Wyznaczanie błędu nieliniowości δnl ( ) ba

GW – Poznań, 29 października 2007
Wyznaczanie błędu nieliniowości δnl
Wartość błędu nieliniowości δnl określa wzór:
δ nl =
∆YMAX
⋅100%
YMAX − YMIN
,
gdzie: ∆YMAX – wartość maksymalna wartości bezwzględnych róŜnic pomiędzy wartością wyznaczoną na
podstawie równania prostej yreg(x) i wyników pomiarów y = f(x), YMAX – wartość maksymalna y = f(x), YMIN –
wartość minimalna y = f(x).
Przykład wyznaczania wartości błędu nieliniowości δnl
1. Zgromadzenie wyników pomiarów y = f(x)
Tabela 1 Zestawienie wyników pomiarów y = f(x)
x
y = f(x)
1
2,02
2
3,15
3
4,24
4
5,20
5
6,25
7
8,64
18
8
9,65
10
12,04
12
14,57
13
15,71
y =f(x )
15
y (x )
12
9
6
3
0
0
2
4
6
x
8
10
12
14
Rys. 1 Wykres y = f(x)
2. Wyznaczenia wartości maksymalnej YMAX i minimalnej YMIN zgromadzonych
wyników pomiarów y = f(x)
Na podstawie analizy wartości y = f(x) zamieszczonych w Tabeli 1 wyznaczono wartości maksymalną YMAX i
minimalną YMIN.
YMIN = 2,02
YMAX = 15,71
3. Wyznaczenia równania prostej yreg(x) na podstawie zgromadzonych wyników
pomiarów y = f(x)
Równanie prostej yreg(x) na podstawie zgromadzonych wyników pomiarów y = f(x) wyznaczane jest za pomocą
regresji liniowej. MoŜna wykorzystać wzory dostępne w literaturze lub skorzystać z moŜliwości obliczeniowych
narzędzi programowych (np. arkusza kalkulacyjnego).
Równanie prostej yreg(x) określa równanie:
y reg (x ) = ax + b .
W przypadkach gdy zgromadzone wyniki pomiarów rozłoŜone są blisko prostej naleŜy unikać niepotrzebnych
zaokrągleń wartości współczynników a i b mogących zniekształcić końcowy wynik błędu nieliniowości.
1z2
GW – Poznań, 29 października 2007
Tabela 2 Zestawienie wyników pomiarów y = f(x) i wartości wyznaczonych za pomocą regresji
liniowej yreg(x)
x
1
y = f(x) 2,02
yreg(x) 1,8772
2
3,15
3
4,24
4
5,20
5
6,25
7
8,64
8
9,65
3,0171
4,1571
5,2971
6,4370
8,7170
9,8570
10
12,04
12
14,57
13
15,71
12,1369 14,4168 15,5568
W Tabeli 2 wartości yreg(x) zaokrąglono wyłącznie celem przedstawienia w tabeli (do dalszych obliczeń
wykorzystano wartości niezaokrąglone).
3. Wyznaczenia wartości róŜnic ∆Y(x) = yreg(x) - y(x)
Wartości róŜnic ∆Y(x) = yreg(x) - y(x) naleŜy wyznaczać na podstawie wartości yreg(x) i y = f(x) bez
wprowadzania zaokrągleń.
Tabela 3 Zestawienie wyników pomiarów y = f(x), wartości wyznaczonych za pomocą regresji
liniowej yreg(x) oraz róŜnic ∆Y(x) = yreg(x) - y(x)
1
2,02
2
3,15
3
4,24
1,8772 3,0171 4,1571
-0,1428 -0,1329 -0,0829
4
5,20
5
6,25
7
8,64
8
9,65
5,2971
0,0971
6,4370
0,1870
8,7170
0,0770
9,8570
0,2070
10
12,04
13
15,71
12,1369 14,4168 15,5568
0,0969 -0,1532 -0,1532
18
0,3
y (x )
∆Y (x )
15
y (x )
12
14,57
0,2
12
0,1
9
0,0
6
-0,1
3
-0,2
0
∆Y (x )
x
y(x)
yreg(x)
∆Y(x)
-0,3
0
2
4
6
8
10
12
14
x
Rys. 2 Wykres y(x) i ∆Y(x)
W zbiorze prawidłowo wyznaczonych wartości ∆Y(x) występują wartości dodatnie i ujemne.
4. Wyznaczenia wartości maksymalnej ∆YMAX ze zbioru wartości bezwzględnych ∆Y(x)
Na podstawie analizy ∆Y(x) zamieszczonych w Tabeli 3 wyznaczono wartość maksymalną ∆YMAX
∆YMAX = 0,206953 ≈ 0,207
5. Obliczenie wartości błędu nieliniowości δnl
δ nl =
∆YMAX
0,206953
⋅100% =
⋅100% = 1,511% = 1,6%
YMAX − YMIN
15,71 − 2,02
W sprawozdaniu z ćwiczenia laboratoryjnego oprócz wartości błędu
nieliniowości δnl naleŜy zamieścić w postaci tabelarycznej zestawienie
wyników pomiarów y = f(x), wartości yreg(x) wyznaczonych na podstawie
równania prostej i róŜnic ∆Y(x) oraz wykres róŜnic ∆Y(x).
2z2