Hydrodynamika – równanie Naviera

Transkrypt

Hydrodynamika – równanie Naviera-Stokesa
przepływ Hagena-Poseuille’a
22 października 2013
Hydrodynamika – równanie Naviera-Stokesa przepły
Ośrodki ciągłe – równanie ruchu
Zjawiska zachodzące w poruszających się płynach (cieczach lub
gazach) traktujemy „makroskopowo” – płyn jest ośrodkiem ciągłym.
Do opisu formalnego naszego płynu w funkcji czasu (t) i
współrzędnych przestrzennych (r) używamy: prędkości u(r, t)
i dwóch (z trzech) parametrów stanu – np. ciśnienia p i gęstości ρ.
Na element płynu działają siły objętościowe (np. grawitacja)
i powierzchniowe (ciśnienie, tarcie lepkie).
Równanie ruchu takiego elementu to
(1)
masa ×
du
= F obj + F pow .
dt
Warto zauważyć, że siły objętościowe (F obj ) są proporcjonalne do
objętości elementu, a więc do trzeciej potęgi jego charakterystycznego
wymiaru (L3 ),
a siły powierzchniowe do powierzchni (L2 ). Przy L → 0 dominują więc
te drugie.
Siły powierzchniowe
Siły powierzchniowe to siły ciśnienia i siły tarcia lepkiego,
występujące pomiędzy sąsiednimi warstwami cieczy.
Z ich natury wynika, że powinno dać się je zapisać w postaci całki po
powierzchni zamkniętej (Σ) i zamykającej w sobie rozważany element
płynu (V ).
Tak jak widzieliśmy – reguły rachunku tensorowego wymagają aby
(2)
Fi ≡
∂τik
∂τi1
∂τi2
∂τi3
=
+
+
.
∂xk
∂x1
∂x2
∂x3
Przy tak określonej i-tej składowej siły możemy zastosować
twierdzenie O-G w postaci tensorowej
(3)
Z
V
Fi dV =
Z
V
I
∂τik
dV = τik dσk .
∂xk
Σ
Siły powierzchniowe
Wyrażenie pod całką powierzchniową
τik dσk ≡ τi1 dσ1 + τi2 dσ2 + τi3 dσ3
to „iloczyn skalarny” składowych tensora τik (pierwszy wskaźnik
ustalony) i wektora dσ = (dσ1 , dσ2 , dσ3 ) – skierowanego elementu
powierzchni całkowania Σ.
Interpretacja τik
Z formalnych dezyderatów – zapisania siły powierzchniowej w postaci
całki po powierzchni – pojawia się „potrzeba istnienia” tensora τik .
Tensor ten to właśnie tensor naprężeń (napięć).
Funkcjonuje on z równym powodzeniem (a może i większym) w opisie
deformacji sprężystych ośrodków ciągłych.
Interpretacja τik
Z równania (3) wynika jego prosta interpretacja –
τik to i-ta składowa siły, działającej na element jednostkowy
powierzchni, prostopadły do osi k.
Tensor ten musi być tensorem symetrycznym.
Jeżeli siły działające na daną objętość płynu wyrażają się poprzez
całkę powierzchniową to i ich moment musi mieć postać takiej samej
całki.
Ml = lki xk Fi
Oczekujemy, że składowa l (gdzie l 6= i, l 6= k, i 6= k momentu siły
powinna dać się zapisać w postaci całki
Z
Z ∂τkl
∂τil
xk −
xi dV.
(Fi xk − Fk xi )dV =
∂xl
∂xl
V
V
Tensor τik jest symetryczny
Z Z
(Fi xk − Fk xi )dV =
V
V
∂τkl
∂τil
xk −
xi dV.
∂xl
∂xl
Całkę tę, przekształcamy (całkowanie przez części)
Z Z
∂τil
∂τkl
∂
xk −
xi dV =
[τil xk − τkl xi ] dV
∂x
∂x
∂x
l
l
l
V
V
Z ∂xk
∂xi
−
τil
− τkl
dV.
∂xl
∂xl
V
Pierwsza z dwóch całek jest całką z dywergencji – a więc można ja
przekształcić do całki powierzchniowej; druga całka to
Z Z
Z
∂xk
∂xi
τil
− τkl
dV =
(τil δkl − τkl δil ) dV =
(τik −τki ) dV.
∂xl
∂xl
V
V
V
Aby moment siły dał się przedstawić w postaci wyłącznie całki
powierzchniowej tensor τik musi być tensorem symetrycznym.
Tensor τik jest symetryczny
τik = τki .
Zawsze może być on przedstawiony w odpowiednim układzie –
układzie osi własnych – w którym tylko diagonalne składowe są różne
od zera, a składowe poza przekątną główną znikają.
Suma składowych diagonalnych jest to tzw. ślad tensora
τii ≡ τ11 + τ22 + τ33
– skalarna wielkość, będąca niezmienikiem transformacji.
Tensor τik a hydrostatyka
Dla płynu w równowadze, tensor naprężeń wyraża się jednoznacznie
przez ciśnienie panujące w otoczeniu (nieskończenie małego) elementu
cieczy.
Z prawa Pascala wynika, że wszystkie trzy składowe tensora (układ
osi własnych) są sobie równe.
Ponieważ reprezentują one siły działające na jednostkowe
powierzchnie, prostopadłe do trzech głównych osi mamy
(4)
1
τ11 = τ22 = τ33 = τii = −p
3
(ujemny znak, bo siła działa w kierunku przeciwnym do kierunku –
skierowanego na zewnątrz – wektora dσ).
Przypadek ogólny; składowe ścinania
W przypadku, kiedy mamy do czynienia z ruchem względnym warstw
płynu tensor τik zapisujemy w postaci
(5)
τik = − pδik + dik .
Pierwszy składnik po prawej stronie to przyczynek od sił ciśnienia;
drugi – tensor dik związany jest właśnie z ruchem cieczy.
Już Newton postulował, że aby ten drugi przyczynek był różny od
zera, to pomiędzy przyległymi warstwami płynu musi być pewna
różnica prędkości.
Na przykład, jeżeli rozpatrywać ruch w kierunku osi 0x (albo x1 ),
możemy mieć do czynienia z pewnym zróżnicowaniem prędkości w
∂u1
będzie różne od zera.
kierunku osi 0y (albo x2 ) i wyrażenie
∂x2
Możemy skojarzyć z tym odpowiednią siłę (na jednostkę powierzchni)
d12 = µ
∂u1
,
∂x2
gdzie współczynnik µ jest „stałą materiałową” i zależy, w pierwszym
rzędzie, od rodzaju płynu.
Przypadek ogólny; składowe ścinania, c.d.
Tensor dij powinien być symetryczny, bo stanowi część symetrycznego
tensora τik ; zresztą symetria zresztą wynika z założenia o
izotropowych własnościach płynu — konkretnie, określona zmiana
składowej (np.) x-owej wzdłuż y powinna skutkować pojawieniem się
takiej samej siły tarcia jak taka sama zmiana składowej y-owej wzdłuż
x.
Aby tak było zapisujemy tensor dik w postaci
(6)
1
dik = 2µ(eik − δik ∆),
3
gdzie tensor eik
∂ui
1
∂uk
eik =
+
2 ∂xk
∂xi
to „naocznie symetryczny” tensor, w którym występują pierwsze
pochodne składowych wektora prędkości; natomiast
(7)
∆=
∂ui
= div u = eii
∂xi
to ślad tego tensora (skalar).
Przypadek ogólny; składowe ścinania, c.d.
∂ui
= div u = eii
∂xi
1
dik = 2µ(eik − δik ∆),
3
Dodanie takiego (formalnie przekształconego do wielkości tensorowej
– mnożnik δik ) skalara niewiele zmienia – określenie sił (pochodne
tensora τik ) pozostaje bez zmian. Tak określony tensor ma ślad (sumę
składowych diagonalnych) równy zeru – łatwo to sprawdzić, o ile
uzmysłowimy sobie że ślad delty Kroneckera (też tensor!) δii = 3.
Takie zerowanie się dywergencji tensora pozwala na formułowanie
dodatkowych wniosków.
∆=
Równanie Naviera-Stokesa
Powracamy do równania
masa ×
du
= F obj + F pow .
dt
masa elementu objętości dV to ρdV
ρdV
(8)
dui
∂τik
= Fi ρdV +
dV,
dt
∂xk
i = 1, 2, 3
gdzie Fi to gęstość sił objętościowych (siła na jednostkę masy), a za
siły powierzchniowe dywergencję tensora naprężeń.
Dzielimy przez dV i podstawiamy jawną postać tensora naprężeń
(9)
ρ
∂p
∂
1
dui
= ρFi −
+
2µ(eik − δik ∆) .
dt
∂xi
∂xk
3
To właśnie równanie nazywamy równaniem Naviera-Stokesa.
Równanie Naviera-Stokesa c.d.
Dla gęstości ρ stałej w czasie i przestrzeni mamy (równanie
ciągłości !)
divu = eii = ∆ = 0.
Mamy wówczas też
2
∂
∂ui
∂uk
∂ ui
∂
∂ 2 ui
∂eik
=µ
+
=µ
+
e
=
µ
2µ
kk
∂xk
∂xk
∂xk
∂xi
∂x2k
∂xi
∂x2k
(wymieniamy szyk liczenia pochodnych mieszanych i jeszcze raz
korzystamy z zerowania się dywergencji prędkości).
Równanie (9) – w zapisie wektorowym – przybiera wówczas postać
(10)
ρ
du
= ρF − ∇p + µ4u.
dt
Równanie N-S – bez tensorów
Równanie N-S można też wyprowadzić „bez tensorów”, stosując
proste rachunki, z których wynikają „te same” postacie przyczynków
do sił powierzchniowych. Zobaczmy
Siły powierzchniowe – ciśnienia (a) i lepkości(b)
Siły ciśnienia
Na element cieczy dxdydz działa „z lewej” siła Fx (x, y, z) = p(x, y, z)dydz,
natomiast z prawej ta sama składowa
ma postać
Fx (x + dx, y, z) = −p(x + dx, y, z)dydz.
Korzystamy z rozwinięcia w szereg Taylora, zachowując tylko wyrazy
nieskończenie małe pierwszego rzędu
∂p
dx dydz.
Fx = −p(x + dx, y, z)dydz ≈ − p(x, y, z) +
∂x
Za ruch w kierunku osi 0x odpowiedzialna jest
∂p wypadkowa
Fx
=−
dxdydz,
∂x (x,y,z)
a więc na jednostkę objętości
Fxwypadkowa /dV = −
∂p .
∂x (x,y,z)
Siły lepkości
Na dolną podstawę elementu działa –
zgodnie z założeniem Newtona – siła
−µ
∂ux (x, y, z)
dxdy
∂z
na górną
∂ux (x, y, z + dz)
µ
=µ
∂z
∂ux (x, y, z)
∂ ∂ux (x, y, z)
+
dz dxdy;
∂z
∂z
∂z
ich wypadkowa – odniesiona do elementu o rozmiarach dxdydz – to
µ
∂ 2 ux (x, y, z)
dxdydz.
∂z 2
Pochodna śledcza
Ostatni komentarz dotyczy pochodnej prędkości elementu płynu
względem czasu, występującej po lewej stronie równania
masa ×
du
= F obj + F pow .
dt
Ta zmiana ma charakter „globalny” i związana jest zarówno z
upływem czasu, jak i przesunięciem się elementu do innego położenia,
co również może zmieniać jego prędkość.
Formalnie wystarczy obliczyć pochodną prędkości jako pochodną
zupełną, pamiętając, że u = u(x, y, z, t)
du
∂u
∂u dx
∂u dy
∂u dz
∂u
∂u
∂u
∂u
=
+
+
+
=
+
ux +
uy +
uz
dt
∂t
∂x dt
∂y dt
∂z dt
∂t
∂x
∂y
∂z
dui
∂ui
∂ui
=
+ uk
,
dt
∂t
∂xk
i = 1, 2, 3.
W „żargonie” mechaniki ośrodków ciągłych mamy pochodną śledczą.
Pochodna śledcza, c.d.
∂ui
∂ui
dui
=
+ uk
,
dt
∂t
∂xk
i = 1, 2, 3.
pamiętając, że
grad ≡ ∇ = ei
uk
∂
,
∂xi
∂ui
= (u · ∇)ui
∂xk
i ostatecznie
dui
∂ui
=
+ (u · ∇)ui
dt
∂t
Równanie ruchu
Dla (jednostkowego elementu objętości) nieściśliwej cieczy lepkiej
równaniem dynamicznym jest
(11)
ρ
∂u
+ ρ(u · ∇)u = −∇P + µ∇2 u + ρg.
∂t
Oznaczenie jak zwykle: ρ – gęstość płynu (z założenia stała; założenie
nieco dyskusyjne dla gazów, chociaż przy prędkości powietrza poniżej
50 m/s nieźle spełnione); u – prędkość; P – ciśnienie;
g - przyspieszenie ziemskie; µ – wsp. lepkości.
Pierwszy wyraz po lewej stronie (11) nazywa się pochodną lokalną
(wzgl.czasu); drugi – to przyspieszenie konwekcyjne elementu
objętości. Prawa strona równania to oczywiście siły działające na
element objętości: gradient ciśnienia, siły lepkie i ciążenie.
(12)
ρ
∂ui
∂P
∂ 2 ui
∂ui
+ ρuk
=−
+µ
+ ρgi .
∂t
∂xk
∂xi
∂xj ∂xj
(i = 1, 2, 3) sumujemy po powtarzających się wskaźnikach.
Równanie ruchu — zapis in extenso
ρ
∂u1
∂u1
∂u1
∂u1
+ ρ u1
+ u2
+ u3
∂t
∂x1
∂x2
∂x3
2
2
∂P
∂ u1
∂ u1
∂ 2 u1
=−
+µ
+
+
+ ρg1
∂x1
∂x1 ∂x1
∂x2 ∂x2
∂x3 ∂x3
dla i = 1
i analogicznie dla i = 2, 3.
Trzy równania skalarne typu (13) zawierają cztery niewiadome: trzy
składowe prędkości i ciśnienie.
Brakującym czwartym równanie jest równanie ciągłości (rozdz. 1).
Rozwiązanie układu czterech równań różniczkowych o pochodnych
cząstkowych wymaga też sformułowania adekwatnych warunków
brzegowych (początkowych).
Hydrostatyka
Nieruchomy płyn w polu sił ciężkości
Najprostszy przypadek równań N-S
to u = 0:
∇P = ρg.
(13)
Dla jednowymiarowego przypadku
(por. rysunek) rozwiązaniem (13) jest
P = −ρgx2 + P0 ,
(14)
gdzie P0 jest ciśnieniem na powierzchni.
Ciśnienie wewnętrzne; powierzchnia swobodna
Ciśnienie P występujące w równ. N-S można zapisać w postaci sumy
trzech wyrazów:
P = p0 + ρg · x + p,
(15)
gdzie:
p0 to pewne stałe ciśnienie „zewnętrzne” (np. atmosferyczne);
ρg · x to ciśnienie hydrostatyczne
i w końcu p – właściwe ciśnienie „wewnętrzne”, albo zmodyfikowane,
związane z ruchem płynu.
Jeżeli nie interesuje nas hydrostatyka (np. zaniedbujemy zmiany
ciśnienia z głębokością), ani to, co dzieje się na(d) powierzchni(ą)
swobodnej (-ną) płynu to podstawiając z (15) do (11)
otrzymujemy nieco prostsze równanie
(16)
ρ
Du
= −∇p + µ∇2 u.
Dt
Przepływy ustalone: jednokierunkowe i okrężne
Rozważamy ustalone przepływy jednokierunkowe – takie, w których
wszystkie cząstki poruszają się w jednym kierunku.
Wektory prędkości cząstek są równoległe,
a w dodatku nie zmieniają się wzdłuż linii prądu — przepływ jest
ustalony, albo stacjonarny, pochodne cząstkowe względem czasu
równe są zeru.
Gradient prędkości (jej wartości bezwzględnej) będzie więc
prostopadły do tych linii prądu (bo to jest kierunek najszybszych
zmian wartości prędkości),
a jeżeli tak to konwekcyjny wyraz w pochodnej śledczej prędkości jest
równy zeru.
(u · ∇)u = 0.
Przepływy ustalone: Przykłady
Górna ścianka porusza się w kierunku 0x
Przepływy ustalone: Przykłady (1)
Górna ścianka porusza się w kierunku 0x
Mamy tylko jedną składową prędkości – ux ; tensor naprężeń
(17)
τxy = µ
∂ux
dux
≡µ
.
∂y
dy
siła lepkości w danym kierunku jest proporcjonalna do zmiany
prędkości w kierunku normalnym, przypadającej na jednostkę tej
„normalnej” wysokości.
Obie ścianki poruszają się w kierunkach przeciwnych z równymi
prędkościami
przepływ tłokowy (wywołany przez pewien gradient ciśnienia)
Przepływ rotacyjny w pierścieniu, którego zewnętrzna ścianka obraca
się ze stałą prędkością kątową
przepływ tłokowy (wywołany przez pewien gradient ciśnienia)
(18)
dp
d2 ux
=µ 2 .
dx
dy
Pochodna dp/dx musi mieć stałą wartość – wynika to ze stałości
przepływu wzdłuż osi 0x.
Warunki brzegowe: dux /dy = 0 dla y = 0 (symetria względem osi 0y)
i
ux = 0 dla y = ±a
(na stałej powierzchni prędkość płynu znika ze względu na lepkość;
mówimy o przepływach bez poślizgu). Rozwiązaniem (18)
spełniającym oba te warunki jest
(19)
ux = −
1 dp 2
(a − y 2 ),
2µ dx
(zauważmy, że aby przepływ zachodził w dodatnim kierunku osi 0X
musimy mieć dp/dx < 0.)
przepływ tłokowy w rurze o promieniu a
dp
d2 uz
=µ 2 .
dz
dr
(20)
wzór Hagena-Poiseuille’a.
(21)
uz = −
1 dp 2
(a − r2 ),
4µ dz
(r – odległość od osi rury).
Uśredniając po całym przekroju rury, możemy wyliczyć średnią
prędkość
(22)
uz = −
1 dp 2
a.
8µ dz
przepływ tłokowy w rurze o promieniu a – tensor naprężeń
W układzie współrzędnych cylindrycznych, składowa τzr a to
!
(23)
τzr = µ
∂ur
∂uz
+
∂z
∂r
=µ
∂uz
∂r
(składowa radialna ur = 0). Podstawiając za ur z (21) dostaniemy
"
#
(24)
τzr = µ
d
1 dp 2
1 dp
−
(a − r2 ) =
r.
dr
4µ dz
2 dz
To bardzo ważny wynik – naprężenie pomiędzy kolejnymi warstwami
(o symetrii cylindrycznej) płynu rośnie liniowo, w miarę jak
odsuwamy się od osi rury i osiąga maksymalną wartość na ściance
rury. Ten liniowy wzrost spotkamy także w przypadku przepływów
turbulentnych płynów newtonowskich!!
a W oryginale autor „konsekwentnie” zmienia szyk wskaźników tensora τ .
Tensor jest symetryczny, ale siłę tarcia lepkiego, z jaką ścianka rury działa na
poruszający się wzdłuż osi 0z płyn (– na jednostkową powierzchnię, normalną do
promienia r) oznaczamy τzr a nie – jak u Clarka – τrz .

Hydrodynamika – równanie Naviera

Transkrypt

Podobne dokumenty

V - nPlot

Zadanie Naszkicuj wykres funkcji 3 dla 0 2 5 dla 0 . Na podstawie

test zespołowy konkursu - Szkoła Podstawowa w Niwce k. Radłowa

ZAGADNIENIA EGZAMINACYJNE Z FIZYKI 1. Ruch w polu

Test kompetencji dla uczestników warsztatu ”Matematyka w fizyce

Mechanika płynów- pytania i zagadnienia na egzamin. Pytania 1

Ostatnie ćwiczenia w grupie 2 Na ostatnich ćwiczeniach - E-SGH

Zadanie Udowodnij, że wykresy funkcji 3 ∙ oraz nie mają punktów