Analiza matematyczna sem.1

E. Sadowska-Owczorz
Analiza matematyczna sem.1
1. Oblicz pochodn¡ funkcji
(b)
(c)
f (x) = log52
(d)
f (x) = ex
f (x) =
x + x3
,
arctgx
4 −x3
ln (x4 + 2x).
2. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji
(a)
(b)
(c)
(d)
f (x) = ex
f
w punkcie
x0 .
3 −3x+2
(x3 − 4x + 1), x0 = 2,
√
f (x) = ln (3 − x − x2 ), x0 = 1,
x3 + x
f (x) = log6 (x2 + x) + 2
, x0 = 2,
x −x
√
4
f (x) = 3 x3 + 4x + 8 ex , x0 = 0,
3. Wyznacz przedziaªy monotoniczno±ci i ekstrema lokalne funkcji
(b)
2
f (x) = x3 − 2x2 − 6x + 3,
3
f (x) = 4 ln (1 − x) − x2 + 4x + 3,
(c)
f (x) = ex (28 − 24x + 8x2 − x3 ),
(d)
f (x) = ln (2x + 1).
(a)
f.
4. Wyznacz przedziaªy wypukªo±ci i wkl¦sªo±ci oraz punkty przegi¦cia funkcji
(c)
2
f (x) = x3 − 2x2 − 6x + 3,
3
f (x) = x4 − 4x3 − 90x2 + 12x + 7,
√
f (x) = x 3 x − 1,
(d)
f (x) =
(a)
(b)
x2 + 1
.
4x
5. Oblicz granice.
(a)
(b)
(c)
(d)
ln (1 + x)
,
x→0
x
x − x cos x
lim
,
x→0 x − sin x
ex−2
lim 2
,
x→2 x − 4
1 1
lim ln .
x→∞ x
x
lim
6. Zbadaj przebieg zmienno±ci funkcji
(a)
10 pa¹dziernika 2016
f.
x sin x + x3
,
x4 + 2x
6
√
f (x) = 3x3 + 3 x2 + 5x ,
(a)
- zadania
f
i narysuj jej wykres.
f (x) = 3x3 + 4,5 x2 − 4x + 1,
1
f.
E. Sadowska-Owczorz
(b)
f (x) =
(c)
f (x) =
(d)
√
3
Analiza matematyczna sem.1
xex ,
x2
,
1+x
f (x) = (x2 + 1) e−x .
7. Wyznacz asymptoty wykresu funkcji
(a)
(b)
(c)
(d)
f.
f (x) = x − xarctgx,
sin x
,
f (x) = x +
x
x + |x| −|x|
f (x) =
e ,
2
ln x
f (x) =
.
x−1
8. Oblicz przybli»one warto±ci wyra»e«
(a)
√
3
28
s
(b)
(c)
(d)
1
99
3
ln
2
5, 234
2
- zadania
10 pa¹dziernika 2016
E. Sadowska-Owczorz
Analiza matematyczna sem.1
- zadania
Odpowiedzi
1.
(a)
(b)
(c)
2.
3.
(sin x + x cos x + 3x2 ) (x4 + 2x) − (4x3 + 2) (x sin x + x3 )
,
(x4 + 2x)2
!
5
√
2x
+
5
3
9x2 + √
f 0 (x) = 6 3x3 + x2 + 5x
2 ,
3 3 x2 + 5x
x + x3 1 (1 + 3x2 ) arctgx − x
f 0 (x) = 5 log42
·
·
,
arctgx ln 2
(x + x3 ) arctgx
f 0 (x) =
4 −x3
4 −x3
(d)
f 0 (x) = ex
(a)
y = 17e4 (x − 2) + e4 ,
(b)
y = − 52 (x − 1),
(c)
y=
(d)
y = 31 x + 2,
5
6 ln 6
+
9
4
(4x3 − 3x2 ) ln (x4 + 2x) + ex
4x3 + 2
.
x4 + 2x
(x − 2) + 6,
(a) f jest rosn¡ca w
(−∞, −1)
(−1, 3),
i w
(3, ∞),
f jest malej¡ca w
f osi¡ga maksimum lokalne w punkcie
f osi¡ga minimum lokalne w punkcie
3
19
−1
o warto±ci 3 ,
o warto±ci −15,
(b) f jest rosn¡ca w
f jest malej¡ca
(−∞, 0),
w (0, 1),
f osi¡ga maksimum lokalne w punkcie
0
o warto±ci
3,
1
o warto±ci
11e,
(c) f jest rosn¡ca w
f jest malej¡ca
(−∞, 1),
w (1, ∞),
f osi¡ga maksimum lokalne w punkcie
(d) f jest rosn¡ca w
4.
− 21 , ∞ , f nie ma ekstemów
(1, ∞),
jest wkl¦sªa w (−∞, 1)
,
13
ma punkt przegi¦cia 1, − 3 ,
(a) f jest wypukªa w
f
f
(−∞, −3) i w (5, ∞),
(−3, 5),
przegi¦cia (−3, 650) i (5, 2058),
(b) f jest wypukªa w
f jest wkl¦sªa w
f ma punkty
(c) f jest wypukªa w
f jest wkl¦sªa w
(−∞, 1)
1, 23
i w
3
,∞ ,
2
,
3 3
,
2 4
prawostronna
∞,
f ma punkty przegi¦cia
(1, 0)
i
√
3
4 ,
(0, ∞),
(−∞, 0),
(d) f jest wypukªa w
f jest wkl¦sªa w
f nie ma punktów przegi¦cia,
5.
(a)
1,
(b)
3,
(c) lewostronna
(d)
−∞,
0,
3
10 pa¹dziernika 2016
E. Sadowska-Owczorz
6.
Analiza matematyczna sem.1
- zadania
10 pa¹dziernika 2016
(a)
x
−∞, − 34
− 43
− 43 , − 12
− 12
− 12 , 13
1
3
1
,∞
3
f 0 (x)
+
0
-
-
-
0
+
f ” (x)
-
-
-
0
+
+
+
f (x)
max lok.
p.p.
65
9
−∞
min lok.
15
4
∞
5
18
brak asymptot
20
15
10
max
4 65
3 9
,
p. p.
,
5
max ,
0
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
-5
-10
4
0,5
1
1,5
2
0
-
f 00 (x)
f (x)
√
13
3
q
−∞, −3−6
-
f 0 (x)
x
√
√
−3− 13 −3−6 13
e
6
p.p.
0
-
√
−3− 13
6
+
-
√
−3− 13
1
,
−
6
3
1
−√
3
3e
min lok.
+
0
− 13
+
+
p.p.
×
×
0
0
− 13 , 0
-
+
√
0, −3+6
13
3
q
√
√
−3+ 13 −3+6 13
e
6
p.p.
0
+
√
−3+ 13
6
+
+
∞
√
−3+ 13
,
∞
6
E. Sadowska-Owczorz
Analiza matematyczna sem.1
(b)
5
- zadania
10 pa¹dziernika 2016
E. Sadowska-Owczorz
Analiza matematyczna sem.1
asymptota pozioma
y=0
w
- zadania
10 pa¹dziernika 2016
−∞
3
2,5
2
1,5
1
0,5
p.p.
13 3
9
6
,
9
9
13
6
e
13
6
0
-3,5
-3
-2,5
-2
-1,5
,
p.p.
-1
-0,5
0p.p. 0,0
0,5
1
-0,5
e
min
,
1
3
3e
-1
(c)
x
(−∞, −2)
−2
f 0 (x)
+
0
-
×
f ” (x)
-
-
-
×
f (x)
−∞
asymptota uko±na
(−2, −1) −1 (−1, 0)
max lok.
−4
y =x−1
w
(0, ∞)
-
0
+
+
+
+
min lok.
−∞
asymptota pionowa obustronna
0
×
−∞ i w +∞
x = −1;
6
;
∞
0
∞
1,5
2
E. Sadowska-Owczorz
Analiza matematyczna sem.1
- zadania
10 pa¹dziernika 2016
6
4
2
min 0,0
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
-2
-4
2, 4
max
-6
-8
-10
(d)
x
(−∞, 1)
1
(1, 3)
3
(3, ∞)
f 0 (x)
-
0
-
-
-
f 00 (x)
+
0
-
0
+
p.p.
f (x)
∞
asymptota pozioma
p.p.
2
10
e
e3
y=0
w
0
+∞
7
1
2
3
E. Sadowska-Owczorz
- zadania
Analiza matematyczna sem.1
10 pa¹dziernika 2016
6
5
4
3
2
p. p. 1,
1
p. p. 3, e
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
7.
(a) asymptoty uko±ne:
y = 1+
π
2
x+1
w
−∞
i w
−∞ i y = 1 −
π
2
x+1
w
∞,
brak asymptot pionowych;
(b) asymptota uko±na:
y =x+1
w
∞,
brak asymptot pionowych;
(c) asymptota pozioma:
y=0
w
−∞
w
∞,
i w
∞,
brak asymptot pionowych;
(d) asymptota pozioma:
y=0
asymptota pionowa prawostronna
8.
x = 0,
brak asymptoty pionowej w x=1;
82
(a) 27 ;
(b)
0, 1005
(c)
0, 5
;
(d)
750
;
;
8
7
8