Dla zmiennej losowej ciągłej

Rozkłady zmiennych losowych
Wprowadzenie
Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod
względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy
próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne
charakterystyki. Jeśli próba jest duża tworzymy
szereg rozdzielczy zawierający wartości badanej
cechy oraz liczność i obliczaną na tej podstawie,
częstość występowania badanej cechy a zatem i
prawdopodobieństwo występowania badanej
cechy co oznacza, że cechę tą możemy nazywać
zmienną losową.
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Histogram utworzony na podstawie tego szeregu
– to rozkład empiryczny badanej cechy.
Jeśli np. rzucamy kostką a zmienną losową jest
liczba wyrzuconych oczek to (jeśli kostka jest
symetryczna) prawdopodobieństwo wyrzucenia
każdej z liczb 1 – 6 jest takie samo, zatem w
histogramie wszystkie słupki będą takie same.
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej

Weźmy inny przypadek. Populację tworzą
klienci pewnego sklepu z odzieżą. Badamy
preferencje klientów dotyczącą wybranego
koloru. Do wyboru jest 10 kolorów. Jeśli
okaże się, że klienci wybierają wszystkie
kolory z takim samym prawdopodobieństwem
czyli 1/10, oznacza to, że rozkład jest
rozkładem równomiernym.
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Rozkład równomierny
to rozkład, w którym wszystkie
prawdopodobieństwa są jednakowe.
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Jeśli natomiast będziemy badać płeć osoby,
która robi zakupy w tym sklepie może się okazać,
że znacznie częściej jest to kobieta niż mężczyzna.
Badaną cechą a więc zmienną losową jest płeć.
Zmienna ta może przyjmować dwie wartości.
Definiujemy zmienną losową
X(Kobieta)=1, X(mężczyzna)=2
Możemy obliczyć częstość czyli
prawdopodobieństwo pojawiania się kobiety i
mężczyzny.
Taka zmienna ma rozkład zero-jedynkowy.
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Rozkład zero-jedynkowy.
Zmienna losowa X ma rozkład zerojedynkowy, jeśli przyjmuje 2 wartości i
jej funkcja prawdopodobieństwa jest
następująca:
P(X = 0) = p
P(X = 1) = 1-p = q
xi
pi
0
p
(0<p <1)
1
1-p
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Rozkład zero-jedynkowy.
Wartość oczekiwana = p
 Wariancja D2(X) = p(1-p)

Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Z rozkładem zero-jedynkowym mamy do
czynienia, jeśli badamy wadliwość wyrobu
(dobry, zły), awaryjność maszyn: zepsuje się lub nie
itd.
Przypuśćmy, że badamy awaryjność 4 maszyn.
Cecha ta ma dla każdej maszyny rozkład zerojedynkowy i można obliczyć, że
prawdopodobieństwo, że maszyna w danym dniu
zepsuje się wynosi np. 0,05.
Nas interesuje, ile spośród tych 4 maszyn ulegnie
awarii w danym dniu. Mamy zatem obliczyć, jakie
jest prawdopodobieństwo, że w danym dniu awarii
ulegnie 0, 1, 2, 3, 4 maszyn.
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Zmienną losową jest zatem liczba maszyn,
które ulegną awarii w danym dniu.
Zmienna ta ma rozkład dwumianowy.
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Rozkład dwumianowyBernoulliego

Zmienna losowa X ma rozkład
dwumianowy, jeśli przyjmuje wartości
k = 0, 1,, ..., n z prawdopodobieństwami
określonymi wzorem
n k
n k
P(X  k )   p (1  p)
k
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Wartość oczekiwana i wariancja
P(Xi=1)=p,
xi
pi
P(Xi = 0) = (1-p)
1
n
 p(1  p) n 1
1
2
...
n
n 2
 p (1  p) n 2
 2
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Wartość oczekiwana
n
E ( X )   xi pi  np
i 1
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Wariancja rozkładu dwumianowego
D ( X )  np(1  p)
2
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Rozkład Poissona
Zmienna losowa X przyjmująca wartości
k = 0, 1, 2.. ma rozkład Poissona o
parametrze , jeśli jej funkcja
prawdopodobieństwa opisana jest wzorem:
 
P( X  k ) 
e
k!
dla k = 0, 1, ..., gdzie  jest dodatnia stałą,  > 0.
k
Stwierdzono, że rozkład Poissona ma

liczba usterek w produkowanych urządzeniach

liczba skaz na określonej powierzchni materiału,

liczba cząsteczek emitowana przez substancję radioaktywną w krótkim
okresie,

liczba błędów drukarskich na jednej stronie,

wadliwość produkcji

awaryjność maszyn.
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Rozkład Poissona.
Wartość oczekiwana i wariancja


E(X) = 
D2(X) = 
Znając zatem wartość oczekiwaną czyli wartość
średnią z próby, możemy obliczyć funkcję
prawdopodobieństwa tego rozkładu.
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Rozkłady zmiennej losowej
ciągłej
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Rozkład prostokątny

Zmienna losowa ciągła ma rozkład
prostokątny, jeśli jej funkcja gęstości
określona jest następująco:
 1
axb

f (x)   b  a
x  a lub x  b
0
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Funkcja gęstości w rozkładzie
prostokątnym
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej

Wartość oczekiwana
ab
E( X ) 
2

Wariancja
(b  a )
D ( X) 
12
2
2
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Rozkład normalny
Zmienna losowa X ma rozkład normalny o
parametrach m i , co w skrócie zapisuje się
X : N(m, ), jeśli jej funkcja gęstości ma
następującą postać:

1
f (x) 
e
 2
- < x < ,
( x m)2
2
2
>0
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Wykres funkcji gęstości
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Dystrybuanta
x

1
F( x ) 
e

 2  
( t m)2
22
dt
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Wartość oczekiwana
E( X )  m
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Wariancja
D2 ( X )   2
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Przykład
Waga mężczyzn w pewnej populacji ma
rozkład N(70,6).
Oznacza to, że waga mężczyzn jest
zmienną losową o rozkładzie normalnym
ze średnią m = 70 kg i odchyleniu
standardowym  = 6 kg.
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
75
P(70  X  75) 

f ( x)dx
70
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
P(70 < X <=75)=F(75) – F(70)
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Obliczenie prawdopodobieństwa, że zmienna
losowa o rozkładzie normalnym N(m,) przyjmuje
wartość z danego przedziału jest raczej
skomplikowane, dlatego zmienną losową o
rozkładzie N(m,) standaryzuje się czyli
przekształca tak, by otrzymać zmienną o
standardowym rozkładzie normalnym N(0,1).
Umożliwiło to opracowanie tablic statystycznych z
których można odczytać wartości dystrybuanty
standardowego rozkładu normalnego.
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Standardowy rozkład normalny

Rozkład normalny ze średnią m = 0 oraz
odchyleniem standardowym  = 1
nazywamy standardowym rozkładem
normalnym i oznaczamy N(0,1).
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Zmienna losowa standaryzowana.
Niech X będzie zmienną losową o wartości
oczekiwanej E(X) i odchyleniu
standardowym D(X).
Zmienną losową standaryzowaną U jest:
X  E ( X)
U
D(X)
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Parametry zmiennej losowej
standaryzowanej
E(U) =0
D2(U) =1
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Standardowy rozkład normalny
Zmienną losową mającą standardowy
rozkład normalny oznacza się przez U,
Funkcja gęstości: (u),
Dystrybuanta : (u).
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Reguła 3 sigm
P(| X  m | )  0,68
P(| X  m | 2)  0,95
P(| X  m | 3)  0,997
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej
Reguła 3 sigm


99,7% obserwacji, czyli praktycznie niemal
wszystkie obserwacje dokonywane na
zmiennej losowej o rozkładzie normalnym
mieszczą się w przedziale (m – 3, m+3).
Za niewiarygodne uznaje się obserwacje,
których wartość różni się od średniej o
więcej niż o 3 odchylenia standardowe.
Autor wykładu: dr inż. Małgorzata Rabiej