Liniowy model 2.rzędu

P ra k t y c z n e wp ro wa d ze n i e d o o p i su , a n a l i zy i sy m u l a c j i d y n a m i k i o b i e k t ó w
5.
Liniowy model drugiego rzędu
5.1. Wprowadzenie – zastosowanie i forma modeli drugiego rzędu
Liniowe modele dynamiki drugiego rzędu pojawiają się często jako punkt wyjścia do
opracowywania różnych metod badania i projektowania układów automatyki, ponieważ:
- ich własności dynamiczne nie zależą od wymuszenia (punktu pracy),
- są dość proste by wykonać badania analityczne,
- mogą opisać każdy przypadek reakcji - stabilny i niestabilny, z oscylacjami lub bez nich.
I.3.2
I.10.3.2
I.10.4.2
Najbardziej charakterystyczną postacią modelu drugiego rzędu jest równanie oscylacyjne :
&x&(t ) + 2ξω n x& (t ) + ω n2 x(t ) = b0 u (t )
(II-12)
gdzie: ξ - współczynnik tłumienia, ωn – pulsacja drgań własnych (ωn>0). Jako przykład
prostego obiektu oscylacyjnego najłatwiej wskazać układ mechaniczny zawierający element
sprężysty i tłumiący oraz masę ( Rys. I-46). Takie same własności mają również dowolne
modele w postaci równań stanu czy transmitancji, jeśli ich równanie charakterystyczne można
sprowadzić do postaci:
(II-13)
λ 2 + 2ξω n λ + ω n2 = 0
Może to być prosty obwód elektryczny RLC (), ale mogą to być różne liniowe lub
zlinearyzowane układy drugiego rzędu cieplne, hydrauliczne i inne.
Na przebiegach czasowych Rys. II-11 i Rys. II-12 można zaobserwować czas i sposób
przejścia układu z początkowego punktu pracy (punkt u0, x0 na charakterystyce statycznej) do
punktu końcowego (uk, xk). Reakcje układów liniowych nie zależą od punktu pracy ().
Typowym elementem badania dynamiki obiektów jest obserwacja reakcji układu na
skokową zmianę wartości zmiennej wejściowej Na wykresach poniżej (Rys. II-9, Rys. II-10)
przedstawiono możliwe typy odpowiedzi.
x
x
xk
xk
W badaniach dynamiki układów wyznacza się również odpowiedź na zakłócenie
impulsowe i jeśli jest to impuls Diraca δ(t), to mówimy o odpowiedzi impulsowej układu.
Funkcja δ(t) to impuls o jednostkowej powierzchni ale nieskończenie krótki i nieskończenie
wysoki, więc praktycznie niewykonalny (i fizycznie, i symulacyjnie). Wobec tego stosuje się
przybliżenia, na przykład impuls prostokątny o powierzchni równej 1, zrealizowany za
pomocą dwóch sygnałów skokowych przesuniętych w czasie.
x0
x0
t
t
Rys. II-9. Odpowiedź układu stabilnego na wymuszenie skokowe
x
xk
x
xk
x0
t
x0
t
Rys. II-10. Odpowiedź układu niestabilnego na wymuszenie skokowe
Reakcja na wymuszenie skokiem jednostkowym 1(t) nazywa się odpowiedzią skokową.
5.2. Przykład – poprawność charakterystyk czasowych i punkty pracy
I.4.2.1
P ra k t y c zn e wp ro wa d z e n i e d o o p i su , a n a l i zy i s y m u l a c j i d y n a m i k i o b i e k t ó w
− użyć na schemacie zmiennych u0 (wartość początkowa w bloku skoku) i x0 (warunek
początkowy w końcowym bloku całkującym),
− zainicjować wartość u0 i wyliczyć wartość x0 dla danego u0 na podstawie wzoru na stan
równowagi – najlepiej w skrypcie.
Dodatkowo można przesunąć moment wystąpienia zmiany wartości na wejściu: u(t) = u0 dla
t<t0, u(t)=u0+du, dla t>=t0 (Rys. II-11). Wówczas na wyjściu układu do chwili t0 obserwujemy
stan równowagi a reakcja układu może pojawić się dopiero od chwili t0 (Rys. II-12), co
potwierdza, że jedyną przyczyną reakcji układu jest zmiana sygnału wejściowego.
x
u
xk
uk
du
x0
t
u0
t
Poprawne wykonanie badania reakcji na wymuszenie skokowe sygnału wejściowego
wymaga by ten skok był jedyną przyczyną zmian obserwowanych w układzie, to znaczy, że
musi być podany na układ znajdujący się w stanie równowagi. W badaniach symulacyjnych
można to zrealizować na dwa sposoby:
− uruchomić symulację od dowolnych warunków początkowych, poczekać aż układ dojdzie
do stanu równowagi i wówczas podać skok,
− z równania statycznego wyznaczyć stan równowagi x0 dla początkowej wartości sygnału
wejściowego u0 i uruchomić symulację przyjmując jako warunki początkowe punkt
równowagi – skok można podać od razu na początku symulacji.
Pierwszy sposób wymaga dłuższego czasu symulacji i można go realizować tylko
w przypadku układów stabilnych (). Drugi sposób wymaga przeprowadzenia dodatkowych
obliczeń (wyznaczenia stanu równowagi), ale jest bardziej ogólny (układy liniowe/nieliniowe,
stabilne/niestabilne) i daje dodatkowe możliwości1.
Warto przygotować schemat i skrypt badanego układu w ten sposób aby uruchamiać
symulację od dowolnego stanu równowagi – na przykład w przypadku jednego równania z
jednym wejściem można to zrealizować w następujący sposób:
1
t0
t0
Rys. II-11. Przesunięte wymuszenie skokowe
Rys. II-12. Reakcja układu w stanie równowagi na
skokową zmianę wartości na wejściu
5.3. Zadania – charakterystyki czasowe modelu oscylacyjnego
Przedmiotem badań są własności równania oscylacyjnego (II-12), które wynikają z analizy
teoretycznej wzorów na pierwiastki równania charakterystycznego (II-13).
1º Wyznacz przedziały wartości ξ, które odpowiadają różnym typom reakcji układu na
zmiany – stabilny/niestabilny, z/bez oscylacji (). Określ położenie biegunów układu na
płaszczyźnie zespolonej dla wyznaczonych przedziałów wartości ξ i na ich granicach.
I.3.2
2º Przygotuj schemat i skrypt do badań symulacyjnych, przewidując możliwość
uruchomienia symulacji od dowolnego stanu równowagi (punktu pracy):
- sparametryzuj funkcję skokową na wejściu (zmienne u0 i du),
- oblicz w skrypcie warunki początkowe dla bloków całkujących,
- sprawdź przygotowany model przez wykonanie symulacji w stanie równowagi (du=0).
3º Wykonaj symulacje typowych reakcji układu przy pobudzeniu skokiem jednostkowym
u=1(t) dla wybranych wartości współczynnika tłumienia ξ.
4º Powtórz punkt 3º dla pobudzenia impulsowego u0=δ(t):
- zaproponuj sposób realizacji funkcji, która przybliża impuls Diraca,
- przed wykonaniem symulacji spróbuj przewidzieć przebieg wykresów ().
5º Uzyskane wyniki przedstaw w Tab. II-4
Tab. II-4. Odpowiedzi czasowe członu oscylacyjnego
Przedział*
Wybrana
Położenie biegunów
Odpowiedź skokowa
Odpowiedź impulsowa
wartość ξ
w układzie Im(Re)
h(t)
k(t)
ξ<-1
-1<ξ < 0
ξ=0
0<ξ < 1
1<ξ
*
Uzupełnij oznaczenie przedziałów wartości ξ uwzględniające wartości -1 i 1 (wprowadź znak ≤)
np. weryfikację poprawności schematu (patrz II.7.2)
- 60 -
I.2.1
- 61 -
I.9.1