Tekst / Artykuł

PRZEGLĄD GEOFIZYCZNY
Rocznik LVI
2011
Zeszyt 3–4
Stanisław Ryszard KOZIEŁ
IMGW-PIB — Warszawa
KINEMATYKA SPIRALNA W NIŻU ATMOSFERYCZNYM
THE SPIRAL KINEMATICS IN THE ATMOSPHERIC DEPRESSION
Struktury spiralne obserwujemy w różnych ośrodkach, zarówno w atmosferze
Ziemi, w oceanach, ale też w galaktykach, właśnie nazywanych spiralnymi. Sam
fakt, że są obserwowane, oznacza, że charakteryzują się pewną trwałością. Spirala
w niżu atmosferycznym zachowuje swą strukturę niemalże jak obracająca się bryła
sztywna (rys.1). Pozwala to na hydrodynamiczne modelowanie tej struktury jako
ruchu w fazie ustalonej. Celem pracy jest pokazanie, że powstawanie struktury
spiralnej w niżu atmosferycznym może być zinterpretowane jako złożenie dwu
ruchów płaskich. W biegunowym układzie współrzędnych są one scharakteryzowane przez prędkość orbitalną Vq i radialną Vr . Pierwsza z nich jest to dobrze
znany wiatr gradientowy, druga natomiast wynika z istnienia oporów ruchu. Obie,
wraz z prędkością pionową Vz , można otrzymać jako rozwiązanie względnie prostych równań geofizycznej dynamiki płynów dla ruchu ustalonego. Dla efektywnego rozwiązania problemu przyjęto analityczną w miarę uniwersalną postać
ciśnienia SLP.
Elementarne modele wirów w ośrodku ciągłym
Spirale w ośrodku ciągłym w ogólności występują jako względnie trwałe struktury i jako takie potocznie są traktowane są jako wiry. Obserwowane struktury
spiralne są często utożsamiane z wirami. W różnych zastosowaniach określenia
„wir” używa się raczej do opisania samej tylko jego prędkości orbitalnej U q = U q (r ),
S.R. Kozieł
172
Rys. 1. Obszar niskiego ciśnienia nad Islandią z wyróżniającą się strukturą spiralną
(3 IX 2003), [Internet1]
Fig.1 The area of low pressure over Iceland with a distinctive spiralstructure,
(3 September 2003)
gdzie r – odległość od jego centrum. Przykładem jest wir Rankina (Kilty, 2005):
U q (r ) =
U q (r ) =
V0r
R
V0R
(0 £ r £ R)
(r > R)
r
Parametr V0 oznacza maksymalną prędkość przy r = R .
Jednym z uogólnień tego modelu jest wir Burgersa (Takhar, 1971)
U r = -ar
æ ar 2 ö÷ù
G éê
ç÷ú
ç
1
exp
Uq =
çç 2n ÷÷ú
2p r êëê
è
øûú
U z = 2az
(1)
(2)
Kinematyka spiralna w niżu atmosferycznym
173
gdzie U r ,U q ,U z są składowymi prędkości w cylindrycznym układzie współrzędnych,
z centrum r = 0 . Zakłada się w tym modelu symetrię ruchu względem pionowej
osi z. Parametr n jest współczynnikiem lepkości kinematycznej, G oznacza intensywność wiru. Przy małych odległościach od początku układu prędkość orbitalna
staje się liniowo zależna od r , Vq » r . Istotną własnością tego modelu jest tu
występowanie niezerowej prędkości radialnej i pionowej.
W ogólności liniowa zależność prędkości Vq » r w pobliżu centrum wiru
oznacza istnienie swego rodzaju trwałego rdzenia, wirującego jak bryła sztywna.
Explicite własność tę modeluje wir Rankina (1) dla 0 £ r £ R .
Przykład kinematyki spiralnej – spirala logarytmiczna
Ruch płaski w biegunowym układzie współrzędnych (r , q) jest opisywany przez
dwie prędkości Vr i Vq – radialną i orbitalną:
dr
dt
dq
Vq = r
dt
Vr =
(3)
Prędkości te w ogólnym przypadku są funkcjami (r , q). Dalej będziemy rozważać szczególną sytuację symetrii osiowej, kiedy prędkości są tylko funkcjami r ,
a więc Vr = Vr (r ) i Vq = Vq (r ). Szkic trajektorii spiralnej zamieszczono na rys. 2.
Rys. 2. Spirala logarytmiczna jako wynik złożenia dwu ruchów płaskich z prędkością orbitalną
Vq i radialną Vr
Fig.2. Logarithmic spiral as a superposition of two independent moves : orbital Vq and radial Vr
S.R. Kozieł
174
Jeżeli funkcje te są znane, równanie spirali otrzymujemy jako rozwiązanie
r = r (q) poniższego równania, wynikającego z (3)
dr
dq
=r
Vr
Vq
Na przykład, dla możliwie najprostszej postaci zależności liniowej
(4)
Vr = -Cr , Vq = Ar , gdzie C > 0, A > 0
otrzymujemy spiralę logarytmiczną:
C
(q - q0 )]
(5)
A
Jest to spirala zwijająca się. Przy rosnącym q cząstka będzie zdążać ku centrum: r0  r  0 , jak na rys. 2.
Ogólniej – aby otrzymać spiralę logarytmiczną w (4), powinna mieć miejsce
relacja Vr / Vq = const . Pokażemy dalej, że w pobliżu centrum zarówno wiatr
gradientowy, jak i radialny są w przybliżeniu liniowymi funkcjami zmiennej r ,
a w konsekwencji obserwowana struktura może być modelowana jako spirala
logarytmiczna.
r = r0 exp[-
Równania ruchu ustalonego we współrzędnych cylindrycznych
Wypiszemy dalej równania ruchu ustalonego w cylindrycznym układzie współrzędnych. Występujące w nich prędkości Vr ,Vq ,Vz oraz ciśnienie P w ogólności
są funkcjami zmiennych (r , q, z ) ; wz jest wirowością; parametrami stałymi są: g
m
– przyspieszenie ziemskie,
– lepkość kinematyczna (ciecz nieściśliwa) oraz
r
2p
parametr Coriolisa f = 2W sin f, W =
.
86164[s ]
æ ¶2V
¶Vr Vq2
¶P
1 ¶Vr Vr ö÷÷
ç
(6)
Vr
- fVq = + m çç 2r +
- 2 ÷÷
¶r
r
r¶r
r ¶r
r ø÷
èç ¶r
Vr
¶Vq
¶r
+
Vq ¶Vq
r ¶q
Vr
¶Vz
¶r
+
V qVr
+ Vz
r
¶Vz
¶z
+ fVr = =-
æ ¶2V
¶P
1 ¶Vq Vq ÷÷ö
ç
+ m çç 2q +
- 2 ÷÷
çè ¶r
r r¶q
r ¶r
r ÷ø
æ ¶2V
¶P
1 ¶Vz ÷÷ö
ç
- g + m çç 2z +
÷
r¶z
r ¶r ÷÷ø
çè ¶r
¶Vz
1 ¶(rVr ) 1 ¶Vq
+
+
=0
¶z
r ¶r
r ¶q
(7)
(8)
(9)
Kinematyka spiralna w niżu atmosferycznym
175
1 ¶ (rVq )
(10)
r ¶r
W celu dokonania wyprowadzeń wygodnie jest przyjąć łatwą rachunkowo, ale
dość uniwersalną postać ciśnienia. Tak więc dla z = 0 będzie to
wz =
P0R 2 + P¥r 2
(11)
R2 + r 2
gdzie P0 – ciśnienie w centrum, P¥ – ciśnienie na peryferiach niżu, R – parametr
kształtu, w ogólności mogący być funkcją q , czyli R = R(q) . Przy małych r rozkład
ciśnienia staje się paraboloidą
P
(12)
P (r , q) » P0 + ¥2 r 2
R
W przybliżeniu symetrii osiowej, co dalej założymy, ciśnienie jest funkcją tylko
zmiennej r . Występująca w równaniu (6) pochodna dana jest wzorem
P (r , q) =
P r=
2R 2 [P¥ - P0 ]r
¶P
=
¶r
[R 2 + r 2 ]2
(13)
Wyprowadzenia wzorów na składowe prędkości
Posługując się wyrażeniem (13), możemy od razu wypisać znaną definicję
wiatru gradientowego Vq
4rPr 1/2
rf
1
+ {r 2 f 2 +
(14)
}
2
2
r
2R 2 [P¥ - P0 ]
Wygodnie będzie przyjąć dalej oznaczenie A2 =
. Pozwala to łatwo
r
zauważyć, że przy małych r wyrażenie (14) staje się wiatrem cyklostroficznym
Vq = -
V
cykl
Ar
[R + r 2 ]
(15)
A2r
f [R 2 + r 2 ]2
(16)
=
2
oraz geostroficznym przy dużych r
V
geos
=
Tak więc założona postać ciśnienia (11) na podstawie (6) prowadzi do wyrażenia określającego prędkość orbitalną, w naszej interpretacji – wiatru gradientowego (14). Drugą składową – prędkość radialną Vr można wyznaczyć z równania
(7). Przyjmując założenie symetrii osiowej, otrzymujemy równanie
S.R. Kozieł
176
Vr (
¶Vq
¶r
+
æ ¶2V
1 ¶Vq Vq ö÷÷
ç
+ f ) = m çç 2q +
- 2 ÷÷
r
r ¶r
çè ¶r
r ø÷
Vq
(17)
będące w istocie równaniem algebraicznym
¶2Vq
1 ¶Vq Vq
- 2
¶
r
r
¶
r
r
(18)
Vr = m
¶Vq V q
+
+f
¶r
r
Wynik ten pozwala na wyznaczenie prędkości Vr w postaci analitycznej. Podstawienie funkcji Vq danej wzorem (14) do wzoru (18) jest niestety pracochłonne.
Nie sposób niestety zaprezentować tego wyniku w jawnej postaci.
Na rysunku 3 zamieszczono przykładowe wykresy obu funkcji Vq i Vr , według
wzorów (14) oraz (18), dla umownych wartości parametrów P0 , P¥ , m oraz R .
Szczególnie interesujące jest w tym przypadku pokazanie zależności od parametru
Coriolisa f , czyli zależności od szerokości geograficznej, na której znajduje się
centrum niżu.
2
+
Rys. 3. Prędkość orbitalnaVq i radialna Vr dla trzech wartości parametru Coriolisa odpowiadających
trzem szerokościom geograficznym – 40º, 50º i 60º. Przyjęto umowne wartości parametrów
P0 , P¥ , m oraz R . Zwraca uwagę liniowy kształt obu prędkości w pobliżu centrum układu
Fig.3. Orbital and radial velocity for three values of the Coriolis parameter corresponding to the
three geographical latitude – 40 º, 50 ºand 60 º. Assumed parameters P0 , P¥ , m , R . It is interesting that both orbital and radial velocity are linear near the center of the system
Dla dopełnienia obrazu z równania ciągłości (9) można wyznaczyć prędkość
pionową Vz . Przy założeniu symetrii obrotowej równanie (9), staje się zwyczajnym
równaniem różniczkowym.
dVz
dz
=
1 d (rVr )
= f (r )
r dr
(19)
Kinematyka spiralna w niżu atmosferycznym
177
Ponieważ prędkość radialna jest funkcją tylko zmiennej r , Vr = V r (r ) poszuki wana prędkość pionowa okazuje się funkcją liniową ze względu na zmienną z , czyli
Vz (r , z ) = (z - z 0 )f (r ) = zf (r )
(20)
Funkcja f (r ) jest znaku dodatniego, tak że prędkość pionowa skierowana jest
ku górze. Można wobec tego dalej znaleźć pionowy rozkład ciśnienia. Znane są
w tym momencie funkcje występujące w równaniu (8). Zadanie sprowadza się do
rozwiązania zwyczajnego równania różniczkowego ze względu na funkcję
P = P (r , z ) . Warunkiem początkowym dla z = z 0 jest cienienie (11).
Cyklogeneza
Omówiono kinematyczne aspekty utrwalonej struktury spiralnej w niżu atmosferycznym. Jego wczesne stadia, a więc mechanizm powstawania niżu, są wyczerpująco opisane w literaturze przedmiotu. Układ tworzy się jako wynik niestabilności hydrodynamicznych w przepływie strefowym. Warto zwrócić uwagę, że
często w początkowej fazie ujawnia się najpierw drobna struktura określana jako
przecinek, ang. comma shape – struktura wirowa w kształcie przecinka, charakteryzująca się dużymi dodatnimi wartościami wirowości (Jasiński i in., 1999).
Rys. 4. Szkic powstawania i początkowego rozwoju struktury typu przecinek (comma shape) w masie
chłodnego powietrza. Zaczerpnięte z pracy Zicke (1983) i (Manual, ver.6.8)
Fig.4. Sketch of the formation and initial development of the comma shape structure in the mass
of cool air. Adapted from the work Zicke (1983) and (Manual, ver.6.8)
Dla przykładu na rys. 4, zaczerpniętym z Manual (ver. 6.8) oraz Zicke (1983),
zaprezentowano szkice tworzenia się struktury comma shape w masie chłodnego
powietrza.
178
S.R. Kozieł
Dyskusja
Pokazano, że kinematyka struktury wirowej w niżu atmosferycznym jest określona przez 3 składowe prędkości. W przybliżeniu ruchu płaskiego jest to wiatr
gradientowy Vq (r ), ale uogólniony przez dołączenie składowej radialnej o prędkości Vr (r ), również zależnej tylko od r . W celu efektywnego prowadzenia
rachunku przyjęto analityczną, w miarę uniwersalną postać rozkładu ciśnienia
SLP. Taka technika modelowania ruchu ustalonego wydaje się bardzo praktyczna,
jeżeli nie jedynie możliwa. Przykładem może być model H o l l a n d a (1980) dla
cyklonu tropikalnego. Ciśnienie zadane jest tam w postaci analitycznej, a w konsekwencji prędkość orbitalna V (r ) jako wiatr cyklostroficzny
P (r ) = Pc + (P¥ - Pc )exp[-(
Rmax
r
)B ]
(21)
V2
dP
=
(22)
r
rdr
Oznaczenia Pc , P¥ są to ciśnienie w centrum i na peryferiach cyklonu, Rmax
oznacza odległość od centrum, na jakiej jest osiągana prędkość maksymalna.
Przyjęty tu model prędkości orbitalnej w postaci wiatru gradientowego może
stać się dużo prostszy, jeżeli można by było uwolnić się od parametru Coriolisa.
Prędkość wiru stałaby się wówczas prędkością wiatru cyklostroficznego (15).
Model tak uproszczony mógłby mieć zastosowanie do opisu struktur typu wiru
pyłowego czy tornado. Jak się wydaje, również początkowy moment powstawania
spirali w niżu, ze względu na małe rozmiary przestrzenne, mógłby być modelowany bez uwzględniania parametru Coriolisa.
Formuła analogiczna do wzoru (15) dla prędkości orbitalnej znana jest jako
wir Kaufmana, Scully (Internet 2).
Definicja wiatru gradientowego (14) w analizie synoptycznej zakłada, że może
mieć zastosowanie powyżej warstwy tarciowej. Pominięcie w analizie synoptycznej składnika opisującego opory ruchu w pierwszym równaniu pędu (6)
æ ¶2V
1 ¶Vr Vr ö÷÷
ç
(22)
m çç 2r +
- 2 ÷÷
r ¶r
çè ¶r
r ø÷
można jednak uzasadnić nieco inaczej. Łatwo przekonać się, że daje on mały
wkład, gdyż wyrażenie (22) staje się równe zeru dla funkcji liniowej Vr , a więc
w interesującym nas obszarze rdzenia wiru.
Kinematyka spiralna w niżu atmosferycznym
179
Podsumowanie
Niż atmosferyczny jest względnie trwałym układem obracającym się. Zachowuje swą strukturę spiralną niemalże jak obracająca się bryła sztywna. Jest to
związane z tym, że kinematyka rdzenia niżu charakteryzuje się liniową zależnością
prędkości orbitalnej od odległości od jego centrum. Modelem wiru jest dobrze
znany wiatr gradientowy Vq (r ) , ale uogólniony przez dołączenie składowej radialnej o prędkości Vr (r ) , powstającej na skutek istnienia oporów ruchu.
Materiały wpłynęły do redakcji 4 VII 2011.
Literatura
H o l l a n d G., 1980, An analytic model of the wind and pressure profiles in hurricanes. Mon. Wea. Rev.,
108, 1212–1218.
Internet 1. http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Low_pressure_system_
over_Iceland.jpg/692px-Low_pressure_system_over_Iceland.jpg
Internet 2. Kaufmann (Scully) vortex. http://en.wikipedia.org/wiki/Kaufmann_(Scully)_vortex
J a s i ń s k i J.M., K r o s z c z y ń s k i K., Ry m a r z Cz., W i n n i c k i J., 1999, Satelitarne obrazy procesów
atmosferycznych kształtujących pogodę. Wyd. Nauk. PWN, Warszawa.
Manual of Synoptic Satellite Meteorology, Ver. 6.8 http://www.zamg.ac.at/docu/Manual/SatManu/main.
htm
K i l t y K.T., 2005, Steady-state tornado vortex models. http://www.kilty.com/pdfs/models.pdf
Ta k h a r H.S., 1971, Mathematical models of the geophysical vortices. http://itia.ntua.gr/hsj/redbooks/116/
iahs_116_0181.pdf
Z i c k C., 1983, Method and results of an analysis of comma cloud developments by means of vorticity fields
from upper tropospheric satellite wind data. Meteorol. Rdsch., 36, 69-84.
Streszczenie
Niż atmosferyczny jest względnie trwałym układem obracającym się. Zachowuje swą strukturę
spiralną niemalże jak obracająca się bryła sztywna. Pozwala to na hydrodynamiczne modelowanie
takiej struktury jako ruchu w fazie ustalonej. Obrót i utrzymywanie się trwałej struktury związane
są z faktem, że kinematyka rdzenia w niżu charakteryzuje się liniową zależnością prędkości orbitalnej
od odległości od jego centrum. Modelem wiru jest dobrze znany wiatr gradientowy, ale uogólniony
przez dołączenie składowej radialnej powstającej na skutek istnienia oporów ruchu.
S ł o w a k l u c z o w e : niż atmosferyczny, kinematyka spiralna, wiatr gradientowy
180
S.R. Kozieł
Summary
The atmospheric low is the relatively durable structure. He keeps his spiral arms almost like
solid body. This allows to model this structure as the settled movement. The rotated durable structure are connected with the fact that the kinematics of the core in the depression is characterizes
the linear dependence of the orbital speed from the distance from his center. The well well-known
gradient wind balance is the model of the vortex but generalized by the addition component of radial
movement arise from resistances of the movement.
K e y w o r d s : atmospheric low, spiral kinematics, gradient wind