Wyznaczanie parametrów linii długiej za pomocą metody

napisał Michał Wierzbicki
Wyznaczanie parametrów linii długiej za pomocą metody
elementów skończonych
Rozważmy tak zwaną linię Lechera, czyli układ dwóch równoległych, nieskończonych
przewodników, o przekroju kołowym o promieniu R, których osie są odległe od siebie
o d. Parametry tej linii długiej czyli pojemność oraz indukcyjność na jednostkę długości wyznaczymy za pomocą metody elementów skończonych (ang. Finite Element Method). Wykorzystamy do tego celu darmowy program FEMM (Finite Element Method
Magnetics). Przekrój poprzeczny linii można narysować bezpośrednio w tym programie.
Bardziej profesjonalne podejście to narysować przekrój w programie CAD (na przykład
darmowy QCAD) i zapisać go w postaci pliku DXF.
Pojemność linii Lechera
Pojemność linii Lechera odniesioną do jednostki długości linii (Farad/metr), można wyznaczyć na dwa sposoby: 1) korzystając ze wzoru na energię zgromadzoną w kondensatorze
1
CU 2
2
gdzie U jest różnicą potencjałów między przewodami. Energię zgromadzoną w polu
elektrycznym obliczamy całkując po przekroju poprzecznym linii gęstość energii pola:
W=
1
Z
0 E 2
dS
2
W=
[dżul/metr]
S
Pole elektryczne jest równe gradientowi potencjału elektrostatycznego: E~ = −grad ϕ. W
przypadku dwywymiarowego przekroju w płaszczyźnie x, y:
∂ϕ
E =
∂x
!2
2
∂ϕ
+
∂y
!2
Potencjał elektrostatyczny ϕ otrzymujemy rozwiązując równanie Laplace’a metodą elementów skończonych, przy zadanych wartościach potencjału na powierzchniach obu
przewodników.
Drugi sposób polega na skorzystaniu z definicji pojemności:
Q
U
gdzie ładunek Q zgromadzony na powierzchni przewodnika obliczamy całkując gęstość
ładunku powierzchniowego σ = 0 E po obwodzie przekroju przewodnika:
I
Q=
σ dl [kulomb/metr]
C=
L
gdzie E jest wartością natężenia pola elektrycznego na powierzchni przewodnika.
W programie FEMM tworzymy nowe obliczenie: File→New→Electrostatics Problem i
wczytujemy rysunek linii File→Import DXF. Na rysunku dodałem duży okrąg pełniący
rolę warunków brzegowych (uziemienie).
2
Ustalamy rodzaj obliczeń: Planar – na dwuwymiarowym przekroju i jednostkę długości
– milimetr.
Obszar między przewodnikami wypełniony jest powietrzem.
Tworzymy trzy warunki brzegowe Dirichleta : 1) uziemienie ϕ = 0 V, 2) potencjał dodatni ϕ = 100 V i 3) potencjał ujemny ϕ = −100 V. Przypisujemy odpowiednie wartości
potencjałów przewodnikom.
3
Tworzymy siatkę obliczeniową dla metody elementów skończonych. Wewnątrz przewodników siatki nie ma, bo wewnątrz idealnego przewodnika ϕ = const.
Rozwiązujemy równanie Laplace’a. Jako ilustrację rozwiązania można narysować linie
ekwipotencjalne i zaznaczyć kolorem wartość natężenia pola elektrycznego.
4
Zaznaczamy obszar pomiędzy przewodnikami i odczytujemy wartość energii zgromadzonej w polu elektrycznym.
Wartość energii wynosi: W = 3,52901 · 10−10 dżuli. Różnica potencjałów U = 200 V,
stąd pojemność:
2W
= 1,76451 · 10−14
2
U
Musimy uwzględnić, że jednostką długości jest 1 mm = 10−3 metra. Stąd
C=
C = 17,6 pikofarad/metr
Możemy także określić ładunki zgromadzone na przewodnikach:
5
Na obu przewodach jest ten sam co do wartości bezwględnej ładunek Q = 3,529 · 10−12
kulombów. Na uziemieniu ładunek jest o 5 rzędów wielkości mniejszy. Stąd pojemność
linii wynosi:
Q
= 1,7645 · 10−14
U
Co w przeliczeniu na jednostkę długości linii daje praktycznie tę samą wartość C =
17,6 pF/m co metoda energetyczna. Wzór teoretyczny na pojemność linii Lechera, liczoną na jednostkę długości linii, wynosi:
C=
π 0
(1)
ln(d/R)
W układzie SI wartości π 0 odpowiada 27, 8 pF/m. W naszym przypadku d/R = 24 mm/4 mm =
6, stąd teoretyczna pojemność linii wynosi C = 15,5 pF/m.
C=
Indukcyjność linii Lechera
Indukcyjność linii Lechera najprościej otrzymac z definicji
Φ = LI
gdzie Φ jest strumieniem pola magnetycznego między przewodami. Indukcyjność można
także określić metodą energetyczną, obliczając energię pola magnetycznego w przekroju
poprzecznym linii:
Z
B2
dS
W=
2µ0
S
6
Energia ta jest równa
LI 2
2
gdzie I jest prądem elektrycznym płynącym w linii. Wektor indukcji pola magnetyczne~ Energię pola magnetycznego można
go B~ jest równy rotacji potencjału wektorowego A.
także obliczyć całkując bezpośrednio sam potencjał wektorowy:
Z
1
~ ·~ dS
W=
A
2 S
W=
gdzie~ jest gęstością prądu, przy czym całować można tylko po tych przekrojach przez
które płynie prąd. Potencjał wektorowy spełnia równanie:
~ = µ0~
∇ × ∇A
Równanie to w programie FEMM rozwiązywane jest metodą elementów skończonych.
Tworzymy nowe obliczenie w programie FEMM: File→New→Magnetostatics Problem
i wczytujemy rysunek linii File→Import DXF. W przypadku problemu z magnetostatyki
najwygodniej zadać tak zwane absorbujące warunki brzegowe, które symulują nieskończoną przestrzeń wokół przewodów. Program FEMM generuje takie warunki automatycznie.
Tworzymy nowy obwód z prądem o natężeniu 1 ampera.
7
Jeżeli chcemy uzględnić indukcyjność wewnętrzną przewodów to deklarujemy rodzaj
materiału z którego są wykonane. Włączamy oba przewody do obwodu z prądem, pamiętając że w magnetostatyce linie prądu są zamknięte. Formalnie w programie FEMM
przewody traktowane są jako cewki o liczbie zwojów +1 i -1. Prąd o natężeniu 1 ampera
zostanie rozłożony przez program FEMM ze stałą gęstością w przekrojach poprzecznych
przewodów. Dla przewodu o promieniu r = 4 mm gęstość prądu wynosi:
j=
I
= 19,9 kA/m2
πr 2
Generujemy siatkę obliczeniową:
8
i wykonujemy obliczenia. Możemy przekonać się, że rzeczywiście prąd płynie ze stałą
gęstością przez przekrój poprzeczny przewodów:
Linie sił pola magnetycznego wokół przewodów są okręgami. Należy ręcznie wybrać
zakres wartości pola ilustrowanego kolorami, gdyż największa wartość pola występuje
dla warunków brzegowych, które nie mają sensu fizycznego.
9
W celu obliczenia energii pola magnetycznego zaznaczamy cały rozpatrywany obszar.
Wartość energii pola wynosi W = 4,07246 · 10−10 dżuli. Stąd indukcyjność linii Lechera
wynosi:
2W
= 8,14492 · 10−10
I2
Uzględniając, że jednostką długości przewodu jest milimetr otrzymujemy
L=
L = 0,8145 mikrohenrów/metr
Indukcyjność można także bezpośrednio odczytać jako wielkość Φ/I (flux/current) dla
rozpatrywanego obwodu z prądem:
10
Także wzór całkowy z potencjałem wektorowym daje tą samą wartość indukcyjności,
przy czym do całkowania można wybrać tylko przekroje przewodników:
Teoretyczny wzór na indukcyjność linii Lechera jest następujący:
µ0
ln(d/R)
π
W układzie SI wielkości µ0 /π odpowiada wartość 0,4 µH/m. Stąd Lteor = 0,72 µH/m.
Wzór ten nie uwzględnia indukcyjności wewnętrznej dwóch przewodów równej Lwew =
2 · µ0 /(8π) = 0,1 µH/m.
L=
11