docZestaw nr 15 – Działania na macierzach
download 
Reklamacja Transkrypt
Zestaw nr 15 – Działania na macierzach
Zestaw nr 15 – Działania na macierzach
Zadanie 1. Wykonaj działania na macierzach, jeżeli A =
2 −3
4
1
, B =
2
3
, C =
1 0 −2
5 3
:
√
(1) − 2B
(2) 7CT
(3) A − 2AT − 3I (4) BT B
(6) AB
(7) BT A
(8) AC
(9) CT B
(5) BBT
(10) CT C
Zadanie 2. Wyznacz elementy macierzy A oraz omów jej własności:
1. A = [aij ]3x5
aij = i + 2j − 3
2. A = [aij ]3x3
aij = (max {i, j}) − 2
3. A = [aij ]5x5
aij = min {i, j} + 1
3i − 2j dla i = j
aij =
0
dla i =
6 j
4. A = [aij ]4x4
5. A = [aij ]4x4
6.
7.
8.
A = [aij ]5x5
A = [aij ]4x4
A = [aij ]4x5
aij =
min {i, j}
dla i ≤ j
0
dla i > j
aij =
aij =
3i + j − 10
dla i ≥ j
0
dla i < j
0
dla i = j
i − j
dla i 6= j
aij = 2i − j + 2
Zadanie 3. Wykorzystując własności działań na macierzach przekształć
podane wyrażenie a
i + j dla i = j
następnie wyznacz elementy macierzy X, dla A = [aij ]2×2 ∧ aij =
oraz
i − j dla i 6= j
h
i
B= 1 2
(1) X = BT BAT + 2AAT
(2) X = 4A − BT BAT − AT
Katedra Ekonometrii UŁ
1
1
1 0 1
1 1 −1
−1 0 1
, B =
, C = 0 1 0
Zadanie 4. Dane są macierze A =
Korzysta
0 −1 1
2 1 0
−1 0 2
jąc z własności działań na macierzach przekształć podane wyrażenia i oblicz elementy podanych
macierzy:
(1) X = AC + BC
T
(4) X = ACT + 3AT
(2) X = CAT − BCT
(5) X = (AT B)T − 2C
Zadanie 5. Wyznacz macierz X dla A3×3
T
(3) X = CAT
T
− 2A
(6) X = ABT +2C
1
(i − j)2 dla i < j
= [aij ]∧aij =
oraz B = −2
−2i
dla i ≥ j
1
(1) X = BT (3A − BBT ) (2) X = 5A + AT (I−2BBT ) (3) X = (BBT − A)B − 7B
Zadanie 6. Korzystając z własności działań na macierzach przekształć
podane wyrażeniei oblicz
1
0
0 0
2 −2 0 0
T T
T
−1
elementy macierzy X jeżeli X = B ((AB ) − 4B) + AB oraz A =
−1 0 −1 0
0 −1 1 1
2 1 −1 1
0 −1 2 1
. Omów własności (klasyfikację) macierzy X.
aB=
0 0
1 1
0 0
0 1
Zadanie 7. Oblicz elementy macierzy
X jeżeli
1 −1 2
0
1 0
−2
1
1 1 −1
0
1 0
4
T
0
T
T
a B = . Omów własności (klasyfikację)
X = A A B A jeżeli A =
1 1
2
0
1 0
1
1
1 0 −2
−5
1 −1 0
2
T
macierzy A A.
Zadanie 8. Korzystając z własności działań na macierzach oblicz elementy macierzy X jeżeli X =
Katedra Ekonometrii UŁ
2
1
0
0 0
2 1 −1 1
2
−2
0
0
0
−1
2
1
T
aB=
. Omów własności (klasyfikację)
ABT − 3A i A =
−1 0 −1 0
0 0
1 1
0 −1 1 1
0 0
0 1
macierzy X.
Zadanie 9. Wyznacz elementy macierzy X, jeżeli
0 2
2 0
−3 6
·
− 3X =
(1)
−2 3
1 5
−1 4
T
T
−1
1
3 −5
3 1
+ 5I =
·
(3) 2X ·
1 −2
−2
4
1 2
(2)
1 2
−1 0
·X=
2 6
1 4
T
·
1 −1
−1
Zadanie 10. Dla jakich wartości parametru a ∈ R i b ∈ R prawdziwa jest poniższa równość
(1)
a 2
−2 b
·
0 1
2 1
=
3 1
4 3
8 2
4 3
1 0
1
·
(2)
−2 0 =
3 0
a b −1
1 2
Zadanie 11. Ciągiem odpowiednich przekształceń elementarnych przekształć podane macierze
do macierzy
schodkowej:
1
2 −1 0 1
(1) −1 −2 1 1 0
1 −2 0 1 1
1 2 −1
(3) 0 1
0
2 −1 1
1
2 1 −1 −1 0
(5)
−1 −2 0 1 −1 3
1
−1
0
3
(2) −2 3 −1 1
0
1 −1 7
0 1 −1
(4) 1 1 2
1 2 1
1 0
2 −2
(6) 0 −1 −1 1
2 −1 −2 2
2
−1
3
0 1
1 0
1 2
Zadanie 12. Czy macierz B jest macierzą odwrotną do macierzy A, jeżeli
Katedra Ekonometrii UŁ
3
2
−
−1
2
1
4 1 −2
1
(1) A = 1 0
1 i B = − 2 4 −16 −6
1 −4 −1
0 1 −4
0
1
2
−3 −1
5
1
(2) A = 1 −3 −1 i B = − 11 1
4
2
−2
0
1
−6
2 −1
Zestaw nr 15 – odpowiedzi
Zadanie 1.
√
−2 2
;
(2)
(1)
√
−3 2
(5)
(9)
4 6
;
6 9
17
9
−1
7
35
−5 −11
; (4) 13
(3)
0 21 ;
10 −4
−14 7
h
i
−5
−13 −9 −7
;
;
(6)
(7) 16 −3 ;
(8)
11
9
3 −7
26 15 3
(10) 15 9 3 .
3 3 5
Zadanie 2.
0 2 4 6 8
1. A= 1 3 5 7 9 ;
2 4 6 8 10
−1 0 1
2. A= 0 0 1 ; macierz kwadratowa i symetryczna;
1 1 1
2 2 2 2 2
2 3 3 3 3
3. A= 2 3 4 4 4 ; macierz kwadratowa i symetryczna;
2 3 4 5 5
2 3 4 5 6
Katedra Ekonometrii UŁ
4
1 0 0 0
0 2 0 0
; macierz kwadratowa, diagonalna, symetryczna;
4. A=
0 0 3 0
0 0 0 4
1 1 1 1
0 2 2 2
; macierz kwadratowa, trójkatna górna;
5. A=
0 0 3 3
0 0 0 4
−6 0 0 0 0
−3 −2 0 0 0
6. A= 0
1 2 0 0 ; macierz kwadratowa, trójkątna dolna;
3
4 5 6 0
6
7 8 9 10
0 −1 −2 −3
1 0 −1 −2
; macierz kwadratowa i skośnosymetryczna;
7. A=
2 1
0 −1
3 2
1
0
3 2 1 0 −1
5 4 3 2 1
.
8. A=
7 6 5 4 3
9 8 7 6 5
Zadanie 3.
(1) X =
10
5
−4 52
;
Zadanie 4.
(2) X =
10 −12
3
2
(1) X =
(4) X =
0
1
0 1 0
2
0
1
; (2) X =
;
(3) X =
−1 2 ;
1 0 4
−2 −1 −2
6 −4
−3 8
−3 0 −1
0
4 ; (5) X = −3 −3 1 ;
7 −2
5
1 −5
Katedra Ekonometrii UŁ
5
(6) działanie nie jest wykonywalne ze względu na wymiary macierzy.
Zadanie 5.
(1) X =
h
−6 21 −18
i
−12 1
14
; (2) X = −25 −12 −7
−18 −45 −28
−1 2 −1 0
2 −4 0 −1
Zadanie 6. X =
−1 −2 −6 1
−1 4
2 −2
25
−1
; (3) X = −3 .
−1
; macierz kwadratowa;
Zadanie 7. X= −27 ;
Macierz AT A jest macierzą kwadratową, stopnia trzeciego i syme
101
tryczną.
−1 −4 2 −1
0
8 −2 7
;
Macierz X jest kwadratowa, stopnia czwartego i trójZadanie 8. X=
0
0
2 −1
0
0
0 −2
katna górna;
−1 32
−2 1
2 1, 5
;
;
;
(2) X=
(3) X=
Zadanie 9. (1) X=
13
1
3 −3
0 −2
3 10
Zadanie 10. (1) a = 1 i b = 4;
Zadanie 12. a) tak;
(2) a = 2 i b = 1;
b) nie.
Katedra Ekonometrii UŁ
6
