slajdy 11 - Czaj.org

Mikroekonometria
11
Mikołaj Czajkowski
Wiktor Budziński
Modele binarne – dane panelowe

Co jeśli mamy do dyspozycji dane panelowe?

Kilka obserwacji od tych samych respondentów, w różnych
punktach czasu (np. ankieta realizowana co roku)
Yit∗
Yit



= X it β + ε it
= 1 ( X it β + ε it > 0 )
; i = 1,..., N ; t = 1,..., Ti
Możemy spodziewać się korelacji składników losowych (ε) dla
tych samych osób / grup (nawet jeśli pomiędzy
osobami/grupami nadal będą niezależne)
Połączenie wszystkich danych i zignorowanie korelacji
powoduje problemy (estymator ML nie będzie zgodny)
Estymacja wszystkich korelacji wymaga szacowania
prawdopodobieństwa z Ti-mianowego rozkładu

Trudne z uwagi na charakter obserwowalnej zmiennej (0 lub 1) i
zwykle niewielką liczbę obserwacji dla osoby (Ti)
czaj.org
Modele binarne – dane panelowe

Alternatywna specyfikacja
Yit∗
= X it β + υit + ui
Yit
∗
it
= 1 (Y > 0 )
; i = 1,..., N ; t = 1,..., Ti
mierzy nieobserwowalną, specyficzną dla osoby
heterogeniczność
Forma zależności między ui a X it daje model z efektami
'losowymi' lub 'stałymi'
 ui


Model z efektami losowymi – ui i X it niezależne
Narzuca restrykcje na rozkład heterogeniczności w populacji
 Model z efektami stałymi – ui i X it mogą być skorelowane
 Brak restrykcji, ale może powodować problem przypadkowych parametrów
 Forma modelu nie oznacza, że efekty są takie czy inne – to tylko wybór
ekonometrycznego podejścia do problemu

czaj.org
Modele binarne – dane panelowe*
Model efektów losowych

Model efektów losowych zakłada, że
 ε it = υit + ui
 υit
i ui to niezależne zmienne losowe
E (υit |X ) = 0 ; Cov (υit ,υ js |X ) = Var (υit |X ) = 1 if i = j i t = s (0 w p.p.)
E ( ui |X ) = 0 ; Cov ( ui , u j |X ) = Var ( uit |X ) = σ u2 if i = j (0 w p.p.)
Cov (υit , u j |X ) = 0

Dla danych przekrojowych (cross-section, bez panelu)
krańcowe prawdopodobieństwo to:
Ui
 Pr (Yi |X i ) =  f ( ε i ) dε i
Li

( Li ,Ui ) = ( −∞ , −X i β )
gdzie
( Li ,Ui ) = ( −X i β, ∞ )
jeśli Yi = 0
jeśli Yi = 1
Probit – Φ ( ( 2Yi − 1) X i β ) , logit – Λ ( ( 2Yi − 1) X i β )
czaj.org
Modele binarne – dane panelowe*
Model efektów losowych

W ogólnym przypadku (przy braku restrykcji) wkład osoby (grupy)
i do funkcji LL to łączne prawdopodobieństwo Ti obserwacji
(
UiTi
Ui 1
)  ...  f (ε
Pr Yi 1 ,...,YiTi |X =


LiTi
i1
)
,..., ε iTi dε i 1 ...ε iTi
Li 1
Całkowanie takiej funkcji zwykle jest 'mało praktyczne'
Dla modelu efektów losowych można jednak dostać funkcje gęstości
poszczególnych υit wyciągając ui z łącznej gęstości ( ε i 1 ,..., ε iT , ui ) :
(
) (
)
i
f ε i 1 ,..., ε iTi , ui = f ε i 1 ,..., ε iTi |ui f ( ui )
(
)  f (ε
f ε i 1 ,..., ε iTi =

i1
−∞
Wtedy dostajemy:
(
∞
UiTi
Ui 1 ∞
)
,..., ε iTi |ui f ( ui ) dui
Ti
)  ...   ∏ f (ε
Li = Pr Yi 1 ,...,YiTi |X =
LiTi
Li 1 −∞ t =1
it
|ui ) f ( ui ) dui dε i 1 ...ε iTi
czaj.org
Modele binarne – dane panelowe*
Model efektów losowych

Przedziały całkowania są niezależne, więc można
odwrócić kolejność
 UiTi Ui 1 Ti
Li = Pr Yi 1 ,...,YiTi |X =    ...  ∏ f ( ε it |ui ) dε i 1 ...ε iTi

Li 1 t =1
−∞  LiTi
(

)
∞

 f ( ui ) dui


A teraz elementy w nawiasie są niezależne, więc
 Ti Uit

Li = Pr Yi 1 ,...,YiTi |X =   ∏  f ( ε it |ui ) dε it  f ( ui ) dui


−∞  t =1 Lit

(


)
∞
Wewnętrzna całka to to samo co dla zwykłego probit/logit
Zewnętrzna – wymaga założenia o rozkładzie ui

Inne metody estymacji (przybliżania wartości całek)


Kwadratura Gaussa-Hermite’a
Maksymalizacja symulowanej wartości funkcji ML (o tym później)
czaj.org
Przykład – opieka zdrowotna w Niemczech
1.
Wczytaj projekt me.gerhealth.lpj
2.
Skonstruuj model, w którym odbycie wizyty u lekarza
(Y = 1(docvis > 0)) wyjaśniane jest przez stałą, wiek, dochód, posiadanie
dzieci, liczbę lat edukacji i bycie w małżeństwie
Skonstruuj model traktując wszystkie obserwacje jako niezależne
1.

Dlaczego współczynniki przy dochodzie są takie dziwne?
Skonstruuj model efektów losowych
2.

Czy korelacje są istotne?

Dlaczego model konwerguje dłużej?
Porównaj wyniki
3.

Charakterystyki modeli, parametry, efekty krańcowe
SETPANEL
;
;
MODEL ;
;
;
group = <zmienna identyfikująca osoby>
pds = <liczba obserwacji dla osoby (zmienna)> $
...
panel
random effects $
czaj.org
Modele binarne – dane panelowe
Model efektów stałych

Model efektów losowych nakłada pewne restrykcje



Określony rozkład ui
Stałe korelacje pomiędzy okresami
Model efektów stałych
Yit∗
Yit



= α i dit + X it β + ε it
= 1 (Y > 0 )
∗
it
; i = 1,..., N ; t = 1,..., Ti
dit = 1 dla respondenta i, 0 w p.p. (w modelu jedna stała dla
każdej osoby)
Xit nie zawiera teraz stałej
Model wymaga estymacji dodatkowych N-1 parametrów!

Mogą ich być tysiące
czaj.org
Modele binarne – dane panelowe
Model efektów stałych

Funkcja LL dla modelu efektów stałych
N
T
ln L =  lnPr (Yit |α i + X it β )
i =1 t =1



Krańcowe prawdopodobieństwo (Pr) może mieć jedną z form
poznanych wcześniej (np. logit, probit, …)
Funkcja nieco trudniejsza w estymacji (z powodu rozmiaru),
ale nie to jest głównym problemem
Problemy statystyczne
czaj.org
Modele binarne – dane panelowe
Model efektów stałych

Możliwe problemy statystyczne




W praktyce – zwykle Ti jest stałe i … małe
Każde αi szacowane na podstawie Ti obserwacji
Model może nie konwergować
Estymator β także może nie być zgodny, bo jest funkcją α




Obciążenie rzędu 100% (T = 2) – 10% (T = 8)
Problem przypadkowych parametrów
Model jest nieidentyfikowalny jeśli występują w nim zmienne
objaśniające, które nigdy nie zmieniają się z okresu na okres
Model jest nieidentyfikowalny dla obserwacji, dla których
zmienna objaśniana ma tę samą wartość w każdym okresie
(m.in. dla obserwacji dla których Ti = 1)
czaj.org
Przykład – opieka zdrowotna w Niemczech
Skonstruuj model efektów stałych
3.
Czy wszystkie obserwacje zostały wykorzystane?


MODEL
4.
;
;
;
;
Grupy o tej samej wartości zmiennej objaśnianej we wszystkich Ti
...
rhs = ... ? należy pominąć stałą
panel
fixed effects$
Skonstruuj model z efektem stałym dla osób i lat
jednocześnie
; time effects (= <zmienna określająca nr okresu>)
czaj.org
Praca domowa ME.11 (grupy 3-4-osobowe)
Dane zawarte w me.usahealth.lpj pochodzą z eksperymentu
społecznego w USA, w którym rodziny losowo przyporządkowano
do różnych rodzajów ubezpieczeń medycznych i przez kilka lat
zbierano dane o tym, jak z nich korzystają. Celem badania było
sprawdzenie, w jaki sposób wysokość udziału własnego
(coinsurance rate) wpływa na korzystanie z usług medycznych.
Proszę to zweryfikować.
1.
1.
2.
3.
4.
Uwzględniając panelowy charakter danych, skonstruuj model efektów
losowych wyjaśniający to, czy osoba skorzystała w danym roku z
wizyty u lekarza (mdu > 0).
Uwzględniając panelowy charakter danych, skonstruuj model efektów
losowych wyjaśniający to, czy osoba poniosła jakiekolwiek wydatki na
pozaszpitalną opiekę medyczną (med > 0).
Zbadaj, czy w powyższych modelach istnieją statystycznie istotne
efekty stałe dla lat. Czy w poszczególnych latach prawdopodobieństwa
wizyty u lekarza lub poniesienia kosztu na opiekę medyczną były takie
same?
Czy cel badania można osiągnąć stosując model efektów stałych?
czaj.org
Wybór uporządkowany – dane panelowe

Efekty stałe
yit∗ = δ i + X it β + ε it
yit = j dla α j −1 < yit∗ < α j
P ( yit = j |X i ) = F ( j , α , δ i + X it β ) − F ( j − 1, α , δ i + X it β )



Estymacja nie jest dużo bardziej skomplikowana
Funkcja ML jest wklęsła
Problemem – mała próba (problem przypadkowych
parametrów)
czaj.org
Case study – analiza odpowiedzi na pytania
światopoglądowe dotyczące Morza Bałtyckiego
Wykorzystaj zbiór me.baltic.lpj do przeanalizowania, jakie
charakterystyki respondentów pozwalają wyjaśnić ich odpowiedzi
na pytanie o ocenę stanu ekologicznego Bałtyku (envw)
2.
2.
Uzupełnij model o efekty stałe dla poszczególnych krajów (pseudo-panel)
ORDERED; lhs = ... ? zmienna o wartościach od 0 do J-1
; rhs = ...
(; model = logit ? opcjonalnie - domyślnie probit)
; ... $
►
►
Ręcznie:
► Dodaj zmienne binarne dla krajów (zamiast stałej)
Automatycznie (tu nie zadziała – zbyt dużo 'okresów'):
► Oszacuj model bez efektów stałych
► Oszacuj model z '; fixed effects'
► Dodaj '; pds = ...' - liczba obserwacji dla klastra (muszą
być po kolei; liczba lub zmienna)
► Ewentualnie '; time = ...' - efekty stałe dla okresów ('=
...' jest opcjonalne, zmienna z numerem okresu obserwacji)
czaj.org
Wybór uporządkowany – dane panelowe

Efekty losowe
yit∗ = X it β + ε it + ui
ui  N ( 0,σ 2 )
yit = j dla α j −1 < yit∗ < α j
P ( yit = j |X i , ui ) = F ( j , α , X it β + ui ) − F ( j − 1, α , X it β + ui )


Prawdopodobieństwo jest warunkowe po ui, które jest
zmienną losową – trzeba całkować
Estymacja – jak dla modeli binarnych z efektami losowymi

Symulacje lub kwadratura Gaussa-Hermite’a
ORDERED; ...
; pds = ... ? lub ; panel
; ... $
? niedodanie '; fixed effects' oznacza model efektów losowych
czaj.org
Przykład – wybór uporządkowany – dane panelowe


Dla me.baltic.lpj model z efektami losowymi nie zadziała
(ponad 1000 obserwacji dla jednego klastru – zbyt
skomplikowana funkcja łącznego prawdopodobieństwa)
Przykładowy kod – dla projektu me.gerhealth.lpj
skonstruowano model, w którym satysfakcja z własnego stanu
zdrowia (hstat) wyjaśniana jest przez dochód, posiadanie
dzieci i liczbę lat edukacji


Model efektów stałych
Model efektów losowych
czaj.org
Modele liczności zdarzeń – dane panelowe

Dane panelowe – 2 standardowe podejścia
log ( λit ) = α i + X it β ( +ε it dla neg-bin )

Model efektów stałych

αi estymowane dla każdego respondenta osobno

Model nie wymaga zmienności yit w grupie




Wymaga, żeby co najmniej jedno yit było >0
Nie może zawierać stałej
Identyfikacja za pomocą innej postaci funkcyjnej
Model efektów losowych

exp (α i )  Γ (θ ,θ )
 E ( exp (α i ) ) = 1
 var ( exp (α i ) ) = 1 θ
 Dla modelu ujemnego dwumianowego – parametr dyspersji losowy,
specyficzny dla grup (respondentów)
czaj.org
Modele liczności zdarzeń – dane panelowe

Modele liczności zdarzeń uwzględniające panelową
strukturę danych w NLOGIT
►
Zdefiniuj panelową strukturę danych ('SETPANEL')
W modelu:
► '; panel'
Dotyczy modeli efektów stałych, efektów losowych,
parametrów z heterogenicznością preferencji (o tym
później)
Wykorzystanie bezwarunkowego estymatora - '; FEM'
► Teoretycznie bardziej poprawny (brak pewnych
uproszczeń), ale problem przypadkowych parametrów
Dwupoziomowe efekty stałe – '; time = ...'
►
►
►
►
czaj.org
Praca domowa ME.11 (grupy 3-4-osobowe) – c.d.
2.
Wykorzystując projekt me.gerhealth.lpj, uwzględniając
panelowy charakter danych sprawdź jakie zmienne
pozwalają wyjaśnić liczbę wizyt respondentów u lekarza
czaj.org
10.12.2015 16:52:45