρ(r′ − r)
· (r′ − r)dV
dE(r) = k ′
3
(r − r)
— i potencjale
ρ(r′ − r)
dV.
dφ(r) = k
r − r′
Pole elektrostatyczne wytwarzane przez cia̧gly rozklad ladunku w danym punkcie charakteryzuje wiȩc
— wypadkowe natȩżenie pola elektrycznego
Z
Z
ρ(r′ − r)
k ′
dE(r) =
E(r) =
· (r′ − r)dV
(r − r)3
V
V
15
— wypadkowy potencjal
ρ(r′ − r)
dV.
r − r′
V
V
Wyznaczanie w opisany powyżej sposób natȩżeń pól elektrostatycznych jest zagadnieniem
dość ucia̧żliwym rachunkowo. Poniżej przedstawimy metodȩ wyznaczania natȩżenia pola elektrostatycznego oparta̧ na twierdzeniu i prawie Gaussa dla pola elektrostatycznego, która zastosujemy do wysoko symetrycznych rozkladów ladunku elektrycznego.
φ(r) =
3.5.2.
Z
dφ(r) =
Z
k
Pole elektrostatyczne jednorodnie naladowanej kuli i sfery
Niechaj dielektryczna kula o promieniu R bȩdzie jednorodnie naladowana objȩtościowo ladunkiem Q. Wtedy gȩstość ladunku
Q
ρ(r) =
(4/3)πR3
jest stala w calej objȩtości kuli. Kulȩ umieszczamy w pocza̧tku ukladu odniesienia.
Z uwagi na symetriȩ sferyczna̧ rozkladu ladunku w objȩtości kuli powstale pole elektrostatyczne musi mieć symetriȩ sferyczna̧19, co oznacza, że wektor natȩżenia pola E jest równolegly
do promienia wodza̧cego r. Otoczmy nasza̧ kulȩ sfera̧ o promieniu r > R i policzmy strumień
wektora E przez tȩ powierzchniȩ. Na mocy twierdzenia Gaussa mamy
I
I
Q
E(r) · dS = E(r > R)
dS = E(r > R)4πr2 = .
ΦE (r > R) =
ε0
S(r)
S(r)
Zatem wartość natȩżenia pola w punkcie r > R wynosi
1 Q
·r
E(r) =
4πε0 r3
Policzmy obecnie natȩżenie pola elektrycznego wewna̧trz kuli dla r < R. Poslużymy siȩ
ponownie prawem Gaussa w postaci calkowej, na mocy którego
I
I
Q(r)
dS = E4πr2 =
E(r) · dS = E
ΦE (r < R) =
,
ε0
S(r)
S(r)
Q
r
4πr3
4πr3
=
= Q( )3 jest ladunkiem zgromadzonym wewna̧trz kuli
gdzie Q(r) = ρ ·
3
3
(4/3)πR 3
R
o promieniu r. Zatem
1 Qr
E(r) =
.
4πε0 R3
Policzymy jeszcze potencjal pola elektrycznego w rozpatrywanym przypadku:
— dla r > R mamy
Z r
kQ ′ kQ
φ(r > R) = −
dr =
,
r
∞ r,2
— dla r < R
Z r′
Z R
3kQ kQr2
′
′
−
.
E(r′ < R)dr′ =
E(r ≥ R)dr −
φ(r < R) = −
2R
2R
R
∞
Zadanie 12. Otrzymać samodzielnie podane wyżej wartości potencjalu.
Zadanie 13. Wykonać wykresy E(r) oraz φ(r) dla pola elektrostatycznego jednorodnie
naladowanej kuli dielektrycznej. Czy sa̧ to funkcje cia̧gle zmiennej r?
Zauważmy, że potencjal V (r) naladowanej kuli osia̧ga wartość ekstremalna̧ dla r = 0. Dla
Q < 0 jest to minimum, a dla Q > 0 maksimum. W pierwszym przypadku potencjal tworzy
jamȩ potencjalna̧ dla dodatnie naladowanych ladunków a w drugim dla ujemnie naladowanych
ladunków. Tak wiȩc każda chmura ladunku elektrycznego jest dla różnoimiennie naladowanej
cza̧stki jama̧ potencjalna̧.
19
Doświadczenie pokazuje, że obrót kuli o dowolny ka̧t wokól dowolnej osi przechodza̧cej przez środek kuli
nie zmienia pola elektrostatycznego wokól kuli.
16
Zajmiemy siȩ jeszcze polem elektrostatycznym wytwarzanym przez jednorodnie naladowana̧
sferȩ o promieniu R, na powierzchni której zgromadzono ladunek Q o gȩstości powierzchniowej
Q
σ=
. Z takim przypadkiem mamy do czynienia zawsze, gdy ladunki gromadzimy na izo4πR2
lowanej kuli przewodza̧cej (metalowej). Wtedy wszystkie ladunki gromadza̧ siȩ na powierzchni
metalowej kuli czego przyczyna̧ jest odpychanie siȩ ladunków elektrycznych.
Tak jak poprzednio obliczamy wartość natȩżenia pola elektrycznego dla r > R stosuja̧c
prawo Gaussa. Rezultat jest nastȩpuja̧cy:
Q r
· .
r3 r
Latwe rachunki daja̧ wartość potencjalu
E(r > R) = k
φ(r > R) = k
Q
,
r
gdzie Q = σ · 4πR2 .
Dla r < R podobne obliczenia daja̧
E(r < R) = 0
oraz
r
kQ ′
kQ
0 · dr′ =
dr
−
.
′2
R
∞ r
R
Jak widzimy wnȩtrze powloki sferycznej jest obszarem stalego potencjalu i zerowego
natȩżenia pola elektrostatycznego.
Zadanie 14. Otrzymać samodzielnie podane wyżej wartości natȩżenia i potencjalu w rozpatrywanym przypadku.
Zadanie 15. Wykonać wykresy E(r) oraz φ(r) dla pola elektrostatycznego jednorodnie
naladowanej sfery. Czy sa̧ to funkcje cia̧gle zmiennej r?
φ(r < R) = −
3.5.3.
Z
R
Z
Pole jednorodnie naladowanych plaszczyzn
Symetria tym razem jest cylindryczna. Oznacza to, że obrócenie naladowanej plaszczyzny (patrz
rysunek) wokól dowolnej osi prostopadlej do plaszczyzny o dowolny ka̧t nie zmienia pola elektrostatycznego. Sta̧d wynika, że pole elektrostatyczne (tj. wektor natȩżenia pola E) jest prostopadle do tej plaszczyzny. Stosuja̧c ponownie twierdzenie Gaussa dla odpowiednio wybranych
powierzchni otrzymujemy, że
σ
,
(43)
E(r) =
2ε0
gdzie σ jest gȩstościa̧ powierzchniowa̧ ladunku zgromadzonego na plaszczyznie.
Podobnie pokazuje siȩ, że wartość E pola elektrostatycznego wytwarzanego przez dwie
równolegle plaszczyzny naladowane z gȩstościa̧ powierzchniowa̧ σ1 oraz σ2 (patrz rysunek)
wynosi:
— w obszarze pomiȩdzy plaszczyznami
σ1
σ2
Ewew =
+
,
(44)
2ε0 2ε0
— w pozostalych obszarach
σ1
σ2
Ezew =
−
.
(45)
2ε0 2ε0
Jak widzimy, jeśli σ1 = σ2 = σ, to Ewew = σ/(ε0) i Ezew = 0.
17
3.5.4.
Pole jednorodnie naladowanego walca
Rozpatrzymy cienki20 i dostatecznie dlugi dielektryczny (nieprzewodza̧cy) walec–drut
równomiernie naladowany z liniowa̧ gȩstościa̧ λ. Z prawa Gaussa otrzymujemy
I
Q′
E · dS = E · 2πrd = ,
ε
gdzie d jest dlugościa̧ walca. Ladunek Q′ zgromadzony na walcu o dlugości d wynosi Q′ = d · λ
wiȩc
r
λ
· .
E(r) =
2πε0r r
Policzymy jeszcze potencjal tego pola
Z r
Z r
Z r
λ
r′ ′
λ
λ
1 ′
′
′
E(r )dr = −
· ′ dr = −
dr = −
φ(r) = −
ln r + φ(∞),
′
′
r
2πε0 ∞ r
2πε0
∞ 2πε0 r
∞
λ
gdzie φ(∞) =
ln(r = ∞) jest potencjalem pola w nieskończoności21 . Różnica potencjalów
2πε0
∆φa,b = φ(ra ) − φ(rb ) (zwana także napiȩciem) pomiȩdzy dwoma punktami ra oraz rb jest
skończona i równa
λ
rb
φ(ra ) − φ(rb) =
ln( ).
2πε0
ra
Zadanie 16. Sporza̧dzić wykresy zależności E(r) oraz φ(r) w rozpatrzonym wyżej przypadku.
Nieco bardziej zlożony rachunkowo jest przypadek nieprzewodza̧cego walca o promieniu
R > 0 naladowanego z gȩstościa̧ objȩtościowa̧ ρ =const.
Dia r > R z prawa Gaussa wynika, że
Q(h)
,
E(r)2πrh =
ε0
gdzie Q = πR2 hρ, co prowadzi do
R2 ρ 1
E(r > R) =
,
2ε0 r
a potencjal wynosi
Z r
R2 ρ
ln r − φ(∞)
E(r′ > R)dr′ = −
φ(r > R) = −
2ε0
∞
R2 ρ
gdzie φ(∞) =
ln(r = ∞) jest potencjalem pola w nieskończoności. Latwo sprawdzić, że
2ε0
różnica potencjalów jest skończona
R2 ρ
ln(rb /ra ).
φ(ra > R) − φ(rb > B) =
2ε0
Dla r < R z prawa Gaussa otrzymujemy
Q(h)
E(r < R)2πrh =
,
ε0
ale
Q(h) = ρπr2 h
wiȩc
ρ
r.
2ε0
Policzmy wartość potencjalu dla r < R
E(r < R) =
φ(r < R) = −
20
21
Z
r
∞
′
′
E(r )dr = −
Z
R
∞
′
′
E(r > R)dr −
Z
r<R
E(r′ < R)dr′
R
W tym przypadku zakladamy, że średnica walca jest na tyle mala̧, że jest praktycznie równa zeru.
W rozpatrywanym przypadku jest on równy ∞ z uwagi na nieskończone rozmiary naladowanego drutu.
18
oraz
R2 ρ
ρ 2
ln R + φ(∞) −
(r − R2 ).
2ε0
4ε0
Zadanie 17. Sporza̧dzić wykresy zależności E(r) oraz φ(r) w rozpatrzonym wyżej przypadku.
φ(r < R) = −
3.5.5.
Rozwia̧zanie ogólne równań Maxwella
Materiał tego rozdziału nie był omawiany na wykładach.
Podane w poprzednich podpunktach równania Maxwella można rozwia̧zać, jeśli znamy
źródla pola elektromagnetycznego, którymi – przypomnijmy – sa̧:
rozklad ladunków w przestrzeni — zadany funkcja̧ ρ(r, t) = ρ(x, y, z, t)
oraz
pra̧d
elektryczny
—
określony
za
pomoca̧
funkcji
j(r, t) = (jx (x, y, z, t), jy (x, y, z, t), jz (x, y, z, t)).
Znaja̧c te wielkości można wyznaczyć rozwia̧zanie ukladu równań Maxwella w postaci
∂A(r, t)
,
(46)
E(r, t) = −∇ φ(r, t) −
∂t
B(r, t) = ∇ × A(r, t),
(47)
gdzie φ(r, t) oraz A(r, t) sa̧, odpowiednio, potencjalem skalarnym i potencjalem wektorowym
pola elektromagnetycznego, których wartości określaja̧ nastȩpuja̧ce zwia̧zki
r12
Z ρ(r2 , t −
)
c dV
(48)
φ(r1, t) =
2
4πε0r12
i
r
Z j(r2 , t − 12 )
c dV .
A(r1 , t) =
(49)
2
4πε0 r12c2
W powyższych wzorach dV2 = dx2q
dy2 dz2 jest elementem odjȩtości w punkcie r2 = (x2 , y2, z2)
odleglym od r1 = (x1 , y1, z1) o r12 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2)2 .
Zauważmy, że pole elektromagnetyczne zadaja̧ dwie wielkości. Jedna z nich jest skalarem
φ(r, t), zaś druga jest wektorem A(r, t) zwanym potencjalem wektorowym. Tak wiȩc zamiast
sześciu liczb, bȩda̧cych wspólrzȩdnymi wektorów E(r, t) oraz B(r, t) możemy poslugiwać siȩ
czterema liczbami, tj. (φ(r, t), A(r, t)).
Użyjemy obecnie powyższych wzorów do ponownego rozwia̧zania zagadnienia pola wytwarzanego przez ladunek punktowy. W tym celu poslużymy siȩ pojȩciem uogólnionej funkcji zwanej
δ–funkcja̧ Diraca, która nie ma określonych wartości i jest zdefiniowana za pomoca̧ calki
Z
a
−a
f(x)δ(x)dx = f(0).
Trójwymiarowa funkcja δ–Diraca ma postać
Z
f(r)δ(r)dV = f(0).
V
Za pomoca̧ tej funkcji możemy zapisać gȩstość ladunku Q punktowego w postaci
ρ(r) = Q · δ(r − r0 ),
ponieważ
Z
ρ(r)dV =
Z
(50)
Q · δ(r − r0)dV = Q.
Podstawienie gȩstości (50) do równania (48) daje
r
Z Q · δ(r0 − r2 , t − 12 )
c dV = Q ,
φ(r1, t) =
2
4πε0 r12
4πε0 r
gdzie polożono, że r0 = 0 (tj. ladunek Q umieszczono w pocza̧tku ukladu odniesienia) i r1 jest
odleglościa̧ punktu, w którym wyznaczamy wartość potencjalu pola elektrostatycznego.
19
Znaja̧c teraz potencjal można obliczyć natȩżenie pola elektrycznego korzystaja̧c ze wzoru
(46).
3.5.6.
Równania Poissona i Laplace’a
Materiał tego rozdziału nie był omawiany na wykładach.
Pokażemy, że zagadnienia elektrostatyki sprowadzaja̧ siȩ do równania Laplace’a lub Poissona, ponieważ z prawa Gaussa dla pola elektrycznego, z uwagi na zwia̧zek E(r) = −∇φ(r),
wynika
ρ(r)(r, t)
∇ · E(r, t) = −∇ · ∇φ(r, t) = ∇2φ(r, t) =
.
(51)
”0
Jeśli ρ(r, t) = 0, to powyższe równanie jest nazywane równaniem Laplace’a. Dla ρ(r)(r, t) 6=
0 równanie to nosi nazwȩ równania Poissona, którego ogólnym rozwia̧zaniem jest (48).
Podobnie pokazuje siȩ, że potencjal wektorowy A(r, t) spelnia równanie
1 ∂ 2A(r, t)
j(r, t)
=−
.
(52)
2
2
c
∂t
ε 0 c2
Dodajmy, że ostatnie równanie jest ukladem trzech równań dla trzech wspólrzȩdnych wektora
potencjalu A(r, t).
∇ · A(r, t) −
3.5.7.
Pole elektryczne w przewodnikach
Po dostarczeniu przewodnikowi ladunku elektrycznego nastȩpuje przemieszczenie siȩ ladunków
pod wplywem oddzialywań elektrycznych. Ladunki elektryczne staraja̧ siȩ znaleźć jak najdalej
od siebie co oznacza, że rozmieszczaja̧ siȩ one na powierzchni przewodnika.
Okazuje siȩ, że naladowany przewodnik jest obszarem stalego potencjalu, co zapisujemy jako
Vprzewodnika = const, E = 0.
Przypomnijmy, że natȩżenie pola elektrostatycznego kuli przewodza̧cej o promieniu R na
jej powierzchni jest równe
σ
Q
=
,
E=
4πε0R2
ε0
Q
gdzie σ =
jest gȩstościa̧ powierzchniowa̧ ladunku na powierzchni kuli. Sta̧d widać, że im
4πε0
mniejszy promień R kuli, tym wiȩksze natȩżenie E pola elektrostatycznego co jest wykorzystywane w zastosowaniach praktycznych (ostrza piorunochronów, elektroda mikroskopu polowego
(zwanego mikroskopem skaningowym)).
Przypomnijmy, że natȩżenie pola elektrostatycznego pomiȩdzy dwoma naladowanymi
plaszczyznami jest równe
σ
E=
= const.
ε0
Dobrym tego przykladem jest kondensator plaski, w którym natȩżenie pola jest jednorodne.
Z uwagi na to różnica potencjalów U pomiȩdzy okladkami kondensatora znajduja̧cymi siȩ w
odleglości d jest równa
σd
Qd
U = Ed =
=
.
ε0
Sε0
Przypomnijmy, że pojemnościa̧ C przewodnika o potencjale U, na którym zgromadzony jest
ladunek Q wynosi
Q
C= .
U
20
Jak widzimy pojemność kondensatora plaskiego jest równa
Q
S
C=
= ε0 .
U
d
Dodajmy, że jeśli pomiȩdzy okladkami kondensatora znajduje siȩ dielektryk, to jego pojemność
S
C = εε0 .
d
Zadanie 18. Uzasadnić, że pojemność kondensatora kulistego jest równa 4πε0 R.
3.6.
Staly pra̧d elektryczny
Rozpatrzmy wybrane pole powierzchni wewna̧trz przewodnika, przez która̧ przeplywaja̧ ladunki
elektryczne22. Przeplyw pra̧du jest spowodowany przylożeniem do przewodnika pola elektrycznego o natȩżeniu
E = −∇φ,
gdzie φ jest potencjalem pola, który nie zależy od czasu. Dodajmy, że wartość dzialaja̧cej na
ladunek q sily F wynosi F = q · E.
Przeplyw pra̧du charakteryzujemy za pomoca̧ dwóch wielkości:
natȩżenia pra̧du
dQ
,
(53)
I=
dt
określaja̧cego ilość ladunku przeplywaja̧cego w jednostce czasu przez przewodnik;
wektora gȩstości pra̧du
I
v̂ = q · n · v,
(54)
j=
S⊥
gdzie S⊥ jest polem powierzchni prostopadlym do kierunku przeplywu pra̧du, v̂ jest
wersorem prostopadlym do S⊥ , n oznacza koncentracjȩ nośników pra̧du, a v prȩdkość
nośników pra̧du.
Jednostka̧ natȩżenia pra̧du jest amper o wymiarze A=C/m. Wymiar wektora gȩstości pra̧du
to A/(m2).
Możemy oszacować wartość prȩdkości nośników pra̧du w typowym przewodniku. Dla przewodnika miedziowego n = 8, 5 · 1023 m−3 . Jeśli I = 10 A, S⊥ = 1mm2, to j = I/S⊥ = 107
107
= 7.4· 10−4 m=0.7
A/m2 . Zatem prȩdkość nośników pra̧du v = j/(q · n) =
8.5 · 1028 · 1.6 · 10−19
mm/s.
3.6.1.
Prawa przeplywu pra̧du stalego
Wyprowadzimy pierwsze prawo Kirchhoffa. Rozpatrzmy wȩzel w sieci elektrycznej pra̧du
stalego. Z równania cia̧glości
∂ρ(r, t)
∇ · j(r) = div j(r) = −
,
∂t
dla stacjonarnego przeplywu ρ = const i ρ nie zależy od czasu. Zatem dla pra̧du stacjonarnego
∇ · j = div j = 0
Zastosujmy twierdzenie Gaussa do funkcji div j co prowadzi do I prawo Kirchhoffa:
Z
22
div j dV = 0 =
I
S
j · dS =
N
X
k=1
ji Si =
N
X
k
Oznacza to, że w przewodniku plynie pra̧d elektryczny.
21
Ik .
I prawo Ohma
Natȩżenie pra̧du I plyna̧cego w przewodniku jest wprost proporcjonalne do
napiȩcia U przylożonego do jego końców
U
I= ,
R
1
gdzie
jest wspólczynnikiem proporcjonalności, w którym R jest oporem przeR
wodnika.
1
Dodajmy, że
jest nazywane przewodnościa̧ przewodnika.
R
Zauważmy, że jednostka̧ napiȩcia jest wolt, jednostka̧ oporu om.
Opór jednorodnego i izotropowego przewodnika wynosi
l
R = ρw ,
S
gdzie ρw – opór wlaściwy przewodnika, l i S to, odpowiednio, dlugość i pole przekroju poprzecznego przewodnika.
Różniczkowe prawo Ohma
Niechaj do przewodnika w ksztalcie walca o polu powierzchni poprzeccnej S bȩdzie
przylożone napiȩcie U = El, gdzie E natȩżenie pola elektrycznego i l dlugość walca. Wtedy
El
1
I = jS = U/R =
=
ES,
ρw l/S
ρw
co oznacza, że
1
j=
E = σ E.
(55)
ρw
Ostatnia równość jest nazywana równaniem Ohma w postaci różniczkowej.
Pole w przewodniku jest zachowawcze, ponieważ z relacji div j = 0 wynika, także div E = 0.
Ponadto dla przewodnika umieszczonego w polu elektrycznym, z uwagi na ostatnia̧ równość,
pole elektryczne wewna̧trz przewodnika jest zachowawcze co oznacza, że
rot E = 0.
Po zastosowaniu twierdzenia Stokes’a do zamkniȩtego obwodu elektrycznego umieszczonego w
polu elektrycznym otrzymujemy
I
Z
I
1
E · dl = rot E · dS = 0 =
j · dl,
(56)
σ L
L
S
co oznacza, że w przewodniku takim nie plynie żaden pra̧d elektryczny.
W celu spowodowania przeplywu pra̧d elektrycznego w przewodniku lub obwodzie elektrycznym należy do niego wla̧czyć żródlo sily elektromotorycznej o napiȩciu E. Wtedy to algebraiczny
spadek napiȩcia na przewodniku lub w obwodzie elektrycznym jest równy algebraicznej sumioe
sil elektromotorycznych podla̧czonych do obwodu co zapisujemy w nastȩpuja̧cej postaci zwanej
II prawem Kirchhoffa:
N el
X
k=1
Ek =
N
op
X
IlRl ,
(57)
l=1
gdzie Nel jest liczba̧ różnych źródel sily elektromotorycznej wla̧czonych w obwód, Nop liczba
oporów w obwodzie. Prawo to stosujemy pamiȩtaja̧c, że dana wartość Ek jest brana ze znakiem
plus, jeśli przechodzimy przez źródlo w stronȩ wzrostu potencjalu (dodatni biegun źródla,
oznaczany za pomoca̧ krótkiej pionowej i pogrubionej kreski, ma wyższy potencjal niż biegun
ujemny, zaznaczany na schematach za pomoca̧ pionowej dlugiej i cienkiej kreski). Ponadto
wartość plyna̧cego pra̧du bierzemy ze znakiem dodatnim, jeśli obchodzimy obwód w kierunku
zgodnym z przeplywem pra̧du.
22
Z przeplywem pra̧du elektrycznego zwia̧zane sa̧ efekty cieplne. Ilość wydzielonego ciepla w
przewodniku jest równa
W = Q · U = I · U · t.
3.7.
(58)
Magnetostatyka
Źródlem pola magnetycznego sa̧ poruszaja̧ce siȩ ladunki elektryczne, czyli przewodnik z
plyna̧cym w nim pra̧dem elektrycznym.
Podobnie doświadczalnie przekonujemy siȩ o tym, że obiektami na które dziala pole magnetyczne sa̧ także ruchome ladunki elektryczne.
Weźmy pod uwagȩ przewodnik przez, który plynie staly pra̧d elektryczny o natȩżeniu I
∂E(r, t)
i gȩstości j. Zakładamy stacjonarność pola elektrycznego, co oznacza, że
= 0. Z ostat∂t
niego równania Maxwella (tj. równania Ampera) w postaci calkowej, biora̧c za krzywa̧ zamkniȩta̧ okra̧g o promieniu r leża̧cy w plaszczyznie prostopadlej do przewodnika otzrymujemy
I
I
Bdl = B(r)2πr =
,
(59)
ε 0 c2
L
z którego wynika, że wektor indukcji B w odleglości r od przewodnika wynosi
I
µ0 I
B(r) =
=
,
(60)
2
2πrε0 c
2πr
gdzie wykorzystano zwia̧zek
µ0 ε0 c2 = 1.
Zauważmy, że z ostatniego wzoru wynika, że wartość natȩżenia pola magnetycznego w odleglości
r od przewodnika z pra̧dem jest równa
I
H(r) =
.
(61)
2πr
Kierunek i zwrot wektorów B i E pola magnetycznego wyznaczamy m.in. za pomoca̧
doświadczenia Oersteda, w którym ovserwujemy, że kierunek igly magnetycznej zmienia siȩ
pod wplywem pra̧du elektrycznego.
Podobnie stosunkowo latwo można policzyć pole magnetyczne wewna̧trz solenoidu. Wybieraja̧c kontur calkowania tak jak to przedstawia rysunek otrzymujemy
B · l = µ0 · n · I,
gdzie l dlugość solenoidu, n liczba zwojów, I pra̧d plyna̧cy w pojedynczym zwoju.
Innym efektem oddzialywania pra̧dów elektrycznych jest przycia̧ganie lub odpychanie siȩ
równoleglych przewodników, w których plynie pra̧d elektryczny.
Przypomnijmy, że wartość sily Ampera z jaka̧ pole magnetyczne dziala na umieszczony w
nim przewodnik z pra̧dem wynosi
F = I · l × B.
(62)
FL = Q · v × B.
(63)
Ponadto na ladunek Q poruszaja̧cy siȩ w polu magnetycznym dziala sila Lorentza
Powiedzieliśmy sobie, że źródlem pola magnetycznego sa̧ poruszaja̧ce siȩ nośniki pra̧du.
Wyznaczanie wartości wektorów pola magnetycznego w ogólnym przypadku jest możliwe w
oparciu o prawo Biota–Savarta–Laplace’a, zgodnie z którym odcinek dl przewodnika z pra̧dem
o natȩżeniu I wytwarza w punkcie odleglym od niego o r pole magnetyczne o indukcji
µ0 I
dB =
· dl × r.
(64)
4π r3
Jak widzimy, dB jest wektorem prostopadlym do plaszczyzny jaka̧ wyznaczaja̧ wektory dl i r.
23
Calkowita wartość wektora B indukcji pola w punkcie r wytwarzanego przez przewodnik z
pra̧dem wynosi
Z
µ0
I
B=
dl × r.
(65)
4π r3
Na podstawie podanych zależności możemy określić wartość sily dzialaja̧cej pomiȩdzy
dwoma przewodnikami z pra̧dem (patrz rysunek). Na element o dlugości dl2 drugiego przewodnika umieszczonego w polu magnetycznym wytwarzanym przez pierwszy dziala sila
dF2 = I2 · B1 · dl2 · sin(dl2, B1 ),
gdzie B1 jest indukcja̧ pola magnetycznego wytwarzanego przez pierwszy przewodnik. Wartość
indukcji B1 wynosi
µ0 I1
.
B1 =
2π r0
Zatem
µ0 I1I2
· dl2 ,
dF2 =
2π r0
co dla przewodników o dlugości l każdy daje
µ0 I1I2
· l2 .
F2 =
2π r0
Na podstawie ostatniej zależności definiuje siȩ jednostkȩ natȩżenia pra̧du:
1 A jest to pra̧d plyna̧cy w dwóch równoleglych i dostatecznie dlugich przewodnikach umieszczonych w próżni w odleglości 1 metra wywoluja̧cy dzialanie sily
równej 2.0·10−7 N na jeden metr dlugości przewodnika.
3.8.
Zjawisko indukcji elektromagnetycznej Faraday’a
W 1831 roku M. Faraday odkryl, że w obwodzie zamkniȩtym podczas zmiany w czasie strumienia magnetycznego obejmowanego przez ten obwód powstaje (indukuje siȩ) pra̧d elektryczny.
Zjawisko to nosi nazwȩ indukcji elektromagnetycznej, a powstaja̧cy pra̧d pra̧du indukcyjnego.
Doświadczalnie ustalono, że wartość sily elektromotorycznej indukcji Eind jest proporcjonalna do szybości zmian w czasie strumienia magnetycznego obejmowanego obwodem
∂Φm(t)
,
Eind = −
∂t
gdzie znak minus jest matematycznym wyrazem reguly Lenza, zgodnie z która̧ pra̧d indukowany
jest zawsze tak skierowany, aby przeciwdzialać przyczynie go wywoluja̧cej.
3.9.
Fale elektromagnetyczne w próżni
Równania Maxwella w próżni (brak ładunków i prądów elektrycznych)
∂B(r, t)
1 ∂E(r, t)
div E(r, t) = 0, rot E(r, t) = −
, div B(r, t) = 0, rot B(r, t) = 2
.
∂t
c
∂t
Jak widzimy oba pola magnetyczne i elektryczne sa̧ bezźródlowe.
Spróbujemy rozwia̧zać obecnie te równania. W tym celu podzialamy rotacja̧ na drugie
równanie i skorzystamy ze zwia̧zku
Wtedy
rot (rot C(r, t)) = ∇(∇ · C(r, t)) − ∇2 C(r, t).
1 ∂ 2 E(r, t)
,
c2 ∂t2
ponieważ ∇ E(r, t) = 0.
∇2 E(r, t) =
24
Ostatnie równanie jest ukladem trzech równań dla wspólrzȩdnych wektora E(r, t). Każde z
nich ma postać równania falowego, o czym mówiliśmy poprzednio. Wybierzmy dla uproszczenia
E(r, t) = (0, Ey (x, t), 0). Wtedy
1 ∂ 2Ey (x, t)
∂ 2Ey (x, t) ∂ 2Ey (x, t) ∂ 2Ey (x, t)
+
+
−
=
∂x2
∂y 2
∂z 2
c2
∂t2
∂ 2Ey (x, t)
1 ∂ 2Ey (x, t)
−
= 0.
∂x2
c2
∂t2
Jak widzimy rozwia̧zaniem tego równania falowego jest
Ey (x, t) = E0 cos(ωt − kx),
gdzie
ω2
2
c = 2,
k
opisuja̧ce falȩ plaska̧ monochromatyczna̧ rozchodza̧ca̧ siȩ w ośrodku z prȩdkościa̧ fazowa̧ c =
ω/k.
Jakie równanie spelnia wektor pola megnetycznego B(r, t)? Jeśli weźmiemy rotacjȩ czwartego równania Maxwella, to ponownie otrzymujemy
1 ∂rot E(r, t)
1 ∂ 2B(r, t)
rot rot B(r, t) = 2
=− 2
,
c
∂t
c
∂t2
co prowadzi, z uwagi na relacjȩ rot (rot B(r, t)) = ∇(∇ · B(r, t)) − ∇2B(r, t) do równania
1 ∂ 2B(r, t)
∇2B(r, t) − 2
.
c
∂t2
Postać otrzymanego równania jest analogiczno do równania otrzymanego wyżej dla wektora
E(r, t). Uwzglȩdniając równanie
∂B(r, t)
= rot E(r, t),
−
∂t
latwo sprawdzamy, że B = (0, 0, Bz (x, t)). Wzajemna̧ konfiguracjȩ przestrzenna̧ wektorów B i
E ilustruje odpowiedni rysunek, z którego wynika, że fala elektromagnetyczna jest poprzeczna.
Zauważmy, że prȩdkość fali jest identyczna we wszystkich inercjalnych ukladach odniesienia.
3.9.1.
Energia fali elektromagnetycznej
Fala elektromagnetyczna niesie ze soba̧ określona̧ ilość energii. Dotyczy to również energii
przenoszonej przez przez światlo.
Pokazuje siȩ, że chwilowa23 gȩstość ρ energii mechanicznej fali elektromagnetycznego jest
równa
1
1
ρ(r, t) = ρe (r, t) + ρm (r, t) = ε0εr E 2 (r, t) + µ0 µr H 2 (r, t) →
(66)
2
2
1
1
1
1
ρ(r, t) = ε0 εr E2(r, t) + B2(r, t) = D(r, t)E(r, t) + B(r, t)H(r, t).
(67)
2
2
2
2
Ponadto intensywność fali I(r, t) elektromagnetycznej24 jest równa
I(r, t) = ρ(r, t) · c = EH.
(68)
Ostatnia̧ równość zapisujemy czȩsto w postaci wektorowej
I(r, t) = ρ(r, t) · cE × H
(69)
Wtedy wektor I jest nazywany wektorem Poyntinga.
Dla fal elektromagnetycznych pokazuje siȩ, że
I(r, t) = E(r, t) × H(r, t),
(70)
23
Wektory E, D, B, H sa̧ funkcjami czasu oraz położenia.
Przypomnijmy, że pod tym pojȩciem rozumiemy ilość energii mechanicznej przenoszonej przez falȩ w jednostce czasu prze jednostkowa̧ powierzchniȩ ustawiona̧ prostopadle do kierunku rozchodzenia siȩ fali.
24
25
a wartość średnia
1 T
1
E(r, t) × H(r, t)dt = E0 H0 ,
(71)
T 0
2
gdzie E0 i H0 sa̧ amplitudami plaskiej fali elektromagnetycznej
Ey = E0 sin(ωt − kx), Hz = H0 sin(ωt − kx).
Jak widzimy, chwilowa gȩstość energii ρ(r, t) mechanicznej wynosi
E(r, t) × H(r, t)
,
(72)
ρ(r, t) =
c
a wartość średnia < ρ(r) >
1Z
1 E0 H0
< ρ(r) >=
.
(73)
ρ(r, t)dt =
T
T 0
2 c
Fale elektromagnetyczne, podobnie jak fale sprȩżyste, przenosza̧ pȩd. Jeśli oznaczymy
przez E ilość przenoszonej energii przez falȩ elektromagnetyczna̧, która jest pochlaniana przez
Q
ośrodek, to ilość pȩdu
przekazywanego temu ośrodkowi przez falȩ elektromagnetyczna̧ jest
25
równa
Y
E
= ,
(74)
c
zaś wartość ciśnienia pf ali wywieranego przez falȩ elektromagnetyczna̧ wynosi
I
(75)
pf ali = = ρ.
c
Dodajmy, że dla jednostkowej objȩtości ośrodka pochlaniaja̧cego falȩ elektromagnetyczna̧
zależność (74) przyjmuje postać
Ỹ
ρ
I
= = 2,
(76)
c
c
Q̃
gdzie jest gȩstościa̧ pȩdu pola elektromagnetycznego.
Wyznaczona na podstawie (75) wartość ciśnienia jest wartościa̧ chwilowa̧26.
To co mierzymy eksperymentalnie jest wartościa̧ średnia̧, tj. < ρ >, < p >. W przypadku
ciśnienia mamy
Z
<I >
1 T
ρ(x, t)dt =
,
(77)
< p >=
T 0
c
która jest wartościa̧ stosunkowo mala̧27.
Przykladowo, wartość < p > w odleglości 1 m od źródla światla o sile 1 mln candeli wynosi
10−7 Paskali.
< I > (r) =
Z
25
Patrz notatki Ruch falowy podrozdzial 1.5.4. wzory (116)–(123).
Intensywność I jest funkcja̧ polożenia i czasu, ponieważ E oraz H sa̧ funkcjami polożenia i czasu
27
Jeśli powierzchnia ośrodka bȩdzie idealnie odbijaja̧ca̧, to wartość ciśnienia bȩdzie dwa razy wiȩksza.
Dlaczego?
26
26