Technika regulacji automatycznej 0.5cm Wykład 3

Technika regulacji automatycznej
Wykład 3
Wojciech Paszke
Instytut Sterowania i Systemów
Informatycznych,
Uniwersytet Zielonogórski
1 z 32
Plan wykładu
Wprowadzenie
Układ pierwszego rzędu
Układ drugiego rzędu
Pasmo przenoszenia
Stabilność w dziedzinie częstotliwości
Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym
2 z 32
Plan wykładu
Wprowadzenie
Układ pierwszego rzędu
Układ drugiego rzędu
Pasmo przenoszenia
Stabilność w dziedzinie częstotliwości
Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym
2 z 32
Plan wykładu
Wprowadzenie
Układ pierwszego rzędu
Układ drugiego rzędu
Pasmo przenoszenia
Stabilność w dziedzinie częstotliwości
Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym
2 z 32
Plan wykładu
Wprowadzenie
Układ pierwszego rzędu
Układ drugiego rzędu
Pasmo przenoszenia
Stabilność w dziedzinie częstotliwości
Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym
2 z 32
Plan wykładu
Wprowadzenie
Układ pierwszego rzędu
Układ drugiego rzędu
Pasmo przenoszenia
Stabilność w dziedzinie częstotliwości
Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym
2 z 32
Plan wykładu
Wprowadzenie
Układ pierwszego rzędu
Układ drugiego rzędu
Pasmo przenoszenia
Stabilność w dziedzinie częstotliwości
Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym
2 z 32
Projektowanie regulatorów w dziedzinie częstotliwości
Metody projektowania w dziedzinie częstotliwości mają wiele zalet:
• Stabilność i wymagania jakościowe są prezentowane na tym samym
wykresie.
• Możemy używać rzeczywistych pomiarów (FRF) zamiast modelu w
formie transmitancji.
• Projektowanie jest niezależne od rzędu układu.
• Regulatory dla układów z opóżnieniami też możemy projektować
bez większych trudności.
• Metody graficzne (analiza i synteza z użyciem odpowiednich
diagramów) jest relatywnie łatwa.
3 z 32
Układ pierwszego rzędu
G (s) =
a
s +a
Własności:
• Jeden biegun w (−a)
• Pasmo przenoszenia ωBW = |a|
• Odpowiedź skokowa
Y (s) =
1
1
1 a
= −
s s +a s s +a
y (t) = (1 − e −at )u(t)
4 z 32
Układ pierwszego rzędu
Odpowiedź częstotliwościowa i skokowa
Przykładowa transmitancja
G (s) =
2
s +2
Bode Diagram
Step Response
−4
0.9
ωBW=2[rad/sec]
0.8
−6
0.7
−8
0.6
Amplitude
Magnitude (dB)
−2
−10
0
TR=0.5 sec
0.5
Phase (deg)
0.4
0.3
−45
0.2
0.1
−90
0
10
Frequency (rad/sec)
5 z 32
1
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Time (sec)
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Układ drugiego rzędu
G (s) =
ωn2
s 2 + 2ζ ωn s + ωn2
gdzie
• ζ - współ. tłumienia względnego
• ωn - pulsacja drgań własnych (nietłumionych)
• lokalizacja biegunów
s1,2 = −ζ ωn ± jωn
p
1−ζ2
◦ dla ζ > 1 oba bieguny są rzeczywiste
◦ dla ζ = 1 oba bieguny są identyczne i rzeczywiste
◦ dla 0 < ζ < 1 bieguny są zespolone i sprzężone.
6 z 32
Układ drugiego rzędu
Odpowiedź częstotliwościowa
Przykładowa transmitancja
1
G (s) =
s 2 + 0.6s + 1
Bode Diagram
10
Magnitude (dB)
0
ωBW
−10
−20
MR
−30
0
Phase (deg)
−45
−90
−135
−180
−1
10
7 z 32
0
10
Frequency (rad/sec)
Układ drugiego rzędu
Własności układu
• pulsacja rezonansowa (dla ζ
√1 )
2
ωR = ωn
• Moduł rezonansowy (dla ζ
p
1 − 2ζ 2
√1 )
2
MR =
2ζ
1
p
1−ζ2
• pasmo przenoszenia
ωBW = ωn
q
p
(1 − 2ζ 2 ) + 4ζ 4 − 4ζ 2 + 2
Dla 0 < ζ < 1 to 0.64ωn < ωBW < 1.55ωn . Dla ζ =
8 z 32
√1
2
to ωBW = ωn .
Układ drugiego rzędu
Odpowiedź skokowa
Przykładowa transmitancja
G (s) =
1.2
Mp
+/- 5%
1
1
s 2 + 0.6s + 1
• MP - wartość (moduł)
przeregulowania
0.8
POS = 100[(MP − y (∞))/y (∞)]
0.6
0.4
• TP - czas max. przeregulowania
0.2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
• TS - czas regulacji
Tr
Tp
Ts
9 z 32
• TR - czas narastania
Układ drugiego rzędu
Odpowiedź skokowa (dziedzina częstotliwości)
1
1
s + 2ζ ωn
Y (s) = G (s) = −
s
s (s + ζ ωn )2 + ωn2 (1 − ζ 2 )
Odpowiedź skokowa (dziedzina czasu)
e −t/τ
cos(ωd t − ϕd ),
y (t) = 1 − p
1−ζ2
gdzie
• |σ | = ζ ωn - tłumienie względne
• τ = 1/|sigma| - stała czasowa
p
• ωd = ωn 1 − ζ 2 - pulsacja tłumiona
• ϕ = sin−1 ζ
10 z 32
t >0
Pasmo przenoszenia
Pasmem przenoszenia (ang. bandwidth) - częstotliwość (ωBW ) przy
której wzmocnienie układu zamkniętego = −3dB. Jednak korzystając
z metod odpowiedzi częstotliwościowej oczekujemy określenia
odpowiedzi układu zamkniętego na podstawie odpowiedzi układu
otwartego.
Na podstawie odpowiedzi układu 2-ego rzędu, możemy przyjąć, iż
pasmo przenoszenia odpowiada częstotliwości dla której wzmocnienie
układu otwartego jest pomiędzy −6 i −7.5dB (przyjmując, że
przesuniecie fazowe dla tego wzmocnienia jest pomiędzy −135o i
−225o ).
11 z 32
Pasmo przenoszenia
Przykład
Transmitancja układu zamkniętego
Gcl =
1
s 2 + 0.5s + 1
Bode Diagram
20
Magnitude (dB)
0
−20
−40
−60
−80
0
ω
Phase (deg)
−45
=1.4[rad/sec]
BW
−90
−135
−180
−2
10
12 z 32
−1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
1
10
2
10
Pasmo przenoszenia
Przykład
dla ω < ωBW
1.5
Wyjscie
Wymuszenie
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1
−1
−1.5
−1.5
50
13 z 32
dla ω > ωBW
60
70
80
90
100
90
Wyjscie
Wymuszenie
92
94
96
98
100
Pasmo przenoszenia
Relacje ze współczynikiem tłumienia (ζ ) i czasem ustalania(TS )
ωBW
q
p
= ωn (1 − 2ζ 2 ) + 4ζ 4 − 4 ∗ ζ 2 + 2
4
ωn =
Ts ζ
140
120
80
ω
BW
*T
S
100
60
40
20
0
14 z 32
0
0.2
0.4
ζ
0.6
0.8
1
Pasmo przenoszenia
Relacje ze współczynikiem tłumienia (ζ ) i czasem max. przeregulowania (TP )
ωBW
q
p
= ωn (1 − 2ζ 2 ) + 4ζ 4 − 4 ∗ ζ 2 + 2
π
ωn = p
Tp 1 − ζ 2
7
6.5
ωBW*TP
6
5.5
5
4.5
4
15 z 32
0
0.2
0.4
ζ
0.6
0.8
1
Układ drugiego rzędu
Wpływ zmian położenia biegunów
Dla danej transmitancji
G (s) =
X
ωd2 + σ 2
ωn2
=
s 2 + 2ζ ωn s + ωn2 s 2 + 2σ s + ωd2 + σ 2
+jwd
• s1,2 = −ζ ωn ± jωn
• θ = cos−1 ζ
-s
• ζ = cos θ
wn
X
16 z 32
-jwd
p
1−ζ2
Układ drugiego rzędu
Wpływ zmian σ
ωd = 1, σ = {0.5, 1, 1.5}
Step Response
Singular Values
1.4
2
σ=0.5
σ=1.0
σ=1.5
1.2
1.5
Singular Values (dB)
1
Amplitude
σ=0.5
σ=1.0
1
0.8
0.6
σ=1.5
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
0.4
−2
0.2
−2.5
0
17 z 32
0
1
2
3
4
5
Time (sec)
6
7
8
9
10
−1
10
Frequency (rad/sec)
0
10
Układ drugiego rzędu
Wpływ zmian ωd
σ = 1, ωd = {0.5, 2.5, 4.5}
Step Response
Singular Values
1.5
ωd=0.5
ωd=0.5
ωd=2.5
ωd=2.5
ωd=4.5
ωd=4.5
Singular Values (dB)
5
Amplitude
1
0.5
0
−5
−10
−15
0
18 z 32
0
1
2
3
4
5
Time (sec)
6
7
8
9
10
−1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
1
10
Układ drugiego rzędu
Wpływ zmian ζ
ωn =
√
2, θ = {30, 45, 60}
Step Response
1
Singular Values
θ=30
θ=30
θ=45
θ=60
2
θ=45
0
θ=60
−2
0.6
Singular Values (dB)
Amplitude
0.8
0.4
−4
−6
−8
−10
0.2
−12
−14
0
1
19 z 32
2
3
4
Time (sec)
5
6
7
8
0
10
Frequency (rad/sec)
Układ drugiego rzędu
Wpływ zmian ωn
ζ=
√1 ,
2
ωn = {
√ √
√
2
2 , 2, 5 2}
Step Response
Singular Values
1.4
−5
1.2
−10
0.8
Singular Values (dB)
Amplitude
1
ωn=0.707
ωn=1.41
0.6
ωn=7
0.4
20 z 32
ωn=1.41
ωn=7
−15
−20
−25
−30
0.2
0
ωn=0.707
−35
−40
0
1
2
3
4
5
Time (sec)
6
7
8
9
10
−1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
1
10
Stabilność w dziedzinie częstotliwości
Problem
Czy badając transmitancję w otwartej pętli L(s) = K (s)G (s) możemy
ustalić stabilność układu zamkniętego?
Gcl =
K (s)G (s)
1 + K (s)G (s)
Uwagi:
• Łatwo rozwiązać powyższy problem korzystając z linii
pierwiastkowych
• Jak znaleźć warunek w dziedzinie częstotliwości odpowiadający
ulokowaniu wszystkich biegunów w lewej półpłaszczyźnie
zespolonej?
21 z 32
Zapas wzmocnienia i fazy
Zapas wzmocnienia
Zmiana wzmocnienia w układzie otwartym (K(s)G(s)) potrzebna aby
układ zamknięty był niestabilny. Układy z większym zapasem
wzmocnienia są bardziej odporne (ang. robust) na zmiany parametrów
układu zanim układ zamknięty będzie niestabilny.
22 z 32
Zapas wzmocnienia i fazy
Zapas fazy
Zmiana fazy w układzie otwartym (K(s)G(s)) potrzebna aby układ
zamknięty był niestabilny.
Zapas fazy określa tolerancję układu na opóźnienia. Opóźnienia
większe niż 180/ωpc (ωpc - częstotliwość przy którym przesunięcie
fazowe = 180o ) w pętli powodują niestabilność układu zamkniętego.
23 z 32
Zapas wzmocnienia i fazy
Przykład
K (s) = 50, G (s) =
1
s 3 + 9s 2 + 30s + 40
Bode Diagram
Gm = 13.3 dB (at 5.48 rad/sec) , Pm = 101 deg (at 1.85 rad/sec)
20
Magnitude (dB)
0
−20
−40
−60
−80
Phase (deg)
−100
0
−90
−180
−270
−1
10
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
24 z 32
2
10
Zapas wzmocnienia i fazy
Zmieniając wzmocnienie układu (K (s) = 5000(100×)) nie musimy
kreślić nowego wykresu Bode’go aby odczytać zapas fazy. Wystarczy
na utworzonym już wykresie sprawdzić zapas fazy dla −40dB (40dB
odpowiada wzmocnieniu 100 razy).
Bode Diagram
Gm = −26.7 dB (at 5.48 rad/sec) , Pm = −59.6 deg (at 16.9 rad/sec)
Magnitude (dB)
50
0
Phase (deg)
−50
0
−90
−180
−270
−1
10
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
25 z 32
2
10
Wskaźniki jakościowe
Określanie wskaźników jakościowych układu zamkniętego:
• musimy zapewnić stabilność układu otwartego jeśli będziemy
używać diagramów Bode’go.
• sprawdzamy czy ωgc < ωpc ) aby stwierdzić czy układ zamknięty
będzie stabilny.
• dla układu 2-ego rzędu , współczynnik tłumienia (układu
zamkniętego) jest w przybliżeniu równa PM/100 (jeśli
PM= 0 ÷ 60o .
• dla układu 2-ego rzędu, istnieją zależności pomiędzy
współczynikiem tłumienia, pasmem przenoszenia i czasem
ustalania .
• w przybliżeniu możemy przyjąć że pasmo przenoszenia będzie
równe częstotliwości drgań własnych.
26 z 32
Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym
d
r
K
u
z
G
y
n
Definicje sygnałów
• r - sygnał referencyjny
• d - zakłócenia
• n - szum czujników
• z - regulowane wyjście
• y - mierzone wyjście
Problem: Uzyskanie najmniejszego błędu regulacji (r − z)
27 z 32
Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym
Wyjście układu
Z (s) =
K (s)G (s)
1
K (s)G (s)
R(s)+
D(s) −
N(s)
1+K (s)G (s)
1+K (s)G (s)
1+K (s)G (s)
Definiując bład regulacji e = r − z otrzymujemy
E (s) =
1
1
K (s)G (s)
R(s)−
D(s) +
N(s)
1+K (s)G (s)
1+K (s)G (s)
1+K (s)G (s)
oraz
U(s) =
28 z 32
K (s)
(R(s) − D(s) − N(s))
1+K (s)G (s)
Ograniczenia sterowania
Można pokazać, że
e = r − z = S(r − d) + Tn
gdzie
S(s) = (1+G (s)K (s))−1 ; T (s) = 1−S(s) = (1+G (s)K (s))−1 G (s)K (s)
Głowne cele sterowania
• Dobre śledzenie sygnału referencyjnego
(dla niskich częstotliwości < ωBW )
|G (jω)K (jω)| 1 ⇔ |S(jω)| 1 or |T (jw )| ' 1
• Dobre tłumienie zakłóceń (dla wysokich częstotliwości)
|G (jω)K (jω)| 1 ⇔ |T (jω)| 1
29 z 32
Cele i ograniczenia regulacji (sterowania)
Cel regulacji
Zaprojektować regulator K tak aby błąd regulacji pozostawał mały.
Oznacza to, że będziemy dążyć aby S i T były małe w tych zakresach
częstotliwości gdzie spektrum sygnałów r i n są małe.
Ograniczenia
• S + T = 1 (błąd e nie może być mały dla wszystkich czestotliwości)
R
• 0∞ log |S(jω)|dω = 0 - jakość sterowania (ang. performance) vs.
odporność (ang. robustness)
30 z 32
Cele regulacji
I
II
III
IV
Sygnał z musi śledzić r (ang. tracking).
Odporność na zmiany parametrów układu.
Tłumić wpływ zakłóceń (oraz niemodelowanej dynamiki)
Tłumić wpływ szumu pomiarowego n
60
open loop (L)
40
II III,IV
I
Magnitude (dB)
20
complementary sensitivity (T)
0
-20
-40
-60
-2
10
31 z 32
sensitivity (S)
-1
10
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
2
10
Cele regulacji
Imag
Ms =kS(jω)k∞
1
d =1 −
Ms
1
−1
PM ζ =2 sin
Ms
1
Ms
=
GM
d Ms − 1
d
1/GM
-1
1/Ms
wcg
q
Real
ws
z
wcp
PM
L(jw)
32 z 32
Czyli
Ms < 2 ⇔ GM > 2 i PM > 30o