Wstęp do teorii miary

Wstęp do teorii miary
SPPI, rok II
Wykład 2
1. Własności ciał i σ-ciał.
Przykłady
a) rodzina wszystkich podzbiorów X
b) {∅, X}
c) zbiory skończone i ko-skończone
d) odcinki nie tworzą σ-ciała
Inne nazewnictwo: ciało to algebra, σ-ciało to σ-algebra.
Niech F będzie ciałem zbiorów (to co udowodnimy o ciałach jest też prawdziwe dla
σ-ciał).
Fakt 1 ∅ i X należą do F.
Dowód F jest niepuste, więc zawiera jakiś zbiór A. Zatem także X = A ∪ Ac i ∅ = X c . Fakt 2 Jeśli A,B ∈ F, to A \ B ∈ F, A ∩ B ∈ F i A4B ∈ F.
Dowód A ∩ B = (Ac ∪ B c )c , A \ B = A ∩ B c . Fakt 3 Dla dowolnego n ∈ N, jeśli A1 , ..., An ∈ F, to A1 ∪ ... ∪ An ∈ F i A1 ∩ ... ∩ An ∈ F.
Dowód Indukcja Fakt 4 Jeśli F jest σ-ciałem, to An ∈ F dla n = 1, 2, ... pociąga
lim An ∈ F.
Dowód
do F. T∞
n=1 An
= A1 \
S∞
n=2 (A1 \ An )
T∞
n=1 An ,
lim An oraz
∈ F, a to wraz z definicją pociąga należenie granic
Można rozważać nieco ogólniejsze klasy zbiorów: pierścienie i σ-pierścienie – warunek
zamkniętości na dopełnienia jest zastąpiony przez warunek A, B ∈ F ⇒ A \ B ∈ F. Każde
ciało jest pierścieniem, ale pierścień jest ciałem tylko wtedy, gdy zawiera X.
Twierdzenie 5 Przekrój dowolnej rodziny ciał (σ-ciał) jest ciałem (σ-ciałem).
Dowód Przez sprawdzenie warunków z definicji. Uwaga Suma ciał nie musi być ciałem. Na przykład, rozważmy X = {1, 2, 3}, F1 =
{∅, {1, 2}, {3}, X}, F2 = {∅, {1}, {2, 3}, X}.
2. Generowanie σ-ciała
Twierdzenie 6 Dla dowolnej rodziny zbiorów C istnieje najmniejsze ciało (σ-ciało) zawierające C.
Dowód Przekrój wszystkich (σ-)ciał zwierających C jest (σ-)ciałem. Trzeba sprawdzić,
że jest najmniejsze. Definicja 7 Takie σ-ciało nazywamy σ-ciałem generowanym przez C i oznaczamy σ(C).
Zwykle trudno jest w zwięzły sposób opisać zbiory należące do σ-ciała. Dlatego opisujemy tylko zbiory, na których nam zależy, a potem używamy operacji generowania.
Najważniejszy przykład:
σ-ciało zbiorów borelowskich w R to σ-ciało generowane przez rodzinę wszystkich odcinków
domkniętych. Równoważnie można generować przez rodzinę wszystkich odcinków otwartych lub z jednej strony otwartych, z drugiej domkniętych. σ-ciało borelowskie ma swoje
uogólnienia na R2 (gdzie w roli odcinków wystepują prostokąty), R3 , dowolne Rn , a nawet
dowolne przestrzenie metryczne i topologiczne.
3. Użyteczne techniki:
a) urozłącznianie sum zbiorów
Twierdzenie 8 Niech F będzie ciałem zbiorów, a (An )n∈N ciągiem wybranym z F.
Wówczas istnieje ciąg (Bn )n∈N parami rozłącznych zbiorów z F spełniający
∞
[
n=1
Bn =
∞
[
An .
n=1
Dowód Definiujemy B1 = A1 , Bn = An \ {A1 ∪ ... ∪ An−1 }. b) rodziny monotoniczne
Definicja 9 Rodzinę zbiorów M nazywamy rodziną monotoniczną, gdy
1. A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ ... i An ∈ M dla wszystkich n, to
S
n An
∈ M,
2. A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ ... i An ∈ M dla wszystkich n, to
T
n An
∈ M.
Twierdzenie 10 Niech F będzie ciałem zbiorów, a M(F) najmniejszą rodziną monotoniczną zawierającą F. Wtedy
M(F) = σ(F).
To pozwala niekiedy sprawdzić, że dana rodzina zbiorów jest σ-ciałem przez rozważanie tylko monotonicznych (a nie dowolnych) ciągów zbiorów.