MOwNiT - zestaw pytan egzaminacyjnych – rok 2004/2005

MOwNiT - zestaw pytań egzaminacyjnych – rok 2004/2005
Marian Bubak
14 marca 2005
1
Poszczególne metody obliczeniowe
1. Omów wlasności numerycznej reprezentacji liczb rzeczywistych i arytmetyki zmiennoprzecinkowej
oraz przedstaw jak powinny być uwzglȩdniane w opracowywaniu algorytmów numerycznych.
2. Scharakteryzuj wlasności numeryczne operacji zmiennoprzecinkowych.
3. Podaj definicje i objaśnij na przykladach pojȩcia: zadanie, algorytm, realizacja zmiennoprzecinkowa
algorytmu.
4. Podaj definicje i objaśnij na przykladach pojȩcia: uwarunkowanie zadania, poprawność numeryczna algorytmu, stabilność numeryczna algorytmu.
5. Co to sa̧ i do czego sa̧ przydatne ilorazy różnicowe; pokaż ich zwia̧zek z pochodnymi.
6. Przeprowadź porównanie: interpolacja Lagrange’a – interpolacja Hermite’a.
7. Objaśnij efekt Rungego - na czym polega, jakie sa̧ jego przyczyny.
8. Podaj definicjȩ funkcji sklejanych, objaśnij ja̧, wyjaśnij kiedy i funkcje sklejane dlaczego sa̧
użyteczne.
9. Porównaj interpolacjȩ wielomianowa̧ i funkcjami sklejanymi.
10. Omów warunki brzegowe stosowane przy wyznaczaniu sześciennych funkcji sklejanych.
11. Porównaj aproksymacjȩ średniokwadratowa̧ i jednostajna̧, wyjaśnij kiedy każda z nich jest
użyteczna.
12. Opisz znane Ci metody aproksymacji jednostajnej.
13. Przedstaw podstawowe wlasności wielomianów Czebyszewa oraz ich zastosowania.
14. Przedstaw podstawowe wlasności wielomianów Legendre’a oraz ich zastosowania.
15. Porównaj kwadratury Newtona-Cotesa i Gaussa, wyjaśnij różnice wlasności.
16. Opisz istote algorytmu calkowania adaptacyjnego.
17. Przedstaw algorytmy calkowania funkcji dwóch zmiennych w różnych typach obszarów.
18. Podaj algorytm rozwia̧zywania ukladów równan liniowych metoda̧ eliminacji Gaussa.
19. Wyznacz zlożoność obliczeniowa̧ metody Gaussa rozwia̧zywania ukladów równan liniowych.
20. Wyjasnij dlaczego istotnym krokiem kaźdej metody rozwia̧zywania ukladów równań liniowych
jest szukanie elementu wioda̧cego.
21. Porównaj algorytmy faktoryzacji LU Doolittle’a, Crout’a i Choleskiego.
22. Objaśnij na czym polega przewaga algorytmów faktoryzacji LU nad metoda̧ eliminacji Gaussa.
23. Wyjaśnij dlaczego metody blokowe sa szczególnie użyteczne do rozwia̧zywania ukladów rownań
liniowych.
1
24. Scharakteryzuj: BLAS, LAPACK, PBLAS, BLACS, ScaLAPACK. Wyjaśnij powia̧zania miedzy
nimi.
25. Omów różnice miedzy BLAS level 1, 2, 3, wyjaśnij zwia̧zek miȩdzy BLAS różnych poziomów a
hierarchia̧ pamiȩci komputerów.
26. Wyjaśnij dlaczego i w jakich przypadkach należy używać iteracyjnych metod rozwia̧zywania
ukladów równań liniowych.
27. Przedstaw interpretacjȩ ”fizyczna̧”iteracyjnego rozwia̧zywania ukladów równań liniowych.
28. Porównaj metody iteracyjne Jacobiego, S-R, SOR, Czebyszewa.
29. Objaśnij różnice miȩdzy przegla̧daniem punktów siatki typu typewriter oraz red-blue.
30. Przedstaw algorytmy wyszukiwania elementu wioda̧cego dla algorytmów eliminacyjnych i iteracyjnych.
31. Przedstaw metodȩ Newtona-Raphsona rozwia̧zywania równań nieliniowych (wraz z zabezpieczeniami).
32. Scharakteryzuj interpolacyjne metody znajdowania rozwia̧zań równań nieliniowych.
33. Scharakteryzuj trudności rozwia̧zywania ukladów równań nieliniowych.
34. Opisz metodȩ Newtona-Raphsona rozwia̧zywania ukladów równań nieliniowych oraz jej efektywne odmiany.
35. Wyjaśnij potrzebȩ i opisz metodȩ ulepszania jakości generatorów liczb pseudolosowych.
36. Dlaczego i kiedy wyznaczamy calki metoda̧ Monte Carlo.
37. Porównaj calkowanie Monte Carlo metodami: orzel-reszka, podstawowa i średniej ważonej.
38. Na czym polega FFT - szybka transformata Fouriera; przedstaw algorytm, wyznacz jego zlożoność
obliczeniowa̧, porównaj z algorytmem klasycznym.
39. Omów metody minimalizacji funkcji jednej zmiennej.
40. Omów metody krokowe minimalizacji funkcji (w tym - metodȩ simpleksów).
41. Omów metody gradientowe minimalizacji funkcji.
42. Omów metody Newtona i zmiennej metryki.
43. Opisz techniki minimalizacji globalnej funkcji.
44. Co to jest optymalizacja kombinatoryczna.
45. Przedstaw metodȩ simulated annealing.
46. Omów metodȩ wariacyjna̧ rozwia̧zywania równań różniczkowych.
47. Przedstaw zamianȩ podanego równania różniczkowego na uklad równań liniowych dla metody
różnic skończonych.
2
Pytania typu wyprowadź wzór na:
1. bla̧d wzglȩdny reprezentacji zmiennoprzecinkowej,
2. wyznacz wskaźnik uwarunkowania podanego (prostego) zadania,
3. wyznacz wskaźnik kumulacji podanego (prostego) algorytmu,
4. interpolacjȩ metoda̧ Lagrange’a,
5. bla̧d interpolacji metoda̧ Lagrange’a,
2
6. kubiczne funkcje sklejane,
7. kwadratowe funkcje sklejane,
8. aproksymacjȩ średniokwadratowa̧ wielomianem uogólnionym,
9. aproksymacjȩ średniokwadratowa̧ jednomianami,
10. aproksymacjȩ średniokwadratowa wielomianami ortogonalnymi,
11. udowodnij wlasność minimaksu wielomianów Czebyszewa,
12. wyznaczanie aproksymacji Padé,
13. kwadratury elementarne: trapezów, prostoka̧tów, Simpsona,
14. kwadraturȩ zlożona̧ Simpsona (wraz ze wzorem na jej bla̧d),
15. schemat calkowania metoda̧ Romberga,
16. wȩzly kwadratury Gaussa,
17. wagi kwadratury Gaussa,
18. podaj i udowodnij twierdzenie o zbieżnosci procesu iteracyjnego x = h(x),
19. metodȩ Newtona-Raphsona i jej rza̧d zbieżności,
20. podaj i udowodnij twierdzenie o zbieżności procesu iteracyjnego rozwia̧zywania AX = b,
21. po kolei wzory robocze i macierzowe dla metod iteracyjnych Jacobiego, S-R, SOR, Czebyszewa,
22. pokaż jak dziala algorytm Cooley’a-Turkey’a FFT na przykladzie wyznaczania transformaty dla
8 punktów,
23. określ jakość aproksymacji róźnicowej pierwszej i drugiej pochodnej korzystaja̧c z analizy modów
Fouriera,
24. zbadaj stabilność numeryczna̧ podanych na egzaminie algorytmów calkowania równań różniczkowych
zwyczajnych.
3
Pytania przekrojowe
1. Wyjaśnij dlaczego do konstruowania wydajnych algorytmów obliczeniowych konieczna jest znajomość architektur komputerowych.
2. Przedstaw przyklady ilustruja̧ce da̧żenie do redukcji zlżonośći obliczeniowej algorytmów obliczeniowych.
3. Opisz aktualne tendencje w obliczeniach dużej skali.
4. Objaśnij miejsce metod komputerowych (teoria, eksperyment, symulacja komputerowa).
5. Scharakteryzuj podstawowe metody symulacji komputerowej.
6. O użyteczności wielomianów Czebyszewa w obliczeniach numerycznych.
7. Metoda divide and conquer w algorytmach numerycznych.
8. O przydatności wielomianów ortogonalnych w obliczeniach numerycznych.
9. Bla̧d metody a blȩdy wynikaja̧ce z arytmetyki komputerowej.
10. Ogólnie o metodach iteracyjnych w obliczeniach numerycznych: ogólny algorytm, potrzebne
twierdzenia, zlożoność obliczeniowa, kiedy sa̧ przydatne ...
11. Przedstaw ekstrapolacjȩ Richardsona, podaj przyklady jej stosowania.
3
12. Przedstaw zagadnienie stabilności algorytmów numerycznych w oparciu o przyklady poznane w
trakcie studiowania przedmiotu.
13. Oceń przydatność znanych Ci jȩzyków programowania do rozwia̧zywania zagadnień obliczeniowych;
zacznij od ustalenia i uzasadnienia spisu kryteriów.
14. Scharakteryzuj i porównaj poznane biblioteki numeryczne.
15. Porównaj pakiety Matlab i Mathematica.
16. Przedstaw kolejne etapy rozwia̧zywania typowego zagadnienia obliczeniowego (w oparciu o wlasny
przyklad).
4
Wskazówki
Odpowiedzi powinny być:
• konkretne: rysunki, wzory (podstawowe), fakty i argumenty,
• strukturalne,
• przejrzyste,
• zilustrowane przykladami, np. z wlasnych doświadczeń w trakcie ćwiczeń laboratoryjnych.
5
Co bȩdzie:
1. 2 pytania o metody,
2. 2 pytania wyprowadź,
3. 2 pytania przekrojowe.
4