magnetyzm cd.

magnetyzm cd.
ver-10.01.12
praca przemieszczenia obwodu
w polu B
dΦ B= BdS
F = ΙlB
 B ⊥ j 
⊗
B
(siła Ampere’a)
F
dx
dW = ΙdΦ B
dW =Fdx= Ι lBdx= Ι BdS
Φ B =∫ 
B⋅d 
S =∫ BdS
dla obwodu:
 =Ι B⋅d S 
strumień
W = Ι ∫ dΦ B = Ι  Φ 2−Φ 1 
praca wykonana jest kosztem źródła prądu!
W =q  ϕ 2 −ϕ1 
dywergencja pola magnetycznego
nie istnieją ładunki magnetyczne!
Φ B =∮ 
B⋅d 
S =0
S
Gauss:
 
B dV =0
∫ ∇⋅
V
 
∇⋅
B =0
pole bezźródłowe:
div 
B ≡0
(monopol magnetyczny Diraca?)
rotacja pola magnetycznego
∮ B⋅d l =∮
Γ
r
j⊗
dl
dα
B
Γ
Γ
μ0 2Ι
rd α
4π r
rdα – rzut dl na B
∮ B⋅d l =
Γ
μ0 Ι
∮ dα=μ 0 Ι
2π Γ
∮ dα=2π
Γ
∮ B⋅d l = μ0∫ j⋅d S
Γ
S
ale Stokes:
∫  ∇ × B ⋅d S = μ 0 ∫ j⋅d S
S
S
 ×
∇
B= μ 0 j
pole wirowe
rot 
B = μ 0 j
podsumowanie własności pól
wektorowych
 E
 =
∇⋅
0
 ×E
 ≡0
∇
}
pole bezwirowe, istnieje potencjał skalarny:
ϕ

E=−
∇
pole bezźródłowe, istnieje potencjał wektorowy:
 B≡0

∇⋅
 × B=


∇
0 j
}
 × A

B= ∇
coraz bliżej do równań Maxwella!
cewka indukcyjna (selenoid)
pole jednorodne (prawie)
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
a
ʘʘʘʘʘʘʘʘʘʘʘ
B2
B1
∮ B⋅d l =  B 1− B 2  a=0
⇒ B 1= B 2
selenoid
n - gęstość zwojów
μ 0 R sin ϑ
dB=− nI
dx
2
2
r
R
ϑ2 ϑ1
x
x=Rctg ϑ
1
dϑ
2
sin ϑ
r=R/ sinϑ
dx=−R
ϑ2
μ
μ
B=− 0 nI ∫ −sin ϑ  dϑ = 0 nΙ  cos ϑ 1 −cos ϑ 2 
2
2
ϑ
1
o
ϑ1  0
o
ϑ 2  180
}
B= μ o n Ι
na zewnątrz: B = 0
toroid (pierścień Rowlanda)
∮ B⋅d l =2π rB= μ0 2π RnI
B= μ0 nΙ
R
≈ μ 0 nΙ
r
 
R
≈1
r
[µ 0] = Tm/A
SI
pole magnetyczne w materii
'

B= 
B0 
B
↑
↑ pole wewnętrzne (uśrednione)
pole zewnętrzne
teoria Ampère’a magnetyzmu:
prądy elementarne
def
namagnesowanie:
J = 1
ΔV
∑ p m
'
 
 
 
∇⋅
B = ∇⋅
B 0  ∇⋅
B =0
def
1

P=
ΔV
∑ p
ΔV
natężenie pola magnetycznego
 ×
 ×
 B
 ' = μ  j  j ' 
∇
B =∇
B 0  ∇×
0
↑ prądy elementarne
 × J
j ' = ∇
można wykazać, że:
'
 P
ρ =− ∇⋅
 ×
 × J
∇
B= μ 0 j μ 0 ∇
 

B  

∇×
−J = j
μ0
def
B

H = − J
μ0
- natężenie pola magnetycznego
def
 =ε E
 
D
0 P
 D=
 ρ
∇⋅
 ×H
 = j
∇
cd.
Stokes:
 l =∫ j⋅d S =∑ Ι
∮ H⋅d
k
Γ
w próżni:
np.: dla prądu prostego:
S
k

B

=
J =0, H
μ0
H=
1 2I
4π b
[H] = [J] = A/m
SI
cd.
namagnesowanie wiąże się z natężeniem pola
ośrodek izotropowy


P=κε 0 E
J = χ H
stała bezwymiarowa
↑ podatność magnetyczna
(ferro: zależy od H)

B


H= −χ H
μ0
=
H

B
μ0  1 χ 
χ (podatność) może być dodatnia lub ujemna
def
μ = 1 χ
- przenikalność magnetyczna, może być > 1 lub < 1

B

H=
μ0 μ
 =ε 0 ε E

D
warunki brzegowe
 
∇⋅
B=0
 ×H
 =j
∇
B 1, n =B 2, n
μ 2 B 1, t = μ1 B 2, t
μ 1 H 1, n = μ 2 H 2, n
H 1, t =H 2,t
w magnetyku o większym µ linie zagęszczają
się
magnetyki
χ<0
χ>0
χ>>0
diamagnetyki
paramagnetyki
ferromagnetyki
µ<1
µ>1
µ>>1
B<B0
B>B0
B>>B0
J↑↓H
J↑↑H
χ=χ(H)
diamagnetyki: brak własnego momentu magnetycznego,
precesja Larmora ω L = eB/2m, indukuje przeciwne pole
magnetyczne, (Bi, Zn, Pb, Ag, Au, Hg)
paramagnetyki: własny moment magnetyczny
ustawiający się zgodnie z zewnętrznym polem, χ~1/T,
(Mn, Sn, Al, Pt)
ferromagnetyki
histereza
ferromagnetyki: spontaniczne namagnesowanie domen
(10µm), niejednoznaczna funkcja B = µ 0(H+J), (Fe, Ni, Co),
punkt Curie (np.: TC = 768oC)
B
Br
Hk
H
Br - pozostałość
magnetyczna
Hk - koercja
domeny
B
magnetyzm ziemski
magnetyzm ziemski
indukcja elektromagnetyczna
indukcja elektromagneczna
zmiana strumienia B powoduje
indukowanie prądu w obwodzie
reguła Lenza (przekory): kierunek
prądu indukowanego powoduje
przeciwdziałanie zmianom.
http://micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/faraday2/
http://micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/faraday/
1831 (Michael Faraday 1791-1867)
prawo Faradaya
1
⊗
⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗ v
⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗
2
⊗
l
⊗
B
⊗
vdt
dS

B=const
 =q  v × 
F
B
2
ε i =∮  v × B ⋅d l =∫  v × B ⋅d l =  v × B ⋅l
1
dΦ B
d 
d
S 



=
l ×v ⋅B dt=− ⋅B =−
dt
dt
dt
dΦ B
ε i =− dt
v
ε
Ι dt= Ι 2 Rdt Ι dΦ
↑
↑
↑ praca w polu B
↑
↑ praca na pokonanie oporu (ciepło)
↑ praca wykonana przez ogniwo
ε
dt−dΦ
Ι=
=
Rdt
 
ε  − dΦ
dt
R
=
ε εi
R
Helmholtz
SEM w poruszającym się przewodzie
powstaje ∆ϕ
F =evB
E=
Δϕ
l
F
B
równowaga gdy eE =evB
Δϕ
=v B
l
obwód otwarty
Δϕ=− ε
d
dl
l
dΦ
ε =−Blv=−Bl ds
=−
dt
dt
i
szybkość przecinania linii B przez obwód
v
cd
d  
∂


∮ E⋅d l =− dt ∫ B⋅d S =−∫ ∂Bt ⋅d S
Γ
S
S

εi
↑ przy stałej geometrii
∂
B


∇ × E =−
∂t
pole wirowe!
prądnica
Φ= BS cos α
dα
ε i =−dΦ
= BS sin α
dt
dt
=BS ω sin α
B
{
ε i = ε max = BS 
0
 α=π / 2 
 α=0 
x
α
α=ω t
B
ε = ε 0 sin ωt
prąd zmienny
ε
ε
t
T
m
ax
x
B
ε
t
t
t
samoindukcja
prąd w obwodzie
↓
strumień indukcji Φ B
↓
I(t) → Φ B (t) → SEM
Φ B =∫ 
B⋅d S
μ0
d l × r
B= Ι ∫ μ
3
4π Γ
r
Φ B= L Ι
↓
indukcyjność obwodu
[L] = Tm2/A = Wb/A = H henr
SI
(Joseph Henry 1797-1878)
μ0
Ι
4π


μ
∫ r 3  d l ×r  d S
S
μ
μ
=Ι 0 ∫ d 
S ∫ 3  d l × r 
4π
r

Φ B =∫
L
x
geometria
L
magnetyczne własności ośrodka
= const jeśli sztywny obwód i bez ferromagnetyków
d
dΙ
dL
ε i =− dΦ
=−  L Ι  =−L − Ι
dt
dt
dt 
dt
=0
ε i =−L dΙ
dt

= − L Ι
gen

dL dΙ
dt dt
‘–‘ reguła przekory Lenza
(Emilij Ch. Lenc 1804-1865, Heinrich Friedrich Lenz), est, rus
Эмилий Христианович
Ленц
zamykanie i otwieranie obwodu
otwieranie:
γγγγγγγγγγγγ
L
Ι 0=
ε
R
 Rw << R 
Ι  t  R= ε i
R
Ι  t  R=−L
ln Ι =−
τ= L/ R
dΙ
dt
dΙ
R
=− dt
Ι
L
R
tconst
L
Ι =Ι 0e
R
− t
L
=Ι0 e
−
stała czasowa obwodu
t
τ
cd.
zamykanie:
Ι  t  R= ε  ε i = ε − L
ε
dΙ R
 Ι=
dt L
L
Ι = Ι 0 const e

Ι = Ι 0 1−e
−
−
R
t
L

dΙ
dt
I
I0
R
t
L
t
energia pola magnetycznego
dΦ
Ι dt=−ΙdΦ
dt
L  Ι  =const
dW = ε Ι dt=−
γγγγγγγγγγγγ
L
dΦ= Ld Ι
dW =−LΙdΙ
R
0
LΙ 2
W =−∫ LΙdΙ =
2
I
NB: energia pola selenoidu –
ale dla selenoidu:
czyli:
2
B
E m=
V
2 μ0
2
L= μ 0 n V
LΙ
E m=
2
2
B= μ 0 n I
a gęstość energii:
2
B
w m=
2 μ0
jednostki w magnetyzmie
SI
B – wektor indukcji magnetycznej
tesla
T=
N
kg
= 2
m As
C
s
Φ B – strumień indukcji
magnetycznej
weber
Wb=T ⋅m 2
L – indukcyjność
henr
F =qvB
Φ Β = L⋅Ι
Wb T⋅m 2
H=
=
A
A
Φ Β = B⋅S
jednostki w magnetyzmie
J – wektor namagnesowania
A
m
IS
J=
V
H – wektor natężenia pola magnetycznego
H=
1 2Ι
4π b
A
m
stałe w magnetyzmie
stała magnetyczna:
μ 0 =4π⋅10−7
H
m
ε 0 μ 0=
stałe materiałowe:
µ – podatność magnetyczna (bezwym.)
χ – przenikalność magnetyczna (bezwym.)
B= μ H
J=χ H
1
c2
koniec