eksperymentalna weryfikacja sterowania programowego dźwignicy

MODELOWANIE INśYNIERSKIE
36, s. 167-172, Gliwice 2008
ISSN 1896-771X
EKSPERYMENTALNA WERYFIKACJA STEROWANIA
PROGRAMOWEGO DŹWIGNICY REALIZUJĄCEJ
ZADANY RUCH ŁADUNKU
KRZYSZTOF KOŁODZIEJCZYK, WOJCIECH BLAJER
Instytut Mechaniki Stosowanej, Politechnika Radomska
e-mail: [email protected], [email protected]
Streszczenie. W pracy przedstawiono wyniki eksperymentalnej weryfikacji
poprawności sterowania programowego dźwignicy mającej realizować załoŜony
ruch ładunku. Ruch ładunku jest zdeterminowany w czasie, a zagadnienie jego
realizacji rozwiązywane jest z uŜyciem modelu dynamicznego dźwignicy jako
problem ruchu programowego niezupełnego. Otrzymane na drodze symulacji
dynamicznej odwrotnej przebiegi zmiennych stanu oraz sygnałów sterujących
stanowiły podstawę do wykonania eksperymentu laboratoryjnego. Prezentowane
są wybrane wyniki symulacji numerycznych oraz eksperymentów laboratoryjnych.
1. WSTĘP
Dźwignice są obiektem badań bardzo wielu ośrodków naukowych od lat 60. ubiegłego
stulecia [1]. Badania te dotyczą m.in. zagadnień dynamiki i sterowania dźwignic. Poszukuje
się praw sterowania wymaganych do realizacji podstawowego zadania dźwignicy, jakim jest
przeniesienie ładunku w przestrzeni roboczej od punktu początkowego (odbioru) do punktu
końcowego (dostawiania), zapewniającego pozycjonowanie ładunku wzdłuŜ określonego toru
oraz minimalizację niekontrolowanego kołysania ładunkiem w trakcie ruchu oraz w punkcie
docelowym [1]. Wyznaczanie wymaganego sterowania dźwignicą moŜe być rozpatrywane
z punktu widzenia ruchu programowego [2], czyli zadania symulacji dynamicznej odwrotnej,
w którym, z wykorzystaniem modelu dynamicznego dźwignicy, wyznacza się sygnały
sterujące pracą układów jezdnych dźwignicy zapewniające realizację zadanego ruchu ładunku.
Z racji, Ŝe liczba sygnałów sterujących dźwignicą (równa liczbie zadanych charakterystyk
ruchu) jest mniejsza od liczby stopni swobody układu, rozwaŜane zagadnienie naleŜy do
kategorii ruchu programowego niezupełnego. Analizą tego zagadnienia od strony teoretycznej
zajmowano się m.in. w pracach [3,4], z odwołaniem do wielu zastosowań technicznych (w
tym do suwnic). Zaproponowano teŜ efektywny algorytm rozwiązania numerycznego
problemu. W odniesieniu bezpośrednio do suwnic zagadnienie to analizowano ponadto m.in.
w [5,6]. Równania ruchu programowego dźwignic formułowane są w postaci równań
róŜniczkowo-algebraicznych o indeksie równym 3, których rozwiązaniami są przebiegi w
czasie zarówno zmiennych stanu dźwignicy realizującej zadany ruch ładunku jak
i wymaganego sterowania dźwignicą.
168
K. KOŁODZIEJCZYK, W. BLAJER
RozwaŜania teoretyczne oraz wyniki eksperymentów numerycznych przedstawione w [3]
zainspirowały budowę specjalnego stanowiska laboratoryjnego (suwnicy płaskiej [7])
w Katedrze Mechaniki Technicznej i Dynamiki Pojazdów Brandenburskiego Uniwersytetu
Technicznego w Cottbus (Niemcy). W ramach współpracy z tą Katedrą autorzy mieli
moŜliwość weryfikacji poprawności i skuteczności zaproponowanej metody wyznaczania
sterowania dźwignicą. Przeprowadzono szereg eksperymentów mających na celu weryfikację
wyników otrzymanych na drodze symulacji dynamicznej odwrotnej dla kilku róŜnych strategii
przenoszenia ładunku. Wyniki testów potwierdziły poprawność algorytmów obliczeniowych.
2. OPIS STANOWISKA LABORATORYJNEGO
Schemat suwnicy laboratoryjnej przedstawia rys.1. Podstawowe parametry suwnicy są
następujące:
mt = 0.5 kg
• masa wózka
• masa ładunku
m = 3.235 kg
• promień bębna wciągarki
rw = 0.0225 m
• moment bezwładności bębna wciągarki J w = 1.66 ⋅ 10 −3 kg m 2
Ładunek moŜe się przemieszczać w obszarze roboczym w kształcie prostokąta, a moŜliwe
współrzędne układu (ruchy robocze), odpowiadające bokom tego prostokąta, zawierają się
w zakresie s = 0 ÷ 1.3 m oraz l = 0.4 ÷ 1.4 m . Pozostałe szczegóły dotyczące budowy
stanowiska oraz opis zasad sterowania ładunkiem zawarte są w pracy [7].
z
Iw
s
F
mt
O
b
C1
y
γ, M w
θ
w
l
C3
m
a
m, IC
C2
ψ
Rys. 1. Schemat stanowiska laboratoryjnego
Formalnie suwnicę laboratoryjną moŜna traktować jako układ o n = 4 stopniach swobody,
opisanych wektorem współrzędnych uogólnionych q = [ s l θ ψ ]T , gdzie s i l (sterowane
ruchy robocze dźwignicy) są współrzędną wózka na prowadnicy i długością liny, θ jest kątem
odchylenia liny od pionu, a ψ jest kątem odchylenia ładunku w kształcie płaskiej prostokątnej
płyty (rys. 1). Z przeprowadzonych analiz numerycznych oraz eksperymentów wynika jednak,
Ŝe kąty θ i ψ nie wykazują znaczących róŜnic, co pozwala zredukować układ do n = 3 stopni
swobody, a ładunek traktować jako punkt materialny. Zadany ruch ładunku to określone
EKSPERYMENTALNA WERYFIKACJA STEROWANIA PROGRAMOWEGO DŹWIGNICY …
169
w czasie jego współrzędne (punkt C2 z rys. 1), rd (t ) = [ xd (t ) zd (t ) ]T , a sterowanie
realizowane jest przez siłę F sterującą połoŜeniem wózka oraz moment M w na bębnie
wciągarki regulujący długość liny. Dynamiczne równania ruchu suwnicy laboratoryjnej mają
postać [7]:
mt + m
m sin θ

4J
 ×
2m + 2w
rw

 ×
×

(
ml cos θ   &s& mϕ& 2l&cosθ − lθ& sin θ


0   &l& + 
− mlθ& 2
 && 
θ 
2mll&θ&
2
ml    
)

=


(1)
0
0 

 1
mg (cosθ − 1) − 0 2 r   F 
w  ˆ 

 
Mw
 − mgl sin θ  0
0   
Równania (1) uŜyto do sformułowania równań ruchu programowego dźwignicy
realizującej zadany ruch ładunku, opisanych w [3-6]. Rozwiązaniem tych równań (zadanie
symulacji dynamicznej odwrotnej) są przebiegi w czasie zmiennych stanu dźwignicy
w zadanym ruchu, w tym q d (t ) = [ sd (t ) ld (t ) θ d (t ) ]T oraz wymaganego sterowania
dźwignicą, Fd (t ) oraz M wd (t ) . Ze względów technicznych [7] zrezygnowano ze sterowania
suwnicą zgodnie z tymi wyliczonymi przebiegami nominalnymi (próby realizacji zadanych
manewrów w ten sposób nie spełniły oczekiwań). Zamiast tego zastosowano sterowanie
pozycją wózka i długością liny tak, by realizować ich Ŝądane przebiegi, sd (t ) oraz ld (t ) . Było
to sterowane w czasie rzeczywistym pod kontrolą programów Matlab oraz dSpace (czas
próbkowania 5 ms ), z wykorzystaniem korektora proporcjonalnego (regulator P), który
zapewnia nadąŜanie układu za narzuconymi sd (t ) oraz ld (t ) . Korektor ten zapewnia równieŜ
kompensację tarcia między belką a wózkiem suwnicy, nieuwzględnianego w modelu
obliczeniowym. Konieczność takiej kompensacji tarcia wynika z silnie nieliniowej jego
natury, trudnej do zamodelowania oraz identyfikacji.
3. WYNIKI BADAŃ LABORATORYJNYCH
3.1. Informacje ogólne
Na opisanym stanowisku laboratoryjnym przeprowadzono szereg eksperymentów dla
róŜnych punktów początkowych i końcowych połoŜenia ładunku. Wszystkie manewry były
manewrami typu „rest-to-rest” (od spoczynku do spoczynku), co odpowiada rzeczywistemu
cyklowi pracy dźwignicy. W niniejszej pracy zaprezentowano wyniki dla manewru, w którym
ładunek przemieszczał się po torze krzywoliniowym, naszkicowanym wstępnie za pomocą
sekwencji punktów, a następnie aproksymowanym za pomocą funkcji sklejanych trzeciego
stopnia. Zadawany był następnie ruch ładunku wzdłuŜ tego toru, za pomocą odpowiednio
gładkiej funkcji zmiany połoŜenia na torze w czasie, spełniającej warunek manewru „rest-torest”. Zagadnienie to opisane jest szczegółowo w [6].
Czas symulacji badanego manewru wynosił τ = 3 s , a czasy faz rozruchu i hamowania
wynosiły po τ 0 = 1s . Ruch ładunku odbywał się z punktu początkowego o współrzędnych
P0 (0,−1.4) do punktu końcowego o współrzędnych Pk (1,−1.4) wzdłuŜ toru krzywoliniowego
170
K. KOŁODZIEJCZYK, W. BLAJER
przedstawionego na rys. 2. Do odtworzenia ruchu ładunku wykorzystane zostały otrzymane
w wyniku symulacji dynamicznej odwrotnej przebiegi współrzędnych układu określające
połoŜenie wózka i długość liny sd (t ) oraz ld (t ) , traktowane w tym wypadku jako sygnały
wejściowe, zaś siła i moment wymuszające ten ruch były generowane przez sterownik dla
zadanych współrzędnych układu z włączoną kompensacją tarcia. Kąt określający odchylenie
liny nie był regulowany i ograniczono się jedynie do jego pomiaru. Mierzono wszystkie
współrzędne układu, na podstawie których było moŜliwe szacowanie prędkości. Dodatkowo
rejestrowano zachowanie się układu po przemieszczeniu ładunku do punktu docelowego.
3.2. Wyniki eksperymentu
PoniŜej, na kolejnych rysunkach, przedstawiono zbiorczo porównanie wyników
otrzymanych na drodze symulacji dynamicznej odwrotnej z wynikami zarejestrowanymi
w trakcie testu laboratoryjnego.
-1
Symulacja
Eksperyment
z [m]
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
0
0.4
0.8
y [m]
1.2
Rys. 2. PołoŜenie ładunku (tor)
1.2
s [m]
0.8
0.4
0
Symulacja
Eksperyment
-0.4
0
1.5
1
2
3
4
t [s] 5
l [m]
1.4
1.3
1.2
1.1
Symulacja
Eksperyment
1
0
1
2
3
4 t [s] 5
Rys. 3. Współrzędne q układu przy realizacji manewru
EKSPERYMENTALNA WERYFIKACJA STEROWANIA PROGRAMOWEGO DŹWIGNICY …
8
θ [0]
171
Symulacja
Eksperyment
4
0
-4
-8
0
1
2
3
4
t [s] 5
Rys. 3. Współrzędne q układu przy realizacji manewru c.d
4
F [N]
Symulacja
Eksperyment
2
0
-2
-4
-6
0
0.2
1
2
3
Mw [Nm]
4
t [s] 5
Symulacja
Eksperyment
0.1
0
-0.1
-0.2
0
1
2
3
4
t [s] 5
Rys. 4. Przebiegi sygnałów sterujących przy realizacji manewru
Przeprowadzona analiza otrzymanych rezultatów (rys. 2 i 3) pozwala stwierdzić, Ŝe w tym
manewrze ruch układu oddaje jakościowo, a w przybliŜeniu równieŜ ilościowo, załoŜony ruch
programowy ładunku. Widoczne są niewielkie oscylacje ładunku po zakończeniu manewru,
niemoŜliwe do uniknięcia przy braku bezpośredniego sterowania połoŜeniem ładunku. Z rys.
4 przedstawiającego przebiegi sygnałów sterujących wynika, iŜ otrzymane w trakcie testu
przebiegi sygnałów sterujących odpowiadają jakościowo swym charakterem przebiegom
otrzymywanym z symulacji dynamicznej odwrotnej. Wyraźnie widoczny jest efekt działania
korektora pozycyjnego, korygującego efekty tarcia (głównie na kierunku współrzędnej s),
które nie były uwzględnione w symulacji dynamicznej odwrotnej. Powoduje to bardziej
„szarpane” przebiegi siły F w porównaniu z przebiegami Mw. Ruch wózka (regulowany przez
F) zaburzany jest dodatkowo przez niekontrolowane wahania ładunku.
172
K. KOŁODZIEJCZYK, W. BLAJER
4. WNIOSKI
Przeprowadzone testy laboratoryjne pozwalają stwierdzić, Ŝe proponowana metoda
wyznaczania sterowania dźwignicami daje poprawne rezultaty i jest moŜliwa do zastosowania
w warunkach laboratoryjnych. Przebiegi współrzędnych odpowiadające głównym ruchom
roboczym suwnicy nie wykazują znaczących róŜnic w porównaniu do przebiegów
programowych. Niekontrolowane odchylenie liny od pionu wykazuje przebiegi zbliŜone do
otrzymanych w wyniku symulacji dynamicznej odwrotnej, zaś widoczne po zakończeniu
ruchu oscylacje ładunku są małe – poniŜej 10 odchylenia liny od pionu, bez sterowania w pętli
zamkniętej niemoŜliwe do uniknięcia.
W trakcie testów odnotowano problemy ze stabilizacją ładunku w punkcie początkowym,
co wynikało ze specyfiki konstrukcji stanowiska. Zawieszenie ładunku na dość długiej
i wiotkiej lince powodowało nieustające niewielkie oscylacje ładunku w dwóch
płaszczyznach. Dodatkowo odnotowano znaczny wpływ odkształcalności linki oraz nie do
końca zidentyfikowanych oporów ruchu na otrzymywane przebiegi sygnałów sterujących.
Inne próby przeprowadzone przez D. Bestle [7] potwierdziły skuteczność proponowanej
metody sterowania w przypadku ruchu z zaburzeniami. W tych próbach sterowania w pętli ze
sprzęŜeniem zwrotnym został wykorzystany zlinearyzowany model suwnicy.
LITERATURA
1. Abdel-Rahman E.M., Nayfeh A.H., Masoud Z.N.: Dynamics and control of cranes:
a review. “Journal of Vibration and Control” 2003, 9, 2003, p. 863-908.
2. Gutowski R.: Mechanika analityczna. Warszawa: PWN, 1971.
3. Blajer W., Kołodziejczyk K.: A geometric approach to solving problems of control
constraints: theory and a DAE framework. “Multibody System Dynamics” 2004, 11, p.
343-364.
4. Blajer W., Kołodziejczyk K.: Control of underactuated mechanical systems with servoconstraints. “Nonlinear Dynamic” 2007, 50, p. 781-791.
5. Blajer W., Kołodziejczyk K.: Dynamics and control of rotary cranes executing a load
prescribed motion. “Journal of Theoretical and Applied Mechanics” 2006, 44, p. 929-948.
6. Blajer W., Kołodziejczyk K.: Trajectory planning and control of overhead cranes in the
work environment with obstacles. “Modelowanie InŜynierskie” 2006, 32, s. 53-60.
7. Bestle D.: Design of a laboratory crane for testing control approaches. In: IUTAM
Symposium on Vibration Control of Nonlinear Mechanisms and Structures, Series: Solid
Mechanics and its Applications, 2005, Vol. 130, p. 111-120.
EXPERIMENTAL VERIFICATION OF THE INVERSE SIMULATION
CONTROL OF CRANES EXECUTING A LOAD
PRESCRIBED MOTION
Summary. In this paper the results of numerical simulation of motion and control
for the laboratory crane executing a load specified motion are compared with the
experimental results. The results are analyzed, and a discussion on the problems
associated with the developed control strategy implementation is provided.