Optymalne warunki pracy impulsowej lampy rentgenowskiej

Optymalne warunki pracy
impulsowej lampy rentgenowskiej
Dominik SENCZYK
Politechnika Poznańska
[email protected]
Słowa
kluczowe: impulsowa lampa rentgenowska, moc dawki promieniowania
rentgenowskiego, energia impulsu promieniowania rentgenowskiego,
sprawność impulsowej lampy rentgenowskiej
Dla każdego urządzenia technicznego można wyznaczyć optymalne warunki jego pracy.
Dotyczy to również lamp rentgenowskich.
Optymalne warunki pracy impulsowej lampy rentgenowskiej określają różne czynniki,
z których najważniejsze to:
− maksymalne natężenia promieniowania,
− duża wartość współczynnika sprawności lampy,
− czas trwania impulsu.
Rozważymy wpływ powyższych czynników na warunki pracy impulsowej lampy
rentgenowskiej. Jeżeli impulsową lampę rentgenowską zastąpimy równoważnym obciążeniem Z,
to napięcie Uob na tym obciążeniu wynosi:
U ob =
U0Z
,
R+Z
(1)
a natężenie prądu iob:
i ob =
U0
,
R+Z
(2)
gdzie:
U0 - napięcie na lampie rentgenowskiej,
R - opór,
Z - opór zastępczy lampy rentgenowskiej.
Badania doświadczalne pokazują, że moc dawki promieniowania rentgenowskiego jest
funkcją napięcia i natężenia prądu płynącego w lampie rentgenowskiej:
P=
dD
= kiU m ,
dt
gdzie:
D - dawka promieniowania,
i - natężenie prądu w lampie rentgenowskiej, przy czym i = f(t),
U - napięcie na anodzie lampy rentgenowskiej, przy czym U = f(t),
k - czynnik proporcjonalności.
1
(3)
W większości przypadków we wzorze (3) można przyjąć m = 2, co nie ogranicza ogólności
rozważań i powoduje niewielkie zniekształcenie otrzymanych rezultatów.
Moc dawki promieniowania rentgenowskiego na podstawie wzoru (3), po podstawieniu
wyrażeń (1) i (2), wynosi więc:
P = ki ob U
2
ob
=k
U 30 Z 2
(R + Z)3
.
(4)
Wyznaczymy warunek, przy spełnieniu którego w impulsowej lampie rentgenowskiej jest
generowane promieniowanie o maksymalnym natężeniu. W tym celu korzystamy z warunku
istnienia ekstremum funkcji P = f(Z) określonej wzorem (4):
2 ZU 30 (R + Z) − 3(R + Z ) Z 2 U 30
2(R + Z) − 3Z
dP
=0.
= kZU 30
=k
6
dZ
(R + Z)4
(R + Z)
3
2
(5)
Ponieważ w tym równaniu czynnik kZU 30 ≠ 0 i wyrażenie w mianowniku (R + Z) ≠ 0, więc
jest ono spełnione gdy licznik wyrażenia po prawej stronie jest równy zero, a więc gdy:
2(R + Z) − 3Z = 0 ,
(6)
Z = 2R.
(7)
skąd:
Otrzymany warunek pokazuje, że optymalne warunki pracy impulsowej lampy
rentgenowskiej otrzymuje się wówczas, gdy jej opór wynosi 2R, a więc nie przy całkowitej
zgodności z przekazywaną mocą (czyli gdy Z = R), przy czym w tym przypadku całkowity opór
impulsowej lampy rentgenowskiej Z > R. Otrzymany rezultat potwierdzają bezpośrednie
pomiary natężenia promieniowania, które pokazują, że maksimum występuje przy tmax ≈ 0,4tk,
gdzie: tk jest czasem komutacji.
W przypadku rozładowania kondensatora o pojemności C energię impulsu E promieniowania
rentgenowskiego można wyznaczyć w następujący sposób [1]:
t imp
E=
∫ i(t )U(t )dt ,
(8)
0
gdzie: timp - czas wyznaczający koniec impulsu.
Jeżeli całkowanie rozszerzyć na czas T, przy czym:
T=
vt
,
d
(9)
gdzie t = tk (tk - czas komutacji), to
1
E = ∫ i ∗ (T )U ∗2 (T )dT ,
0
gdzie:
2
(10)
i
,
i0
i∗ =
U∗ =
(11)
U1
U0
(12)
są względnymi wartościami natężenia prądu i napięcia, które można wyznaczyć z równania:
Q=
dU
+ i∗ = 0 ,
dt
(13)
w którym
CU 0
.
i0T
Q=
(14)
Po wykonaniu odpowiednich przekształceń otrzymujemy:
kZ p CU 0
E=
3
,
(15)
gdzie:
k - stała mająca wartość 1·10-6 kV-1,
Zp - liczba atomowa pierwiastka, z którego jest wykonana anoda lampy rentgenowskiej.
Możemy więc również wyznaczyć współczynnik sprawności impulsowej lampy
rentgenowskiej:
η=
2kZ p U 0
3
.
(16)
Wzór (16) pokazuje, że współczynnik sprawności impulsowej lampy rentgenowskiej zależy podobnie jak w przypadku zwykłej lampy rentgenowskiej - od napięcia jej pracy i liczby
atomowej pierwiastka, z którego jest wykonana anoda lampy rentgenowskiej.
Tak więc na podstawie zależności (4), (15) i (16) można dobrać warunki pracy impulsowej
lampy rentgenowskiej i określić wymagania dotyczące jej oporu, napięcia zasilania i pojemności.
Można również uzyskać wzory pozwalające na wyznaczenie oporu i czasu trwania impulsu
promieniowania rentgenowskiego w impulsowych lampach rentgenowskich.
3