Dyskretne modele populacji ()

Dyskretne modele populacji
Michal Machtel
Adam Soboczyński
19 stycznia 2007
– Typeset by FoilTEX –
Dyskretne modele populacji
[1]
Wstep
֒
Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w
których nie ma zjawiska zachodzenia na siebie pokoleń. Bedziemy
anali֒
zować modele opisywane przez uklady dynamiczne postaci:
xn+1 = f (xn)
Sztuka modelowania polega na umiejetnym
dobraniu f(x) tak, aby powyższe
֒
równanie dobrze oddawalo obserwowane fakty.
– Typeset by FoilTEX –
LATEX
Dyskretne modele populacji
[2]
Przyklady ważniejszych modeli
• liniowy
xn+1 = rxn ⇒ xn = r nx0
• liniowy logistyczny
xn+1 = xn[1 + r((K − xn)/K)]
– Typeset by FoilTEX –
LATEX
Dyskretne modele populacji
[3]
Przyklady ważniejszych modeli cd..
• eksponencjalny logistyczny
xn+1 = xn exp[r((K − xn)/K)]
• z opóźnieniem(delay model)
xn+1 = f (xn, xn−T )
– Typeset by FoilTEX –
LATEX
Dyskretne modele populacji
[4]
Prosty model rozwoju populacji
Na wstepie
rozważymy bardzo uogólniony model, który można za֒
stosować przy charakeryzacji rozwoju populacji prymitywnych zwierza̧t.
rozmnażaja sie raz w roku. Znamy
Zakladamy, ze nasze zwierzeta
֒
średnia̧ ilość potomstwa przypadaja̧cego na samice֒ (s) , oraz wspólczynnik
przyżywalności zwierza̧t przez rok życia (b) . Zakladamy, że ilość samców
i samic jest jednakowa, wiec
֒ możemy w naszym modelu rozważać tylko
samice.
Wówczas w n+1 - wszym roku życia naszej populacji jej liczbe֒ bedzie
֒
można określić równaniem:
xn+1 = s(1 + b)xn
– Typeset by FoilTEX –
LATEX
Dyskretne modele populacji
[5]
Prosty model rozwoju populacji ptaków
Poprzedni model opisywal przyrost populacji bardzo prostych gatunków
zwierza̧t które caly czas mialy zdolność do reprodukcji. Niestety nie jest tak
u ptaków.
Ptaki możemy podzielić na 3 grupy, ze wzgledu na ich rozwój:
- opiekuja̧ sie nimi rodzice
• piskleta
֒
• mlode ptaki - już nie opiekuja̧ sie nimi rodzice, ale nie maja̧ jeszcze
zdolności do reprodukcji
• dorosle ptaki - sa̧ to ptaki, które przetrwaly i maja̧ zdolność do rozmnażania
– Typeset by FoilTEX –
LATEX
Dyskretne modele populacji
[6]
Prosty model rozwoju populacji ptaków
Przy wyznaczaniu liczebności populacji musimy mieć dane nastepuja̧ce
֒
wskaźniki:
• b - średnia ilość piskla̧t na doroslego osobnika
• sc, sj , sa - wspólczynniki przeżycia odpowiednio piskla̧t, mlodych i
doroslych osobników
Cn+1 = bAn
Jn+1 = scCn
An+1 = sj Jn + saAn
– Typeset by FoilTEX –
LATEX
Dyskretne modele populacji
[7]
Model rozwoju populacji ptaków
Poprzednie modele mialy znacza̧ca̧ wade,
ly one
֒ gdyż nie uwzglednia
֒
maksymalnej pojemności środowiska. Moglo dojść do takich sytuacji w
których wielokość naszej populacji da̧żylaby do nieskończoności lub do zera,
w zależnosci od naszych wspólczynników.
W naszym nowym modelu mamy wartość K, która odpowiada za pojemność naszego środowiska. Wówczas nasz model bedzie mial postać:
Cn+1 = bAn
Jn+1 = sc(1 − PKn )Cn
An+1 = sj (1 − PKn )Jn + sa(1 − PKn )An
– Typeset by FoilTEX –
LATEX
Dyskretne modele populacji
[8]
Populacje o rozmiarze stalym po kilku pokoleniach
Z punktu widzenia ukladow dynamicznych i stabilności najbardziej interesuja̧ nas modele w których bedzie
można przewidzieć sytuacje populacji
֒
po n-latach. W takich modelach bedziemy szukać punktów stalych.
Rozważmy nastepuja̧cy model:
Cn+1 = 2An
Jn+1 = 0.8Cn
An
An+1 = An(1 − 500
)Jn + 0.7An
przy warunkach pocza̧tkowych:
C0 = J0 = 0, A0 = 100
– Typeset by FoilTEX –
LATEX
Dyskretne modele populacji
[9]
Populacje o rozmiarze stalym po kilku pokoleniach cd..
Obliczamy uklad równań postaci:
C = 2A
J = 0.8C
A
A = A(1 − 500
)J + 0.7A
i otrzymujemy punkty stale postaci:
(0, 0, 0), (531, 425, 266).
– Typeset by FoilTEX –
LATEX
Dyskretne modele populacji
[10]
Model eksponencjalno - logistyczny
Stabilność populacji w zależności od parametrów modelu jest ważnym
zagadnieniem. Badania wplywu parametrów przeprowadza sie֒ m.in. przy
określaniu ograniczeń na polowy ryb, regulowaniu populacji drapieżników i
ofiar, lub też kontroli szkodników. Nawet proste modele moga̧ wykazywać
dość zróżnicowane zachowanie. Oto model Ricker’a:
xt+1 = xt exp[r(1 − xt/K)], r > 0
Po przeskalowaniu przez pojemność środowiska ut = xt/K uzyskujemy
ut+1 = ut exp[r(1 − ut)]
Równanie to jest zależne od parametru r i od populacji pocza̧tkowej u0
– Typeset by FoilTEX –
LATEX
Dyskretne modele populacji
[11]
Szukanie ekwilibriów
Szukamy stanów równowagi, czyli ekwilibriów (punktów stalych)
u = u exp[r(1 − u)]
Mamy wiec
֒ u = 0. Dla u > 0
1 = exp[r(1 − u)] ⇒ r(1 − u) = 0 ⇒ u = 1
Sa̧ to wiec
֒ jedyne ekwilibria. 0 jest repelerem, bo dla ut ∈ (0, 1)
r(1 − ut) > 0 ⇒ er(1−ut) > 1 ⇒ ut+1 > ut
– Typeset by FoilTEX –
LATEX
Dyskretne modele populacji
[12]
Kryterium różniczkowe
Obliczamy pochodna̧ funkcji f (u) = uer(1−u)
f ′(u) = er(1−u) + uer(1−u)(−r) = er(1−u)(1 − ur)
Pamietaja̧c
o tym,że r > 0, wyliczamy
֒
• u=0
• u=1
| f ′(0) |=| er (1 − 0) |= er > 1
| f ′(1) |=| e0(1 − r) |=| 1 − r |
Zatem mamy stabilność dla r ∈ (0, 2). Co sie֒ dzieje, gdy r przekracza 2?
– Typeset by FoilTEX –
LATEX
Dyskretne modele populacji
[13]
Badamy zachowanie modelu
Badamy zachowanie dla r równego odpowiednio 0.5, 1.9, 2.3, 2.6 i 3
przy K = 200. Na ostatnim wykresie można zobaczyć, kiedy pojawia sie֒
oscylacja i chaos.
Po lewej stabilny wykres dla r = 0.5, po prawej, przy r bliskim 2, można
zaobserwować zanikaja̧ca̧ oscylacje֒ wokól K.
– Typeset by FoilTEX –
LATEX
Dyskretne modele populacji
[14]
Badamy zachowanie modelu cd..
Przy r > 2 populacja oscyluje wokól K, po przekroczeniu 3 na dolnym
wykresie widać chaos.
– Typeset by FoilTEX –
LATEX
Dyskretne modele populacji
[15]
Badamy zachowanie modelu cd..
Wykres pokazuja̧cy zachowanie ostatnich 75 populacji z 200.
– Typeset by FoilTEX –
LATEX
Dyskretne modele populacji
[16]
Model dyskretny z opóźnieniem
Model eksponencjalno - logistyczny z opóźnieniem T
xt+1 = xt exp[r(1 − xt−T /K)]
Ustalamy T = 1. Po przeskalowaniu przez K otrzymujemy:
ut+1 = ut exp[r(1 − ut−1)]
Podobnie jak w poprzednim modelu, mamy ekwilibria w u = 0 i u = 1.
Jeśli ut−1, ut < 1, to ut+1 > ut, czyli 0 nadal jest repelerem. Nie możemy
jednak w prosty sposób zastosować kryterium różniczkowego do zbadania
stabilności u = 1.
– Typeset by FoilTEX –
LATEX
Dyskretne modele populacji
[17]
Model dyskretny z opóźnieniem - linearyzacja
Skorzystamy z innej metody na sprawdzenie stabilności u = 1: linearyzacji. Zapisujemy ut = 1 + vt, vt ≪ 1 i otrzymujemy
1 + vt+1 = 1 + vt exp[r(−vt−1] ≈ (1 + vt)(1 − rvt−1) ≈ 1 + vt − vt−1
Sta̧d mamy vt+1 − vt + rvt−1 = 0 o równaniu charakterystycznym postaci
λ2 − λ + r = 0 . Mamy ∆ = 1 − 4r i jeden lub√dwa pierwiastki: λ1, λ2.
Dla r ≤ 14 pierwiastki sa̧ rzeczywiste: λ1 , λ2 = [1± 21−4r] < 1 . Zatem
vt = Aλt1 + Bλt2, lim vt = 0
t→∞
Przy r =
1
4
mamy vt = (A + B ∗ t)( 12 )t. Jeśli r > 14 , to λ1, λ2 ∈ C
– Typeset by FoilTEX –
LATEX
Dyskretne modele populacji
[18]
Model dyskretny z opóźnieniem - linearyzacja cd..
√
Niech ρ = r, θ = tan−1(4r − 1)1/2. Wówczas λ1, λ2 = ρe±iθ .
Dodatkowo λ1λ2 =| λ1 |2= ρ2 = r, wiec
֒ dla r < 1 mamy | λ1 λ2 |< 1.
vt = Aλt1 + Bλt2 = Aλt1 + Bλ∗t
1
∗
Ponieważ vt ∈ R, wiec
B
=
A
, ska̧d otrzymujemy
֒
vt = 2 | A | ρt cos(tθ + γ)
√
gdzie γ = arg A. Przy r → 1 θ → tan ( 3) = Π/3. Gdy r > 1, vt
rośnie wraz z t. Po cos(tΠ/3 + γ) o okresie 6 spodziewamy sie֒ 6-cyklowej
okresowości. Przy dużym r pojawia sie֒ chaos.
−1
– Typeset by FoilTEX –
LATEX
Dyskretne modele populacji
[19]
Dodatki:
Programy napisane w Maple
• modeledyskretne.mws
– Typeset by FoilTEX –
LATEX