Gry koalicyjne

Gry koalicyjne
Gry koalicyjne – p. 1/19
Przykład 1
Podział 100zł miedzy
˛
3 osoby
Gry koalicyjne – p. 2/19
Przykład 1
Podział 100zł miedzy
˛
3 osoby
G = {1, 2, 3}
Gry koalicyjne – p. 2/19
Przykład 1
Podział 100zł miedzy
˛
3 osoby
G = {1, 2, 3}
„Siła koalicji”:
Gry koalicyjne – p. 2/19
Przykład 1
Podział 100zł miedzy
˛
3 osoby
G = {1, 2, 3}
„Siła koalicji”:
v(G) = 100
Gry koalicyjne – p. 2/19
Przykład 1
Podział 100zł miedzy
˛
3 osoby
G = {1, 2, 3}
„Siła koalicji”:
v(G) = 100
v({j, i}) = 100
Gry koalicyjne – p. 2/19
Przykład 1
Podział 100zł miedzy
˛
3 osoby
G = {1, 2, 3}
„Siła koalicji”:
v(G) = 100
v({j, i}) = 100
v({i}) = 0
Gry koalicyjne – p. 2/19
Gra koalicyjna
Gry koalicyjne – p. 3/19
Gra koalicyjna
Skończony zbiór graczy G
Gry koalicyjne – p. 3/19
Gra koalicyjna
Skończony zbiór graczy G
Funkcja charakterystyczna v : 2G → R, v(∅) = 0.
Gry koalicyjne – p. 3/19
Gra koalicyjna
Skończony zbiór graczy G
Funkcja charakterystyczna v : 2G → R, v(∅) = 0.
Możliwy transfer wypłat (TU games): wspólna oś
użyteczności, jednostka transferowa
Gry koalicyjne – p. 3/19
Gra koalicyjna
Skończony zbiór graczy G
Funkcja charakterystyczna v : 2G → R, v(∅) = 0.
Możliwy transfer wypłat (TU games): wspólna oś
użyteczności, jednostka transferowa
Gracze daż
˛ a˛ do jak najwiekszej
˛
wypłaty własnej
Gry koalicyjne – p. 3/19
Gra koalicyjna
Skończony zbiór graczy G
Funkcja charakterystyczna v : 2G → R, v(∅) = 0.
Możliwy transfer wypłat (TU games): wspólna oś
użyteczności, jednostka transferowa
Gracze daż
˛ a˛ do jak najwiekszej
˛
wypłaty własnej
Problemy:
Gry koalicyjne – p. 3/19
Gra koalicyjna
Skończony zbiór graczy G
Funkcja charakterystyczna v : 2G → R, v(∅) = 0.
Możliwy transfer wypłat (TU games): wspólna oś
użyteczności, jednostka transferowa
Gracze daż
˛ a˛ do jak najwiekszej
˛
wypłaty własnej
Problemy:
- Jaka koalicja powstanie?
Gry koalicyjne – p. 3/19
Gra koalicyjna
Skończony zbiór graczy G
Funkcja charakterystyczna v : 2G → R, v(∅) = 0.
Możliwy transfer wypłat (TU games): wspólna oś
użyteczności, jednostka transferowa
Gracze daż
˛ a˛ do jak najwiekszej
˛
wypłaty własnej
Problemy:
- Jaka koalicja powstanie?
- Jak podzielić zysk koalicji?
Gry koalicyjne – p. 3/19
Gra koalicyjna
Skończony zbiór graczy G
Funkcja charakterystyczna v : 2G → R, v(∅) = 0.
Możliwy transfer wypłat (TU games): wspólna oś
użyteczności, jednostka transferowa
Gracze daż
˛ a˛ do jak najwiekszej
˛
wypłaty własnej
Problemy:
- Jaka koalicja powstanie?
- Jak podzielić zysk koalicji?
- Jak ocenić siłe˛ koalicji (jak zdefiniować v )?
Gry koalicyjne – p. 3/19
Przykład 2
wokalista, gitarzysta, pianista G = {w, g, p}
Gry koalicyjne – p. 4/19
Przykład 2
wokalista, gitarzysta, pianista G = {w, g, p}
v(G) = 2000
Gry koalicyjne – p. 4/19
Przykład 2
wokalista, gitarzysta, pianista G = {w, g, p}
v(G) = 2000
v({w, p}) = 1000
Gry koalicyjne – p. 4/19
Przykład 2
wokalista, gitarzysta, pianista G = {w, g, p}
v(G) = 2000
v({w, p}) = 1000
v({w, g}) = 700
v({g, p}) = 600
Gry koalicyjne – p. 4/19
Przykład 2
wokalista, gitarzysta, pianista G = {w, g, p}
v(G) = 2000
v({w, p}) = 1000
v({w, g}) = 700
v({g, p}) = 600
v({p}) = 300
v({g}) = 100
v({w}) = −100
Gry koalicyjne – p. 4/19
Przykład 2
wokalista, gitarzysta, pianista G = {w, g, p}
v(G) = 2000
v({w, p}) = 1000
v({w, g}) = 700
v({g, p}) = 600
v({p}) = 300
v({g}) = 100
v({w}) = −100
v(∅) = 0
Gry koalicyjne – p. 4/19
Silna wielka koalicja
Jak sprawiedliwie podzielić v(G) ?
Gry koalicyjne – p. 5/19
Silna wielka koalicja
Jak sprawiedliwie podzielić v(G) ?
Rdzeń - von Neumann i Morgenstern ’40
Gry koalicyjne – p. 5/19
Silna wielka koalicja
Jak sprawiedliwie podzielić v(G) ?
Rdzeń - von Neumann i Morgenstern ’40
Wartość Shapleya ’50
Gry koalicyjne – p. 5/19
Silna wielka koalicja
Jak sprawiedliwie podzielić v(G) ?
Rdzeń - von Neumann i Morgenstern ’40
Wartość Shapleya ’50
Zbiory przetargowe - Aumann i Maschler ’60
Gry koalicyjne – p. 5/19
Silna wielka koalicja
Jak sprawiedliwie podzielić v(G) ?
Rdzeń - von Neumann i Morgenstern ’40
Wartość Shapleya ’50
Zbiory przetargowe - Aumann i Maschler ’60
Jaderko
˛
(nucleolus) - D. Schmeidler ’70
Gry koalicyjne – p. 5/19
Silna wielka koalicja
Jak sprawiedliwie podzielić v(G) ?
Rdzeń - von Neumann i Morgenstern ’40
Wartość Shapleya ’50
Zbiory przetargowe - Aumann i Maschler ’60
Jaderko
˛
(nucleolus) - D. Schmeidler ’70
Inne...
Gry koalicyjne – p. 5/19
Rdzeń
v , |G| = n
Gry koalicyjne – p. 6/19
Rdzeń
v , |G| = n
Podział (x1 , . . . , xn ) liczby v(G) nazywamy koalicyjnie
stabilnym (stabilnym), gdy dla wszystkich S ⊆ G
X
xi > v(S).
i∈S
Gry koalicyjne – p. 6/19
Rdzeń
v , |G| = n
Podział (x1 , . . . , xn ) liczby v(G) nazywamy koalicyjnie
stabilnym (stabilnym), gdy dla wszystkich S ⊆ G
X
xi > v(S).
i∈S
Zbiór wszystkich podziałów koalicyjnie stabilnych
nazywamy rdzeniem gry.
Ozn. rdz(v)
Gry koalicyjne – p. 6/19
Rdzeń
Przykład 1 (c.d.) Podział 100zł na 3 osoby.
Gry koalicyjne – p. 7/19
Rdzeń
Przykład 1 (c.d.) Podział 100zł na 3 osoby.
100 100
( 100
,
3
3 , 3 ) ∈ rdz(v) ?
Gry koalicyjne – p. 7/19
Rdzeń
Przykład 1 (c.d.) Podział 100zł na 3 osoby.
100 100
( 100
,
3
3 , 3 ) ∈ rdz(v) ?
x1 + x2 + x3 = v(G) = 100
Gry koalicyjne – p. 7/19
Rdzeń
Przykład 1 (c.d.) Podział 100zł na 3 osoby.
100 100
( 100
,
3
3 , 3 ) ∈ rdz(v) ?
x1 + x2 + x3 = v(G) = 100
xi > v({i}) = 0
Gry koalicyjne – p. 7/19
Rdzeń
Przykład 1 (c.d.) Podział 100zł na 3 osoby.
100 100
( 100
,
3
3 , 3 ) ∈ rdz(v) ?
x1 + x2 + x3 = v(G) = 100
xi > v({i}) = 0
xi + xj > v({i, j}) = 100
Gry koalicyjne – p. 7/19
Rdzeń
Przykład 1 (c.d.) Podział 100zł na 3 osoby.
100 100
( 100
,
3
3 , 3 ) ∈ rdz(v) ?
x1 + x2 + x3 = v(G) = 100
xi > v({i}) = 0
xi + xj > v({i, j}) = 100
rdz(v) = ∅
Gry koalicyjne – p. 7/19
Rdzeń
Przykład 2(c.d.). Zespół muzyczny.
v({w, g, p}) = 2000
v({w, p}) = 1000
v({w, g}) = 700
v({g, p}) = 600
v({p}) = 300
v({g}) = 100
v({w}) = −100
v(∅) = 0
Gry koalicyjne – p. 8/19
Rdzeń
Przykład 2(c.d.). Zespół muzyczny.
v({w, g, p}) = 2000
xp > 300, xg > 100, xw > −100
v({w, p}) = 1000
v({w, g}) = 700
v({g, p}) = 600
v({p}) = 300
v({g}) = 100
v({w}) = −100
v(∅) = 0
Gry koalicyjne – p. 8/19
Rdzeń
Przykład 2(c.d.). Zespół muzyczny.
v({w, g, p}) = 2000
xp > 300, xg > 100, xw > −100
v({w, p}) = 1000
xw + xg + xp = 2000
v({w, g}) = 700
v({g, p}) = 600
v({p}) = 300
v({g}) = 100
v({w}) = −100
v(∅) = 0
Gry koalicyjne – p. 8/19
Rdzeń
Przykład 2(c.d.). Zespół muzyczny.
v({w, g, p}) = 2000
xp > 300, xg > 100, xw > −100
v({w, p}) = 1000
xw + xg + xp = 2000
v({w, g}) = 700
xw + xp > 1000
v({g, p}) = 600
v({p}) = 300
v({g}) = 100
v({w}) = −100
v(∅) = 0
Gry koalicyjne – p. 8/19
Rdzeń
Przykład 2(c.d.). Zespół muzyczny.
v({w, g, p}) = 2000
xp > 300, xg > 100, xw > −100
v({w, p}) = 1000
xw + xg + xp = 2000
v({w, g}) = 700
xw + xp > 1000
v({g, p}) = 600
xg 6 2000 − 1000 = 1000
v({p}) = 300
v({g}) = 100
v({w}) = −100
v(∅) = 0
Gry koalicyjne – p. 8/19
Rdzeń
Przykład 2(c.d.). Zespół muzyczny.
v({w, g, p}) = 2000
xp > 300, xg > 100, xw > −100
v({w, p}) = 1000
xw + xg + xp = 2000
v({w, g}) = 700
xw + xp > 1000
v({g, p}) = 600
xg 6 2000 − 1000 = 1000
v({p}) = 300
xw + xg > 700
v({g}) = 100
v({w}) = −100
v(∅) = 0
Gry koalicyjne – p. 8/19
Rdzeń
Przykład 2(c.d.). Zespół muzyczny.
v({w, g, p}) = 2000
xp > 300, xg > 100, xw > −100
v({w, p}) = 1000
xw + xg + xp = 2000
v({w, g}) = 700
xw + xp > 1000
v({g, p}) = 600
xg 6 2000 − 1000 = 1000
v({p}) = 300
xw + xg > 700
v({g}) = 100
xp 6 1300
v({w}) = −100
v(∅) = 0
Gry koalicyjne – p. 8/19
Rdzeń
Przykład 2(c.d.). Zespół muzyczny.
v({w, g, p}) = 2000
xp > 300, xg > 100, xw > −100
v({w, p}) = 1000
xw + xg + xp = 2000
v({w, g}) = 700
xw + xp > 1000
v({g, p}) = 600
xg 6 2000 − 1000 = 1000
v({p}) = 300
xw + xg > 700
v({g}) = 100
xp 6 1300
v({w}) = −100
xg + xp > 600
v(∅) = 0
Gry koalicyjne – p. 8/19
Rdzeń
Przykład 2(c.d.). Zespół muzyczny.
v({w, g, p}) = 2000
xp > 300, xg > 100, xw > −100
v({w, p}) = 1000
xw + xg + xp = 2000
v({w, g}) = 700
xw + xp > 1000
v({g, p}) = 600
xg 6 2000 − 1000 = 1000
v({p}) = 300
xw + xg > 700
v({g}) = 100
xp 6 1300
v({w}) = −100
xg + xp > 600
v(∅) = 0
xw 6 1400
Gry koalicyjne – p. 8/19
Rdzeń
Przykład 2(c.d.). Zespół muzyczny.
v({w, g, p}) = 2000
xp > 300, xg > 100, xw > −100
v({w, p}) = 1000
xw + xg + xp = 2000
v({w, g}) = 700
xw + xp > 1000
v({g, p}) = 600
xg 6 2000 − 1000 = 1000
v({p}) = 300
xw + xg > 700
v({g}) = 100
xp 6 1300
v({w}) = −100
xg + xp > 600
v(∅) = 0
xw 6 1400
rdz(v) = {(xp , xg , xw ) : xp + xg + xw = 2000,
300 6 xp 6 1300, 100 6 xg 6 1000, −100 6 xw 6 1400}
Gry koalicyjne – p. 8/19
Wartość Shapleya
Gry koalicyjne – p. 9/19
Wartość Shapleya
G = {1, . . . , n}, V = {v : 2G → R : v(∅) = 0}
Gry koalicyjne – p. 9/19
Wartość Shapleya
G = {1, . . . , n}, V = {v : 2G → R : v(∅) = 0}
szukamy f (v) = (f1 (v), . . . , fn (v)) dla każdej funkcji
charakterystycznej v ∈ V
Gry koalicyjne – p. 9/19
Wartość Shapleya
G = {1, . . . , n}, V = {v : 2G → R : v(∅) = 0}
szukamy f (v) = (f1 (v), . . . , fn (v)) dla każdej funkcji
charakterystycznej v ∈ V
Dowolna˛ funkcje˛ f : V → Rn nazywamy funkcja˛
(wartościa)
˛ Shapleya, jeżeli spełnia aksjomaty:
Gry koalicyjne – p. 9/19
Wartość Shapleya
G = {1, . . . , n}, V = {v : 2G → R : v(∅) = 0}
szukamy f (v) = (f1 (v), . . . , fn (v)) dla każdej funkcji
charakterystycznej v ∈ V
Dowolna˛ funkcje˛ f : V → Rn nazywamy funkcja˛
(wartościa)
˛ Shapleya, jeżeli spełnia aksjomaty:
(S1) (efektywność)
P
fi (v) = v(G)
i∈G
Gry koalicyjne – p. 9/19
Wartość Shapleya
G = {1, . . . , n}, V = {v : 2G → R : v(∅) = 0}
szukamy f (v) = (f1 (v), . . . , fn (v)) dla każdej funkcji
charakterystycznej v ∈ V
Dowolna˛ funkcje˛ f : V → Rn nazywamy funkcja˛
(wartościa)
˛ Shapleya, jeżeli spełnia aksjomaty:
(S1) (efektywność)
P
fi (v) = v(G)
i∈G
(S2) (o symetryczności ról)
Gry koalicyjne – p. 9/19
Wartość Shapleya
G = {1, . . . , n}, V = {v : 2G → R : v(∅) = 0}
szukamy f (v) = (f1 (v), . . . , fn (v)) dla każdej funkcji
charakterystycznej v ∈ V
Dowolna˛ funkcje˛ f : V → Rn nazywamy funkcja˛
(wartościa)
˛ Shapleya, jeżeli spełnia aksjomaty:
(S1) (efektywność)
P
fi (v) = v(G)
i∈G
(S2) (o symetryczności ról)
Jeśli gracze i, j pełnia˛ role symetryczne w grze (G, v), to
fi (v) = fj (v).
Gry koalicyjne – p. 9/19
Przykład 3
G = {A, B, C, D}
S v(S)
G
-1
{A, C, D}
1
{A, B, C}, {B, C, D}, {A, B, D}
-1
{A, C}
1
{A, B}, {B, C}, {A, D}, {B, D}, {C, D}
-1
{D}
0
{A}, {B}, {C}
-1
∅
0
role symetryczne?
Gry koalicyjne – p. 10/19
Wartość Shapleya
G = {1, . . . , n}, V = {v : 2G → R : v(∅) = 0}
szukamy f (v) = (f1 (v), . . . , fn (v)) dla każdej v ∈ V
f : V → Rn nazywamy funkcja˛ (wartościa)
˛ Shapleya, jeżeli
spełnia aksjomaty: (S1), (S2),
Gry koalicyjne – p. 11/19
Wartość Shapleya
G = {1, . . . , n}, V = {v : 2G → R : v(∅) = 0}
szukamy f (v) = (f1 (v), . . . , fn (v)) dla każdej v ∈ V
f : V → Rn nazywamy funkcja˛ (wartościa)
˛ Shapleya, jeżeli
spełnia aksjomaty: (S1), (S2),
(S3) (o graczu nieistotnym)
Gry koalicyjne – p. 11/19
Wartość Shapleya
G = {1, . . . , n}, V = {v : 2G → R : v(∅) = 0}
szukamy f (v) = (f1 (v), . . . , fn (v)) dla każdej v ∈ V
f : V → Rn nazywamy funkcja˛ (wartościa)
˛ Shapleya, jeżeli
spełnia aksjomaty: (S1), (S2),
(S3) (o graczu nieistotnym)
Jeśli i ∈ G oraz dla każdej koalicji S ⊆ G
v(S ∪ {i}) = v(S), to
fi (v) = 0.
Gry koalicyjne – p. 11/19
Przykład 3 - c.d.
G = {A, B, C, D}
S v(S)
G
-1
{A, C, D}
1
{A, B, C}, {B, C, D}, {A, B, D}
-1
{A, C}
1
{A, B}, {B, C}, {A, D}, {B, D}, {C, D}
-1
{D}
0
{A}, {B}, {C}
-1
∅
0
gracze nieistotni?
Gry koalicyjne – p. 12/19
Wartość Shapleya
G = {1, . . . , n}, V = {v : 2G → R : v(∅) = 0}
szukamy f (v) = (f1 (v), . . . , fn (v)) dla każdej v ∈ V
f : V → Rn nazywamy funkcja˛ (wartościa)
˛ Shapleya, jeżeli
spełnia aksjomaty: (S1), (S2), (S3),
Gry koalicyjne – p. 13/19
Wartość Shapleya
G = {1, . . . , n}, V = {v : 2G → R : v(∅) = 0}
szukamy f (v) = (f1 (v), . . . , fn (v)) dla każdej v ∈ V
f : V → Rn nazywamy funkcja˛ (wartościa)
˛ Shapleya, jeżeli
spełnia aksjomaty: (S1), (S2), (S3),
(S4) (addytywność)
Gry koalicyjne – p. 13/19
Wartość Shapleya
G = {1, . . . , n}, V = {v : 2G → R : v(∅) = 0}
szukamy f (v) = (f1 (v), . . . , fn (v)) dla każdej v ∈ V
f : V → Rn nazywamy funkcja˛ (wartościa)
˛ Shapleya, jeżeli
spełnia aksjomaty: (S1), (S2), (S3),
(S4) (addytywność)
Niech v + v ′ oznacza sume˛ gier,
tzn. (v + v ′ )(S) := v(S) + v ′ (S).
Gry koalicyjne – p. 13/19
Wartość Shapleya
G = {1, . . . , n}, V = {v : 2G → R : v(∅) = 0}
szukamy f (v) = (f1 (v), . . . , fn (v)) dla każdej v ∈ V
f : V → Rn nazywamy funkcja˛ (wartościa)
˛ Shapleya, jeżeli
spełnia aksjomaty: (S1), (S2), (S3),
(S4) (addytywność)
Niech v + v ′ oznacza sume˛ gier,
tzn. (v + v ′ )(S) := v(S) + v ′ (S).
Wtedy
f (v + v ′ ) = f (v) + f (v ′ ).
Gry koalicyjne – p. 13/19
Twierdzenie o wartości Shapleya
Gry koalicyjne – p. 14/19
Twierdzenie o wartości Shapleya
Twierdzenie (Shapley ’53). Istnieje dokładnie jedna
funkcja spełniajaca
˛ (S1)–(S4).
Gry koalicyjne – p. 14/19
Twierdzenie o wartości Shapleya
Twierdzenie (Shapley ’53). Istnieje dokładnie jedna
funkcja spełniajaca
˛ (S1)–(S4).
Nazywamy ja˛ wartościa˛ Shapleya i oznaczamy przez φ.
Gry koalicyjne – p. 14/19
Przykład 4
Podział 100zł miedzy
˛
3 osoby (c.d.)
G = {1, 2, 3}
Gry koalicyjne – p. 15/19
Przykład 4
Podział 100zł miedzy
˛
3 osoby (c.d.)
G = {1, 2, 3}
φ1 (v) = φ2 (v) = φ3 (v)
Gry koalicyjne – p. 15/19
Przykład 4
Podział 100zł miedzy
˛
3 osoby (c.d.)
G = {1, 2, 3}
φ1 (v) = φ2 (v) = φ3 (v)
100 100 100
φ(v) = 3 , 3 , 3
Gry koalicyjne – p. 15/19
Wkład w koalicj˛e
Gry koalicyjne – p. 16/19
Wkład w koalicj˛e
Twierdzenie (Shapley ’53). φi (v) jest średnim wkładem
gracza i w formujac
˛ a˛ sie˛ w uporzadkowany
˛
sposób wielka˛
koalicje,
˛ tzn.
1
φi (v) =
n!
X
(v(G̃6i ) − v(G̃<i )).
G̃: uporz.w.k.
Gry koalicyjne – p. 16/19
Wkład w koalicj˛e - zespół muzyczny
Przykład 5. G = {w, g, p}
S
G
v(S)
2000
{w, p}
1000
{w, g}
700
{g, p}
600
{p}
300
{g}
100
{w}
-100
∅
0
Gry koalicyjne – p. 17/19
Wkład w koalicj˛e - zespół muzyczny
Przykład 5. G = {w, g, p}
S
G
v(S)
2000
{w, p}
wgp
w
-100
g
800
1000
wpg
-100
1000 1100
{w, g}
700
gwp
600
100
1300
{g, p}
600
gpw 1400
100
500
{p}
300
pwg
700
1000
300
{g}
100
pgw 1400
300
300
{w}
-100
3300
3!
4800
3!
∅
0
3900
3!
p
1300
Gry koalicyjne – p. 17/19
Wkład w koalicj˛e - zespół muzyczny
Przykład 5. G = {w, g, p}
wgp
w
-100
g
800
1000
wpg
-100
1000 1100
{w, g}
700
gwp
600
100
1300
{g, p}
600
gpw 1400
100
500
{p}
300
pwg
700
1000
300
{g}
100
pgw 1400
300
300
3300
3!
4800
3!
S
G
v(S)
2000
{w, p}
{w}
-100
∅
0
3900
3!
p
1300
φ(v) = (650, 550, 800)
Gry koalicyjne – p. 17/19
Wkład w koalicj˛e - zespół muzyczny
Przykład 5. G = {w, g, p}
wgp
w
-100
g
800
1000
wpg
-100
1000 1100
{w, g}
700
gwp
600
100
1300
{g, p}
600
gpw 1400
100
500
{p}
300
pwg
700
1000
300
{g}
100
pgw 1400
300
300
3300
3!
4800
3!
S
G
v(S)
2000
{w, p}
{w}
-100
∅
0
3900
3!
p
1300
φ(v) = (650, 550, 800)
rdz(v) = {(xw , xg , xp ) : xw + xg + xp = 2000,
xw ∈ [−100, 1400], xg ∈ [100, 1000], 300 6 xp ∈ [300, 1300]}
Gry koalicyjne – p. 17/19
Wkład w koalicj˛e - dyktatorzy
Przykład 6.
Gra z dyktatorami G = {a1 , a2 , a3 , d1 , d2 }
Gry koalicyjne – p. 18/19
Wkład w koalicj˛e - dyktatorzy
Przykład 6.
Gra z dyktatorami G = {a1 , a2 , a3 , d1 , d2 }
v(S) = 1 dla d1 ∈ S lub d2 ∈ S , v(S) = 0 p.p.
Gry koalicyjne – p. 18/19
Wkład w koalicj˛e - dyktatorzy
Przykład 6.
Gra z dyktatorami G = {a1 , a2 , a3 , d1 , d2 }
v(S) = 1 dla d1 ∈ S lub d2 ∈ S , v(S) = 0 p.p.
φ(v) = (x, x, x, y, y),
3x + 2y = 1
Gry koalicyjne – p. 18/19
Wkład w koalicj˛e - dyktatorzy
Przykład 6.
Gra z dyktatorami G = {a1 , a2 , a3 , d1 , d2 }
v(S) = 1 dla d1 ∈ S lub d2 ∈ S , v(S) = 0 p.p.
φ(v) = (x, x, x, y, y),
3x + 2y = 1
x=0
Gry koalicyjne – p. 18/19
Wkład w koalicj˛e - dyktatorzy
Przykład 6.
Gra z dyktatorami G = {a1 , a2 , a3 , d1 , d2 }
v(S) = 1 dla d1 ∈ S lub d2 ∈ S , v(S) = 0 p.p.
φ(v) = (x, x, x, y, y),
3x + 2y = 1
x=0
φ(v) = 0, 0, 0,
1 1
2, 2
Gry koalicyjne – p. 18/19
Wkład w koalicj˛e - pary mieszane
O parach meżczyzn
˛
i kobiet
G = {m1 , m2 , m3 , k1 , k2 }
S ⊆ G: tworzymy dowolnie pary damsko-meskie
˛
v(S) to liczba powstałych par
Przykład 7.
Gry koalicyjne – p. 19/19
Wkład w koalicj˛e - pary mieszane
O parach meżczyzn
˛
i kobiet
G = {m1 , m2 , m3 , k1 , k2 }
S ⊆ G: tworzymy dowolnie pary damsko-meskie
˛
v(S) to liczba powstałych par
Przykład 7.
φ(v) = (x, x, x, y, y),
3x + 2y = 2
Gry koalicyjne – p. 19/19
Wkład w koalicj˛e - pary mieszane
O parach meżczyzn
˛
i kobiet
G = {m1 , m2 , m3 , k1 , k2 }
S ⊆ G: tworzymy dowolnie pary damsko-meskie
˛
v(S) to liczba powstałych par
Przykład 7.
φ(v) = (x, x, x, y, y),
3x + 2y = 2
1h
0+0+
φk1 (v) =
5!
3
+ 3 · 1!3! · (1 − 0) +
· 2!2! · (1 − 0) + 3!1! · (1 − 0) +
2
i 13
3
+ 3 · 2!2! · (1 − 1) +
· 3!1! · (2 − 1) + 4!0! · (2 − 1) =
2
20
Gry koalicyjne – p. 19/19
Wkład w koalicj˛e - pary mieszane
O parach meżczyzn
˛
i kobiet
G = {m1 , m2 , m3 , k1 , k2 }
S ⊆ G: tworzymy dowolnie pary damsko-meskie
˛
v(S) to liczba powstałych par
Przykład 7.
φ(v) = (x, x, x, y, y),
3x + 2y = 2
1h
0+0+
φk1 (v) =
5!
3
+ 3 · 1!3! · (1 − 0) +
· 2!2! · (1 − 0) + 3!1! · (1 − 0) +
2
i 13
3
+ 3 · 2!2! · (1 − 1) +
· 3!1! · (2 − 1) + 4!0! · (2 − 1) =
2
20
7 7 7 13 13
, 30 , 30 , 20 , 20 )
φ(v) = ( 30
Gry koalicyjne – p. 19/19