zastosowanie analogii cieplno-elektrycznej do wyznaczenia

zastosowanie analogii cieplno-elektrycznej do wyznaczenia

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 46, ISSN 1896-771X
ZASTOSOWANIE ANALOGII
CIEPLNO-ELEKTRYCZNEJ
DO WYZNACZENIA WŁASNOŚCI CIEPLNYCH
KRĘGU BLACHY
Rafał Wyczółkowski1a Łukasz Piechowicz2b Agnieszka Benduch1c
Zakład Pieców Przemysłowych i Ochrony Środowiska, Politechnika Częstochowska
e-mail: a [email protected], [email protected]
2
SECO/WARWICK ThermAL S.A., Świebodzin
b
[email protected]
1
Streszczenie
W artykule przedstawiono metodykę obliczania promieniowej efektywnej przewodności cieplnej λr kręgu stalowej
blachy. Wielkość ta stanowi jeden z warunków jednoznaczności przy analitycznym rozwiązywaniu problemu
nagrzewania stalowej taśmy w postaci kręgów. Otrzymane wyniki pokazują, iż wartość współczynnika λr zmienia
się w szerokich granicach i uzależniona jest od szeregu różnych parametrów. Brak dokładnej wiedzy na temat
kształtowania się wartości tego współczynnika może być przyczyną istotnych błędów przy modelowaniu procesów
nagrzewania i chłodzenia kręgów stalowej blachy.
APPLICATION OF THE THERMO-ELECTRICAL ANALOGY
TO MODELLING OF THE THERMAL PROPERTIES
OF A STEEL COIL
Summary
The article presents a methodology for computation of the radial effective thermal conductivity λr of a coil of steel
sheet. This quantity constitutes one of the conditions of uniqueness in analytical solving of the problem of heating
steel strip in the form of coils. The obtained results indicate that the value of the coefficient λr varies within a
wide range and is dependent on a number of various parameters. The lack of detailed knowledge on the variation
of the value of this coefficient may be the cause of significant errors in modelling steel sheet coil heating and
cooling processes.
1.
WSTĘP
Blachy stalowe walcowane na zimno o grubości
0,15 ÷ 3 mm są bardzo popularnym materiałem
konstrukcyjnym [1]. Jednak walcowanie na zimno
sprawia, że blacha w wyniku powstawania w materiale
naprężeń traci swoje naturalne własności plastyczne,
przez co staje się mniej podatna na kształtowanie.
W celu
przywrócenia
pierwotnych
własności
plastycznych blachę poddaje się wyżarzaniu. Jedną z
technologii stosowanych w tym zakresie jest
wyżarzanie w piecach kołpakowych, w których
obrabiany cieplnie wsad ma postaci kręgów.
Aby stalowa taśma po wyżarzaniu posiadała
wszędzie
jednakowe
i
jednocześnie
pożądane
własności, krąg w całej objętości należy podgrzać
powyżej tzw. temperatury rekrystalizacji (około
700°C). Z uwagi na znaczną jego masę (15 do 30 ton)
121
ZASTOSOWANIE ANALOGII CIEPLNO-ELEKTRYCZNEJ DO MODELOWANIA WŁASNOŚCI…
wyżarzanie
jest
procesem
długotrwałym
i energochłonnym [2, 3]. W związku z tym prowadzi
się liczne prace nad optymalizacją tych procesów.
Jednym z kierunków tych prac jest modelowanie
matematyczne. Wśród trudności napotykanych przy
wykonywaniu tego typu analiz należy wymienić
problemy z określeniem własności cieplnych kręgu
taśmy. Z uwagi na specyficzną strukturę tego wsadu
jego własności cieplne w kierunku promieniowym
znacznie odbiegają od własności cieplnych samej
blachy. Do ich opisu ilościowego wprowadza się tzw.
promieniową efektywną przewodność cieplną λr.
Artykuł
prezentuje
metodykę
obliczania
współczynnika λr dla kręgu stalowej blachy.
W prezentowanym podejściu zastosowano model
wykorzystujący
analogię
między
zjawiskami
przepływu ciepła i prądu elektrycznego.
kręgu w porównaniu z grubością taśmy omawiany
element traktuje się jako układ płaskich, równoległych
warstw. Na skutek chropowatości powierzchni blach
kolejne zwoje przylegają do siebie jedynie na
niewielkiej powierzchni, tworząc lokalne miejsca
kontaktu. Rzeczywista powierzchnia kontaktu Ar
stanowi niewielki procent całkowitej powierzchni
przylegających blach, którą określa się mianem
nominalnej powierzchni kontaktu An. Widok tak
zdefiniowanej komórki przedstawia rys. 1.
W rozważaniach przyjmuje się, że temperatury
przyległych zwojów blachy wynoszą T1 oraz T2 (przy
czym T1 > T2) i wartości te są niezmienne w czasie.
Wobec takiego założenia w układzie dochodzi do
przepływu ciepła, który wyraża wektor gęstości
strumienia q:
q=
2. MODEL WYMIANY CIEPŁA
W KRĘGU BLACHY
T1 − T2 ΔT
=
Rk
Rk
(1)
Wielkość Rk oznacza opór cieplny analizowanej
komórki. Dla płaskiej jednorodnej warstwy o grubości
x i przewodności cieplnej λ, opór cieplny oblicza się
według zależność [4]:
(2)
R = x/λ
Efektywną przewodność cieplną kręgu blachy
w kierunku promieniowym można określić na
podstawie odpowiedniego modelu wymiany ciepła. Do
tego celu wykorzystuje się pojęcie komórki
q
q pr
Ar
T1
T2
q pk
q pg
g/2
b
An
g/2
s
Rys.1. Komórka elementarna z zaznaczeniem poszczególnych strumieni ciepła:
q – całkowity strumień ciepła, qpr – strumień ciepła promieniowania, qpk –
strumień przewodzenia kontaktowego, qpg – strumień przewodzenia w gazie, g
– grubość blachy, s – szerokość rozpatrywanej komórki, b – szerokość
szczeliny, T – temperatura
elementarnej, którą jest wyodrębniony obszar ośrodka
przedstawiający
jego
strukturę
na
poziomie
niejednorodności. Dla kręgu blachy komórka taka
składa się z dwóch warstw blachy i występującej
między nimi szczeliny. Jest to charakterystyczna
struktura tego wsadu, powtarzająca się w nim
periodycznie. Z uwagi na znaczny promień krzywizny
Z równania (2) wynika, że wyznaczenie
przewodności
cieplnej
kręgu
w
kierunku
promieniowym sprowadza się do analizy oporu
cieplnego przyjętej komórki elementarnej. W komórce
tej ciepło przepływa kolejno przez pierwszą warstwę
blachy, następnie przez szczelinę i na końcu przez
drugą warstwę blachy. Wykorzystując analogię
122
Rafał Wyczółkowski, Łukasz Piechowicz, Agnieszka Benduch
między zjawiskami cieplnymi i elektrycznymi, opór
cieplny komórki Rk, można zapisać jako połączenie
szeregowe oporów kolejnych warstw – oporu cieplnego
warstwy blachy Rb oraz szczeliny Rs:
R k = R b + R s + R b = 2R b + R s
gdzie:
λb
(3)
A=
Wyznaczenie oporu cieplnego szczeliny wymaga
identyfikacji
występujących
w
jej
obszarze
mechanizmów przepływu ciepła. W miejscach styku
blach
ciepło
przekazywane
jest
na
drodze
przewodzenia kontaktowego, które wyraża strumień
qpk. Natomiast w pozostałych, swobodnych obszarach
szczeliny ciepło przekazywane jest w wyniku
przewodzenia w warstwie gazu oraz promieniowania
między powierzchniami blach. Mechanizmom tym
odpowiadają strumienie qpg i qpr. Z kolei wymienionym
strumieniom przyporządkować można stosowne opory.
Całkowity opór cieplny szczeliny stanowi połączenie
równoległe poszczególnych oporów, co można zapisać
w postaci:




 1
1
1
2R b + 
+
+
 R pk R pr R pg

6
10
14
18
Szerokość szczeliny b, µm
38,6
31,6
25,9
21,2
17,4
Współczynnik kontaktu A, %
0,17
0,53
0,87
1,22
1,56
R pr =
(5)
gdzie:




b = 42,7 ⋅ 10 −6 exp − 5 ⋅ 10 −2 P
−1
)
σ
1,13 ⋅ λ s ⋅ tanθ ⋅ A 0,94
σc
-
stała
T1 − T2
(
ε w ⋅ σ c T14 − T24
(10)
)
Stefana–Boltzmana,
εw
-
emisyjność wzajemna.
Jeśli emisyjność powierzchni przyległych blach ɛ jest
jednakowa ( ε 1 = ε 2 ), to emisyjność wzajemna dla
analizowanego układu wynosi: ε w = ε/(2 − ε ) .
(6)
W
sytuacji
gdy
T2 → T1 ,
można
dokonać
następującego przekształcenia:
(T1 − T2 ) ≅ 4 ⋅  T1 + T2  3 = 4 ⋅ T 3
(T
4
1
− T24
)


2


s
(11)
gdzie Ts jest wartością średnią temperatur T1 i T2.
Powierzchnia swobodna blach w szczelinie, na
której występuje emisja promieniowania, wynosi
1 − A . Zatem opór Rpr można ostatecznie zapisać
w postaci:
2−ε
(12)
R pr =
ε ⋅ σ c (1 − A ) ⋅ 4 ⋅ Ts3
(7)
Ostatni z oporów cieplnych występujących
w szczelinie, dotyczący przewodzenia ciepła w gazie,
wyrazić można równaniem:
gdzie naprężenie P wyrażone jest w MPa.
Wartości parametru b w zależności od naprężenia
dociskającego zestawiono w tabeli 1.
Opór przewodzenia kontaktowego dla przyległych
powierzchni wyraża zależność [6]:
R pk =
2
Opór cieplny promieniowania Rpr można określić,
rozpatrując radiacyjną wymianę ciepła między
dwiema równoległymi powierzchniami [7]:
Zgodnie z równaniem (6) wyznaczenie wartości
współczynnika λr wymaga wiedzy na temat szerokości
szczeliny b. Jak podają dane literaturowe, wartość
tego parametru w rzeczywistych kręgach stalowej
taśmy mieści się w zakresie 10 ÷ 100 µm i jest
uzależniona od naprężenia dociskającego P użytego
przy nawijaniu. Badania doświadczalne wykazały, że
między
tymi
dwiema
wielkościami
zachodzi
następująca zależność [5]:
(
Naprężenie dociskające P, MPa
−1
g+b
(9)
Tabela 1. Wartości parametrów b oraz A w zależności od
naprężenia dociskającego P
Wykorzystując zależności (2), (3) oraz (5), można
sformułować wzór na promieniową efektywną
przewodność cieplną λr kręgu. Przybiera on postać:
λr =
Ar
P
=
An H
gdzie
H
oznacza
mikrotwardość
taśmy
–
w obliczeniach przyjęto H = 1130 MPa [5]. Wartości
współczynnika A obliczone dla rozpatrywanego
zakresu naprężenia P zestawiono w tabeli 1.
oznacza przewodność cieplną blachy.
 1
1
1
+
+
Rs = 
 R pk R pr R pg

- odchylenie standardowe wysokości profilu
chropowatości powierzchni blachy, tan θ - średnia
bezwzględnego pochylenia profilu, A - współczynnik
kontaktu:
Opór cieplny blachy zgodnie z równaniem (2)
wynosi:
R b = 0,5g/λ b
(4)
gdzie:
σ
R pg =
b
(1 − A )⋅ λ g
gdzie λg oznacza przewodność cieplną gazu.
(8)
123
(13)
ZASTOSOWANIE ANALOGII CIEPLNO-ELEKTRYCZNEJ DO MODELOWANIA WŁASNOŚCI…
plastycznej na zimno, przyczyniając się do znacznej
poprawy
jakości
gotowego
produktu
[1].
W obliczeniach przyjęto, że przewodność cieplna
wodoru w funkcji temperatury zmienia się liniowo
według zależności:
3. WYNIKI OBLICZEŃ
Wartość współczynnika λr kręgu uzależniona jest
od przewodności cieplnej taśmy. Aby otrzymane
wyniki uniezależnić od tego parametru, przedstawione
zostaną w postaci zredukowanej. Zredukowana
a)
b)
1
4 MPa
8 MPa
12 MPa
16 MPa
0,8
przewodność zredukowana
przewodność zredukowana
1
0,6
0,4
0,2
0
0,8
0,6
0,4
0,2
4 MPa
8 MPa
12 MPa
16 MPa
0
0
300
600
temperatura, °C
900
0
300
600
temperatura, °C
900
Rys. 2. Przebieg zmian promieniowej przewodności zredukowanej kręgu taśmy o
grubości: a) 0,5 mm, b) 2 mm, dla różnych wartości parametru P.
efektywna przewodność cieplna danego ośrodka
porowatego stanowi iloraz jego przewodności
efektywnej i przewodności cieplnej jego fazy stałej.
W przypadku analizowanego wsadu fazą stałą jest
stal, zatem przewodność zredukowana wyrażona jest
tu zależnością:
λz =
λr
λs
λ g = 0,0004 ⋅ t + 0,1847
(15)
Zależność tę ustalono na podstawie danych
literaturowych [8]. Pozostałe parametry, występujące
w przedstawionym modelu obliczeniowym, przyjęto
jako stałe w funkcji temperatury.
Wykresy z rys. 2 przedstawiają przebiegi
przewodności zredukowanej kręgów taśmy o grubości
0,5 mm (rys. 2a) i 2 mm (rys 2b). W obydwu
prezentowanych przypadkach, współczynnik λz rośnie
niemal liniowo w funkcji temperatury. Jest to
spowodowane intensyfikacją przewodzenia w gazie
wskutek
znacznego
wzrostu
z
temperaturą
przewodności cieplnej wodoru. Dla zwoju taśmy 0,5
mm linie dla wszystkich naprężeń dociskających
przebiegają praktycznie równolegle, podczas gdy dla
taśmy 2 mm zwiększenie naprężenia przyczynia się do
spadku pochylenia linii.
W sposób bezpośredni zmiany przewodności
zredukowanej w funkcji naprężenia dociskającego
pokazują wykresy z rys. 3. Dla zwoju taśmy 0,5 mm
(rys. 3a), wzrost promieniowej przewodności
zredukowanej w funkcji naprężenia dociskającego jest
praktycznie liniowy. Im wyższa temperatura kręgu,
tym większa wartość współczynnika λz, co
spowodowane
jest
wspomnianym
wcześniej
temperaturowym wzrostem przewodności cieplnej
wodoru. Zaobserwowane tendencje pokazują, że
intensywność
przewodzenia
ciepła
przez
gaz
w obszarze szczeliny ma kluczowy wpływ na własności
cieplne kręgu.
(14)
Wyniki prezentowane w takiej postaci mają
charakter bardziej uniwersalny, ponieważ dotyczą
dowolnego kręgu, bez względu na przewodność cieplną
taśmy. Dysponując tymi danymi, można łatwo
obliczyć przewodność promieniową dla kręgu taśmy ze
stali o dowolnym gatunku. W tym celu wystarczy
jedynie pomnożyć przewodność zredukowaną przez
przewodność
cieplną
danej
stali.
Ponadto
współczynnik λz pokazuje, w jakim stopniu
przewodność promieniowa danego kręgu jest mniejsza
od przewodności cieplnej samej stali.
Przedstawione poniżej wyniki uzyskano przy
założeniu, że atmosferą w piecu jest wodór. Przy
wyżarzaniu taśm w postaci kręgów gaz ten stosuje się
z dwóch powodów. Po pierwsze, wysoka przewodność
cieplna wodoru znacznie intensyfikuje wymianę ciepła
w obszarze wsadu, co przyczynia się do skrócenia
czasu całego procesu obróbki cieplnej. Ponadto wodór
wykazuje właściwości redukujące, co w praktyce
powoduje oczyszczanie powierzchni wyżarzanej blachy
z pozostałości smarów pochodzących z przeróbki
124
Rafał Wyczółkowski, Łukasz Piechowicz, Agnieszka Benduch
Dla taśmy 2 mm (rys. 3b) linie wykresowe nie
posiadają już przebiegu prostoliniowego. Linie na tym
wykresie swoim kształtem przypominają przebieg
funkcji logarytmicznych. Zwiększenie parametru P
Uzyskane wyniki pokazują, że promieniowa
przewodność cieplna kręgu taśmy w zależności od
temperatury, naprężenia dociskającego lub grubości
taśmy znacznie się zmienia. W
rozpatrywanym
a)
b)
1
200°C
400°C
600°C
800°C
0,8
przewodność zredukowana
przewodność zredukowana
1
0,6
0,4
0,2
0,8
0,6
0,4
0,2
200°C
400°C
600°C
800°C
0
0
0
4
8
12
16
naprężenie dociskające, MPa
0
20
4
8
12
16
naprężenie dociskające, MPa
20
Rys. 3. Przebieg wartości współczynnika λz w funkcji naprężenia dociskającego
dla kręgu taśmy o grubości: a) 0,5 mm, b) 2 mm
a)
b)
1
200°C
400°C
600°C
800°C
0,8
przewodność zredukowana
przewodność zredukowana
1
0,6
0,4
0,2
0,8
0,6
0,4
0,2
200°C
400°C
600°C
800°C
0
0
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
grubość taśmy, mm
grubość taśmy, mm
Rys. 4. Zależności przewodności zredukowanej od grubości taśmy dla wybranych wartości temperatury:
a) dla P = 4 MPa, b) dla P = 16 MPa
przyczynia się do stopniowego spadku dynamiki
wzrostu współczynnika λz. Tendencja taka wynika
stąd, iż wraz ze wzrostem grubości taśmy w kręgu
maleje wpływ przewodzenia w gazie na całkowity
przepływ ciepła w kręgu.
Na rys. 4 przedstawiono przebiegi zmian
przewodności zredukowanej w funkcji grubości taśmy.
Jak można zauważyć, wraz ze zwiększeniem grubości
taśmy dynamika wzrostu współczynnika λz ulega
stopniowemu
zmniejszeniu.
Linie
dotyczące
poszczególnych temperatur, niezależnie od wartości
naprężenia, przebiegają niemal równolegle.
zakresie
wartości
wymienionych
parametrów
przewodność zredukowana mieści się w przedziale od
około 0,15 do przeszło 0,80. Największy wpływ na
wzrost przewodności zredukowanej ma grubość taśmy.
Jednak podczas obróbki cieplnej parametr ten nie
może być regulowany, ponieważ jest z góry
zdeterminowany potrzebami produkcyjnymi. Chcąc
zwiększyć przewodność cieplną kręgu taśmy o danej
grubości, należy zatem nawijać go z jak największym
naprężeniem. W taśmach o grubości do 1 mm
zwiększenie naprężenia dociskającego z 4 do 16 MPa
podnosi wartość przewodności zredukowanej blisko
125
ZASTOSOWANIE ANALOGII CIEPLNO-ELEKTRYCZNEJ DO MODELOWANIA WŁASNOŚCI…
dwukrotnie. W taśmie o maksymalnej grubości (3
mm) przyrost ten wynosi około 25%.
Najczęściej obróbce cieplnej poddaje się taśmy ze
stali niskowęglowej. Przewodność cieplna tego
materiału maleje liniowo w funkcji temperatury,
z 57,3 W/(m⋅K) w temperaturze 0°C do wartości 31,3
W/(m⋅K) dla 800°C [9]. Dla kręgu taśmy z takiej stali
przy jednoczesnym założeniu, że atmosferę pieca
stanowi wodór, przedział wartości, jakie przyjmuje
promieniowa efektywna przewodność cieplna λr wynosi
od 7 do 36 W/(m⋅K). Pokazuje to, że poprawne
modelowanie matematyczne procesu nagrzewania
kręgów taśmy stalowej wymaga precyzyjnej wiedzy na
temat wszystkich parametrów, które wpływają na
wartość współczynnika λr. Wielkościami tymi są:
grubość i przewodność cieplna taśmy, przewodność
cieplna gazu będącego atmosferą pieca, temperatura
oraz naprężenie dociskające.
•
•
•
•
•
4. PODSUMOWANIE
Na podstawie przedstawionych wyników obliczeń
można sformułować następujące wnioski:
promieniowa efektywna przewodność cieplna λr
kręgu stalowej taśmy znacznie odbiega wartością
od przewodności cieplnej samej taśmy; jest to
spowodowane niejednorodną strukturą tego wsadu,
na skutek czego podczas nagrzewania lub
chłodzenia
przepływ
ciepła
w
kierunku
promieniowym ma złożony charakter;
wartość współczynnika λr zależy od szeregu
parametrów,
do
których
należą:
grubość
i przewodność cieplna taśmy, przewodność cieplna
gazu (atmosfery pieca), naprężenie dociskające
oraz temperatura;
miarą odstępstwa współczynnika λr kręgu od
przewodności
cieplnej
samej
taśmy
jest
przewodność zredukowana λz;
w zależności od wartości wymienionych powyżej
parametrów wartość zredukowanej przewodności
cieplnej kręgu mieści się w zakresie 0,15 ÷ 0,8;
poprawne modelowanie matematyczne procesów
nagrzewania i chłodzenia zwojów taśmy, z uwagi
na zróżnicowanie wartości współczynnika, wymaga
dokładnej wiedzy na temat zmian tego parametru.
Literatura
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Blacharski M.: Inżynieria materiałowa: stal. Warszawa: WNT, 2004.
Saboonchi A., Hassanpour S., Abbasi S.: New heating schedule in hydrogen annealing furnace based on process
simulation for less energy consumption. “Energy Conservation and Management” 2008, 49, p. 3211 - 3216.
Pal D., Datta A., Sahay S. S.: An efficient model for batch annealing using a neural network. “Materials and
Manufacturing Processes” 2006, 21, p. 556 – 561.
Wiśniewski S.: Wymiana ciepła. WarszawA: PWN, 1979.
Zhang X., Yu F., Wu W., Zuo Y.: Application of radial effective thermal conductivity for heat transfer model of
steel coils in HPH furnace. “International Journal of Thermophysics” 2003, Vol. 24, No. 5, p.1395 – 1405.
Furmański P., Wiśniewski T. S., Banaszek J.: Thermal contact resistances and other thermal phenomena al.
solid-solid interface. Institute of Heat Engineering – Warsaw University of Technology. Warsaw 2008.
Kostowski E.: Przepływ ciepła. Gliwice: Wyd. Pol. Śl., 2000.
Raźnjević K.: Tablice cieplne z wykresami. Warszawa: WNT, 1966.
Rao T. R., Barth G. J., Miller J. R.: Computer model prediction of heating, soaking and cooking times in batch
coil annealing. “Iron and Steel Engineer” 1983, 60 (9), p. 22 – 33.
Proszę cytować ten artykuł jako:
Wyczółkowski R., Piechowicz Ł., Benduch A.: Zastosowanie analogii cieplno-elektrycznej do wyznaczenia
własności cieplnych kręgu blachy. „Modelowanie Inżynierskie” 2013, nr 46, t. 15, s. 121 – 126.
126