Zestaw XIX Analiza wymiarowa

Zestaw XIX
Analiza wymiarowa
Marcin Abram, Wojciech Bizoń, Kamil Ziemian
11 marca 2014 r.
e-mail: [email protected]
http://www.fais.uj.edu.pl/dla-szkol/
warsztaty-z-fizyki/szkoly-ponadgimnazjalne
https://www.facebook.com/groups/kolkof/
Wstęp
Analiza wymiarowa jest niezwykle skuteczną metodą znajdowania zależności między (wymiarowymi) wielkościami fizycznymi opisujących dany problem. Zanim jednak ją przedstawimy, zadajmy pytanie: co to są wielkości
wymiarowe i czym różnią się od wielkości bezwymiarowych?
Najprostszy przykład: mierząc długość kartki papieru za pomocą linijki możemy podać wynik np. w milimetrach. Dla kartki papieru formatu A4 będzie to 210 (mm);
mierząc jednak tą samą kartkę za pomocą miarki z zaznaczonymi jedynie centymetrowymi odstępami, dostalibyśmy jako wynik 21 (cm); podobnie używając linijki amerykańskiej, dostalibyśmy około 8,2677 (cala), itd. Są to
wartości wymiarowe – mają one sens tylko o tyle, o ile
poda się jednostkę, w jakiej dokonało się pomiaru.
Wielkości bezwymiarowe to, trzymając się naszego
przykładu z kartką papieru, stosunek między jej długością i szerokością. Dla kartki A4 wynosi ona około 1,414,
niezależnie od tego, czy pomiar wykonało się w mm, cm
czy calach.
Przejdźmy teraz jednak do ciekawszych (czyli fizycznych) przykładów:
Analiza wymiarowa w działaniu: Wahadło
matematyczne
Wahadło matematyczne to masa punktowa m zawieszona na sznurku o zadanej długości l i umieszczona w jednorodnym polu grawitacyjnym o przyspieszeniu g. Załóżmy, że nie znamy zasad dynamiki Newtona. Wykonując
jednak prosty eksperyment: odchylamy wahadło o mały
kąt θ i mierzymy okres drgań t. Chcemy teraz (wykorzystując analizę wymiarową) poznać zależność między następującymi wielkościami: m, l, g, θ i t.
Zauważmy przy tym, że wymiary tych wielkości wyrażają się poprzez długość (oznaczmy prze L), masę (M )
i czas (T ) lub ich kombinację (np. przyśpieszenie grawitacyjne to długoś{czas2 czyli w naszej notacji L{T 2 ). Uporządkujmy informacje w tabelce:
nazwa wielkości
masa wahadła
długość sznurka
przyśpieszenie grawitacyjne
maks. kąt wyhylenia wahadła
okres drgań
oznaczenie
m
l
g
θ
t
wymiar
M
L
L{T 2
1
T
Chcemy teraz powiązać jakoś powyższe wielkości. Zapiszmy np.:
θ “ lα mβ g γ tδ .
(1)
Ponieważ θ jest bezwymiarowe, to wyrażenie po prawej
stronie powyższej równości też powinno być bezwymiarowe. To oznacza, (używając naszego symbolicznego zapisu)
że:
ˆ ˙γ
L
T δ.
(2)
1 “ Lα M β
T2
Dostajemy stąd układ równań:
$
α ` γ “ 0,
&
β “ 0,
%
´2γ ` δ “ 0.
(3)
Mamy 3 równania, ale aż 4 niewiadome. Ponieważ jednak
we wzorze (2) wszystkie wymiary mają się skrócić do jedności, możemy bez szkody dla wyniku założyć, że α “ 12
(sprawdź, co się stanie dla innego wyboru, np. α “ 1 lub
α “ 2). Dostajemy więc rozwiązanie w postaci: α “ 21 ,
β “ 0, γ “ ´ 12 , δ “ ´1, czyli zależność:
c
g
C“t
,
(4)
l
gdzie C to jakaś (bezwymiarowa) liczba. W naszym problemie mamy tylko jedną bezwymiarową wielkość: maksymalne wychylenie wahadła θ. Stąd mamy, że C może być
(dowolną) funkcją zmiennej θ (oznaczmy to jako f pθq).
Stąd: Mimo wszystko jesteśmy w stanie napisać, że proporcję
d
l
f pθq.
(5)
t“
g
Dostaliśmy więc, np. że okres wahań wahadła matematycznego nie zależy od jego masy! Ile jednak dokładnie
wynosi f pθq już się jednak z samej analizy wymiarowej nie
dowiemy. W tym celu trzeba użyć zasad dynamiki Newtona, bądź przeprowadzić eksperyment (o ile jednak łatwiej
jest wykonać taki eksperyment gdy znamy już zależnośc od
l i g, a do wyznaczenia mamy tylko funkcję bezwymiarową
f pθq). Okazuje się, że w obu przypadkach (teoria i eksperyment) dostajemy, że dla małych θ zachodzi f pθq « 2π.
Zadanie 1: Cylindryczne naczynie
[zadanie zostało zaczerpnięte ze strony domowej dr hab.
Janusza Typka z Instytut Fizyki ZUT w Szczecinie
www.typjan.ps.pl/zz1.doc]
W cylindrycznym naczyniu o polu przekroju poprzecznego S1 znajduje się ciecz nielepka o gęstości ρ, wypełniająca naczynie do wysokości h. W dnie naczynia znajduje
się otwór o powierzchni S2 , przez który ciecz wypływa.
Oszacować czas wypływu cieczy z naczynia.
Podpowiedź: Wypływ wody odbywa się pod wpływem
siły ciężkości, więc poza wymienionymi wielkościami, czas
wypływu cieczy zależy też od przyśpieszenia grawitacyjnego. Możemy zapisać:
t “ c ¨ ρα ¨ hβ ¨ g γ ¨ S1δ ¨ S2 ,
gdzie c to jakaś stała (którą trzeba wyznaczyć eksperymentalnie).
Przeprowadź analizę wymiarową. Okazuje się, że mamy
więcej zmiennych niż równań. Trzeba poczynić dodatkowe
założenia. Przyjmij, że (1) prędkość wypływu nie zależy
od powierzchni otworu oraz (2) dla ustalonego h czas wypływu jest proporcjonalny S1 .
Zadanie 2: Ściśle tajna informacja podana
do publicznej wiadomości
16 lipca 1945 r. na pustynie w stanie Nowy Meksyk
została zdetonowana pierwsza bomba atomowa na świecie o nazwie „The Gadget”. Cała operacja nosiła nazwę
„Trinity” i była ściśle tajna. Bomba przeszła swój test pomyślnie i niecałe trzy tygodnie później, 9 sierpnia 1945 r.,
bomba o takiej samej konstrukcji została zrzucona na Nagasaki w Japonii.
Szczegóły techniczne użytej bomby (a także energię
jej detonacji) trzymano w ścisłej tajemnicy. Niemniej po
zniszczeniu Hiroshimy i Nagasaki, 12 sierpnia 1945 r., opublikowana raport („The Smyth Report”) o roli projektu
Manhatan w wytworzeniu broni atomowej. Umieszczono
tam zdjęcia z pierwszej próby, tj. detonacji „The Gadget”.
Zdjęcia (i fragmenty raportu) zostały przedrukowane następnie w takich czołowych gazetach jak np. New York
Times. Okazało się jednak, że na nieopatrznie zostawio-
no na niektórych zdjęciach pewne informacje, które mogły posłużyć oszacowaniu energii sfotografowanej eksplozji
(której nie podano w raporcie, jako że była to ściśle tajna
informacja).
Korzystając z poniższych fotografii (i tego, czego
się nauczyłeś z poprzednich przykładów) oszacuj energię
bomby „The Gadget”. Potrzebne dane to:
• gęstość
powietrza na poziomie morza: ρ0 “
¯
´ suchego
kg
1,2 m3 ,
• 1 tona TNT odpowiada energii 4,6 ¨ 109 pJq.
Uwaga: Zakładamy, że (1) energia została zdeponowana
w bardzo małej przestrzeni, oraz że (2) fala uderzeniowa
jest sferyczna. Pomiń wpływ ciśnienia atmosferycznego.
Podpowiedź: Zapisz promień fali uderzeniowej jako
funkcji czasu, energii oraz gęstości powietrza. Na końcu
obliczeń przyjmij, że stała proporcjonalności jest równa 1
(co jest częstą praktyką w analizie wymiarowej). Żeby obliczyć ostateczną enegię bomby, odczytaj potrzebne dane
z wykresów (użyj linijki).
Zadanie 3: Pęcherzyk w wodzie (lub piwie) uwzględnić przyśpieszenie grawitacyjne g. Dostajemy:
[zadanie zostało zaczerpnięte ze strony domowej dr hab.
Janusza Typka z Instytut Fizyki ZUT w Szczecinie
www.typjan.ps.pl/zz1.doc]
´
¯
kg
W cieczy o gęstości ρ i współczynniku lepkości η m¨s
wypływa pęcherzyk zapełniony gazem o pomijalnej gęstości i promieniu r. Jaka ustali się prędkość v wypływu tego
pęcherzyka?
Podpowiedź: Ruch pęcherzyka odbywa się w polu grawitacyjnym, trzeba więc poza wymienionymi wielkościami
v “ c ¨ rα ¨ g β ¨ ργ ¨ η γ .
(6)
Prowadząc analizę wymiarową zauważycie, że mamy
więcej niewiadomych niż samych równań. Posłużymy się
trikiem.
´
¯ Wprowadzimy dodatkową jednostkę miary, siłę F
kg¨m
, którą będziemy traktować niezależnie od masy
s2
kg, czasu t i odległości m.` Dzięki˘temu wkład od przyśpieszenia grawitacyjnego m ¨ s´2
zapisać jako
´ możemy
¯
˘
`
`
˘
kg
´1
, a wkład od lepkośći m¨s jako s ¨ F ¨ m´2 .
F ¨ kg
Da to dodatkowe równanie, ktore pozwoli rozwiązać cały
układ równań.