optymalizacja kształtu wielokątnych obszarów modelowanych

MODELOWANIE INśYNIERSKIE
35, s. 163-168, Gliwice 2008
ISSN 1896-771X
OPTYMALIZACJA KSZTAŁTU WIELOKĄTNYCH OBSZARÓW
MODELOWANYCH RÓWNANIAMI NAVIERA-LAMEGO
NA PODSTAWIE PURC I ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH
EUGENIUSZ ZIENIUK, KRZYSZTOF SZERSZEŃ, AGNIESZKA BOŁTUĆ
Instytut Informatyki, Uniwersytet w Białymstoku
Sosnowa 64, 15-887 Białystok
e-mail: {ezieniuk, kszerszen, aboltuc}@ii.uwb.edu.pl
Streszczenie. Celem niniejszej pracy jest optymalizacja kształtu brzegu
w wielokątnych dwuwymiarowych obszarach o własnościach liniowo-spręŜystych.
Sterowany algorytmem genetycznym proces optymalizacji sprowadza się do
poszukiwania najlepszego (optymalnego) rozwiązania w wyniku wielokrotnego
rozwiązywania zagadnień analizy dla róŜnych kształtów brzegu. Do efektywnego
rozwiązywania zagadnień analizy (ze zmodyfikowanym brzegiem) zastosowano
parametryczny układ równań całkowych (PURC), który charakteryzuje się
radykalnie uproszczonym w stosunku do MES i MEB sposobem deklaracji
i modyfikacji kształtu brzegu.
1. WSTĘP
Problem optymalizacji kształtu obszarów naleŜy do waŜnej klasy zagadnień mających
ogromne znaczenie praktyczne. Problemy optymalizacji naleŜą do metod komputerowego
wspomagania projektowania pozwalających na poprawę mechanicznych właściwości ośrodka,
takich jak: redukcja poziomu wewnętrznych napręŜeń w obszarze, czy teŜ minimalizacja jego
masy. Optymalizacja kształtu jest problemem na tyle złoŜonym, Ŝe praktycznie jego
rozwiązanie sprowadza się do numerycznego rozwiązywania nieliniowych układów równań
algebraicznych, jest więc procesem iteracyjnym.
Do rozwiązywania tego typu zagadnień najczęściej wykorzystywane są metody oparte na
minimalizacji przyjętej funkcji celu, co ostatecznie praktycznie sprowadza się do iteracyjnego
rozwiązywania zagadnień analizy ze zmodyfikowaną geometrią brzegu [4]. Modelowanie
optymalizowanego obszaru oraz rozwiązywanie problemów analizy realizowane jest
zazwyczaj na podstawie MES [6] oraz MEB [2]. Wspólną cechą tych metod jest konieczność
dyskretyzacji optymalizowanego obszaru na elementy skończone lub brzegu na elementy
brzegowe. Takie dyskretyzowanie w przypadku problemów optymalizacyjnych jest wysoce
nieefektywne wobec konieczności ponownej redyskretyzacji przy jakiejkolwiek modyfikacji
kształtu obszaru.
W pracy [5] pokazano odrębną w stosunku do metod elementowych koncepcję
rozwiązywania zagadnień brzegowych, która jeszcze bardziej upraszcza modelowanie
wejściowej geometrii brzegu oraz samych obliczeń. Otrzymane parametryczne układy równań
całkowych (PURC) [5] wyeliminowały konieczność nie tylko dyskretyzacji obszaru, ale takŜe
164
E. ZIENIUK, K. SZERSZEŃ, A. BOŁTUĆ
jego brzegu. Brzeg ten w PURC jest deklarowany globalnie przy pomocy niewielkiego zbioru
punktów brzegowych lub kontrolnych. Wobec tego proces optymalizacji kształtu brzegu moŜe
być zredukowany w PURC jedynie do identyfikacji tych punktów.
Celem niniejszej pracy jest praktyczne wykorzystanie zalet PURC w powiązaniu
z klasycznym algorytmem genetycznym (AG) do optymalizacji kształtu dwuwymiarowego
wielokątnego obszaru o właściwościach liniowo spręŜystych opisanych równaniami NavieraLamego. Optymalizacja kształtu związana jest z otrzymaniem załoŜonych własności
projektowych, takich jak ograniczenie poziomu wewnętrznych napręŜeń czy teŜ pola
powierzchni przekroju poprzecznego. Przedstawione podejście ogólnie zapewnia szerokie
spektrum moŜliwych do wygenerowania róŜnorodnych wielokątnych kształtów obszarów.
2. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU OPTYMALIZACJI KSZTAŁTU
Problem optymalizacji kształtu brzegu nie jest problemem nowym i jest przedmiotem
szeregu badań naukowych. Głównym celem pracy jest opracowanie nowej procedury
obliczeniowej, pozwalającej na efektywny i automatyczny dobór właściwego pod względem
przyjętych załoŜeń w funkcji celu (1), optymalnego kształtu brzegu (profilu).
Optymalizowany obszar jest obszarem płaskim, liniowo-spręŜystym modelowanym
równaniami przemieszczeniowymi Naviera-Lamego. Problem optymalizacji dla
rozpatrywanego zagadnienia zdefiniowano za pomocą następującej funkcji celu:
min W

F =
,
(1)
2
2 1/ 2
≤ σ max
σ vm = (σ 11 − σ 22 ) + σ 12
[
]
gdzie
W - jest wartością minimalizowanego pola rozpatrywanego przekroju poprzecznego
obszaru Ω ograniczonego brzegiem Γ ,
σ vm - jest wartością napręŜeń zredukowanych (von Misesa), która w dowolnym punkcie we
wnętrzu obszaru nie powinna przekroczyć ustalonej wartości maksymalnej σ max .
NapręŜenia zredukowane σ vm są obliczane na podstawie składowych napręŜeń σ 11 , σ 12 , σ 22
uzyskanych na podstawie numerycznej analizy zagadnienia za pomocą PURC dla aktualnego
kształtu brzegu Γ oraz załoŜonych warunków brzegowych. Do optymalizacji funkcji celu (1)
zastosowano algorytm genetyczny (AG) z automatycznym połączeniem go z PURC.
3. PURC DLA DWUWYMIAROWYCH ZAGADNIEŃ LINIOWO-SPRĘśYSTYCH
Sformułowane w poprzednim punkcie zadanie optymalizacji dla funkcji celu (1)
z ograniczeniami sprowadza się praktycznie do wielokrotnego rozwiązywania zagadnienia
analizy ze zmodyfikowaną geometrią brzegu. Efektywność proponowanej metody zaleŜy od
dwóch czynników: 1) od efektywności modelowania i modyfikowania kształtu geometrii
brzegu oraz efektywności rozwiązywania zagadnień analizy, 2) algorytmu odpowiadającego
za efektywne sterowanie wielokrotnym rozwiązywaniem zagadnień analizy.
Efektywność przeprowadzenia takiej optymalizacji w duŜym stopniu będzie uzaleŜniona
od łatwości przeprowadzania modyfikacji geometrii brzegu. Rozwiązanie numeryczne
zagadnienia analizy w literaturze najczęściej jest otrzymywane przy pomocy MES oraz MEB.
Metody te, pomimo niewątpliwych zalet, nie spełniają wymogu prostoty definiowania i
modyfikacji obszaru (lub brzegu), co jest szczególnie niezbędne w przypadku problemów
OPTYMALIZACJA KSZTAŁTU WIELOKĄTNYCH OBSZARÓW MODELOWANYCH RÓWNANIEM… 165
dotyczących optymalizacji czy identyfikacji obszaru. Takie uwarunkowanie MES i MEB
powoduje gwałtowny wzrost liczby zmiennych projektowych (węzłów siatki) w obszarze (lub
na jego brzegu). Czasochłonnym problemem jest takŜe powtarzanie dyskretyzacji
zmodyfikowanego obszaru (lub brzegu) po kaŜdym etapie iteracji.
Zastosowanie w miejsce tradycyjnej MES lub MEB rozwijanego PURC umoŜliwia
bardziej efektywne numeryczne rozwiązywanie zagadnień brzegowych, bez konieczności
wprowadzania jakiejkolwiek dyskretyzacji obszaru (lub brzegu). Kontur obszaru (brzeg)
w przypadku obszarów wielokątnych jest opisywany za pomocą niewielkiego zbioru punków
naroŜnych. Przy przeciąganiu jednego lub więcej punktów naroŜnych brzegu moŜliwa jest
bardzo efektywna modyfikacja kształtu brzegu. Deklaracja brzegu przy pomocy punktów
naroŜnych jest bezpośrednio powiązana z PURC. Dla równań Naviera-Lamego PURC jest
przedstawiany w następującej postaci [5]:
n
0.5u p ( s1 ) = ∑ J r
r =1
∫ {U
sr
∗
pr
}
∗
( s1 , s ) p r ( s ) − Ppr ( s1 , s )ur ( s ) ds,
(2)
s r −1
przy czym s p −1 ≤ s1 ≤ s p , sr −1 ≤ s ≤ sr , natomiast funkcje U pr* ( s1 , s ) oraz Ppr* ( s1 , s ) w zapisie
macierzowym przyjmują następującą postać
η 12

−
−
η
ν
(
3
4
)
ln(
)

1
η2

U pr* ( s1 , s ) = −
ηη
8π (1 − ν ) µ 
− 1 22

η
Ppr* ( s1 , s ) = −
1
4π (1 − ν )η
 P11
P
 21
P12 
,
P22 
η1η 2


η
,
η 22 
(3 − 4ν ) ln(η) − 2
η 
−
2
p, r = 1,2,.....n,
(3)
(4)
gdzie
 η η ∂η
η

η 2  ∂η
η 
− (1 − 2ν )  1 n2 + 2 n1  ,
P11 = (1 − 2ν ) + 2 12  ,
P12 = 2 1 2 2
η  ∂n
η 
η

 η ∂n
 η η ∂η
 η2

η 2  ∂η
η 
P22 = (1 − 2ν ) + 2 22  ,
P21 = 2 2 2 1
n1 + 1 n2  ,
− (1 − 2ν ) 
η  ∂n
η 

 η
 η ∂n
∂η
∂η ∂η1
η1 = Γr(1) (s) − Γp(1) (s1 ) ,η2 = Γr(2) (s) − Γp(2) (s1 ) ,
η = [η12 + η 22 ]0.5 ,
=
n1 + 2 n 2 .
∂n ∂η
∂η
Występujące w powyŜszych wyraŜeniach funkcje Γr( i ) (s ) , i = {1,2} , to parametryczne
funkcje liniowe, których współczynniki wyliczane są na podstawie współrzędnych punktów
naroŜnych Pi ( xi , y i ) zadawanych w celu zdefiniowania wielokątnej geometrii brzegu.
W dalszych rozwaŜaniach punkty naroŜne Pi ( xi , y i ) przyjęto jako zmienne projektowe
w procesie optymalizacji. Ich identyfikacja prowadzi do wygenerowania poszukiwanego
optymalnego brzegu dla załoŜonej funkcji celu (1). W wyniku zastosowania w PURC do
rozwiązywania zagadnień analizy, moŜliwe jest otrzymanie składowych napręŜeń
σ 11 , σ 12 , σ 22 w dowolnym punkcie optymalizowanego obszaru Ω . Na podstawie obliczonych
napręŜeń wyliczana jest wartość napręŜeń zredukowanych (von Misesa), która jest następnie
traktowana jako warunek ograniczający w funkcji celu (1) dotyczącej optymalizacji
powierzchni obszaru.
166
E. ZIENIUK, K. SZERSZEŃ, A. BOŁTUĆ
4. POŁĄCZENIE PURC Z ALGORYTMEM GENETYCZNYM (AG)
Wybór algorytmu genetycznego (AG) jako narzędzia optymalizacji funkcji celu (1) wynika
ze stosunkowej łatwości jego zintegrowania z PURC. PURC (2) automatycznie dostosowuje
się do nowych obszarów modelowanych punktami naroŜnymi rozwiązywanego zagadnienia
analizy. Natomiast w AG naleŜy jedynie określić funkcję kryterialną (1) z przyjętymi
ograniczeniami. Zmienne projektowe w pracy są utoŜsamiane ze współrzędnymi punktów
naroŜnych Pi ( xi , y i ) , modelujących wielokątny kształt w PURC optymalizowanej geometrii
brzegu.
Rozwiązanie zadania optymalizacji sprowadzono w tym wypadku do znalezienia połoŜenia
wybranych punktów naroŜnych, zakodowanych w chromosomie AG. Na podstawie
aktualnego połoŜenia tych punktów, w celu zminimalizowania funkcji celu (1), moŜliwe jest
obliczenie pola przekroju powierzchni optymalizowanego obszaru Ω . Ponadto po
rozwiązaniu PURC dla zidentyfikowanego połoŜenia punktów naroŜnych otrzymywane są w
obszarze składowe napręŜeń σ 11 , σ 12 , σ 22 , niezbędne do wyliczenia wartość σ vm (von
Misesa) uŜywanego w formule (1) jako warunku ograniczającego.
5. WERYFIKACJA ALGORYTMU OPTYMALIZACJI NA PRZYKŁADZIE
Na rys. 1a przedstawiono problem doboru optymalnego kształtu [1] symetrycznego profilu
pomiędzy punktami AB , przy oczekiwanym poziomie wewnętrznych napręŜeń (von Misesa)
poniŜej wartości granicznej równej σ max = 34.54 MPa . Profil ten jest poddawany zewnętrznej
sile rozciągającej o wartości F = 109.50 N / mm . Przyjęto następujące parametry ośrodka
E = 206850 MPa oraz ν = 0.3 .
a)
b)
Rys. 1. Rozpatrywany problem optymalizacji (a), deklaracja geometrii brzegu w PURC
12 punktami naroŜnymi (b)
W pracy [1] przedstawiono rozwiązanie powyŜszego problemu projektowego bazujące na
połączeniu MES z AG. Wybór MES jako narzędzia analizy ośrodka spręŜystego spowodował
konieczność wprowadzenia zbioru punktów (węzłów) opisujących zarówno cały obszar, jak
równieŜ modyfikowany fragment jego brzegu. Rozpatrywany obszar zadeklarowano w tym
wypadku 96 elementami skończonymi (117 węzłów). W rezultacie uzyskano redukcję pola
przekroju poprzecznego z wartości początkowej 61935.36mm 2 do wartości docelowej równej
45665.00mm 2 , co daje wartość procentową na poziomie 27% .
OPTYMALIZACJA KSZTAŁTU WIELOKĄTNYCH OBSZARÓW MODELOWANYCH RÓWNANIEM… 167
Na bazie powyŜszego przykładu rozpatrywano następnie podejście łączące proponowany
PURC z AG. W przeprowadzonej symulacji zastosowano binarny AG, bazujący na
klasycznym schemacie Goldberga, zaimplementowany na podstawie obiektowej biblioteki
C++ GAlib [3] dla parametrów przedstawionych w tabeli 1.
Kodowanie
Reprodukcja
KrzyŜowanie
Mutacja
Rozmiar populacji
Liczba iteracji
Tabela 1. Parametry zastosowanego AG
16 bitów
proporcjonalna
jednopunktowe z prawdopodobieństwem 0.6
równomierna z prawdopodobieństwem 0.03
50
100
Zgodnie z rys. 1b wejściową geometrię brzegu w PURC zamodelowano po wprowadzeniu
12 punktów naroŜnych. ZałoŜono następnie, Ŝe punkty P0 , P1 , P2 , P5 , P6 , P7 , P8 , P11 są
punktami stałymi, natomiast optymalizowana część brzegu jest modyfikowana tylko 4
punktami naroŜnymi P3 , P4 , P9 , P10 . Przy załoŜeniu symetrii osiowej obszaru problem
optymalizacji kształtu został zredukowany do identyfikacji dwóch punktów P3 , P4 .
a)
b)
Rys. 2. Rozkład poziomu wewnętrznych napręŜeń von Misesa dla początkowego(a) oraz
końcowego (b) kształtu geometrii brzegu
W uzyskanym profilu docelowym (rys. 2b), wybranym spośród 5 niezaleŜnych wywołań
algorytmu pole przekroju poprzecznego powierzchni zostało zredukowane o ponad 28% do
wartości równej 44096.70mm 2 , co jest porównywalne z wcześniej prezentowanymi
rezultatami dla MES. Zastosowanie PURC nie tylko uprościło deklarację optymalizowanego
obszaru Ω w porównaniu z MES, ale takŜe pozwoliło na otrzymanie wartości wewnętrznych
napręŜeń w dowolnych punktach tego obszaru (rys. 2b).
6. WNIOSKI
Celem niniejszej pracy jest wstępna analiza potencjalnych zastosowań opracowanego
PURC w zagadnieniach optymalizacji kształtu płaskich ośrodków liniowo spręŜystych.
Przytoczony przykład testowy potwierdza moŜliwość zastosowania powyŜszego podejścia w
praktycznych problemach inŜynierskich, a takŜe uwypukla pewne zalety w porównaniu z
metodami klasycznymi rozpatrywanymi na przykładzie MES. Mówimy tutaj o uproszczeniu
deklaracji optymalizowanego obszaru, przy wyeliminowaniu zwłaszcza konieczności
powtarzania uciąŜliwej dyskretyzacji po kaŜdej modyfikacji obszaru, jak ma to miejsce w
168
E. ZIENIUK, K. SZERSZEŃ, A. BOŁTUĆ
MES, a takŜe w MEB. Proces optymalizacji kształtu obszaru ostatecznie został sprowadzony
do identyfikacji niewielkiego zbioru punktów naroŜnych opisujących geometrię brzegu.
Uzyskane pewne pozytywne rezultaty są zachęcające do przeprowadzenia w przyszłości
dalszych badań dotyczących z jednej strony rozszerzenia pola potencjalnych zastosowań
proponowanego podejścia, a z drugiej - takŜe poprawiających samą efektywność
uzyskiwanych rozwiązań. Mamy tu na myśli moŜliwość optymalizacji kształtu o konturze
krzywoliniowym w PURC poprzez zastąpienie aktualnie stosowanych segmentów liniowych
krzywymi parametrycznymi, np. Béziera lub B-spline. Z drugiej strony celowe są dalsze prace
nad metodami sterującymi procesem optymalizacji - zastosowanie efektywniejszych
operatorów genetycznych, zwiększenie liczby rozpatrywanej populacji, czy teŜ zaadaptowanie
algorytmów ewolucyjnych oraz metod klasycznych, np. metody Newtona. Dodatkowym
zagadnieniem jest opracowanie efektywnych kryteriów zakończenia procesu optymalizacji –
w pracy z racji duŜej zbieŜności procedury oraz małych zmian kształtu powyŜej 40 iteracji
działania AG arbitralnie ograniczono się do wielokrotnego uruchamiania procedury
optymalizacyjnej i analizy rozwiązań po pierwszych 100 iteracjach AG.
Praca naukowa finansowana ze środków budŜetowych na naukę w latach 2005-2007 jako
projekt badawczy 3T11F01528
LITERATURA
1. Annicchiarico W., Cerrolaza. M.: Optimization of finite element bidimensional models:
an approach based on genetic algorithms. “Finite Elements in Analysis and Design” 1998,
3-4/29, s. 231-257.
2. Brebbia, C. A., J. C. F. Telles.; L. C. Wrobel.: Boundary element techniques, theory and
applications in engineering. New York : Springer-Verlag, 1984.
3. GAlib: A C++ Library of Genetic Algorithm Components, version 2.4. Mechanical
Engineering Department, Massachusetts Institute of Technology.
4. Liu G.R., Han X.: Computational inverse techniques in non-destructive evaluation. CRC
Press LLC, 2003.
5. Zieniuk E., Bołtuć A.: Non-element method of solving 2D boundary problems defined on
polygonal domains modeled by Navier equation. “International Journal of Solids and
Structures” 2006, 43, 25-26/43 s. 7939-7958.
6. Zienkiewicz O.: The finite element methods. London : McGraw-Hill, 1977.
A PIES AND GA COMBINED TECHNIQUE FOR SHAPE
OPTIMIZATION OF POLYGONAL DOMAINS
MODELLED BY NAVIER-LAME EQUATION
Summary. The paper discusses computational techniques for shape optimization
in 2D linear elasticity problems. Considered optimization is performed by forward
model analysis for modified shape of considered boundary geometry. The
procedure combines mesh-free boundary geometry description with problem
formulation based on the parametric integral equation system (PIES). The
technique reduces the number of identified unknowns to minimum with
significant possibilities of geometry modification. The study evaluates the
accuracy of an established optimization in connection with genetic algorithms
(GA) by computer simulation.