Wykład 1_ PL

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
(wykład 1_PL)
[1]
Co to są badania operacyjne ?
Termin "badanie operacji" (Operations' Research) powstał
podczas II wojny światowej i przetrwał do dzisiaj. W terminologii
angielskiej najczęściej używa się terminu "Badania Operacyjne"
(Operational Research). W terminologii amerykańskiej - "Nauka o
Zarządzaniu" (Management Science). Jedną z możliwych definicji
badań operacyjnych przytoczymy za Harvey'em Wagner'em:
Badania operacyjne - to naukowa metoda rozwiązywania
problemów z zakresu podejmowania decyzji kierowniczych.
Obszar wiedzy wykorzystywany w badaniach operacyjnych to
spora część zakropkowanego obszaru na poniższym rysunku.
Pole zastosowań badań operacyjnych obejmuje sporządzanie
matematycznych, ekonomicznych i statystycznych opisów (modeli)
procesów decyzyjnych charakteryzujących się dużą złożonością
(i często niepewnością). Takie opisy (modele) umożliwiają
precyzyjne analizowanie złożonych procesów decyzyjnych
i ułatwiają podejmowanie najlepszej decyzji.
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
(wykład 1_PL)
[2]
Podstawowym narzędziem badań operacyjnych jest model.
Rzeczywistość można modelować trojako:
1. ikonicznie (obrazowo) - tj. przedstawiać przedmioty lub
zdarzenia w zmienionej skali (np. mapa, model samochodu, itp.)
2. analogowo - tj. przedstawiać właściwości badanego zjawiska za
pomocą własności innych zjawisk (np. dochodzenie do ceny
równowagi na rynku danego dobra można przedstawić jako ruch
poziomu cieczy w układzie naczyń połączonych, w którym
mechanizmem wyrównującym cenę jest grawitacja),
3. symbolicznie (matematycznie) - tj. opisywać rzeczywistość za
pomocą wzorów matematycznych (równań).
W badaniach operacyjnych rzeczywistość modelowana jest
symbolicznie.
Model (tutaj) jest to równanie (lub układ równań) za pomocą
którego odzwierciedlamy procesy decyzyjne i społeczno-gospodarcze
zachodzące w życiu gospodarczym.
Procesy decyzyjne dzielimy na 4 podstawowe klasy. Podział jest
ściśle związany z ilością i jakością informacji jaką dysponuje
decydent w procesie podejmowania decyzji. Mówimy o
podejmowaniu decyzji w warunkach:
1. pewności. Ma to miejsce wówczas, gdy każdej decyzji
odpowiada jeden tylko wynik z prawdopodobieństwem równym
jedności (mówimy, że proces jest zdeterminowany).
2. niepewności. Ma to miejsce wówczas, gdy każdej decyzji
odpowiada więcej niż jeden wynik (mówimy, że proces jest
procesem
stochastycznym).
Nie
znamy
jednak
prawdopodobieństwa z jakim dany wynik może wystąpić.
3. ryzyka. Ma to miejsce wówczas, gdy każdej decyzji odpowiada
więcej niż jeden wynik, ale znamy prawdopodobieństwo z jakim
dany wynik może wystąpić.
4. częściowej informacji. Ma to miejsce wówczas, gdy każdej
decyzji odpowiada więcej niż jeden wynik Nie znamy co prawda
prawdopodobieństwa z jakim dany wynik może wystąpić, ale
możemy próbować je oszacować dzięki znajomości niektórych
charakterystyk nieznanego rozkładu prawdopodobieństwa, np.
wartość oczekiwana, wariancja, mediana, dominanta, itp.
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
(wykład 1_PL)
[3]
Podejmowanie decyzji w warunkach pewności.
Podejmowanie decyzji jest podstawowym elementem każdej
działalności gospodarczej.
Na ogół przy danych warunkach istnieje wiele decyzji
dopuszczalnych, tj. ogólnie mówiąc decyzji które mogą być
zrealizowane pomimo szeregu ograniczeń narzuconych decydentowi
przez otoczenie jak i przez niego samego.
Zrozumiałe jest wtedy poszukiwanie decyzji optymalnej.
Jeśli mówimy o decyzji optymalnej to zakładamy, że określone
zostało pewne kryterium rozstrzygające, która z decyzji
dopuszczalnych jest tą decyzją najlepszą, tj. optymalną.
Tak więc na zbiorze decyzji dopuszczalnych musi być określona
pewna funkcja, nazywana funkcją kryterialną (funkcją celu), dla
której należy znaleźć wartość największą (najmniejszą) w zbiorze
decyzji dopuszczalnych.
Narzędziem skutecznie wspomagającym proces wyboru decyzji
optymalnej są metody programowania matematycznego (PM).
Przedmiotem PM jest budowa modeli matematycznych (zadań
PM) dla określonych sytuacji decyzyjnych, znajdowanie metod
rozwiązywania tych modeli (zadań), rozwiązywanie ich, a w końcu
weryfikacja otrzymanych rozwiązań i ich wykorzystanie.
Ogólny problem PM można sformułować następująco:
Znajdź wartość największą (najmniejszą) funkcji celu
f x1 , x2 ,..., xn 
(1)
lub krócej
f x
przy warunku
x1, x2 ,..., xn T  X
(2)
lub krócej
x X
gdzie:
X - zbiór decyzji dopuszczalnych (rozwiązań dopuszczalnych)
x  x1 , x2 ,..., xn 
T
xj
- decyzja (rozwiązanie)
- zmienna decyzyjna
(j=1,2,...,n)
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
(wykład 1_PL)
Zapis wprowadzony w (2), tj. x  X oznacza, że
dopuszczalną (rozwiązaniem dopuszczalnym).
x
[4]
jest decyzją
o
Jeżeli przez x oznaczymy decyzję optymalną to możemy
krótko zdefiniować ją jako tą z decyzji dopuszczalnych, która daje
nam największą (najmniejszą) wartość funkcji celu
(3)
 
f x , tj.
x o : x  X  f x o  max(min) f x 
Decyzja optymalna musi być decyzją dopuszczalną.
Jeżeli istnieje choć jedna decyzja dopuszczalna, tj. jeżeli zbiór
decyzji dopuszczalnych X jest niepusty (X) wówczas zadanie PM
jest zadaniem niesprzecznym i może posiadać skończone
rozwiązanie optymalne lub nie posiadać skończonego rozwiązania
optymalnego.
Jeżeli natomiast nie istnieje ani jedna decyzja dopuszczalna, tj.
jeżeli zbiór decyzji dopuszczalnych X jest pusty (X) wówczas
zadanie PM jest zadaniem sprzecznym i nie posiada rozwiązania.
Komentarz do zapisu „min” lub „max” w zadaniach PM
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
(wykład 1_PL)
[5]
Etapy wykorzystania metod PM w procesie podejmowania decyzji
I.
II.
III.
IV.
budowa modelu PM (zadania PM),
rozwiązanie zadania PM,
weryfikacja modelu i uzyskanego rozwiązania oraz
opracowanie systemu kontroli.
W etapie I powinniśmy na początek ściśle sformułować:
 co jest celem działania,
 o czym mamy decydować,
 jakie są warunki w jakich działamy,
 jakie środki wchodzą w grę oraz
 kryterium umożliwiające ocenę decyzji.
Budujemy zadanie PM wg następującej kolejności:
1. stworzenie listy zmiennych decyzyjnych,
2. sformułowanie funkcji celu (1)
3. sformułowanie równań lub nierówności określających zbiór
decyzji dopuszczalnych X.
W etapie II rozwiązujemy zbudowane zadanie PM w celu
o
określenia decyzji optymalnej x .
Etap III jest jednym z najważniejszych etapów w poszukiwaniu
decyzji optymalnej metodami programowania matematycznego.
Chodzi tu o konfrontację uzyskanego rozwiązania z rzeczywistością
gospodarczą w takim zakresie jak to jest tylko możliwe.
Etap IV (opracowanie systemu kontroli) jest dynamiczną wersją
etapu III (weryfikacji). Chodzi tutaj o to, że warunki w których
podejmowana jest określona decyzja nie są statyczne i ulegają
ciągłym zmianom. Może okazać się, że rozwiązanie uznane
za optymalne "wczoraj" - "dziś" już nim nie jest.
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
(wykład 1_PL)
[6]
Liniowe modele decyzyjne
[zadania programowania liniowego (PL)]
Jeżeli w modelu PM (1)-(2):
1. funkcja celu (1) jest funkcją liniową oraz
2. równia i nierówności generujące zbiór decyzji dopuszczalnych
X są formami liniowymi,
to model PM nazywany jest modelem programowania liniowego
(zadaniem PL).
Przykład
Mały zakład wytwarza dwa produkty A i B, których ceny zbytu
wynoszą odpowiednio 3 $/szt. i 4 $/szt.
Należy opracować dzienny plan produkcji zakładu tak, aby
wartość produkcji liczona w cenach zbytu była możliwie największa.
Produkcja jest limitowana głównie przez dwa czynniki:
dostępny czas pracy maszyn i surowiec podstawowy.
Dzienny limit czasu pracy maszyn wynosi 500 minut.
Umowy z producentem surowca podstawowego wskazują, że
każdego dnia zakład będzie miał do dyspozycji 350 kg tego surowca
(bezpieczny poziom).
Zakład jest zainteresowany takim programem dziennej
produkcji, przy którym osiągał będzie zysk minimum 600 $.
Sztuka wyrobu A wymaga 1 minuty czasu pracy maszyn,
natomiast sztuka wyrobu B – 2 minut.
Na wyprodukowanie sztuki wyrobu A zużywa się 1 kg surowca
specjalnego. Również sztuka wyrobu B wymaga 1 kg tego surowca.
Jednostkowy zysk ze sztuki wyrobu A wynosi 2 $/szt., a ze sztuki
wyrobu B – 1 $/szt.
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
(wykład 1_PL)
1. lista zmiennych decyzyjnych
x1 - dzienna produkcja wyrobu A [szt.]
x2 - dzienna produkcja wyrobu B [szt.]
2. funkcja celu (wartość produkcji w cenach zbytu)
w(x1, x2) = w(x) = 3 x1 + 4 x2  max
[$]
3. ograniczenia określające zbiór planów dopuszczalnych
(maszyny)
(surowiec)
(min. zysk)
(warunki
brzegowe)
x1 + 2 x2  500
x1 + x2  350
2 x1 + x2  600
x1  0
x2  0
[minuta]
[kg]
[$]
[szt.]
[szt.]
Ilustracja zbioru decyzji dopuszczalnych X
Decyzja optymalna


x1o  250 x2o  100 w x1o , x2o  1150
[7]
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
(wykład 1_PL)
Rozwiązywanie zadań PL
Zadania PL rozwiązujemy:
1. metodą graficzną (2 zmienne decyzyjne)
2. metodą simpleks (klasyczną, zrewidowaną, zmodyfikowaną,
dualną).
Metoda graficzna
[8]
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
(wykład 1_PL)
Klasyczna metoda simpleks
w(x1,x2) = w(x) = 3 x1 + 4 x2  max
(maszyny)
x1 + 2 x2  500
(surowiec)
x1 + x2  350
(min. zysk)
2 x1 + x2  600
(warunki brzegowe)
x1  0, x2  0
Postać kanoniczna po dołączeniu 4 nowych zmiennych
(3 swobodne i jedna sztuczna) jest następująca:
w’ =
3 x1
x1
x1
2 x1
x10,
+4 x2
+2 x2
+ x2
+ x2
x20,
+0s1
+ s1
+0s2
+ s2
s10,
s20,
+0s3
Mt3
s3
s30,
+t3
t30

=
=
=
max
500
350
600
Interpretacja zmiennych swobodnych
s1 - niewykorzystany fundusz czasu pracy maszyn (limit 500 min)
(ang. slack (luz)),
s2 - niewykorzystany zasób surowca (limit 350 kg)
(ang. slack (luz)),
s3 - przekroczenie minimalnej kwoty zysku (żądanie 600 $)
(ang. surplus (nadwyżka)).
[9]
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
(wykład 1_PL)
[10]
Znajdowanie rozwiązania optymalnego zadania PL
klasyczną metodą simpleks
c 
c 
j
3
4
0
0
0
M
P1
P2
P3
P4
P5
P6
x1
x2
s1
s2
s3
t3
0
1
0
0
0
0
1
-M
0
0
1
0
1/2 1/2 200 133 1/3
100
1/2 1/2
50
600
300
1/2 1/2
x
+3/2 -M-3/2 900
B
i
baza
zm.
baz.
0
0
M
P3
P4
P6
s1
s2
t3
1
1
2
2
1
1
cj  zj
3+2M
4+M
1
0
0
0
s1
s2
x1
0
0
1
0
3/2
1/2
1/2
+5/2
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
3
2
1
-5


0
0
3
P3
P4
P1
cj  zj
0
4
3
P3
P2
P1
wart. ilor.
zm. wyj.
baz.
s1
x2
x1
cj  zj
1
1
1
-1
x 
B
i
 x iB 
 
 yik 
500
350
600
500
600
M
x
1
50
100
1
1
250
-M+1 1150
350
300
x

Optymalny program dziennej produkcji jest następujący:
1. 250 sztuk wyrobu A oraz 100 sztuk wyrobu B.
2. Maksymalna wartość produkcji w cenach zbytu wynosi 1150 $.
3. Limit czasu pracy maszyn (500 min.) nie będzie wykorzystany
w ilości 50 minut.
4. Dzienny zasób surowca (350 kg) będzie wykorzystany w całości.
5. Minimalny poziom zysku (600 $) nie będzie przekroczony.
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
(wykład 1_PL)
[11]
Model programowania liniowego
(liniowy model decyzyjny)
Przykład 2
Rafineria naftowa otrzymała zamówienie na dwa rodzaje
specjalnych paliw węglowodorowych X oraz Y. Zamówienie opiewa
na minimum 4 000 galonów paliwa X i minimum 2 400 galonów
paliwa Y. Paliwa te mogą być wytwarzane niezależnie w dwóch
procesach: P1 i P2.

W ciągu 1 godziny trwania procesu P1 zużywa się 1 baryłkę
ropy A oraz 3 baryłki ropy B i otrzymuje 100 galonów paliwa X
oraz 30 galonów paliwa Y.

W ciągu 1 godziny trwania procesu P2 zużywa się 4 baryłki
ropy A oraz 2 baryłki ropy B i otrzymuje 50 galonów paliwa X oraz
40 galonów paliwa Y.
Zasób ropy A wynosi 320 baryłek, a ropy B 240 baryłek.

Zysk z godziny produkcji według procesu P1 wynosi 200 $, a
koszty 300 $.

Zysk z godziny produkcji według procesu P2 wynosi 500 $, a
koszty 600 $.
Szef produkcji poszukuje takiej kombinacji procesów P1 i P2
(tzn. chce ustalić na ile godzin uruchomić proces P1, a na ile P2), aby
a. osiągnąć maksymalny zysk
b. osiągnąć minimalny koszt
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne
MODEL DECYZYJNY (a) -
(wykład 1_PL)
przykład 2
1. lista zmiennych decyzyjnych
P1 - intensywność procesu P1 [godz.]
P2 - intensywność procesu P2 [godz.]
2. funkcja celu (zysk z uruchomienia procesów P1 i P2)
Z(P1,P2) = 200P1 + 500P2  max
[$]
3. ograniczenia określające zbiór planów dopuszczalnych
(paliwo X)
(paliwo Y)
(ropa A)
(ropa B)
(warunki
brzegowe)
100P1
30P1
1P1
3P1
P1
+ 50P2  4000
+ 40P2  2400
+ 4P2  320
+ 2P2  240
0
P2  0
MODEL DECYZYJNY (b) -
[galon]
[galon]
[baryłka]
[baryłka]
[godz.]
[godz.]
przykład 2
ZMIENIA SIĘ TYLKO FUNKCJA CELU
1. lista zmiennych decyzyjnych - bez zmian
2. funkcja celu (koszty uruchomienia procesów P1 i P2)
K(P1,P2) = 300P1 + 600P2  min
[$]
3. ograniczenia określające zbiór planów dopuszczalnych
- pozostają bez zmian
[12]